2019-2020学年甘肃省兰州一中高一(上)期末数学试卷
甘肃省兰州一中高一上学期期末考试(数学).doc
甘肃省兰州一中高一上学期期末考试（数学）说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上) 1．右图是由哪个平面图形旋转得到的( )2. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有( )A ．4条B . 6条C . 8条D . 10条 3．直线10x +-=的倾斜角是( )A ．30ｏB ．1C ．135ｏD ．150ｏ4．直线3x +4y -13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（ ）A ． 相离B ． 相交C ． 相切D ． 无法判定 5. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( )A ①和②B ②和③C ③和④D ①和④6．直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则它们之间的距离为( )A ．4 BCD7．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A. 2BCD. 18．如下图，正方体ABCD -A 'B 'C 'D '中, 直线D 'A 与DB 所成的角为( )A ．30ｏB ．45ｏC ．60ｏD ．90ｏ9. 如上图，一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其侧面积是( )A ．12B . 8CD 10. 若直线l 与直线y =1和x -y -7=0分别交于A 、B 两点，且AB 的中点为P (，则直线l 的斜率等于( )A ．32B ．-32C ．23D ．-23第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共将答案写在答题卡上）11．过点（1，3）且与直线210x y +-=垂直的直线方程是 .12．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．13 在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为，其余各棱长都为2，则二面角A -BD -C 的大小为 .14．两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c =0上，则m +c = . 15．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④在一个平面内过该平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另 一个平面. 其中正确的说法的序号依次是 .三、解答题(共50分) 16.（本小题8分）如图，四棱锥ABCD 中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证： （1）PA ∥平面BDE ；（2）平面PAC 平面BDE.17.（本小题10分）已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且∣AB∣=2.（1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；（2）求过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程.18．（本小题10分）（1）求经过直线l1：x + y– 1 = 0与直线l2：2x– 3y + 8 = 0的交点M，且与直线2x + y + 5 = 0平行的直线l的方程;（2）已知点A(1，1)，B(2，2)，点P在直线l上，求∣PA∣2+∣PB∣2取得最小值时点P的坐标.19. （本小题12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=1，E是A1C1与B1D1的交点.（1）作出面A1BC1与面ABCD的交线l，并写出作法；（2）若以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B，E两点的坐标，并求BE的长；（3）求BC1与面BDD1B1所成角的正切值.（本小题10分）已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上.（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l 垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)11．2x-y+ 1=0 12． 3：1：2 13．60°14. 3 15．②④三、解答题(共50分)16.（本小题8分）证明：(1)连结OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．………………………4分(2) ∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC PO=O，∴BD⊥平面PAC．而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．……………8分17.（本小题10分）解: (1) 方法一：设P(x , y ),∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，∴∣OP∣=1 ……………………2分∴点P的轨迹方程为x2+y2=1. ……………………5分方法二：设P(x , y )，∵P为AB的中点，∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ), ………………………2分又∵∣AB∣=2∴(2x)2+(2y)2=2 ………………………4分化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=1. ……………5分(2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,由条件易得 x =1符合条件; ………………7分②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y -2=k (x -1) 即kx -y +2-k =01=得k =34,∴切线方程为y -2=34 (x -1)即 3x -4y +5=0综上，过点M (1，2)且和轨迹C 相切的直线方程为： x =1 或3x -4y +5=0 ……………………10分18.（本小题10分）解：(1) 102380x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得⎩⎨⎧=-=21y x所以交点为（－1，2）……………3分 ∵所求直线与直线2x + y + 5 = 0平行， ∴2-=k∴直线方程为02=+y x ……………………5分 (2) 设P (t ,-2t ) 则2222222(1)(21)(2)(22)10610PA PB t t t t t t +=-+--+-+--=++当310t =-时，22PB PA +取得最小值，∴33(,)105P -…………………………10分19.（本小题12分）解：(1)在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ， （或过点B 作A 1C 1的平行线）则此平行线即为所求作的交线l . …………4分(2) B ( 2 , 2 , 0 ) ， E ( 1 , 1 , 1 ) …………6分BE…………………………8分(3)连接BE ，∵C 1E ⊥B 1D 1, C 1E ⊥BB 1 ∴C 1E ⊥面BDD 1B 1 ，∴∠C 1BE 为BC 1与面BDD 1B 1所成的角, …………10分 又∵C 1E， BE∴ tan ∠C 1BE=1C E BE==…………………12分本小题10分）解：（1）设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0则有--1024-201030DE EF D E F ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎩ …………………2分解得644D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………4分 ∴圆C 的方程为：x 2+y 2-6x +4y +4=0 …………5分 （2）设符合条件的实数a 存在，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在l 上． 所以l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-， 所以12a =． …………7分把直线ax -y +1=0 即y =ax +1．代入圆C 的方程，消去y ，整理得22(1)6(1)90a x a x ++-+=． 由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点，故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>， 即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(,0)-∞．…………………9分由于1(, 0)2∉-∞，P的直线l垂直平分弦AB．………10分故不存在实数a，使得过点(2, 0)。
甘肃省兰州市联片办学2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题参考答案
