二次函数与一元二次方程PPT
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二次函数与一元二次方程_课件
=0
没有交点
没有实根
＜0
有交点
有实根
≥0
归纳
△＜0 △=0
△＞0
求抛物线与坐标轴的交点 如何求抛物线与坐标轴的交点？ 如何确定抛物线与x轴的交点个数？
例题 答案：
例题
答案：有(2.5,0),(-1,0) 归纳：一元二次方程
,则抛物线
例题 不与x轴相交的抛物线是（ D ）
练习——求交点 （0，-5）
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第二步：取平均数 取2和3的平均数2.5， 当x=2.5，y=-0.75<0． 那根是在2与2.5之间， 还是2.5与3之间呢？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第三步：取异号缩小范围 一定得让相应的y值异号， 这样才能保证抛物线穿过x轴， 即根在该范围之间． 当x=2.5时，y<0， 当x=2时，y<0， 当x=3时，y>0， 所以根是在2.5与3之间
解：（3）当h = 20.5时，
因为
，所以方程无实根．
球的飞行高度达不到 20.5m .
思考 （4）球从飞出到落地要用多少时间? 解：（4）落地即h = 0，
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ， 即0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面．
讨论
通过刚才的例子可以发现，
二次函数
何时为一元二次方程？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第四步：再取平均数 取2.5和3的平均数2.75， 当x=2.75，y=0.0625 > 0． 第五步：再取异号 所以根是在2.5与2.75之间
所以该抛物线与 x 轴有两个交点．
人教版九年级上册数学课件：二次函数与一元二次方程
x
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
归纳:
当二次函y数 a x2 bxc,当给定y的值时,则二次函数
可转化为一元二次. 方程
如:二次函数 y x24x的值为 3,求自变量 x的值, 可以解一元二次方x程 2 4x 3(即x2 4x30). 反过来,解方程x2 4x30又可以看作已知二次 函数y x24x3的值为 0,球自变量 x的值.
如果h=20，那50-20t2= 20 ，
如果h=0，那50-20t2= 0 。 如果要想求t的值，那么我们可以求 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
的解。
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
问题:王明手里抛出的篮球的飞行路线是一条抛物线,如果
不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
呢？
∴当球飞行2s时，它的高度为4m。 （3）解方程4.1=4t-t2 即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，
从上面我们看出， 对于二次函数 高为个度什时为么间3在球mh其 二两的=？实 次4就 方（t –是程4t）∴2把的t中球1解=函解的，0方,t飞数。程已2=行0值4知=高4hht换度-的t2达成值不常，即到数：求4.，1t时2m-求4间。t=一t0，元
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
拓展升华
二次函数 yax2 bxc(a0)的图像如图，
根据图像解答下列问题：
（1）写出方程 ax2bxc0的两个根；
人教版《二次函数与一元二次方程》教学课件PPT1
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一 元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为 一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
4
易错点：K-1≠0
课堂小结（2分钟）
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴(直线y=0)交点的坐标 一元二次方程ax2+bx+c=0的根
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数（判别式）
方程的根即交点横坐标
当堂训练（15分钟） 1.抛物线y=-3(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为(_2_,_0_)_,_(_-.5,0) 2.抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=_8___.
1.小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m?
方法一：
解 :当 h 60时 ,得 5t2 40t 60
解 得 : t1 2 , t2 6
方法二：由图象可得 当 h 60时 ，
t1 2, t2 6
答：小球经过2s或6s时小球离地面的高度是60m.
自学指导二（4分钟）
1.每个图象与x轴有几个交点？怎么利用方程判断？
.
2已0知=2二0t次-5t函2,数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解是____________.
反一过元来 二，次解方方程程axx22+－bx4+xc+=30=的0根又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一 元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为 一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
4
易错点：K-1≠0
课堂小结（2分钟）
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴(直线y=0)交点的坐标 一元二次方程ax2+bx+c=0的根
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数（判别式）
方程的根即交点横坐标
当堂训练（15分钟） 1.抛物线y=-3(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为(_2_,_0_)_,_(_-.5,0) 2.抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=_8___.
1.小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m?
方法一：
解 :当 h 60时 ,得 5t2 40t 60
解 得 : t1 2 , t2 6
方法二：由图象可得 当 h 60时 ，
t1 2, t2 6
答：小球经过2s或6s时小球离地面的高度是60m.
自学指导二（4分钟）
1.每个图象与x轴有几个交点？怎么利用方程判断？
.
2已0知=2二0t次-5t函2,数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解是____________.
