2019-2020学年甘肃省兰州一中高一(上)期末数学试卷
甘肃省兰州一中高一上学期期末考试(数学).doc
甘肃省兰州一中高一上学期期末考试（数学）说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上) 1．右图是由哪个平面图形旋转得到的( )2. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有( )A ．4条B . 6条C . 8条D . 10条 3．直线10x +-=的倾斜角是( )A ．30ｏB ．1C ．135ｏD ．150ｏ4．直线3x +4y -13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（ ）A ． 相离B ． 相交C ． 相切D ． 无法判定 5. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( )A ①和②B ②和③C ③和④D ①和④6．直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则它们之间的距离为( )A ．4 BCD7．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A. 2BCD. 18．如下图，正方体ABCD -A 'B 'C 'D '中, 直线D 'A 与DB 所成的角为( )A ．30ｏB ．45ｏC ．60ｏD ．90ｏ9. 如上图，一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其侧面积是( )A ．12B . 8CD 10. 若直线l 与直线y =1和x -y -7=0分别交于A 、B 两点，且AB 的中点为P (，则直线l 的斜率等于( )A ．32B ．-32C ．23D ．-23第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共将答案写在答题卡上）11．过点（1，3）且与直线210x y +-=垂直的直线方程是 .12．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．13 在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为，其余各棱长都为2，则二面角A -BD -C 的大小为 .14．两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c =0上，则m +c = . 15．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④在一个平面内过该平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另 一个平面. 其中正确的说法的序号依次是 .三、解答题(共50分) 16.（本小题8分）如图，四棱锥ABCD 中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证： （1）PA ∥平面BDE ；（2）平面PAC 平面BDE.17.（本小题10分）已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且∣AB∣=2.（1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；（2）求过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程.18．（本小题10分）（1）求经过直线l1：x + y– 1 = 0与直线l2：2x– 3y + 8 = 0的交点M，且与直线2x + y + 5 = 0平行的直线l的方程;（2）已知点A(1，1)，B(2，2)，点P在直线l上，求∣PA∣2+∣PB∣2取得最小值时点P的坐标.19. （本小题12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=1，E是A1C1与B1D1的交点.（1）作出面A1BC1与面ABCD的交线l，并写出作法；（2）若以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B，E两点的坐标，并求BE的长；（3）求BC1与面BDD1B1所成角的正切值.（本小题10分）已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上.（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l 垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)11．2x-y+ 1=0 12． 3：1：2 13．60°14. 3 15．②④三、解答题(共50分)16.（本小题8分）证明：(1)连结OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．………………………4分(2) ∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC PO=O，∴BD⊥平面PAC．而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．……………8分17.（本小题10分）解: (1) 方法一：设P(x , y ),∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，∴∣OP∣=1 ……………………2分∴点P的轨迹方程为x2+y2=1. ……………………5分方法二：设P(x , y )，∵P为AB的中点，∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ), ………………………2分又∵∣AB∣=2∴(2x)2+(2y)2=2 ………………………4分化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=1. ……………5分(2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,由条件易得 x =1符合条件; ………………7分②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y -2=k (x -1) 即kx -y +2-k =01=得k =34,∴切线方程为y -2=34 (x -1)即 3x -4y +5=0综上，过点M (1，2)且和轨迹C 相切的直线方程为： x =1 或3x -4y +5=0 ……………………10分18.（本小题10分）解：(1) 102380x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得⎩⎨⎧=-=21y x所以交点为（－1，2）……………3分 ∵所求直线与直线2x + y + 5 = 0平行， ∴2-=k∴直线方程为02=+y x ……………………5分 (2) 设P (t ,-2t ) 则2222222(1)(21)(2)(22)10610PA PB t t t t t t +=-+--+-+--=++当310t =-时，22PB PA +取得最小值，∴33(,)105P -…………………………10分19.（本小题12分）解：(1)在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ， （或过点B 作A 1C 1的平行线）则此平行线即为所求作的交线l . …………4分(2) B ( 2 , 2 , 0 ) ， E ( 1 , 1 , 1 ) …………6分BE…………………………8分(3)连接BE ，∵C 1E ⊥B 1D 1, C 1E ⊥BB 1 ∴C 1E ⊥面BDD 1B 1 ，∴∠C 1BE 为BC 1与面BDD 1B 1所成的角, …………10分 又∵C 1E， BE∴ tan ∠C 1BE=1C E BE==…………………12分本小题10分）解：（1）设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0则有--1024-201030DE EF D E F ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎩ …………………2分解得644D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………4分 ∴圆C 的方程为：x 2+y 2-6x +4y +4=0 …………5分 （2）设符合条件的实数a 存在，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在l 上． 所以l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-， 所以12a =． …………7分把直线ax -y +1=0 即y =ax +1．代入圆C 的方程，消去y ，整理得22(1)6(1)90a x a x ++-+=． 由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点，故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>， 即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(,0)-∞．…………………9分由于1(, 0)2∉-∞，P的直线l垂直平分弦AB．………10分故不存在实数a，使得过点(2, 0)。
甘肃省兰州市联片办学2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题参考答案
2019--2020第一学期期末联片数学考试卷答案一、选择题1.A2.D3.A4.B5.B6.C7.C8.C9.B 10.C 11.C 12.D二、填空题13.-2<x<4 14.12 15.450 16.y＝2x三、解答题：17.（10分）(1)由,得－3＜x＜3,∴函数f(x)的定义域为(－3,3).(2)函数f(x)是偶函数,理由如下：由(1)知,函数f(x)的定义域关于原点对称,且f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x),∴函数f(x)为偶函数.18.（12分）S表面＝S下底面＋S台侧面＋S锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2＝(60＋4)π.V＝V台－V锥＝π(＋r1r2＋)h－πr2h1＝π.19.（12分）证明:(1)取AC的中点O,连接MO,因为M,O分别为AC1,AC的中点,所以MO CC1.又F为BB1的中点,所以BF CC1.所以MO BF.所以四边形MOBF为平行四边形.所以MF∥BO,又MF⊄平面ABCD,BO⊂平面ABCD,所以MF∥平面ABCD.(2)因为F为BB1的中点,易得AF=C1F,又M为AC1的中点,所以MF⊥AC1.又四边形ABCD为菱形,所以BO⊥AC.又MF∥BO,所以MF⊥AC.又AC1∩AC=A,所以MF⊥平面A1ACC1.20.（12分）(1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中,∵F、F1分别是AC、A1C1的中点,∴B1F1∥BF,AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1,C1F∩BF＝F,∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1＝A1,∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1,而B 1F 1⊂平面AB 1F 1,∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.21.（12分）（1）作图可证过P 点与原点O 距离最大的佳绩是过P 点且与PO 垂直的直线,由l ⊥OP ,得k 1k OP ＝－1,所以k 1＝ kOP 1＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2（x －2）,即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线,最大距离为5｜－5｜ ｜－5｜＝.（2）过P 点不存在到原点距离超达的直线,因此不存在过点P 点且到原点距离为6的直线.22.（12分）解：当直线l 的方程为x ＝1时,可验证不符合题意,故设l 的方程为y －2＝k (x －1), 由解得A ；由解得B .因为|AB |＝,所以＝.整理得7k 2－48k －7＝0.解得k 1＝7或k 2＝－.故所求的直线方程为x ＋7y －15＝0或7x ―y ―5＝0.。
2020年甘肃兰州城关区兰州一中高一上学期期末考试数学试卷(学生版)