2019--2020第一学期期末联片数学考试卷答案一、选择题1.A2.D3.A4.B5.B6.C7.C8.C9.B 10.C 11.C 12.D二、填空题13.-2<x<4 14.12 15.450 16.y＝2x三、解答题：17.（10分）(1)由,得－3＜x＜3,∴函数f(x)的定义域为(－3,3).(2)函数f(x)是偶函数,理由如下：由(1)知,函数f(x)的定义域关于原点对称,且f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x),∴函数f(x)为偶函数.18.（12分）S表面＝S下底面＋S台侧面＋S锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2＝(60＋4)π.V＝V台－V锥＝π(＋r1r2＋)h－πr2h1＝π.19.（12分）证明:(1)取AC的中点O,连接MO,因为M,O分别为AC1,AC的中点,所以MO CC1.又F为BB1的中点,所以BF CC1.所以MO BF.所以四边形MOBF为平行四边形.所以MF∥BO,又MF⊄平面ABCD,BO⊂平面ABCD,所以MF∥平面ABCD.(2)因为F为BB1的中点,易得AF=C1F,又M为AC1的中点,所以MF⊥AC1.又四边形ABCD为菱形,所以BO⊥AC.又MF∥BO,所以MF⊥AC.又AC1∩AC=A,所以MF⊥平面A1ACC1.20.（12分）(1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中,∵F、F1分别是AC、A1C1的中点,∴B1F1∥BF,AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1,C1F∩BF＝F,∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1＝A1,∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1,而B 1F 1⊂平面AB 1F 1,∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.21.（12分）（1）作图可证过P 点与原点O 距离最大的佳绩是过P 点且与PO 垂直的直线,由l ⊥OP ,得k 1k OP ＝－1,所以k 1＝ kOP 1＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2（x －2）,即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线,最大距离为5｜－5｜ ｜－5｜＝.（2）过P 点不存在到原点距离超达的直线,因此不存在过点P 点且到原点距离为6的直线.22.（12分）解：当直线l 的方程为x ＝1时,可验证不符合题意,故设l 的方程为y －2＝k (x －1), 由解得A ；由解得B .因为|AB |＝,所以＝.整理得7k 2－48k －7＝0.解得k 1＝7或k 2＝－.故所求的直线方程为x ＋7y －15＝0或7x ―y ―5＝0.。
2020年甘肃兰州城关区兰州一中高一上学期期末考试数学试卷(学生版)
2020年甘肃兰州城关区兰州一中高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分）1.直线30x y a +-=的倾斜角为（ ）A.o 30B. o 60C. o 120D. o 1502.某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写了个“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①，②，③处应依次写上（ ）A.快、新、乐B.乐、新、快C.新、乐、快D.乐、快、新3.正方体1111ABCD A B C D -中，直线1D A 与DB 所成的角为（ ）A.o 30B. o 45C. o 60D. o 904.正六棱锥底面边长为a ，体积为33a ，则侧棱与底面所成角为（ ） A.o 30 B. o 45 C. o 60 D. o 755.已知,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；②若,,,,m n m n ααββ⊂⊂则αβ；③如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，则n 与α相交；④若m αβ⋂=，n m ，且,n n αβ⊄⊄，则,n α且n β.其中正确命题的个数是（ ）A.1B. 2C. 3D. 46.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45o ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A.2B.C. D. 17.已知两定点()3,5A -,()2,8B ，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值为（ ） A. B. C. D.8.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为 ）A.16πB. 24πC. 36πD. 64π 9.棱台上下底面面积比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）A. 1:7B. 2:7C. 7:19D. 5:1610.若多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（ ） A.316cm B.312cmC.313cmD.323cm11.已知圆的方程2225x y +=，过()4,3M -作直线,MA MB 与圆交于点,A B ,且直线,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于（ ）A. 43- B. 34- C. 54- D. 45- 12.数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC △的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标是（ ）A.()4,0-B.()()4,0,2,0--C. ()()4,0,3,0--D.()4,2-二、填空题13.直线160l x ay ++=：与()2:2320l a x y a -++=平行，则a 的值为_______14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积是_______15.已知关于x 的方程21x x k -=+有唯一实数根，则实数k 的取值范围是_______16.已知圆22:9O x y +=，点()5,0A -,若在直线OA 上（O 为坐标原点），存在异于A 的定点B ,使得对于圆O 上的任意一点P ,都有PBPA 为同一常数，则点B 的坐标是_______三、解答题17.设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点,A B（1）求弦AB 的垂直平分线方程；（2）求弦AB 的长.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ABC ⊥底面,且各棱长均相等，,,D E F 分别为棱11,,AB BC AC 的中点.（1）证明1EF A CD 平面;（2）证明111A ABB ACD ⊥平面平面.19.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G ⋂=,AD ABE ⊥平面,2AE EB BC ===,F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面.（1）求证：AE BCE ⊥平面;（2）求三棱锥C BGF -的体积.20.ABC △中，()0,1A ,AB 边上的高CD 所在直线的方程为240x y +-=，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为230x y +-=.（1）求直线AB 的方程；（2）求直线BC 的方程;（3）求BDE △的面积.21.如图，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥侧面BCDE ,2BC =,2CD =,AB AC =,CE 与平面ABE 所成的角为45o .（1）证明：AD CE ⊥;（2）求二面角A CE B --的正切值.22.已知圆C 过点()0,2M -,()3,1N ，且圆心C 在直线210x y ++=上.（1）求圆C 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于,A B 两点，是否存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线l 垂直平分弦AB ?若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.。
兰州市高一上学期期末考试数学试题有答案【推荐】.doc
兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题高一数学说明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卡上.)1．过点)1,4(A 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．5=+y x B ．5=-y xC ．045=-=+y x y x 或D ．045=+=-y x y x 或2．已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若n m n m //,//,//则αα B ．若n m n m ⊥⊂⊥则,,αα C ．若αα//,,n n m m 则⊥⊥ D ．若αα⊥⊥n n m m 则,,//3．如图，矩形''''C B A O 是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图， 其中cm D C cm A O 2,6''''==，则原图形是( ) A ．正方形 B ．矩形C ．梯形D ．菱形4．如图，将正方形ABCD 沿对角线AC折成一个直二面角， 则异面直线CD AB 和所成的角是( ) A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 905．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积 与球表面积的比值为( ) A ．21 B ．23 C ．31 D ． 346．已知三棱锥ABC P -的四个顶点C B A P ,,,都在半径为R 的同一个球面上,BCDO若PC PB PA ,, 两两相互垂直,且3,2,1===PC PB PA ,则R 等于 ( ) A ．214 B ．14 C ．213D ．37．