第14讲简支梁受均布载荷作用

§6.8 简支梁受均布载荷作用

学习思路:

简支梁作用均匀分布力问题是又一个经典弹性力学平面问题解。

采用应力解法的关键是确定应力函数，首先根据边界条件，确定应力函数的基本形式。将待定的应力函数代入双调和方程得到多项式表达的函数形式。

对于待定系数的确定，需要再次应用面力边界条件。

应该注意的是简支梁是几何对称结构，对称载荷作用时应力分量也是对称的。对称条件的应用将简化问题的求解难度。

学习要点：

1. 简支梁及其边界条件；

2. 应力函数分析；

3. 应力函数；

4. 待定系数确定；

5. 端面边界条件简化；

6. 简支梁应力分析。

试考察一个承受均匀分布载荷的简支梁q，其跨度为l，横截面高度为h（h ＜＜l＝，单位厚度。并且设其自重可以忽略不计。

由于简支梁是外力静定的，两端的支座反力是已知的。因此在求解时，不妨将支座看作外力已知的边界，于是可写出下列边界条件:

上述条件中，上下表面的边界条件是主要的，必须精确满足。至于两端的边界条件可以根据圣维南原理放松为合力满足。

采用半逆解法求解。首先对应力状态做一个基本分析，由材料力学分析可知：弯曲正应力主要是由弯矩引起的；弯曲切应力主要由剪力引起的；而挤压应力应由分布载荷引起的。

根据上述分析，因此假设挤压应力不随坐标x而改变，即 y为坐标y的函数，

因此根据应力函数与应力分量的关系式，可得

将上式对x积分，可得

其中f (y)，g(y)，h(y)均为任意待定函数。

对于上述应力函数还需要考察其是否满足变形协调方程，代入变形协调方程，则

上式为关于x的二次方程。对于变形协调方程，要求在弹性体的任意点满足。因此要求所有的x均满足，所以这个二次方程的系数和自由项都必须为零。即

上述公式的前两式要求

这里应力函数的线性项已经略去。而第三式则要求

即

其中线性项已被忽略不计。将上述各式代入应力函数公式，则

将上述应力函数代入应力分量表达式

，可得

上述应力分量已经满足平衡微分方程和变形协调方程，现在的问题是根据面力边界条件确定待定系数。

在考虑边界条件之前，首先讨论一下问题的对称性，这样往往可以减少计算工作。由于y轴是结构和载荷的对称轴，所以应力分量也应该对称于y轴，因此σx和σy应该是x的偶函数，而τxy应为x的奇函数。因此

E =

F =

G = 0

对于细长梁，由于梁的高度远小于跨度，所以上下边界为主要边界，其边界条件必须精确满足，我们首先考虑上下两边的边界条件。

根据上述主要边界的面力边界条件，可得

将上述七个待定系数分别代入应力分量表达式

，可得

以下考虑简支梁左右两端面的面力边界条件，确定剩余的两个待定系数。由于对称性已经讨论，所以只需要考虑其中的一个端面，比如右端面。如果右端面的边界条件能满足，左端面的边界条件由对称性自然满足。

首先，在梁的右端面没有水平面力，这要求根据应力

分量计算公式，如果该条件满足，只有q=0。但是这与问题是矛盾的，因此这个边界条件只能利用圣维南原理，放松为合力边界条件，

将应力分量分别代入上述两式，则

另外在梁的右边，，切应力的合力应等于支反力。将切应力计算公式代入，积分可见这个条件已经满足。

综上所述，已经求出了所有的待定系数。将上述结论代入应力分量表达式，并作整理，可得

下面讨论简支梁的应力分布。

注意到梁的惯性矩为静矩为而梁的弯曲内力为，

则应力分量表达式可以改写为

让我们将上述应力分量，即弹性力学解答结果与材料力学的结果作一比较。首先考虑横截面，即沿铅垂方向的应力分布,如图所示。

在弯曲正应力σx的表达式中，第一项是主要项，与材料力学的解完全相同，而第二项是弹性力学提出的修正项。对于细长梁，这个修正项很小，可以忽略不计。

应力分量σy是梁的各纤维之间的挤压应力，在材料力学中一般是不考虑这个应力分量的。

而弯曲切应力τxy的表达式则和材料力学解答里完全相同。

§6.9 楔形体水坝

学习思路:

楔形体水坝受重力和液体压力作用问题是弹性力学平面问题的另一个应用。

注意到楔形体水坝由于底部在无限远，而液体作用至顶部。由于力学模型的几何形状不需要长度单位确定，因此问题的应力函数可以采用量纲分析方法确定。

量纲分析得到楔形体水坝的应力函数是纯三次函数。应用面力边界条件可以确定待定系数。由于水坝的侧边界是斜边界，应该注意边界法线方向余弦的确定。

最后分析楔形体水坝应力，并且与材料力学解答作比较。

学习要点：

1. 楔形体水坝应力函数；

2. 面力边界条件；

3. 水坝应力分析。

楔形体水坝左边铅垂，右边与铅直面夹α 角度，下端伸向无限长。水坝承受重力和液体压力作用，楔形体的密度为ρ，液体的密度为γ，如图所示。

在楔形体内任一点的应力分量都将由两部分组成：

一是由重力引起的，应当与楔形体的单位体积重量ρg成正比；

二是由液体压力引起的，其与液体的单位体积重量γg成正比。

当然，上述应力分量还和α，x，y等有关。

由于应力分量的量纲是[力][长度]-2，ρg和γg的量纲是[力][长度]-3，α 是无量纲的数量，而x，y的量纲是[长度]，因此应力分量如果具有多项式的解答，其只能是坐标的x，y的一次幂。即各个应力分量的表达式为x，y的纯一次式，而其应力函数应当是x，y的纯三次式。因此可以假设

对于楔形体水坝，体力分量F b x=0，F b y=ρg。根据应力分量的表达式，可得

上述应力分量是满足平衡微分方程和变形协调方程的，下面考虑面力边界条件以确定各个待定系数。

在水坝左侧，面力边界条件为

在水坝右侧，边界方程x=y tanα，面力边界条件为

边界法线方向余弦为