2020年甘肃兰州城关区兰州一中高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分）1.直线30x y a +-=的倾斜角为（ ）A.o 30B. o 60C. o 120D. o 1502.某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写了个“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①，②，③处应依次写上（ ）A.快、新、乐B.乐、新、快C.新、乐、快D.乐、快、新3.正方体1111ABCD A B C D -中，直线1D A 与DB 所成的角为（ ）A.o 30B. o 45C. o 60D. o 904.正六棱锥底面边长为a ，体积为33a ，则侧棱与底面所成角为（ ） A.o 30 B. o 45 C. o 60 D. o 755.已知,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；②若,,,,m n m n ααββ⊂⊂则αβ；③如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，则n 与α相交；④若m αβ⋂=，n m ，且,n n αβ⊄⊄，则,n α且n β.其中正确命题的个数是（ ）A.1B. 2C. 3D. 46.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45o ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A.2B.C. D. 17.已知两定点()3,5A -,()2,8B ，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值为（ ） A. B. C. D.8.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为 ）A.16πB. 24πC. 36πD. 64π 9.棱台上下底面面积比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）A. 1:7B. 2:7C. 7:19D. 5:1610.若多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（ ） A.316cm B.312cmC.313cmD.323cm11.已知圆的方程2225x y +=，过()4,3M -作直线,MA MB 与圆交于点,A B ,且直线,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于（ ）A. 43- B. 34- C. 54- D. 45- 12.数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC △的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标是（ ）A.()4,0-B.()()4,0,2,0--C. ()()4,0,3,0--D.()4,2-二、填空题13.直线160l x ay ++=：与()2:2320l a x y a -++=平行，则a 的值为_______14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积是_______15.已知关于x 的方程21x x k -=+有唯一实数根，则实数k 的取值范围是_______16.已知圆22:9O x y +=，点()5,0A -,若在直线OA 上（O 为坐标原点），存在异于A 的定点B ,使得对于圆O 上的任意一点P ,都有PBPA 为同一常数，则点B 的坐标是_______三、解答题17.设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点,A B（1）求弦AB 的垂直平分线方程；（2）求弦AB 的长.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ABC ⊥底面,且各棱长均相等，,,D E F 分别为棱11,,AB BC AC 的中点.（1）证明1EF A CD 平面;（2）证明111A ABB ACD ⊥平面平面.19.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G ⋂=,AD ABE ⊥平面,2AE EB BC ===,F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面.（1）求证：AE BCE ⊥平面;（2）求三棱锥C BGF -的体积.20.ABC △中，()0,1A ,AB 边上的高CD 所在直线的方程为240x y +-=，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为230x y +-=.（1）求直线AB 的方程；（2）求直线BC 的方程;（3）求BDE △的面积.21.如图，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥侧面BCDE ,2BC =,2CD =,AB AC =,CE 与平面ABE 所成的角为45o .（1）证明：AD CE ⊥;（2）求二面角A CE B --的正切值.22.已知圆C 过点()0,2M -,()3,1N ，且圆心C 在直线210x y ++=上.（1）求圆C 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于,A B 两点，是否存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线l 垂直平分弦AB ?若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.。
兰州市高一上学期期末考试数学试题有答案【推荐】.doc
兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题高一数学说明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卡上.)1．过点)1,4(A 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．5=+y x B ．5=-y xC ．045=-=+y x y x 或D ．045=+=-y x y x 或2．已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若n m n m //,//,//则αα B ．若n m n m ⊥⊂⊥则,,αα C ．若αα//,,n n m m 则⊥⊥ D ．若αα⊥⊥n n m m 则,,//3．如图，矩形''''C B A O 是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图， 其中cm D C cm A O 2,6''''==，则原图形是( ) A ．正方形 B ．矩形C ．梯形D ．菱形4．如图，将正方形ABCD 沿对角线AC折成一个直二面角， 则异面直线CD AB 和所成的角是( ) A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 905．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积 与球表面积的比值为( ) A ．21 B ．23 C ．31 D ． 346．已知三棱锥ABC P -的四个顶点C B A P ,,,都在半径为R 的同一个球面上,BCDO若PC PB PA ,, 两两相互垂直,且3,2,1===PC PB PA ,则R 等于 ( ) A ．214 B ．14 C ．213D ．37．如图，已知两点)4,0(),0,4(B A ，从点)0,2(P 射出的光线 经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程NP MN PM ++等于( )A ．102B ．6C ．33D ．528．定义在R 上的奇函数)(x f 满足：当0>x 时，x x f x 2017log 2017)(+=，则在R 上， 函数)(x f 零点的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线 画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．25B ．24C ．4D ．610．已知点),1,0(),0,1(),0,1(C B A -直线)0(≥+=k b kx y 将ABC ∆分割为面积相等 的两部分,则b 的取值范围是( )A ．)1,0(B ．)21,31[ C ．]31,221[-D ．)21,221[-第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分,请将答案写MN在答题卡上.)11．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，4,3==BC AB ， 51=CC ,则沿着长方体表面从A 到1C 的最短路线 长为 ________．12．若幂函数)()(为常数ααx x f =的图象恒过定点A , 直线0312=+++-k y kx 恒过定点,B 则直线 AB 的倾斜角是________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为)(*∈N x x 件．当20≤x 时，年销售总收入为)33(2x x -万元； 当20>x 时，年销售总收入为260万元． 则该工厂的年产量为________件时，所得 年利润最大. (年利润=年销售总收入－年总投资)．14．已知函数⎩⎨⎧≥--<-=)1()2)((4)1( 2)(x a x a x x a x f x . 若0)(=x f 恰有2个实数根， 则实数a 的取值范围是_______________.三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =， H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点. (1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥16．(本小题8分)(1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l .ABC1A 1C 1B EFH当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离.17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中， 41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点． (1)求三棱锥ADE D -1的体积. (2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1？若存在，求出AM若不存在，请说明理由．18． (本小题10分) 如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCDPA 平面⊥,ADAB ⊥,CD AC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小. (2)求二面角C PD A --的正弦值．19. (本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．(1) 若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ． 求实数a 的取值范围.(2) 求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值．兰州一中2019-2020-1学期期末考试高一数学答题卡 第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.) 1C A第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.________________ 12.______________________13.________________ 14.______________________三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)16．(本小题8分)ABC 1A1C1BEFH17． (本小题8分)18．(本小题10分)1C A19. (本小题10分)兰州一中2019-2020-1学期期末考试高一数学答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.74 12. 150 13. 16 14.),2[)1,21[+∞⋃提示 8. 别漏了(0,0)9. 构造正方体模型(如左下图)10. 221, 0-==b k 时; , 0时>k 如右上图, (,0),1M b k b N y k k +-=+令11(1)212MNBb k b S k k ∆+=+⋅=+,得210212<∴>-=b b b k 14. 当0≤a 时,方程0)(=x f 无实根;当10<<a 时,要使0)(=x f 恰有2个实数根，须12≥a ,121<≤∴a当1≥a 时, 要使0)(=x f 恰有2个实数根，须021≤-a 2≥∴a综上,所求为),2[)1,21[+∞⋃三、解答题(本大题共5小题，共44分.)