第二章控制系统的数学模型习题及答案

第二章控制系统的数学模型习题及答案

2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。其中电压u r（t）和位移x（t）为输入量；电压u c（t）和位移y（t）为输出量；R （电阻），C （电容），k （弹性系数），和f （阻尼系数），均为

解：

（a）应用复数阻抗概念可写出

R i丄

U r(s) c il(s) U c (s)

R i cs

(i )

I(s)

Uc(s)

R2

(2)

2-2 试证明下图所示的力学系统（a）和电路系统（b）是相似系统（即有相同形式的数学模型）联立式（I）、（2），可解得:

U c(s) R2(i R i Cs)

U r (s) R i R2 R i R2CS

微分方程为

du c R R2du r1

"dT CRR2Uc IT cR1Ur

（b）如图解2-1（b）所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有

k i(x x i) dy) （i）

对B点有

k2y (2)

联立式（1）、（2）可得:

dy k i k? k i dx

dt f (k i k2)y k i k2 dt

上1（蛊_尙）

A B

解：

(a)取A 、B 两点分别进行受力分析，

如图解所示。对A 点有

k 2(x y)

f 2(x y)

f i (y y i ) (1)

对B 点有

f i ( y y i ) k i y i

(2)

对式(i )、(2)分别取拉氏变换，消去中间变量 y i ，整理后得

(b)由图可写出

U c (s)

整理得

如果设R i k i ,R 2 i k 2,C i f i ,C 2 f 2,则两系统的传递函数

相同，所以两系统是相似的。

U c (s)

。

U r (s)

Y(s) 口

2

s 2 I f f " k i k ?

k i k ?

(一 -)s i f i f 2

s 2

(f i k 2 f 2

k i

)s

k i

k

X(s)

(f i

f k i

k 2

护1

f 2k i

f 2

k 2

)s k i

k

U r (s)

R 2

i

C 2

s

R i

i C i S i C i

s

U c (s) U r (s)

R i

R 2

C i

C 2

s 2

(R i C i

R 2

C 2

)s i

2

R i

R 2

C i

C 2

s

(R i C

i

R 2

C 2

R-i C 2

)s i

比较两系统的传递函数,

2-3 求下图所示各有源网络的传递函数

(f i k 2

位脉冲响应和传递函数。

解： c(0) 1,c(0) 0时，由 c(t) 3c(t) 2c(t) 2r(t)得 2

s C(s) sc(0)

c(0) 3sC(s) 3c(0) 2C(s)

2R(s) 代入初始条件得：

2

〜、

2 s 3s

1

4

2

C(s)

s(s 1)(s 2) s s 1 s 2

c(t) /

鼻

t

2t

1 4e 2e

解: U c (s) U?(s)

(b ) U c (s) R 2 C 2s (

1

R 1 C 1s)(1 R 2C 2s)

U r (s)

R 1 R 1

1 C 1s 1 C 1s

R 1 C 2s

(a)根据运算放大器

“虚地”概念，可写

出 1 (c

) U c (s) R 2 C ~

Cs R 2 *

Cs R 2

U r (s)

R 1

&(1 R 2CS )

2-4 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 c(t) 1

c 2t

2e

e t ，试求系统的单

k(t) ■dc 也

4e 2t

dt

(s)

L[k(t)]

3s 2 (s 1)(s 2)

2-5系统传递函数C 廻 R(s) __ 2_

s 2

3s

试求初始条件为c(0) c(0) 0时系统在输

入r(t)

1(t)作用下的输出 c(t)。

2-6 飞机俯仰角控制系统结构图如图所示，试求闭环传递函数 Q c （S ）Q,S ）。

Q c (s)

3

2

Q r (s) s (0.9

0.7K)s (1.18 0.42K)s

|亘］里曹叵］―叵］

——-ri>—

利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为

C(s)

G22G 3G 4

R(s) 1 G 2G 3G 6 G 3G 4G 5

G 1G 2G 3G 4G 7 G 1G 2G 3G 4G 8

2-8试用结构图等效变换法化简下图所示系统，并求各系统的传递函数 解：

（a ）

川：

1 *

G 毘 + 641 GSg

皿G

盹)|r-

解: 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数

0.7(s 0.6) 0.68 2-7 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数

X i (s) X 2(s) X 3(s) C(s)

G i (s)R(s) G i (s)G(s) G 8(S )]C(S )

G 2(S )[X"S ) G 6(S )X 3(S )]

[X 2(s) C(s)G 5(s)]G 3(s) G 4(s)X 3(s)

C(s) ----- o

R(s)

解:

系统结构图如下:

C(s) R(s)°