反一过元来 二，次解方方程程axx22+－bx4+xc+=30=的0根又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT教学课件
情境引入
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共的
横坐标是多少？当x轴取公共点的横坐标，函数值是多少？
由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2
（2）y=x2-6x+9
（3）y=x2-x+1
两
（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有___个公共点，
-2,1
它们的横坐标是_____。当x取公共点的横坐
第二十二章 二次函数
二次函数与一元二次方程
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
解：（2）解方程20=20t-5t2。t2-4t+4=0。
t1=t2=2。当球飞行2s时，它的高度为20m。
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
解：（1）解方程0=20t-5t2。t2-4t=0。t1=0，
t2=4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
二次函数与一元二次方程-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
思考
(1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗？
x
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省 略吗？
提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式 不等式. (2)不可以，若a=0，就不是二次不等式了.
问题：一元二次不等式的求解方法是 什么？
（12－x）ｍ．由题意，
得（12－x）x＞20， 其中x∈｛x｜0＜x＜12｝． 整理得
一元二次 不等式
x²－12x＋20＜0，
x∈｛x｜0＜x＜12｝． ①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．
“一元二次不等式”概念
一般地，我们把只含有 一个 未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一 元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 ax2＋bx＋c>0 或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均 为常数，a≠0.
3
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知， 原不等式的解集为{x2|x≠ } .
3
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
变式训练
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( ✕ ) (2)若 a>0，则一元二次不等式 ax2＋1>0 无解．( ✕ ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( ✕ ) (4)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( ✔ )
课件《二次函数与一元二次方程》优秀课件完美版_人教版1
（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一 个公共点，有两个公共点。 这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实 数根，有两个不等的实数根.
新知讲解
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求 一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差， 由图象求得的根，一般是近似的.
一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac （2）由（1）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）．
（2）当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程 （1）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根.
x －6x＋9=0有两个相等的实数根3. 2 所以与 x 轴有交点，有两个交点。
有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题： （1）解：当y=0时，x2+x-2=0 （1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
（1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
与一元二次方程 小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.
x1≈0.7，x2≈2.7.
课堂练习
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示
，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是（ （2）正确作出点M，N；
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根. （3）球的飞行高度能否达到20.
)
（3）写出方程的根为-0. t2-4t+4=0,解得：t1=t2=2. 解：（1） 当h=15m时，
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
(1)y＝x2＋x－2；
新知讲解
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求 一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差， 由图象求得的根，一般是近似的.
一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac （2）由（1）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）．
（2）当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程 （1）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根.
x －6x＋9=0有两个相等的实数根3. 2 所以与 x 轴有交点，有两个交点。
有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题： （1）解：当y=0时，x2+x-2=0 （1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
（1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
与一元二次方程 小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.
x1≈0.7，x2≈2.7.
课堂练习
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示
，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是（ （2）正确作出点M，N；
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根. （3）球的飞行高度能否达到20.
)
（3）写出方程的根为-0. t2-4t+4=0,解得：t1=t2=2. 解：（1） 当h=15m时，
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
(1)y＝x2＋x－2；
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y＝x2－x－3 y＝x＋b
消元，得 x2－x－3 ＝x＋b 整理，得x2－2x －（3 ＋ b） ＝0 ∵有唯一交点 ∴（－2）2 ＋4（ 3 ＋ b） ＝0 解之得，b ＝－4
交流总结
同学们， 通过这节课的学习，你收获了什么？
二次函数与一元二次方程
万合二中 郭梦冰
（1）一次函数y＝x＋2的图 象与x轴的交点为 （ ， ） 一元一次方程x＋2＝0的根 为________ （2） 一次函数y＝－3x＋6 的图象与x轴的交点为 （ ， ） 一元一次方程－3x＋6＝0的 根为________ 思考：一次函数y＝kx＋b的 图象与x轴的交点与一元 一次方程kx＋b＝0的根有 什么关系？ 一次函数y＝kx＋b的图象与 x轴的交点的横坐标就是 一元一次方程kx＋b＝0的 根
画出y＝x2－2x－3的图象（小正方形的边长为1）
y
y＝x2－2x－3Fra bibliotek–3-2
-1
0
1
2
3
x
探究一：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为
方程x2－2x－3 ＝0的两根是 你发现了什么？ （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐 标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的 根 （2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方 程去解决
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（3） ∵ b2－4ac＝42 －4× 1×4 ＝0
∴函数与x轴有一个交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（4） ∵ b2－4ac＝（a＋b）2 －4× （ －a ）×（ －b） ＝（ a － b）2 ≥0 ∴函数与x轴有一个或两个交点
探究二：二次函数与x轴的交点 个数与一元二次方程的解有关系 2＋bx＋c，判别式又能给 对于二次函数y＝ax吗？
我们什么样的结论？ （1）b2－4ac＞0 函数图像与x轴有两个 交点方程有两不相等根 （2）b2－4ac＝0 函数图像与x轴有一个 交点方程有两相等根方程没有根 （3）b2－4ac＜0 函数图像与x轴没有交 点
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝x2－4x＋4； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（1）∵ b2－4ac＝02 －4×1×（ －1） ＞0 ∴函数与x轴有两个交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（2） ∵ b2－4ac＝32 －4× （－ 2）×（ －9） ＜ 0 ∴函数与x轴没有交点
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判 别式解决，那么二次函数与一次函数的交 点个数又该怎么解决呢？ 例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝ x＋2有交点吗？有几个？ 分析：两个函数的交点是这两个函数的公共 解，先列出方程组，消去y后，再利用判别 式判断即可.