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =，H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点. (1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥ADCB1A 1C 1B EH证明 (1)H F , 分别是AC BC ,的中点，AB HF //∴. 又H E , 分别是AC C A ,11的中点， AH EC //1∴ 又AH EC =1 HA EC 1四边形∴为平行四边形.AE H C //1∴，又A AB AE H HF H C =⋂=⋂,1 ，所以平面ABE HF C 平面//1 .(2)AC AB = ,中点为BC F ,BC AF ⊥∴ABC B B 平面⊥1 ,ABC AF 平面⊂,AFB B ⊥∴1,1B BC B B =⋂ 11BCC B AF 平面⊥∴又AEF AF 平面⊂ ,11BCC B AEF 平面平面⊥∴16．(本小题8分) (1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l . 当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离． 解 (1)由01221=-B A B A ，得021)1(=⨯--a a ，由01221≠-C B C B ，得0)1(6)1(22≠---a a ，1-=∴a (2)过P 点且与原点距离最大的直线,是过P 点且与OP 垂直的直线， 由OP l ⊥ 得1-=OP l k k ．所以2=l k ．由直线方程的点斜式得)2(21-=+x y ，即052=--y x ，所以直线052=--y x 是过P 点且与原点距离最大的直线，最大距离为d == 17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点． (1)求三棱锥ADE D -1的体积．(2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1 若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解 (1)11DED A ADE D V V --= 长方体中, CD D AD 1平面⊥ ，AD ∴是三棱锥DE D A 1-的高． C D E 1为 的中点，且41==DC D D ，41=∴∆DE D S又2=AD ，所以3811==--DED A ADE D V V ．(2)取AC 中点M ，连接DM EM ,，因为C D E 1为的中点，M 是AC 的中点，1CA D EM 1//∴.又MDE EM 平面⊂ ，MDE A D 平面⊄1，MDE A D 平面//1∴． 5=∴AM ．即在AC 边上存在一点M ，使得MDE A D 平面//1，此时M 是AC 的中点 5=AM ．18． (本小题10分)如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥, AD AB ⊥,CD AC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小．(2) 求二面角C PD A --的正弦值．解 (1)在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD AB 平面⊂，AB PA ⊥∴．又AD AB ⊥，A AD PA =⋂，PAD AB 平面⊥∴. 故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角. 在PAB Rt ∆中，PA AB =，故 45=∠APB ．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为 45．(2) 在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD CD 平面⊂，CD PA ⊥∴． 由条件CD AC ⊥，A AC PA =⋂，PAC CD 平面⊥∴．又PAC AE 平面⊂ ，AE CD ⊥∴．由BC AB PA ==，60=∠ABC ，可得PA AC =．∵E 是PC 的中点，AE PC ⊥∴．又C PC CD =⊥ ，PCD AE 平面⊥∴． 过点E 作PD EM ⊥，垂足为M ，连接AM ，如图所示． PCD AE 平面⊥ ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， PD AM ⊥∴．AME ∠∴是二面角C PD A --的平面角． 由已知 30=∠CAD ,1=∴CD 设,3==AC PA 则, 7,6,2===PD PC AD . PAC Rt ∆中, 2621==PC AE . 在ADP Rt ∆中，PD AM ⊥ ,AD AP PD AM ⋅=⋅∴,得7212=AM . 在AEM Rt ∆中，414sin ==∠AM AE AME ．所以二面角C PD A --的正弦值为414． 19．(本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．(1)若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ．求实数a 的取值范围;(2)求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值． 解 (1)令a x a x x x f x m +-+=-=)1()()(2．依题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆0)0(0)1(12100m m a 得2230-<<a ,故实数a 的取值范围为 )223,0(- . (2) x ax x g 2)(2-=①当0=a 时，x x g 2)(-=在]1,0[上递减，2)1()(min -==∴g x g ．②当0>a 时，函数aa x a x g 1)1()(2--=图象的开口方向向上，且对称轴为10x a =>． 若111≥≤a a 即，函数)(x g 在]1,0[a 上递减，在]1,1[a 上递增．a a g x g 1)1()(min -==∴. 若1011<<>a a即，函数)(x g 在]1,0[上递减．2)1()(min -==∴a g x g ． ③当0<a 时，函数a a x a x g 1)1()(2--=的图象的开口方向向下，且对称轴01<=ax ， )(x g 在]1,0[上递减, 2)1()(min -==∴a g x g 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=)1( 1)1( 2)(mina a a a x g。
2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学高一上学期期末考试数学试题(考试时间为120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l经过原点与点(－1，－1)，则它的倾斜角是()A．45°B．135°C．45°或135°D．0°2．下列命题正确的是()A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角θ的取值范围是0°<θ<90°D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l23．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A．1 B．2 C．3 D．64．空间中到A，B两点的距离相等的点构成的集合是()A．线段AB的中垂线B．线段AB的中垂面C．过AB中点的一条直线D．一个圆5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A.39B．8 2 C．8 3 D．16 36．已知点A、B、C、D为同一球面上的四点，且AB＝AC＝AD＝2，AB⊥AC，AC ⊥AD，AD⊥AB，则这个球的表面积是()A．16π B．20π C．12π D．8π7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或28．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β9．已知二面角α-l-β是锐二面角，直线AB⊂α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α-l-β的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°10．函数y＝x2－3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是() A．1.55 B．1.65C．1.75 D．1.8511．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A.8π3B．32π C．8π D．82π12．已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x＋a，若函数g(x)＝f(x)－x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是() A．a<0 B．a≤0C．a≤1 D．a≤0或a＝1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.求满足8241－x⎪⎭⎫⎝⎛＞x－24的x的取值集合是．14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．15.已知正四棱锥P ABCD(底面是正方形且顶点P 在底面的射影为底面中心)中,PA=2,AB=错误！未找到引用源。
2020年甘肃兰州城关区兰州一中高一上学期期末考试数学试卷(教师版)
2020年甘肃兰州城关区兰州一中高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.直线30x y a +-=的倾斜角为（ ） A.o 30 B. o 60 C. o 120 D. o 150【答案】C2.某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写了个“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①，②，③处应依次写上（ ） A.快、新、乐 B.乐、新、快 C.新、乐、快 D.乐、快、新【答案】A【解析】根据四棱锥图形，正好看到新年快乐的字样 顺序应该为②①③3.正方体1111ABCD A B C D -中，直线1D A 与DB 所成的角为（ ） A.o 30 B. o 45 C. o 60 D. o 90【答案】C【解析】连接1BD ,则11BD AC1DBD ∴∠为两条异面直线所成的角，选C4.正六棱锥底面边长为a 3，则侧棱与底面所成角为（ ） A.o 30 B. o 45 C. o 60 D. o 75【答案】B 【解析】13V Sh =又26S = h a ∴=∴∴侧棱与底面所成角的大小为o 45，选B5.已知,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥； ②若,,,,m n m n ααββ⊂⊂则αβ；③如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，则n 与α相交； ④若m αβ⋂=，n m ，且,n n αβ⊄⊄，则,n α且n β. 其中正确命题的个数是（ ） A.1 B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】根据面面垂直的判定定理可得①正确； ②若,m n 为平行直线则结论不成立； ③n a 时也成立，错误； ④n α⊂时也成立，错误； 因而正确的个数只有一个，选A6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45o ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A.22+B.1+22C.222+ D. 12+【答案】A【解析】恢复后的原图形为一直角梯形，则面积为()11212222S =++⨯=+ 7.已知两定点()3,5A -,()2,8B ，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值为（ ） A.513 B. 34 C. 55 D. 226【答案】D【解析】设点A 关于直线10x y -+=的对称点为(),C a b则有5113351022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-++⎪-+=⎪⎩解得42a b =⎧⎨=-⎩由图可知226PC PB PA PB BC +=+≥=选D8.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为26，则该正四棱锥外接球的表面积为（ ） A.16π B. 24π C. 36π D. 64π【答案】C【解析】如图，设四棱锥底面的中心为1O ,42AC =,122AO = 在直角三角形1PO A 中，22114PO PA AO =-=设外接球半径为R ,则14OO R =- 在直角三角形1OO A 中, ()2248R R =-+,解得3R =外接球的表面积2436S R ππ==，选C9.