如图，已知两点)4,0(),0,4(B A ，从点)0,2(P 射出的光线 经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程NP MN PM ++等于( )A ．102B ．6C ．33D ．528．定义在R 上的奇函数)(x f 满足：当0>x 时，x x f x 2017log 2017)(+=，则在R 上， 函数)(x f 零点的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线 画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．25B ．24C ．4D ．610．已知点),1,0(),0,1(),0,1(C B A -直线)0(≥+=k b kx y 将ABC ∆分割为面积相等 的两部分,则b 的取值范围是( )A ．)1,0(B ．)21,31[ C ．]31,221[-D ．)21,221[-第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分,请将答案写MN在答题卡上.)11．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，4,3==BC AB ， 51=CC ,则沿着长方体表面从A 到1C 的最短路线 长为 ________．12．若幂函数)()(为常数ααx x f =的图象恒过定点A , 直线0312=+++-k y kx 恒过定点,B 则直线 AB 的倾斜角是________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为)(*∈N x x 件．当20≤x 时，年销售总收入为)33(2x x -万元； 当20>x 时，年销售总收入为260万元． 则该工厂的年产量为________件时，所得 年利润最大. (年利润=年销售总收入－年总投资)．14．已知函数⎩⎨⎧≥--<-=)1()2)((4)1( 2)(x a x a x x a x f x . 若0)(=x f 恰有2个实数根， 则实数a 的取值范围是_______________.三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =， H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点. (1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥16．(本小题8分)(1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l .ABC1A 1C 1B EFH当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离.17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中， 41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点． (1)求三棱锥ADE D -1的体积. (2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1？若存在，求出AM若不存在，请说明理由．18． (本小题10分) 如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCDPA 平面⊥,ADAB ⊥,CD AC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小. (2)求二面角C PD A --的正弦值．19. (本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．(1) 若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ． 求实数a 的取值范围.(2) 求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值．兰州一中2019-2020-1学期期末考试高一数学答题卡 第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.) 1C A第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.________________ 12.______________________13.________________ 14.______________________三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)16．(本小题8分)ABC 1A1C1BEFH17． (本小题8分)18．(本小题10分)1C A19. (本小题10分)兰州一中2019-2020-1学期期末考试高一数学答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.74 12. 150 13. 16 14.),2[)1,21[+∞⋃提示 8. 别漏了(0,0)9. 构造正方体模型(如左下图)10. 221, 0-==b k 时; , 0时>k 如右上图, (,0),1M b k b N y k k +-=+令11(1)212MNBb k b S k k ∆+=+⋅=+,得210212<∴>-=b b b k 14. 当0≤a 时,方程0)(=x f 无实根;当10<<a 时,要使0)(=x f 恰有2个实数根，须12≥a ,121<≤∴a当1≥a 时, 要使0)(=x f 恰有2个实数根，须021≤-a 2≥∴a综上,所求为),2[)1,21[+∞⋃三、解答题(本大题共5小题，共44分.)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =，H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点. (1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥ADCB1A 1C 1B EH证明 (1)H F , 分别是AC BC ,的中点，AB HF //∴. 又H E , 分别是AC C A ,11的中点， AH EC //1∴ 又AH EC =1 HA EC 1四边形∴为平行四边形.AE H C //1∴，又A AB AE H HF H C =⋂=⋂,1 ，所以平面ABE HF C 平面//1 .(2)AC AB = ,中点为BC F ,BC AF ⊥∴ABC B B 平面⊥1 ,ABC AF 平面⊂,AFB B ⊥∴1,1B BC B B =⋂ 11BCC B AF 平面⊥∴又AEF AF 平面⊂ ,11BCC B AEF 平面平面⊥∴16．(本小题8分) (1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l . 当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离． 解 (1)由01221=-B A B A ，得021)1(=⨯--a a ，由01221≠-C B C B ，得0)1(6)1(22≠---a a ，1-=∴a (2)过P 点且与原点距离最大的直线,是过P 点且与OP 垂直的直线， 由OP l ⊥ 得1-=OP l k k ．所以2=l k ．由直线方程的点斜式得)2(21-=+x y ，即052=--y x ，所以直线052=--y x 是过P 点且与原点距离最大的直线，最大距离为d == 17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点． (1)求三棱锥ADE D -1的体积．(2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1 若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解 (1)11DED A ADE D V V --= 长方体中, CD D AD 1平面⊥ ，AD ∴是三棱锥DE D A 1-的高． C D E 1为 的中点，且41==DC D D ，41=∴∆DE D S又2=AD ，所以3811==--DED A ADE D V V ．(2)取AC 中点M ，连接DM EM ,，因为C D E 1为的中点，M 是AC 的中点，1CA D EM 1//∴.又MDE EM 平面⊂ ，MDE A D 平面⊄1，MDE A D 平面//1∴． 5=∴AM ．即在AC 边上存在一点M ，使得MDE A D 平面//1，此时M 是AC 的中点 5=AM ．18． (本小题10分)如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥, AD AB ⊥,CD AC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小．(2) 求二面角C PD A --的正弦值．解 (1)在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD AB 平面⊂，AB PA ⊥∴．又AD AB ⊥，A AD PA =⋂，PAD AB 平面⊥∴. 故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角. 在PAB Rt ∆中，PA AB =，故 45=∠APB ．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为 45．(2) 在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD CD 平面⊂，CD PA ⊥∴． 由条件CD AC ⊥，A AC PA =⋂，PAC CD 平面⊥∴．又PAC AE 平面⊂ ，AE CD ⊥∴．由BC AB PA ==，60=∠ABC ，可得PA AC =．∵E 是PC 的中点，AE PC ⊥∴．又C PC CD =⊥ ，PCD AE 平面⊥∴． 过点E 作PD EM ⊥，垂足为M ，连接AM ，如图所示． PCD AE 平面⊥ ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， PD AM ⊥∴．AME ∠∴是二面角C PD A --的平面角． 