第一讲 优选法 四、分数法

第一讲 优选法 四、分数法

知识与技能：

本节结合具体问题介绍分数法，让学生认识到分数法最优性的含义，并能初步了解它的推导原理，注意斐波那契数列的表示. 情感、态度与价值：

通过本节内容的学习，丰富了数学内容，传播了数学文化. 一、复习

黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.

用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ

二、新课

案例1 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130 ml 肯定不好.用150 ml 的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.

斐波那契数列和黄金分割

每个月兔子数构成的数列：.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1

这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数ω的近似分数列.

, , ,138

,85 ,53 ,32 ,211

+n n F F 数列{F n }为.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1 案例1中，加入量大于130ml 时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.

我们看到，

10=11=2

2=3

3=54=85=13

6=F

10ml ，20ml;，30ml ，…，120ml 把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果用6

5

138

F F =

来代替0.618，那么我们有80)0130(13

8

01=-⨯+

=x 用“加两头，减中间”的方法，508013002=-+=x

在存优范围50~130ml 内：

继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果. 优选法中，像这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.

如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.

案例2 在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5K Ω，1K Ω，1.3K Ω，2K Ω，3K Ω，5K Ω，5.5K Ω等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值?

如果用0.618法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：

为了便于分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用8

5 代替0.618. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.

(1) 可能的试点总数正好是某一个(F n －1). 这时，前两个试点放在因素范围的

n

n n n F F

F F 21

--和位置上，即先在第F n －1和F n －2上做实验. (2) 所有可能的试点总数大于某一(F n －1)，而小于(F n +1－1).这时可以用如下方法解决. 先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为 (F n －1)个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成F n +1－1个试点，从而转化成(1)的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数.

.

.328.0618.0618.0121减中间”的方法来确定，

续试点可以用“加两头确定了第一个试点，后分数法中，一旦用是相同的骤

来确定试点，后续的步和代替两者的区别只是用分数法的本质是相同的，

单峰函数的方法，它与分数法也是适合单因素n

n n

n n n F F

F F

F F ---=分数法的最优性

在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n +1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点.

在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从(F n +1

4F 5

F 6

F 50

2=x 80

1=x 130

00

3F 4F 6F 1003=x 801=x 130500

－1)个试点中找出最佳点.

综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.

课后作业

1.阅读教材P. 11-P.17；

2.《学案》.