棱台上下底面面积比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）A. 1:7B. 2:7C. 7:19D. 5:16【答案】C【解析】中截面的面积为四个单位，所以12124746919V V ++==++,选C 10.若多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（ ） A.316cm B.312cm C.313cm D.323cm 【答案】C【解析】三视图复原几何体如图： 3115111326V cm =-⨯⨯⨯=11.已知圆的方程2225x y +=，过()4,3M -作直线,MA MB 与圆交于点,A B ,且直线,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于（ ） A. 43- B. 34-C. 54-D. 45-【答案】A【解析】直线,MA MB 关于直线3y =对称，则直线,MA MB 的倾斜角互补，从而0MA MB k k +=不妨取点()5,0A ,则由0MA MB k k +=得13MBk =即11333B B y x =+,代入圆的方程，解得75245B B x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而24457355ABk ==-- 12.数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC △的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标是（ ） A.()4,0- B.()()4,0,2,0-- C. ()()4,0,3,0-- D.()4,2-【答案】A【解析】设(),C m n ，由重心坐标公式得三角形ABC 的重心坐标为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭ 代入欧拉线方程得：242033m n++-+= 整理得40m n -+=AB 的中点为()1,2，40202AB k -==-- 从而AB 的中垂线方程为230x y -+=，与20x y -+=联立求解得三角形ABC 的外心坐标为()1,1-，从而()()2222113110m n ++-=+=，联立解得40m n =-⎧⎨=⎩或04m n =⎧⎨=⎩（舍），从而选A二、填空题13.直线160l x ay ++=：与()2:2320l a x y a -++=平行，则a 的值为_______ 【答案】1- 【解析】由16232a a m=≠-，得1m =- 14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积是_______ 【答案】【解析】正四棱柱高为4,体积为16,底面积为4，正方形边长为2,正四棱柱的对角线长即球的直径为26，从而球的体积为34863r V ππ==15.已知关于x 的方程21x x k -=+有唯一实数根，则实数k 的取值范围是_______ 【答案】[){}1,12-⋃【解析】将方程21x x k -=+的根看作21y x =-与y x k =+的交点如图所示，当直线与半圆相切时或当[)1,1k ∈-时，直线与 半圆只有一个交点，由12k d ==，得2k =或2k =-（舍）16.已知圆22:9O x y +=，点()5,0A -,若在直线OA 上（O 为坐标原点），存在异于A 的定点B ,使得对于圆O 上的任意一点P ,都有PB PA为同一常数，则点B 的坐标是_______【答案】()1.8,0- 【解析】设PB t PA=，易知B 在x 轴上，则设(),0B m ，(),P x y则229x y += 由PBt PA=，得()()222225x m y t x y ⎡⎤-+=++⎣⎦ ，将229y x =-代入，得()222253490t m x t m ++--=对所有的[]3,3x ∈-恒成立，从而222503490t m t m ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，解得0.61.8t m =⎧⎨=-⎩或15t m =⎧⎨=-⎩（舍） 从而点B 的坐标是()1.8,0- 三、解答题17.设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点,A B （1）求弦AB 的垂直平分线方程；（2）求弦AB 的长.【答案】（1）3230x y --=；（2）255913【解析】（1）圆的方程化为标准方程为：()2214x y -+=，圆心坐标为()1,0，半径2r = 易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而23AB k =-,从而132k =所以直线方程为()312y x =- 整理得3230x y --=（2）圆心到直线AB 的距离为22131332d 2+==+2232559221313AB ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ABC ⊥底面,且各棱长均相等，,,D E F 分别为棱11,,AB BC AC 的中点.（1）证明1EF A CD 平面; （2）证明111A ABB ACD ⊥平面平面. 【答案】（1）略；（2）略 【解析】（1）连接DE,,D E F 分别是11,,AB BC AC 的中点，且三棱柱各棱长相等12DEAC ∴,112A F AC 1DE A F ∴1A DEF ∴四边形为平行四边形 1EF A D ∴又111,EF ACD A D ACD ⊄⊂平面平面∴1EF A CD 平面（2）D AB 是的中点，CD AB ∴⊥, 又1AA ABC ⊥平面，CD ABC ⊂平面1AA CD ∴⊥,又1AA AB A ⋂=11CD A ABB ∴⊥面,又1CD ACD ⊂面 111A ABB ACD ∴⊥平面平面 19.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G ⋂=,AD ABE ⊥平面,2AE EB BC ===,F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面. （1）求证：AE BCE ⊥平面; （2）求三棱锥C BGF -的体积. 【答案】（1）略；（2）略 【解析】（1）AD ABE ⊥平面，AD BCBC ABE ∴⊥平面又AE ABE ⊂平面 ，AE BC ∴⊥又BF ACE ⊥平面，AE ACE ⊂平面,AE BF ∴⊥,BC BF B ⋂=且,BC BF BCE ⊂平面 AE BCE ∴⊥平面（2）AE FG 且AE BCE ⊥平面FG BCE ∴⊥平面，即FG BCE ⊥平面 G 点是AC 中点，F 是CE 中点，112FG AE ∴== 又在Rt BCE △中，222CE BE ==122BF CF CE ===112BCF S ==△ 从而1133C BFG G BCF BCF V V S FG --===△20.ABC △中，()0,1A ,AB 边上的高CD 所在直线的方程为240x y +-=，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为230x y +-=. （1）求直线AB 的方程； （2）求直线BC 的方程; （3）求BDE △的面积.【答案】（1）210x y -+= ；（2）2370x y +-=；（3）110【解析】（1）CD 所在直线的方程为240x y +-= 2AB k ∴=从而直线AB 的方程为()120y x -=- 即210x y -+=（2）由210230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即直线AB 与AC 边中线BE 的交点为1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭ 设(),c m n则由已知可得240123022m n m n +-=⎧⎪⎨+⨯+-=⎪⎩解得21m n =⎧⎨=⎩从而直线BC 所在直线方程为12211222x y --=-- 即2370x y +-=（3）E 是AC 的中点，()1,1E ∴E ∴到AB 的距离为：25d =又点B 到CD 的距离为：125BD =11210BDE S d BD ∴=⋅⋅=△又E 是AC 中点，()1,1E ∴52BE ∴=由210240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得2595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，29,55D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ D ∴到BE 的距离为：255d =11210BDE S d BE ∴=⋅⋅=△21.如图，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥侧面BCDE ,2BC =,2CD =,AB AC =,CE 与平面ABE 所成的角为45o .（1）证明：AD CE ⊥;（2）求二面角A CE B --的正切值.【答案】（1）略；（2）3【解析】（1）取BC 的中点H ,连接HD 交CE 于点P 连接AH 、AP AB AC =AH BC ∴⊥又ABC BCDE ⊥平面平面AH BCDE ∴⊥平面又12HC CE CD DE ==Rt HCD Rt HCD ∴△△ CDH CED ∴∠=∠HD CE ∴⊥CE AHD ∴⊥平面AD CE ∴⊥（2）由（1）知CE AHD ⊥平面，AP CE ∴⊥ 又HD CE ⊥APH ∴∠就是二面角A CE B --的平面角 过点C 作CG AB ⊥,垂足为G ,连接,CG EG BE BC ⊥,且BE AH ⊥BE ABC ∴⊥平面BE CG ∴⊥CG ABE ∴⊥平面CEG ∴∠就是CE 与平面ABE 所成的角，即o 45CEG ∠= 又CE =CG EG ∴==又2BC =,o 60ABC ∴∠= 2AB BC AC ∴===AH ∴=又2CH HD HP HD === tan 3AH APH HP∴∠== 22.已知圆C 过点()0,2M -,()3,1N ，且圆心C 在直线210x y ++=上.（1）求圆C 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于,A B 两点，是否存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线l 垂直平分弦AB ?若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）226440x y x y +-++=；（2）不存在【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=则有1024201030D E E F D E F ⎧--+=⎪⎪-+=⎨⎪+++=⎪⎩解得644D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩从而圆的方程为226440x y x y +-++=（2）设符合条件的实数a 存在 由于直线l 垂直平分弦AB ，故直线l 过圆心()3,2- 因而2l k =- 而1AB PCk a k ==-,所以12a = 把直线10ax y -+=代入圆的方程，消去y ，整理得 ()()2216190a x a x ++-+= 由于直线10ax y -+=交圆C 于,A B 两点 故()()22=3613610a a --+>△ 即20a ->，解得0a < 则实数a 的取值范围是(),0-∞ 由于()1,02∉-∞，假设错误 从而不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线l 垂直平分弦AB。
2019-2020学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期末考试数学试题
E D
∴ HD CE.
又∵ AH HD=H，AH 平面 AHD， HD 平面 AHD.
∴ CE⊥平面 AHD，又∵ AD 平面 AHD.
∴ CE⊥ AD ，即 AD⊥CE.
……………………分６
(2)由 (1) CE⊥平面 AHD, ∴AP⊥CE, 又∵ HD CE.
∴∠ APH 就是二面角 A-CE-B 的平面角 ,
解： (1)直线 AB 的斜率为 2，∴ AB 边所在的直线方程为 2 x y 1 0 ， …………４分
2x
(2) 由
2x
y1 0 x
得
y30
y
1
2 , 即直线 AB 与 AC 边中线 BE的交点为 B( 1 ， 2).
2
2
设点 C 的坐标为 (m， n)，
则由已知条件得
m 2n 4 0,
m n1
2
3
3
第Ⅱ卷 (非选择题 )
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. 直线 l1: x+ay+6=0 与 l2: (a-2) x+3y+2a=0 平行，则 a 的值为
.
14. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为
4，体积为 16，则这个球的体积是
.