由已知 30=∠CAD ,1=∴CD 设,3==AC PA 则, 7,6,2===PD PC AD . PAC Rt ∆中, 2621==PC AE . 在ADP Rt ∆中，PD AM ⊥ ,AD AP PD AM ⋅=⋅∴,得7212=AM . 在AEM Rt ∆中，414sin ==∠AM AE AME ．所以二面角C PD A --的正弦值为414． 19．(本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．(1)若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ．求实数a 的取值范围;(2)求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值． 解 (1)令a x a x x x f x m +-+=-=)1()()(2．依题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆0)0(0)1(12100m m a 得2230-<<a ,故实数a 的取值范围为 )223,0(- . (2) x ax x g 2)(2-=①当0=a 时，x x g 2)(-=在]1,0[上递减，2)1()(min -==∴g x g ．②当0>a 时，函数aa x a x g 1)1()(2--=图象的开口方向向上，且对称轴为10x a =>． 若111≥≤a a 即，函数)(x g 在]1,0[a 上递减，在]1,1[a 上递增．a a g x g 1)1()(min -==∴. 若1011<<>a a即，函数)(x g 在]1,0[上递减．2)1()(min -==∴a g x g ． ③当0<a 时，函数a a x a x g 1)1()(2--=的图象的开口方向向下，且对称轴01<=ax ， )(x g 在]1,0[上递减, 2)1()(min -==∴a g x g 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=)1( 1)1( 2)(mina a a a x g。
2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学高一上学期期末考试数学试题(考试时间为120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l经过原点与点(－1，－1)，则它的倾斜角是()A．45°B．135°C．45°或135°D．0°2．下列命题正确的是()A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角θ的取值范围是0°<θ<90°D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l23．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A．1 B．2 C．3 D．64．空间中到A，B两点的距离相等的点构成的集合是()A．线段AB的中垂线B．线段AB的中垂面C．过AB中点的一条直线D．一个圆5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A.39B．8 2 C．8 3 D．16 36．已知点A、B、C、D为同一球面上的四点，且AB＝AC＝AD＝2，AB⊥AC，AC ⊥AD，AD⊥AB，则这个球的表面积是()A．16π B．20π C．12π D．8π7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或28．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β9．已知二面角α-l-β是锐二面角，直线AB⊂α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α-l-β的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°10．函数y＝x2－3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是() A．1.55 B．1.65C．1.75 D．1.8511．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A.8π3B．32π C．8π D．82π12．已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x＋a，若函数g(x)＝f(x)－x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是() A．a<0 B．a≤0C．a≤1 D．a≤0或a＝1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.求满足8241－x⎪⎭⎫⎝⎛＞x－24的x的取值集合是．14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．15.已知正四棱锥P ABCD(底面是正方形且顶点P 在底面的射影为底面中心)中,PA=2,AB=错误！未找到引用源。
2020年甘肃兰州城关区兰州一中高一上学期期末考试数学试卷(教师版)
2020年甘肃兰州城关区兰州一中高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.直线30x y a +-=的倾斜角为（ ） A.o 30 B. o 60 C. o 120 D. o 150【答案】C2.某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写了个“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①，②，③处应依次写上（ ） A.快、新、乐 B.乐、新、快 C.新、乐、快 D.乐、快、新【答案】A【解析】根据四棱锥图形，正好看到新年快乐的字样 顺序应该为②①③3.正方体1111ABCD A B C D -中，直线1D A 与DB 所成的角为（ ） A.o 30 B. o 45 C. o 60 D. o 90【答案】C【解析】连接1BD ,则11BD AC1DBD ∴∠为两条异面直线所成的角，选C4.正六棱锥底面边长为a 3，则侧棱与底面所成角为（ ） A.o 30 B. o 45 C. o 60 D. o 75【答案】B 【解析】13V Sh =又26S = h a ∴=∴∴侧棱与底面所成角的大小为o 45，选B5.已知,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥； ②若,,,,m n m n ααββ⊂⊂则αβ；③如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，则n 与α相交； ④若m αβ⋂=，n m ，且,n n αβ⊄⊄，则,n α且n β. 其中正确命题的个数是（ ） A.1 B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】根据面面垂直的判定定理可得①正确； ②若,m n 为平行直线则结论不成立； ③n a 时也成立，错误； ④n α⊂时也成立，错误； 因而正确的个数只有一个，选A6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45o ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A.22+B.1+22C.222+ D. 12+【答案】A【解析】恢复后的原图形为一直角梯形，则面积为()11212222S =++⨯=+ 7.已知两定点()3,5A -,()2,8B ，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值为（ ） A.513 B. 34 C. 55 D. 226【答案】D【解析】设点A 关于直线10x y -+=的对称点为(),C a b则有5113351022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-++⎪-+=⎪⎩解得42a b =⎧⎨=-⎩由图可知226PC PB PA PB BC +=+≥=选D8.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为26，则该正四棱锥外接球的表面积为（ ） A.16π B. 24π C. 36π D. 64π【答案】C【解析】如图，设四棱锥底面的中心为1O ,42AC =,122AO = 在直角三角形1PO A 中，22114PO PA AO =-=设外接球半径为R ,则14OO R =- 在直角三角形1OO A 中, ()2248R R =-+,解得3R =外接球的表面积2436S R ππ==，选C9.棱台上下底面面积比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）A. 1:7B. 2:7C. 7:19D. 5:16【答案】C【解析】中截面的面积为四个单位，所以12124746919V V ++==++,选C 10.若多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（ ） A.316cm B.312cm C.313cm D.323cm 【答案】C【解析】三视图复原几何体如图： 3115111326V cm =-⨯⨯⨯=11.已知圆的方程2225x y +=，过()4,3M -作直线,MA MB 与圆交于点,A B ,且直线,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于（ ） A. 43- B. 34-C. 54-D. 45-【答案】A【解析】直线,MA MB 关于直线3y =对称，则直线,MA MB 的倾斜角互补，从而0MA MB k k +=不妨取点()5,0A ,则由0MA MB k k +=得13MBk =即11333B B y x =+,代入圆的方程，解得75245B B x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而24457355ABk ==-- 12.数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC △的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标是（ ） A.