例题精讲 3.二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b 只有一个公共点或交点，求出b的值. 解：由题意，得
1. 求二次函数y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标 解：令y＝0 则x2＋4x－5 ＝0 解之得，x1＝ －5 ,x2 ＝ 1 ∴交点坐标为：（－5，0）（1，0） 结论一： 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A（ X1，0 ）， B（ X2，0 ） 思考：函数y＝－x2＋6x－9和y＝2x2＋3x＋5与x轴 的交点坐标是什么？试试看！
消元，得 x2－x－3 ＝x＋b 整理，得x2－2x －（3 ＋ b） ＝0 ∵有唯一交点 ∴（－2）2 ＋4（ 3 ＋ b） ＝0 解之得，b ＝－4
交流总结
同学们， 通过这节课的学习，你收获了什么？
二次函数与一元二次方程
万合二中 郭梦冰
（1）一次函数y＝x＋2的图 象与x轴的交点为 （ ， ） 一元一次方程x＋2＝0的根 为________ （2） 一次函数y＝－3x＋6 的图象与x轴的交点为 （ ， ） 一元一次方程－3x＋6＝0的 根为________ 思考：一次函数y＝kx＋b的 图象与x轴的交点与一元 一次方程kx＋b＝0的根有 什么关系？ 一次函数y＝kx＋b的图象与 x轴的交点的横坐标就是 一元一次方程kx＋b＝0的 根
画出y＝x2－2x－3的图象（小正方形的边长为1）
y
y＝x2－2x－3Fra bibliotek–3-2
-1
0
1
2
3
x
探究一：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为
方程x2－2x－3 ＝0的两根是 你发现了什么？ （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐 标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的 根 （2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方 程去解决
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（3） ∵ b2－4ac＝42 －4× 1×4 ＝0
∴函数与x轴有一个交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（4） ∵ b2－4ac＝（a＋b）2 －4× （ －a ）×（ －b） ＝（ a － b）2 ≥0 ∴函数与x轴有一个或两个交点
探究二：二次函数与x轴的交点 个数与一元二次方程的解有关系 2＋bx＋c，判别式又能给 对于二次函数y＝ax吗？
我们什么样的结论？ （1）b2－4ac＞0 函数图像与x轴有两个 交点方程有两不相等根 （2）b2－4ac＝0 函数图像与x轴有一个 交点方程有两相等根方程没有根 （3）b2－4ac＜0 函数图像与x轴没有交 点
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝x2－4x＋4； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（1）∵ b2－4ac＝02 －4×1×（ －1） ＞0 ∴函数与x轴有两个交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（2） ∵ b2－4ac＝32 －4× （－ 2）×（ －9） ＜ 0 ∴函数与x轴没有交点
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判 别式解决，那么二次函数与一次函数的交 点个数又该怎么解决呢？ 例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝ x＋2有交点吗？有几个？ 分析：两个函数的交点是这两个函数的公共 解，先列出方程组，消去y后，再利用判别 式判断即可.
例题精讲 3.二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b 只有一个公共点或交点，求出b的值. 解：由题意，得
1. 求二次函数y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标 解：令y＝0 则x2＋4x－5 ＝0 解之得，x1＝ －5 ,x2 ＝ 1 ∴交点坐标为：（－5，0）（1，0） 结论一： 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A（ X1，0 ）， B（ X2，0 ） 思考：函数y＝－x2＋6x－9和y＝2x2＋3x＋5与x轴 的交点坐标是什么？试试看！