15. 已知关于 x 的方程 1 x2 x k 有唯一实数解，则实数 k 的取值范围是
A． 5 13
B． 34
C．5 5
D． 2 26
8．已知正四棱锥的底面边长为 4 ，侧棱长为 2 6 ，则该正四棱锥外接球的表面积为 ( )
A． 16
B． 24
C． 36
D． 64
9. 棱台上、下底面面积比为 1∶9, 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 ( )
甘肃省兰州市联片办学2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度度第一学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是( ) A.45° B.135° C.45°或135° D.0°【参考答案】A 【试题分析】先由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率,然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值,再利用特殊角的三角函数值及倾斜角的范围即可得到倾斜角的度数.解：设过原点(0,0)和点(－1,－1)的直线方程的斜率为k,且该直线的倾斜角为α, 由题意可知：tanα＝k ＝()()0101----＝1,又α∈(0,180°),则α＝45°. 故选A2.下列命题正确的是( )A.若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α,则12l l PB.若直线l 上有两个点到平面α的距离相等,则l αPC.直线l 与平面α所成角θ取值范围是090θ︒︒<<D.若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则12l l P 【参考答案】D 【试题分析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可.对A, 若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α,不一定有12l l P ,故A 错误.对B,当l ⊥平面α时也满足直线l 上有两个点到平面α的距离相等.故B 错误. 对C, 直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒≤≤,故C 错误.对D, 若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则12l l P 成立.故D 正确. 故选：D本题主要考查了线面平行垂直关系的判定,属于基础题型. 3.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A.1B.2C.3D.6【参考答案】A 【试题分析】易得该三棱锥为长方体的一角,根据体积公式求解即可. 画出三棱锥易得体积11123132V =⨯⨯⨯⨯=.故选：A本题主要考查了根据三视图求解三棱锥的体积问题,属于基础题型. 4.空间中到A ,B 两点的距离相等的点构成的集合是( ) A.线段AB 的中垂线 B.线段AB 的中垂面 C.过AB 中点的一条直线 D.一个圆【参考答案】B 【试题分析】直观想象求解即可.空间中到A ,B 两点的距离相等的点构成的集合是线段AB 的中垂面. 故选：B本题主要考查了空间想象能力,属于基础题型.5.设长方体的对角线长是4,过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60︒,则此长方体的体积是( ) A.39B.82C.83D.163【参考答案】B 【试题分析】画图再设过某一顶点的两条棱与对角线的夹角都是60︒再求棱长即可.由题画出图像,可设1,AD DD 与对角线1DB 的夹角为60︒.因为14DB =,故11cos 602DD DB =︒=,同理1cos 602DA DB =︒=,又222211DB DD DA DC =++可得22DC =.故长方体的体积为222282V =⨯⨯=.故选：B本题主要考查了长方体中的线线夹角以及棱长与对角线的关系等.属于基础题型.6.已知点A 、B 、C 、D 为同一球面上的四点,且2,AB AC AD ===,AB AC ⊥,AC AD ⊥AD AB ⊥,则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.12π D.8π【参考答案】C【试题分析】易得三棱锥A BCD -为正方体的一角,再求正方体的体对角线与外接球表面积即可. 易得三棱锥A BCD -为正方体的一角,且体对角线为外接球的直径d , 故222222212d =++=.故外接球的表面积212S d ππ==.故选：C本题主要考查了正方体中的一角三棱锥与外接球的表面积,属于基础题型.7.已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行,则k 的值是( ). A.1或3 B.1或5C.3或5D.1或2【参考答案】C 【试题分析】当k －3＝0时,求出两直线的方程,检验是否平行；当k －3≠0时,由一次项系数之比相等且不等于常数项之比,求出k 的值.解：由两直线平行得,当k －3＝0时,两直线的方程分别为 y ＝－1 和 y ＝3/2,显然两直线平行.当k －3≠0时,由()k 34k1/32k 32--=≠--,可得 k ＝5.综上,k 的值是 3或5, 故选 C.【此处有视频,请去附件查看】8.设,αβ是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( )A.若,l ααβ⊥⊥,则l β⊂B.若//,//l ααβ,则l β⊂C.若,//l ααβ⊥,则l β⊥D.若//,l ααβ⊥,则l β⊥【参考答案】C 【试题分析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β,而对于C 是正确的.9.锐二面角l αβ--,直线AB⊂α,AB 与l 所成的角为45°,AB 与平面β成30°角,则二面角l αβ--的大小为( ) A.30° B.45°C.60°D.90°【参考答案】B 【试题分析】如图,作AO ⊥l 于O ,作AC ⊥β于C ,再求∠AOC 的大小即得解.如图,作AO ⊥l 于O ,作AC ⊥β于C ,连接BC ,OC.在Rt△AOB 中,∠ABO ＝45°,设AB ＝1,则AO ＝2. ∵在Rt△ACB 中,∠ABC ＝30°,∴AC ＝12AB ＝12, ∴在Rt△ACO 中,sin∠AOC ＝12222AC AO ==,∴∠AOC ＝45°. 所以二面角l αβ--的大小为45°.故答案为B】(1)本题主要考查线面角和二面角的计算,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二面角的求法方法一：(几何法)找→作(定义法、三垂线法、垂面法)→证(定义)→指→求(解三角形).方法二：(向量法)首先求出两个平面的法向量,m n u r r ；再代入公式•cos m nm nα=±v vv v (其中,m n u r r 分别是两个平面的法向量,α是二面角的平面角.)求解.(注意先通过观察二面角的大小选择“±”号) 10.函数23y x =-在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( ) A.1.55 B.1.65 C.1.75 D.1.85【参考答案】C【试题分析】易得函数23y x =-在区间(1,2)内的零点为3 1.732≈判断即可.由题函数23y x =-在区间(1,2)内的零点为3 1.732≈,四个选项中离1.75最近. 故选：C本题主要考查了函数的零点问题.属于基础题型.11.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A.83π B.32πC.8πD.82π【参考答案】C 【试题分析】试题分析：2的等腰直角三角形,一条长为2的侧棱与底面垂直的三棱锥,其外接球就是底边长为2,高为2的正四棱柱的外接球,设球半径为R ,则222242228,48R R ππ===,故选C.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的外接球体积.12.已知函数f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,＋∞),f(x)是奇函数,且当x ＞0时,f(x)＝x 2﹣x ＋a,若函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有两个,则实数a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a≤0 C.a≤1 D.a≤0或a ＝1【参考答案】D 【试题分析】试题分析：要使函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有两个,则根据函数是奇函数,则只需要当x ＞0时,函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有一个即可.解：因为f(x)是奇函数,所以g(x)＝f(x)﹣x 也是奇函数,所以要使函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有两个,则只需要当x ＞0时,函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有一个即可. 由g(x)＝f(x)﹣x ＝0得,g(x)＝x 2﹣x ＋a ﹣x ＝x 2﹣2x ＋a ＝0, 若△＝0,即4﹣4a ＝0,解得a ＝1.若△＞0,要使当x ＞0时,函数g(x)只有一个零点,则g(0)＝a≤0, 所以此时,解得a≤0.综上a≤0或a ＝1. 故选D.考点：函数的零点.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.求满足282144x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合是______________.【参考答案】(－2,4) 【试题分析】 因为2282822144482244x x xx x x x ---+-⎛⎫>⇔>⇔-+>-⇔-<<⎪⎝⎭14.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米,则此球的半径为_____厘米. 【参考答案】12 【试题分析】试题分析：2334,6427123V Sh r h R R ππ====⨯= 考点：球的体积和表面积15.已知正四棱锥P ABCD -(底面是正方形且侧棱都相等)中,2,2PA AB ==,M 是侧棱PC 的中点,则异面直线PA 与BM 所成角的大小为 .【参考答案】45o 【试题分析】设AC 与BD 相交于点O ,连接OM .因为ABCD 是正方形,所以O 是AC 中点.而M 是PC 中点,所以1//2OM AP ,则OMB ∠是异面直线AP 与MB 所成角.因为P ABCD -是正四棱锥,所以PO ⊥面ABCD ,从而可得面PAC ⊥面ABCD .因为BO AC ⊥,所以BO ⊥面PAC ,从而BO OM ⊥.因为2,2PA AB ==,所以11,12OM OB BD ===,所以BOM ∆是等腰直角三角形,从而可得45OMB ∠=o 16.已知直线20ax y a +++=恒经过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是_____________. 【参考答案】2y x = 【试题分析】由直线20ax y a +++=,可得()()120a x y +++=,从而可得定点坐标,进而可求直线方程. 由直线20ax y a +++=,可得()()120a x y +++=,令1020x y +=+=,可得1,2x y =-=-,∴直线20ax y a +++=恒经过一个定点()1,2--, ∴过这一定点和原点的直线方程是002010y x --=----,即2y x =. 故答案为2y x =.本题考查直线恒过定点,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数f (x )＝lg(3＋x )＋lg(3－x ). (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性,并说明理由.【参考答案】(1)()3,3-；(2)偶函数,理由详见解析 【试题分析】试题分析：(1)求定义域,通常就是求使函数式有意义的自变量取值集合,所以只要满足各项都有意义即可,对数型的函数求值域,关键求出真数部分的取值范围就可以了；(2)判断函数奇偶性,就是利用奇偶性定义判断即可.试题解析：(1)由函数式可得30{30x x +>->()33,3,3x x ∴-<<∴∈- 又333()log (3)log (3)log (3)(3)f x x x x x =++-=+-233log (9)log 92x =-≤=所以值域为(],2-∞(2)由(1)可知定义域关于原点对称()33()log (3)log (3)f x x x f x -=-++=所以原函数为偶函数考点：1.求复合函数的定义域、值域；2.用定义判断函数奇偶性.18.如图所示,在四边形ABCD 中,90DAB ︒∠=,135ADC ︒∠=,5AB =,22CD =,2AD =,求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所形成的几何体的表面积及体积.【参考答案】S =表面6042ππ+148,3V π=. 