()4,0- B.()()4,0,2,0-- C. ()()4,0,3,0-- D.()4,2-【答案】A【解析】设(),C m n ，由重心坐标公式得三角形ABC 的重心坐标为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭ 代入欧拉线方程得：242033m n++-+= 整理得40m n -+=AB 的中点为()1,2，40202AB k -==-- 从而AB 的中垂线方程为230x y -+=，与20x y -+=联立求解得三角形ABC 的外心坐标为()1,1-，从而()()2222113110m n ++-=+=，联立解得40m n =-⎧⎨=⎩或04m n =⎧⎨=⎩（舍），从而选A二、填空题13.直线160l x ay ++=：与()2:2320l a x y a -++=平行，则a 的值为_______ 【答案】1- 【解析】由16232a a m=≠-，得1m =- 14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积是_______ 【答案】【解析】正四棱柱高为4,体积为16,底面积为4，正方形边长为2,正四棱柱的对角线长即球的直径为26，从而球的体积为34863r V ππ==15.已知关于x 的方程21x x k -=+有唯一实数根，则实数k 的取值范围是_______ 【答案】[){}1,12-⋃【解析】将方程21x x k -=+的根看作21y x =-与y x k =+的交点如图所示，当直线与半圆相切时或当[)1,1k ∈-时，直线与 半圆只有一个交点，由12k d ==，得2k =或2k =-（舍）16.已知圆22:9O x y +=，点()5,0A -,若在直线OA 上（O 为坐标原点），存在异于A 的定点B ,使得对于圆O 上的任意一点P ,都有PB PA为同一常数，则点B 的坐标是_______【答案】()1.8,0- 【解析】设PB t PA=，易知B 在x 轴上，则设(),0B m ，(),P x y则229x y += 由PBt PA=，得()()222225x m y t x y ⎡⎤-+=++⎣⎦ ，将229y x =-代入，得()222253490t m x t m ++--=对所有的[]3,3x ∈-恒成立，从而222503490t m t m ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，解得0.61.8t m =⎧⎨=-⎩或15t m =⎧⎨=-⎩（舍） 从而点B 的坐标是()1.8,0- 三、解答题17.设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点,A B （1）求弦AB 的垂直平分线方程；（2）求弦AB 的长.【答案】（1）3230x y --=；（2）255913【解析】（1）圆的方程化为标准方程为：()2214x y -+=，圆心坐标为()1,0，半径2r = 易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而23AB k =-,从而132k =所以直线方程为()312y x =- 整理得3230x y --=（2）圆心到直线AB 的距离为22131332d 2+==+2232559221313AB ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ABC ⊥底面,且各棱长均相等，,,D E F 分别为棱11,,AB BC AC 的中点.（1）证明1EF A CD 平面; （2）证明111A ABB ACD ⊥平面平面. 【答案】（1）略；（2）略 【解析】（1）连接DE,,D E F 分别是11,,AB BC AC 的中点，且三棱柱各棱长相等12DEAC ∴,112A F AC 1DE A F ∴1A DEF ∴四边形为平行四边形 1EF A D ∴又111,EF ACD A D ACD ⊄⊂平面平面∴1EF A CD 平面（2）D AB 是的中点，CD AB ∴⊥, 又1AA ABC ⊥平面，CD ABC ⊂平面1AA CD ∴⊥,又1AA AB A ⋂=11CD A ABB ∴⊥面,又1CD ACD ⊂面 111A ABB ACD ∴⊥平面平面 19.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G ⋂=,AD ABE ⊥平面,2AE EB BC ===,F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面. （1）求证：AE BCE ⊥平面; （2）求三棱锥C BGF -的体积. 【答案】（1）略；（2）略 【解析】（1）AD ABE ⊥平面，AD BCBC ABE ∴⊥平面又AE ABE ⊂平面 ，AE BC ∴⊥又BF ACE ⊥平面，AE ACE ⊂平面,AE BF ∴⊥,BC BF B ⋂=且,BC BF BCE ⊂平面 AE BCE ∴⊥平面（2）AE FG 且AE BCE ⊥平面FG BCE ∴⊥平面，即FG BCE ⊥平面 G 点是AC 中点，F 是CE 中点，112FG AE ∴== 又在Rt BCE △中，222CE BE ==122BF CF CE ===112BCF S ==△ 从而1133C BFG G BCF BCF V V S FG --===△20.ABC △中，()0,1A ,AB 边上的高CD 所在直线的方程为240x y +-=，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为230x y +-=. （1）求直线AB 的方程； （2）求直线BC 的方程; （3）求BDE △的面积.【答案】（1）210x y -+= ；（2）2370x y +-=；（3）110【解析】（1）CD 所在直线的方程为240x y +-= 2AB k ∴=从而直线AB 的方程为()120y x -=- 即210x y -+=（2）由210230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即直线AB 与AC 边中线BE 的交点为1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭ 设(),c m n则由已知可得240123022m n m n +-=⎧⎪⎨+⨯+-=⎪⎩解得21m n =⎧⎨=⎩从而直线BC 所在直线方程为12211222x y --=-- 即2370x y +-=（3）E 是AC 的中点，()1,1E ∴E ∴到AB 的距离为：25d =又点B 到CD 的距离为：125BD =11210BDE S d BD ∴=⋅⋅=△又E 是AC 中点，()1,1E ∴52BE ∴=由210240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得2595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，29,55D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ D ∴到BE 的距离为：255d =11210BDE S d BE ∴=⋅⋅=△21.如图，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥侧面BCDE ,2BC =,2CD =,AB AC =,CE 与平面ABE 所成的角为45o .（1）证明：AD CE ⊥;（2）求二面角A CE B --的正切值.【答案】（1）略；（2）3【解析】（1）取BC 的中点H ,连接HD 交CE 于点P 连接AH 、AP AB AC =AH BC ∴⊥又ABC BCDE ⊥平面平面AH BCDE ∴⊥平面又12HC CE CD DE ==Rt HCD Rt HCD ∴△△ CDH CED ∴∠=∠HD CE ∴⊥CE AHD ∴⊥平面AD CE ∴⊥（2）由（1）知CE AHD ⊥平面，AP CE ∴⊥ 又HD CE ⊥APH ∴∠就是二面角A CE B --的平面角 过点C 作CG AB ⊥,垂足为G ,连接,CG EG BE BC ⊥,且BE AH ⊥BE ABC ∴⊥平面BE CG ∴⊥CG ABE ∴⊥平面CEG ∴∠就是CE 与平面ABE 所成的角，即o 45CEG ∠= 又CE =CG EG ∴==又2BC =,o 60ABC ∴∠= 2AB BC AC ∴===AH ∴=又2CH HD HP HD === tan 3AH APH HP∴∠== 22.已知圆C 过点()0,2M -,()3,1N ，且圆心C 在直线210x y ++=上.（1）求圆C 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于,A B 两点，是否存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线l 垂直平分弦AB ?若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）226440x y x y +-++=；（2）不存在【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=则有1024201030D E E F D E F ⎧--+=⎪⎪-+=⎨⎪+++=⎪⎩解得644D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩从而圆的方程为226440x y x y +-++=（2）设符合条件的实数a 存在 由于直线l 垂直平分弦AB ，故直线l 过圆心()3,2- 因而2l k =- 而1AB PCk a k ==-,所以12a = 把直线10ax y -+=代入圆的方程，消去y ，整理得 ()()2216190a x a x ++-+= 由于直线10ax y -+=交圆C 于,A B 两点 故()()22=3613610a a --+>△ 即20a ->，解得0a < 则实数a 的取值范围是(),0-∞ 由于()1,02∉-∞，假设错误 从而不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线l 垂直平分弦AB。
2019-2020学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期末考试数学试题
E D
∴ HD CE.