【试题分析】如图,过C 作CE 垂直于AD ,交AD 延长线于E ,则所求几何的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 旋转一周所得的圆台的体积,减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积.所以所求几何体的表面积＝S =表面6042ππ+,体积V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π×(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π.：本题考查了旋转体结构特征,以及旋转体的体积.解决本类问题时,首先要作出旋转体的直观图,仔细分析旋转体的结构特征,为顺利解题创造依据,这类问题对空间想象力,转化能力以及计算能力都有较高的要求,需要特别强化训练注意总结解题规律.19.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为菱形,F 为1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点,求证:(1)MF P 平面ABCD ; (2)MF ⊥平面11A ACC .【参考答案】(1) 证明见解析(2) 证明见解析 【试题分析】(1) 取AC 的中点O ,再证明MF BO ∥即可.(2)利用等腰三角形与菱形的性质证明1MF AC ⊥与MF AC ⊥即可. 证明:(1)取AC 的中点O ,连接MO , 因为M ,O 分别为1AC ,AC 的中点,所以112MO CC ∥ 又F 为1BB 的中点, 所以112BF CC ∥. 所以MO BF ∥.所以四边形MOBF 为平行四边形.所以MF BO ∥,又MF ⊄平面ABCD ,BO ⊂平面ABCD ,所以MF P 平面ABCD.(2)因为F 为1BB 的中点,易得1AF C F =,又M 为1AC 的中点,所以1.MF AC ⊥又四边形ABCD 为菱形,所以BO AC ⊥.又MF BO ∥所以MF AC ⊥.又1AC AC A =I ,所以MF ⊥平面11A ACC .本题主要考查了线面平行与线面垂直的判定与性质,属于中等题型.20.如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中,ABC V 与111A B C △都为正三角形,且1AA ⊥平面ABC ,1F F ，分别是11AC A C ，的中点.求证：(1)平面11AB F ∥平面1C BF ；(2)平面11AB F ⊥平面11ACC A .【参考答案】(1)见解析.(2)见解析.【试题分析】(1)由1,F F 分别是11,AC A C 的中点,证得1111,B F BF AF C F ∥∥,由线面平行的判定定理,可得11B F //平面1C BF ,1AF //平面1C BF ,再根据面面平行的判定定理,即可证得平面11AB F ∥平面1C BF .(2)利用线面垂直的判定定理,可得11B F ⊥平面11ACC A ,再利用面面垂直的判定定理,即可得到平面11AB F ⊥平面11ACC A .(1)在三棱柱111ABC A B C -中,因为1,F F 分别是11,AC A C 的中点,所以1111,B F BF AF C F ∥∥,根据线面平行的判定定理,可得11B F //平面1C BF ,1AF //平面1C BF又11111,B F AF F C F BF F ==I I ,∴平面11AB F ∥平面1C BF .(2)在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面111A B C ,所以111B F AA ⊥,又1111B F AC ⊥,1111A C AA A =I ,所以11B F ⊥平面11ACC A ,而11B F ⊂平面11AB F ,所以平面11AB F ⊥平面11ACC A .本题考查线面位置关系的判定与证明,熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.21.已知点(2,1)P -.(1)求过P 点与原点距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？(2)是否存在过P 点与原点距离为6的直线？若存在,求出方程；若不存在,请说明理由.【参考答案】(1) 250x y --=,最大距离是5 (2) 不存在,见解析【试题分析】(1)作图可得当l OP ⊥时直线l 与原点距离最大,再根据垂直求解即可.(2)根据(1)中的结论判断即可.(1)作图可证过P 点与原点O 距离最大的距离是过P 点且与PO 垂直的直线,由l OP ⊥,得11OP k k =-,所以112OPk k == 由直线方程的点斜式得12(2)y x +=-,即250x y --=.即直线250x y --=是过P 点且与原点O 距离最大的直线,=(2)由(1)可得过P 点且与原点O 6<,因此不存在过点P 点且到原点距离为6的直线. 本题主要考查了点与线的距离的最值问题,需要画图分析得l OP ⊥时距离最大.属于基础题型.22.过点()1,2P 的直线l 被两平行线1:4310l x y ++=与2:4360l x y ++=截得的线段长AB =求直线l 的方程.【参考答案】()()1271,217y x y x -=--=--. 【试题分析】当直线l 的方程为1x =时,可验证不符合题意,故设l 的方程为()21y k x -=-,由2{4310y kx k x y =+-++=解得3758,3434k k A k k --+⎛⎫ ⎪++⎝⎭； 由2{4360y kx k x y =+-++=解得312810,3434k k B k k --⎛⎫ ⎪++⎝⎭,因为AB ==整理得274870k k --=,解得17k =或217k =-. 直线方程为()()1271,217y x y x -=--=-- 考点：直线与直线的位置关系.。
甘肃省兰州市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷D卷
甘肃省兰州市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）函数的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-2=0上，其中mn>0，则的最小值为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）(2018·河北模拟) 集合，集合，则（）A .B .C .D .3. （2分）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是减函数,则（）A .B .C .D .4. （2分）设实数，则a,b,c的大小关系为（）A . a<c<bB . c<b<aC . b<a<cD . a<b<c5. （2分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（）A . （﹣1，5）B . （﹣∞，3）C . （3，+∞）D . （3，5）6. （2分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（sinA+sinB）（a﹣b）=（sinC﹣sinB）c，S△ABC= ，c=4b，则函数f（x）=bx2﹣ax+c的零点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 不确定7. （2分） (2018高二上·万州期中) 直线的倾斜角是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高一上·娄底期末) 过点（1，2），且倾斜角为60°的直线方程是（）A . y+2= （x+1）B . y﹣2=﹣（x﹣1）C . y﹣2= （x﹣1）D . y+2=﹣（x+1）9. （2分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·伊春期末) 经过点A（2，3）且与直线垂直的直线方程为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·台州期中) 圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0和圆x2+y2+6x﹣2y+6=0的公切线条数为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2016高二下·曲靖期末) 若点A，B在圆O：x2+y2=4上，弦AB的中点为D（1，1），则直线AB 的方程是（）A . x﹣y=0B . x+y=0C . x﹣y﹣2=0D . x+y﹣2=0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（﹣1）=0，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f（0）+f（）+f（1）+…+f（）的值是________．14. （1分）函数y=a1﹣x+1（a＞0，a≠1）的图象必经过的点是________．15. （1分）斜率为2，且与直线2x+y﹣4=0的交点恰好在x轴上的直线方程是________．16. （1分） (2018高一上·河北月考) 若函数满足对任意，都有成立，那么的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2019高二上·九台月考) 求满足下列条件的直线的一般式方程.（1）斜率为，在轴上的截距为 .（2）斜率是，且经过点 .18. （10分）已知函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1]，且f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=1，当a，b∈[﹣1，1]且a+b≠0，时＞0恒成立．（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性并证明结论；（2）解不等式f（x+ ）＜f（）19. （10分）(2018·衡水模拟) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角，且），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 .（1）若直线经过圆的圆心，求直线的倾斜角；（2）若直线与圆交于，两点，且，点，求的取值范围.20. （10分） (2019高二上·辽宁月考)（1）若直线经过两点，，且倾斜角为，求的值.（2）若，，三点共线，求实数的值.（3）若直线过点且倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求直线方程.21. （5分）一圆经过A（4，2），B（﹣1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆方程．22. （10分） (2018高二上·山西月考) 已知直线l：．（1）已知圆C的圆心为，且与直线l相切，求圆C的方程；（2）求与l垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线方程．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
甘肃省兰州市联片办学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题
甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(考试时间为120分钟，满分150分)一、 选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l 经过原点与点(－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．0°2．下列命题正确的是( )A ．若直线l 1∥平面α，直线l 2∥平面α，则l 1∥l 2B ．若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥αC ．直线l 与平面α所成角θ的取值范围是0°<θ<90°D ．若直线l 1⊥平面α，直线l 2⊥平面α，则l 1∥l 23．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A ．1B ．2C ．3D ．64．空间中到A ，B 两点的距离相等的点构成的集合是( )A ．线段AB 的中垂线B ．线段AB 的中垂面C ．过AB 中点的一条直线D ．一个圆5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是( ) A.39B ．8 2C ．8 3D ．16 36．已知点A 、B 、C 、D 为同一球面上的四点，且AB ＝AC ＝AD ＝2，AB ⊥AC ，AC ⊥AD ，AD ⊥AB ，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．12πD ．8π7．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或28．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β9．已知二面角αl β是锐二面角，直线AB ⊂α，AB 与l 所成的角为45°，AB 与平面β成30°角，则二面角αl β的大小为( )A．30° B．45° C．60° D．90°10．函数y＝x2－3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( ) A．1.55 B．1.65C．1.75 D．1.8511．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A.8π3B．32π C．8π D．82π12．已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x＋a，若函数g(x)＝f(x)－x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是( ) A．a<0 B．a≤0C．a≤1 D．a≤0或a＝1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.求满足8241－x⎪⎭⎫⎝⎛＞x－24的x的取值集合是．14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．15.已知正四棱锥P ABCD(底面是正方形且顶点P在底面的射影为底面中心)中,PA=2,AB=错误！未找到引用源。
甘肃省兰州市联片办学19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)
甘肃省兰州市联片办学19-20学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线经过原点和点(−2,−2)，则它的倾斜角是()A. 135°B. 45°C. 45°或135°D. 0°2.关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是()A. 若l//α，α∩β=m，则l//mB. 若l//α，m//α，则l//mC. 若l⊥α，m//α，则l⊥mD. 若l//α，m⊥l，则m⊥α3.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A. 43B. 83C. 4D. 6+2√34.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是线段DB1和A1C上不重合的两个动点，则下列结论正确的是()A. BC1⊥MNB. B1N//CMC. 平面ABN//平面C1MD1D. 平面CDM⊥平面A1B1C1D15.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1:2:3，对角线长为2√14，则这个长方体的体积是()A. 6B. 12C. 24D. 486.设A、B、C、D是球面上的四点，AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=5，AC=4，AD=√23，则球的表面积为()A. 36πB. 64πC. 100πD. 144π7.已知直线l1:(k−3)x+(4−k)y+1=0与直线l2:2(k−3)x−2y+3=0平行，则k的值是()A. 1或3B. 1或5C. 3或5D. 1或28.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A. 若β⊥α，l⊥α，则l//βB. 若l//β，l//α，则α//βC. 若l⊥α，α//β，则l⊥βD. 若l//α，α⊥β，则l⊥β9.在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90∘，P为△ABC所在平面α外一点，且PA=PB=PC=6，则二面角P—AB—C的余弦值为A. √77B. √144C. 12D. √2410.已知函数f(x)=x−e−x的部分函数值如下表所示：x10.50.750.6250.5625f(x)0.6321−0.10650.27760.0897−0.007那么函数f(x)的一个零点近似值(精确度为0.1)为()A. 0.45B. 0.57C. 0.78D. 0.8911.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为()A. 11πB. 14π3C. 28π3D. 16π12.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2−2x(x≥0)，则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.求满足(14)x−8>4−2x的x的取值集合是______ ．14.一个底面直径是32cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9cm，则这个球的表面积是________cm2．15.如图在直三棱柱ABC−A1B1C1中∠ACB=90∘，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是______．16.直线mx−y+1−2m=0过定点_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=lg(4−x2).(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性．18.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2√2，AD=2，求四边形ABCD绕AD选择一周所成几何体的表面积及体积．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，且AB=AC，D是BC的中点．(Ⅰ)求证：AD⊥平面BCC1B1；(Ⅱ)求证：A1C//平面AB1D.20.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，E，F分别为AB，A1B1的中点．(1)求证：AF//平面B1CE；(2)若A1B1⊥B1C，求证：平面B1CE⊥平面ABC．21.已知点P(2,−1)．(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？22.已知直线过点(1,0)．(Ⅰ)若直线与直线l1：y=3x+1平行，求直线的方程并求直线与l1间的距离；(Ⅱ)若直线被两平行线2x−y+1=0和2x−y−1=0所截得的线段长为2，求直线的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查根据两点坐标求出过两点直线方程的斜率，掌握直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．先由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率，然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值，再利用特殊角的三角函数值及倾斜角的范围即可得到倾斜角的度数．解：设过原点(0,0)和点(−2,−2)的直线方程的斜率为k，且该直线的倾斜角为α，由题意可知：tanα=k=0−(−2)0−(−2)=1，又α∈(0,180°)，则α=45°．故选B．2.答案：C解析：本题考查了空间中直线与平面的位置关系，是基础题．由空间中直线与平面的位置关系，可逐个判断各选项是否正确．解：若l//α，α∩β=m，因为直线l与平面β没有关系，直线l，m可以相交、平行或异面，A错误；若l//α，m//α，则直线l，m可以相交、平行或异面，B错误；若l⊥α，m//α，可得l⊥m，C正确；若l//α，m⊥l，则直线m及平面α可平行，相交，也可以在平面α内，D错误．故选C．3.答案：A解析：解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为直角三角形，高为2的直三棱锥，它的体积为V=13×12×2×2×2=43，故选：A．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形的直三棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．4.答案：A解析：本题考查线面垂直的判定及性质，属于中档题．先证明BC1⊥平面A1B1CD，可得A正确．解：点M，N分别是线段DB1和A1C上不重合的两个动点，因为A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C=B1，A1B1,B1C⊂平面A1B1CD．则BC1⊥平面A1B1CD，因为MN⊂平面A1B1CD，则BC1⊥MN，故A正确．故选A．5.答案：D解析：设长方体的棱长分别为x，2x，3x，则2√14=√x2+4x2+9x2，所以x=2，则长方体体积V=6x3= 48．6.答案：B解析：解：三棱锥A−BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d=√52+42+(√23)2=8它的外接球半径是4，外接球的表面积是4πR2=64π故选：B．三棱锥A−BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的内接长方体．是基础题．7.答案：C解析：本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想．当k−3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k−3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．解：当k=3时，两直线平行;=k−3，解得k=5．当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得3−k4−k故选C．8.答案：C解析：解：A：若β⊥α，l⊥α，则l//β或者l⊂β，所以A错误．B：若l//β，l//α，则α//β或者α与β相交，所以B错误．C：根据线面垂直的定义可得：若l⊥α，α//β，则l⊥β是正确的，所以C正确．D：若l//α，α⊥β，则l⊥β或者l//β或者l与β相交，所以D错误．故选C．A：由题意可得l//β或者l⊂β.B：由题意可得：α//β或者α与β相交．C：根据线面垂直的定义可得：若l⊥α，α//β，则l⊥β是正确的．D：若l//α，α⊥β，则l⊥β或者l//β或者l与β相交．解决此类问题的关键是熟练掌握空间中直线与平面的位置关系(平行关系与垂直关系)，即掌握判断其位置关系的判断定理与性质定理．9.答案：D解析：本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．取AC，AB的中点D，E，连结PD，PE，DE，则DE‖BC.推导出AB⊥BC，DE⊥AB，PE⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PD.再由PD⊥AC，得到∠PED是二面角P−AB−C的平面角，由此能求出二面角P−AB−C的余弦值．解：取AC，AB的中点D，E，连结PD，PE，DE，则DE为△ABC的中位线，∴DE‖BC．又AB⊥BC，∴DE⊥AB．∵PB=PA，E为AB中点，∴PE⊥AB，∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PD．又PA=PC，D为AC中点，∴PD⊥AC，∴∠PED是二面角P−AB−C的平面角，DE=12BC=2，PE=√62−22=4√2，PD=(√16+162)=2√7，∴cos∠PED=(4√2)2+22−(2√7)22×4√2×2=√24．∴二面角P−AB−C的余弦值为√24．故选D．10.答案：B解析：本题考查二分法求方程的近似解，属于基础题．结合函数零点存在性定理及二分法求解即可．解：易知f(x)在[0,1]上单调递增，由表格得f(0.5625)·f(0.625)<0，且|0.625−0.5625|<0.1，∴函数零点在(0.5625,0.625)，∴一个近似值为0.57．故选B．11.答案：C解析：解：由三视图可知该几何体为如图所示的三棱锥P−ABC，且PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，且PA=2，AB=BC=AC=2，O′是正三角形的中心，O为球心，OO′=1，AO′=23×√3，则PO=√12+(2√33)2=√73，所以几何体的外接球的表面积S =4πR 2=4π×(√7√3)2=28π3，故选：C ．由三视图可知该几何体为三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，确定外接球球心的位置，并求出球的半径，利用球的表面积公式求解．本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体以及正确确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力．12.答案：D解析：本题主要考查函数零点，函数的奇偶性，正确运用函数零点存在性定理是解题的关键． 解：由于函数f(x)是定义在R 上的奇函数，故f(0)=0． 当x <0时,−x >0,则f(−x)=(−x)2−2(−x)=x 2+2x 所以当x =−2时，函数f(x)有一个零点令f(x)=x 2−2x =0，可得当x =0与x =2时，函数f(x)有两个零点 综上，函数f(x)有三个零点，故选D13.答案：(−8,+∞)解析：解：由(14)x−8>4−2x ，可得48−x >4−2x ，∴8−x >−2x ，解得x >−8， 故答案为(−8,+∞)．由不等式可得48−x >4−2x ，故有8−x >−2x ，由此解得x 的范围．