又∵ AH HD=H，AH 平面 AHD， HD 平面 AHD.
∴ CE⊥平面 AHD，又∵ AD 平面 AHD.
∴ CE⊥ AD ，即 AD⊥CE.
……………………分６
(2)由 (1) CE⊥平面 AHD, ∴AP⊥CE, 又∵ HD CE.
∴∠ APH 就是二面角 A-CE-B 的平面角 ,
解： (1)直线 AB 的斜率为 2，∴ AB 边所在的直线方程为 2 x y 1 0 ， …………４分
2x
(2) 由
2x
y1 0 x
得
y30
y
1
2 , 即直线 AB 与 AC 边中线 BE的交点为 B( 1 ， 2).
2
2
设点 C 的坐标为 (m， n)，
则由已知条件得
m 2n 4 0,
m n1
2
3
3
第Ⅱ卷 (非选择题 )
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. 直线 l1: x+ay+6=0 与 l2: (a-2) x+3y+2a=0 平行，则 a 的值为
.
14. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为
4，体积为 16，则这个球的体积是
.
15. 已知关于 x 的方程 1 x2 x k 有唯一实数解，则实数 k 的取值范围是
A． 5 13
B． 34
C．5 5
D． 2 26
8．已知正四棱锥的底面边长为 4 ，侧棱长为 2 6 ，则该正四棱锥外接球的表面积为 ( )
A． 16
B． 24
C． 36
D． 64
9. 棱台上、下底面面积比为 1∶9, 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 ( )
甘肃省兰州市联片办学2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度度第一学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是( ) A.45° B.135° C.45°或135° D.0°【参考答案】A 【试题分析】先由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率,然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值,再利用特殊角的三角函数值及倾斜角的范围即可得到倾斜角的度数.解：设过原点(0,0)和点(－1,－1)的直线方程的斜率为k,且该直线的倾斜角为α, 由题意可知：tanα＝k ＝()()0101----＝1,又α∈(0,180°),则α＝45°. 故选A2.下列命题正确的是( )A.若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α,则12l l PB.若直线l 上有两个点到平面α的距离相等,则l αPC.直线l 与平面α所成角θ取值范围是090θ︒︒<<D.若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则12l l P 【参考答案】D 【试题分析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可.对A, 若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α,不一定有12l l P ,故A 错误.对B,当l ⊥平面α时也满足直线l 上有两个点到平面α的距离相等.故B 错误. 对C, 直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒≤≤,故C 错误.对D, 若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则12l l P 成立.故D 正确. 故选：D本题主要考查了线面平行垂直关系的判定,属于基础题型. 3.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A.1B.2C.3D.6【参考答案】A 【试题分析】易得该三棱锥为长方体的一角,根据体积公式求解即可. 画出三棱锥易得体积11123132V =⨯⨯⨯⨯=.故选：A本题主要考查了根据三视图求解三棱锥的体积问题,属于基础题型. 4.空间中到A ,B 两点的距离相等的点构成的集合是( ) A.线段AB 的中垂线 B.线段AB 的中垂面 C.过AB 中点的一条直线 D.一个圆【参考答案】B 【试题分析】直观想象求解即可.空间中到A ,B 两点的距离相等的点构成的集合是线段AB 的中垂面. 故选：B本题主要考查了空间想象能力,属于基础题型.5.设长方体的对角线长是4,过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60︒,则此长方体的体积是( ) A.39B.82C.83D.163【参考答案】B 【试题分析】画图再设过某一顶点的两条棱与对角线的夹角都是60︒再求棱长即可.由题画出图像,可设1,AD DD 与对角线1DB 的夹角为60︒.因为14DB =,故11cos 602DD DB =︒=,同理1cos 602DA DB =︒=,又222211DB DD DA DC =++可得22DC =.故长方体的体积为222282V =⨯⨯=.故选：B本题主要考查了长方体中的线线夹角以及棱长与对角线的关系等.属于基础题型.6.已知点A 、B 、C 、D 为同一球面上的四点,且2,AB AC AD ===,AB AC ⊥,AC AD ⊥AD AB ⊥,则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.12π D.8π【参考答案】C【试题分析】易得三棱锥A BCD -为正方体的一角,再求正方体的体对角线与外接球表面积即可. 易得三棱锥A BCD -为正方体的一角,且体对角线为外接球的直径d , 故222222212d =++=.故外接球的表面积212S d ππ==.故选：C本题主要考查了正方体中的一角三棱锥与外接球的表面积,属于基础题型.7.已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行,则k 的值是( ). A.1或3 B.1或5C.3或5D.1或2【参考答案】C 【试题分析】当k －3＝0时,求出两直线的方程,检验是否平行；当k －3≠0时,由一次项系数之比相等且不等于常数项之比,求出k 的值.解：由两直线平行得,当k －3＝0时,两直线的方程分别为 y ＝－1 和 y ＝3/2,显然两直线平行.当k －3≠0时,由()k 34k1/32k 32--=≠--,可得 k ＝5.综上,k 的值是 3或5, 故选 C.【此处有视频,请去附件查看】8.设,αβ是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( )A.若,l ααβ⊥⊥,则l β⊂B.若//,//l ααβ,则l β⊂C.若,//l ααβ⊥,则l β⊥D.若//,l ααβ⊥,则l β⊥【参考答案】C 【试题分析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β,而对于C 是正确的.9.锐二面角l αβ--,直线AB⊂α,AB 与l 所成的角为45°,AB 与平面β成30°角,则二面角l αβ--的大小为( ) A.30° B.45°C.60°D.90°【参考答案】B 【试题分析】如图,作AO ⊥l 于O ,作AC ⊥β于C ,再求∠AOC 的大小即得解.如图,作AO ⊥l 于O ,作AC ⊥β于C ,连接BC ,OC.在Rt△AOB 中,∠ABO ＝45°,设AB ＝1,则AO ＝2. ∵在Rt△ACB 中,∠ABC ＝30°,∴AC ＝12AB ＝12, ∴在Rt△ACO 中,sin∠AOC ＝12222AC AO ==,∴∠AOC ＝45°. 所以二面角l αβ--的大小为45°.故答案为B】(1)本题主要考查线面角和二面角的计算,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二面角的求法方法一：(几何法)找→作(定义法、三垂线法、垂面法)→证(定义)→指→求(解三角形).方法二：(向量法)首先求出两个平面的法向量,m n u r r ；再代入公式•cos m nm nα=±v vv v (其中,m n u r r 分别是两个平面的法向量,α是二面角的平面角.)求解.(注意先通过观察二面角的大小选择“±”号) 10.函数23y x =-在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( ) A.1.55 B.1.65 C.1.75 D.1.85【参考答案】C【试题分析】易得函数23y x =-在区间(1,2)内的零点为3 1.732≈判断即可.由题函数23y x =-在区间(1,2)内的零点为3 1.732≈,四个选项中离1.75最近. 故选：C本题主要考查了函数的零点问题.属于基础题型.11.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A.83π B.32πC.8πD.82π【参考答案】C 【试题分析】试题分析：2的等腰直角三角形,一条长为2的侧棱与底面垂直的三棱锥,其外接球就是底边长为2,高为2的正四棱柱的外接球,设球半径为R ,则222242228,48R R ππ===,故选C.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的外接球体积.12.已知函数f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,＋∞),f(x)是奇函数,且当x ＞0时,f(x)＝x 2﹣x ＋a,若函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有两个,则实数a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a≤0 C.a≤1 D.a≤0或a ＝1【参考答案】D 【试题分析】试题分析：要使函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有两个,则根据函数是奇函数,则只需要当x ＞0时,函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有一个即可.解：因为f(x)是奇函数,所以g(x)＝f(x)﹣x 也是奇函数,所以要使函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有两个,则只需要当x ＞0时,函数g(x)＝f(x)﹣x 的零点恰有一个即可. 由g(x)＝f(x)﹣x ＝0得,g(x)＝x 2﹣x ＋a ﹣x ＝x 2﹣2x ＋a ＝0, 若△＝0,即4﹣4a ＝0,解得a ＝1.若△＞0,要使当x ＞0时,函数g(x)只有一个零点,则g(0)＝a≤0, 所以此时,解得a≤0.综上a≤0或a ＝1. 故选D.考点：函数的零点.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.求满足282144x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合是______________.【参考答案】(－2,4) 【试题分析】 因为2282822144482244x x xx x x x ---+-⎛⎫>⇔>⇔-+>-⇔-<<⎪⎝⎭14.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米,则此球的半径为_____厘米. 【参考答案】12 【试题分析】试题分析：2334,6427123V Sh r h R R ππ====⨯= 考点：球的体积和表面积15.已知正四棱锥P ABCD -(底面是正方形且侧棱都相等)中,2,2PA AB ==,M 是侧棱PC 的中点,则异面直线PA 与BM 所成角的大小为 .【参考答案】45o 【试题分析】设AC 与BD 相交于点O ,连接OM .因为ABCD 是正方形,所以O 是AC 中点.而M 是PC 中点,所以1//2OM AP ,则OMB ∠是异面直线AP 与MB 所成角.因为P ABCD -是正四棱锥,所以PO ⊥面ABCD ,从而可得面PAC ⊥面ABCD .因为BO AC ⊥,所以BO ⊥面PAC ,从而BO OM ⊥.因为2,2PA AB ==,所以11,12OM OB BD ===,所以BOM ∆是等腰直角三角形,从而可得45OMB ∠=o 16.已知直线20ax y a +++=恒经过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是_____________. 【参考答案】2y x = 【试题分析】由直线20ax y a +++=,可得()()120a x y +++=,从而可得定点坐标,进而可求直线方程. 由直线20ax y a +++=,可得()()120a x y +++=,令1020x y +=+=,可得1,2x y =-=-,∴直线20ax y a +++=恒经过一个定点()1,2--, ∴过这一定点和原点的直线方程是002010y x --=----,即2y x =. 故答案为2y x =.本题考查直线恒过定点,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数f (x )＝lg(3＋x )＋lg(3－x ). (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性,并说明理由.【参考答案】(1)()3,3-；(2)偶函数,理由详见解析 【试题分析】试题分析：(1)求定义域,通常就是求使函数式有意义的自变量取值集合,所以只要满足各项都有意义即可,对数型的函数求值域,关键求出真数部分的取值范围就可以了；(2)判断函数奇偶性,就是利用奇偶性定义判断即可.试题解析：(1)由函数式可得30{30x x +>->()33,3,3x x ∴-<<∴∈- 又333()log (3)log (3)log (3)(3)f x x x x x =++-=+-233log (9)log 92x =-≤=所以值域为(],2-∞(2)由(1)可知定义域关于原点对称()33()log (3)log (3)f x x x f x -=-++=所以原函数为偶函数考点：1.求复合函数的定义域、值域；2.用定义判断函数奇偶性.18.如图所示,在四边形ABCD 中,90DAB ︒∠=,135ADC ︒∠=,5AB =,22CD =,2AD =,求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所形成的几何体的表面积及体积.【参考答案】S =表面6042ππ+148,3V π=. 【试题分析】如图,过C 作CE 垂直于AD ,交AD 延长线于E ,则所求几何的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 旋转一周所得的圆台的体积,减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积.所以所求几何体的表面积＝S =表面6042ππ+,体积V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π×(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π.：本题考查了旋转体结构特征,以及旋转体的体积.解决本类问题时,首先要作出旋转体的直观图,仔细分析旋转体的结构特征,为顺利解题创造依据,这类问题对空间想象力,转化能力以及计算能力都有较高的要求,需要特别强化训练注意总结解题规律.19.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为菱形,F 为1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点,求证:(1)MF P 平面ABCD ; (2)MF ⊥平面11A ACC .【参考答案】(1) 证明见解析(2) 证明见解析 【试题分析】(1) 取AC 的中点O ,再证明MF BO ∥即可.(2)利用等腰三角形与菱形的性质证明1MF AC ⊥与MF AC ⊥即可. 证明:(1)取AC 的中点O ,连接MO , 因为M ,O 分别为1AC ,AC 的中点,所以112MO CC ∥ 又F 为1BB 的中点, 所以112BF CC ∥. 所以MO BF ∥.所以四边形MOBF 为平行四边形.所以MF BO ∥,又MF ⊄平面ABCD ,BO ⊂平面ABCD ,所以MF P 平面ABCD.(2)因为F 为1BB 的中点,易得1AF C F =,又M 为1AC 的中点,所以1.MF AC ⊥又四边形ABCD 为菱形,所以BO AC ⊥.又MF BO ∥所以MF AC ⊥.又1AC AC A =I ,所以MF ⊥平面11A ACC .本题主要考查了线面平行与线面垂直的判定与性质,属于中等题型.20.如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中,ABC V 与111A B C △都为正三角形,且1AA ⊥平面ABC ,1F F ，分别是11AC A C ，的中点.求证：(1)平面11AB F ∥平面1C BF ；(2)平面11AB F ⊥平面11ACC A .【参考答案】(1)见解析.(2)见解析.