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数不等式的解法，属于中档题．14.答案：576π解析：本题考查圆柱与球的体积、表面积公式的应用，考查计算能力，是基础题． 求出增高水的体积，就是球的体积，求出球的半径，即可求出球的表面积． 解：在一个直径为32cm 的圆柱形水桶中将一个球全部放入水里，水面升高9cm ． ∴球的体积为：162π×9=2264π，设球的半径为r ，则4π3r 3=2264π，解得r =12，∴球的表面积为：4πr 2=576π (cm 2).故答案为：576π cm 2．15.答案：√66解析：本题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力，属于基础题．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A 1，得到的锐角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出此角的余弦值．解：∵A 1C 1//AC ，∴异面直线A 1B 与AC 所成角为∠BA 1C 1，易求A 1B =√6，∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，∴A 1C 1⊥CC 1，又∵∠ACB =90∘，∴AC ⊥BC ，即A 1C 1⊥B 1C 1，且CC 1∩B 1C 1=C 1；CC 1，B 1C 1⊂平面CC 1B 1B ，∴A 1C 1⊥平面CC 1B 1B ，又∵BC 1⊂平面CC 1B 1B ，∴A 1C 1⊥BC 1，即△BC 1A 1为直角三角形，∴cos∠BA 1C 1=A 1C 1A 1B =√6=√66． 故答案为√66． 16.答案：(2,1)解析：解：直线mx −y +1−2m =0可化为m(x −2)−y +1=0，令{x −2=0−y +1=0， 解得{x =2y =1， ∴该直线过定点(2,1)．故答案为：(2,1)．把直线方程化为m(x −2)−y +1=0，令{x −2=0−y +1=0求得直线所过定点坐标． 本题考查了直线方程恒过定点的应用问题，是基础题．17.答案：解：(1)要使函数f(x)=lg(4−x 2)有意义，需4−x 2>0，解得−2<x <2，故函数的定义域为(−2,2)；(2)因为x ∈(−2,2)，关于原点对称，又因为f(−x)=lg[4−(−x)2]=lg(4−x 2)=f(x)，所以函数f(x)=lg(4−x 2)为偶函数．解析：本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决函数奇偶性的基本方法．(1)欲使f(x)有意义，须有4−x 2>0，解出即可；(2)利用函数奇偶性的定义即可作出判断．18.答案：解：如图，∵∠ADC =135°，∴∠CDE =45°，又CD =2√2，∴DE =CE =2，又AB =5，AD =2，∴BC =5．则圆台上底面半径r 1=2，下底面半径r 2=5，高ℎ=4，母线长l =5，圆锥底面半径r1=2，高ℎ′=2，∴S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面,=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2√2，=(4√2+60)π；V=V圆台−V圆锥=13π(25+10+4)×4−13π×4×2=1483π．解析：本题考查了旋转体的结构特征，面积和体积计算，属于中档题．画出四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体，然后求出圆台的底面积、圆台的侧面积及圆锥的侧面积作和得答案；由圆台的体积减去圆锥的体积求得几何体的体积．19.答案：证明：(Ⅰ)∵在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，且AB=AC，∴AD⊥CC1，AD⊥BC，∵BC∩CC1=C，∴AD⊥平面BCC1B1．(Ⅱ)连结A1B，交AB1于O，连结OD，∵D是BC的中点，∴OD//A1C，∵OD⊂平面ADB1，A1C⊄平面ADB1，∴A1C//平面AB1D.解析：(Ⅰ)推导出AD⊥CC1，AD⊥BC，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．(Ⅱ)连结A1B，交AB1于O，连结OD，推导出OD//A1C，由此能证明A1C//平面AB1D.本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是中档题．20.答案：证明：(1)在三棱柱ABC−A 1B1C1中，AB//A1B1，AB=A1B1．因为E，F分别为AB和A1B1的中点，所以AE//FB1，AE=FB1，所以四边形AEB1F是平行四边形，所以AF//EB1．因为AF⊄平面B1CE，B1E⊂平面B1CE，所以AF//平面B1CE．(2)因为AB//A1B1，A1B1⊥B1C，所以AB⊥B1C.在△ABC中，因为AC=BC，E为AB的中点，所以AB⊥CE.因为AB⊥B1C，AB⊥CE，B1C∩CE=C，B1C⊂平面B1CE，CE⊂平面B1CE，所以AB⊥平面B1CE．因为AB⊂平面ABC，所以平面B1CE⊥平面ABC.解析：本题考查线面平行的判定定理及面面垂直的判定定理，属于基础题．(1)利用线面平行的判定定理证明即可，(2)利用面面垂直的判定定理证明即可．21.答案：解：(1)①当l的斜率k不存在时显然成立，此时l的方程为x=2．②当l的斜率k存在时，设l：y+1=k(x−2)，即kx−y−2k−1=0，由点到直线的距离公式得，√1+k2=2，解得k=34，∴l：3x−4y−10=0．故所求l的方程为x=2或3x−4y−10=0．(2)即与OP垂直的直线为距离最大的．∵k OP=−12，∴k l=2．∴直线为2x−y−5=0．最大距离d=√(−2)2+12=√5．解析：本题考查了点到直线的距离公式、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．(1)对直线l 的斜率k 不存在与存在时分类讨论，再利用点到直线的距离公式及其点斜式即可得出；(2)即与OP 垂直的直线为距离最大的．再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出． 22.答案：解：(Ⅰ)∵直线过点(1,0)，直线与直线l 1：y =3x +1平行，∴设直线方程为y =3x +c ，把(1,0)代入，得：0=3+c ，解得c =−3，∴直线方程为y =3x −3，直线与直线l 间的距离d =√32+1=2√105． (Ⅱ)①当直线l 的斜率不存在时，方程为x =1，此时满足题意．②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y =k(x −1)，由{y =k(x −1)2x −y +1=0，得交点A(k+1k−2,3k k−2)， 由{y =k(x −1)2x −y −1=0，得交点B(k−1k−2,k k−2)， |AB|=√(k+1k−2−k−1k−2)2+(3k k−2−kk−2)2=2， 解得k =34，∴直线方程为y =34(x −1)，即3x −4y −3=0．综上直线方程为x =1或3x −4y −3=0．解析：(Ⅰ)设直线方程为y =3x +c ，把(1,0)代入，能求出直线方程，从而能求出直线与直线l 间的距离．(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，方程为x =1；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y =k(x −1)，求出交点A(k+1k−2,3k k−2)，交点B(k−1k−2,k k−2)，由|AB|=√(k+1k−2−k−1k−2)2+(3k k−2−k k−2)2=2，解得k =34，由此能求出直线方程．本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、平行线间的距离、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。
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2019-2020学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）直线30x y a +-=的倾斜角为( )
A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
2．（5分）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样， 则在①、②、③处可依次写上( )
A ．乐、新、快
B ．快、新、乐
C ．新、乐、快
D ．乐、快、新
3．（5分）正方体ABCD A B C D -''''中，直线D A '与DB 所成的角为( )
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
4．（5分）正六棱锥底面边长为a 33，则侧棱与底面所成的角为( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒
5．（5分）已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题：
①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥．
②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ．
③如果m α⊂，n α⊂/，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．
④若m αβ=I ，//n m ，且n α⊂/，n β⊂
/，则//n α且//n β． 其中正确命题的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均
为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A ．122+
B ．21+
C ．12+
D ．22+
7．（5分）已知两定点(3,5)A -，(2,8)B ，动点P 在直线10x y -+=上，则||||PA PB +的最小值为( )
A ．513
B ．34
C ．55
D ．226
8．（5分）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为26，则该正四棱锥外接球的表面积为
( )
A ．16π
B ．24π
C ．36π
D ．64π
9．（5分）棱台上、下底面面积之比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )
A ．1:7
B ．2:7
C ．7:19
D ．5:16
10．（5分）若某多面体的三视图（单位：)cm 如图所示，则此多面体的体积是( )
A ．316cm
B ．312cm
C ．313cm
D ．323
cm 11．（5分）已知圆的方程2225x y +=，过(4,3)M -作直线MA ，MB 与圆交于点A ，B ，
且MA ，MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于( )
A ．43-
B ．34-
C ．54-
D ．45
- 12．（5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉
线．若ABC ∆的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，且ABC ∆的欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为( )
A ．(4,0)-
B ．(4,2)--
C ．(2,2)-
D ．(3,0)-
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）直线1:60l x ay ++=与2:(2)320l a x y a -++=平行，则a 的值为 ．
14．（5分）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积为 ．
15．（5分）已知关于x 的方程21x x k -=+有唯一实数解，则实数k 的取值范围是 ．
16．（5分）已知圆22:9O x y +=，点(5,0)A -，若在直线OA 上(O 为坐标原点），存在异于
A 的定点
B ，
使得对于圆O 上的任意一点P ，都有||||
PB PA 为同一常数．则点B 的坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ．
（1）求弦AB 的垂直平分线方程；
（2）求弦AB 的长．
18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等．D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11A C 的中点．
（1）证明//EF 平面1
ACD ； （2）证明平面1A CD ⊥平面11A ABB ．
19．（12分）如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，
F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．
（1）求证：AE ⊥平面BCE ；
（2）求三棱锥C BGF -的体积．。