【试题分析】(1)由1,F F 分别是11,AC A C 的中点,证得1111,B F BF AF C F ∥∥,由线面平行的判定定理,可得11B F //平面1C BF ,1AF //平面1C BF ,再根据面面平行的判定定理,即可证得平面11AB F ∥平面1C BF .(2)利用线面垂直的判定定理,可得11B F ⊥平面11ACC A ,再利用面面垂直的判定定理,即可得到平面11AB F ⊥平面11ACC A .(1)在三棱柱111ABC A B C -中,因为1,F F 分别是11,AC A C 的中点,所以1111,B F BF AF C F ∥∥,根据线面平行的判定定理,可得11B F //平面1C BF ,1AF //平面1C BF又11111,B F AF F C F BF F ==I I ,∴平面11AB F ∥平面1C BF .(2)在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面111A B C ,所以111B F AA ⊥,又1111B F AC ⊥,1111A C AA A =I ,所以11B F ⊥平面11ACC A ,而11B F ⊂平面11AB F ,所以平面11AB F ⊥平面11ACC A .本题考查线面位置关系的判定与证明,熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.21.已知点(2,1)P -.(1)求过P 点与原点距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？(2)是否存在过P 点与原点距离为6的直线？若存在,求出方程；若不存在,请说明理由.【参考答案】(1) 250x y --=,最大距离是5 (2) 不存在,见解析【试题分析】(1)作图可得当l OP ⊥时直线l 与原点距离最大,再根据垂直求解即可.(2)根据(1)中的结论判断即可.(1)作图可证过P 点与原点O 距离最大的距离是过P 点且与PO 垂直的直线,由l OP ⊥,得11OP k k =-,所以112OPk k == 由直线方程的点斜式得12(2)y x +=-,即250x y --=.即直线250x y --=是过P 点且与原点O 距离最大的直线,=(2)由(1)可得过P 点且与原点O 6<,因此不存在过点P 点且到原点距离为6的直线. 本题主要考查了点与线的距离的最值问题,需要画图分析得l OP ⊥时距离最大.属于基础题型.22.过点()1,2P 的直线l 被两平行线1:4310l x y ++=与2:4360l x y ++=截得的线段长AB =求直线l 的方程.【参考答案】()()1271,217y x y x -=--=--. 【试题分析】当直线l 的方程为1x =时,可验证不符合题意,故设l 的方程为()21y k x -=-,由2{4310y kx k x y =+-++=解得3758,3434k k A k k --+⎛⎫ ⎪++⎝⎭； 由2{4360y kx k x y =+-++=解得312810,3434k k B k k --⎛⎫ ⎪++⎝⎭,因为AB ==整理得274870k k --=,解得17k =或217k =-. 直线方程为()()1271,217y x y x -=--=-- 考点：直线与直线的位置关系.。
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2019-2020学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）直线30x y a +-=的倾斜角为( )
A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
2．（5分）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样， 则在①、②、③处可依次写上( )
A ．乐、新、快
B ．快、新、乐
C ．新、乐、快
D ．乐、快、新
3．（5分）正方体ABCD A B C D -''''中，直线D A '与DB 所成的角为( )
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
4．（5分）正六棱锥底面边长为a 33，则侧棱与底面所成的角为( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒
5．（5分）已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题：
①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥．
②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ．
③如果m α⊂，n α⊂/，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．
④若m αβ=I ，//n m ，且n α⊂/，n β⊂
/，则//n α且//n β． 其中正确命题的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均
为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A ．122+
B ．21+
C ．12+
D ．22+
7．（5分）已知两定点(3,5)A -，(2,8)B ，动点P 在直线10x y -+=上，则||||PA PB +的最小值为( )
A ．513
B ．34
C ．55
D ．226
8．（5分）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为26，则该正四棱锥外接球的表面积为
( )
A ．16π
B ．24π
C ．36π
D ．64π
9．（5分）棱台上、下底面面积之比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )
A ．1:7
B ．2:7
C ．7:19
D ．5:16
10．（5分）若某多面体的三视图（单位：)cm 如图所示，则此多面体的体积是( )
A ．316cm
B ．312cm
C ．313cm
D ．323
cm 11．（5分）已知圆的方程2225x y +=，过(4,3)M -作直线MA ，MB 与圆交于点A ，B ，
且MA ，MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于( )
A ．43-
B ．34-
C ．54-
D ．45
- 12．（5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉
线．若ABC ∆的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，且ABC ∆的欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为( )
A ．(4,0)-
B ．(4,2)--
C ．(2,2)-
D ．(3,0)-
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）直线1:60l x ay ++=与2:(2)320l a x y a -++=平行，则a 的值为 ．
14．（5分）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积为 ．
15．（5分）已知关于x 的方程21x x k -=+有唯一实数解，则实数k 的取值范围是 ．
16．（5分）已知圆22:9O x y +=，点(5,0)A -，若在直线OA 上(O 为坐标原点），存在异于
A 的定点
B ，
使得对于圆O 上的任意一点P ，都有||||
PB PA 为同一常数．则点B 的坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ．
（1）求弦AB 的垂直平分线方程；
（2）求弦AB 的长．
18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等．D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11A C 的中点．
（1）证明//EF 平面1
ACD ； （2）证明平面1A CD ⊥平面11A ABB ．
19．（12分）如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，
F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．
（1）求证：AE ⊥平面BCE ；
（2）求三棱锥C BGF -的体积．。