利用函数的性质判定方程解的存在
高中数学北师大版精品教案《利用函数性质判定方程解的存在性》
利用函数性质判定方程解的存在性【教学目标】1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。
2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。
【教学重难点】1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。
易混点2．掌握函数零点存在的判定方法。
重点3．能结合图像求解零点问题。
难点【教学过程】一、基础铺垫1．函数的零点：①定义：函数f的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
①方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。
2．函数零点的判定定理：若函数＝f在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即fa·fb0，则＝f在区间a，b内一定没有零点吗？[提示]1不是点，是数。
2不一定，如＝2－1，在区间－2，2上有两个零点。
二、新知探究1．求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
1f＝错误!；2f＝2＋2＋4；3f＝2－3；4f＝1－og3。
[解]1令错误!＝0，解得＝－3，所以函数f＝错误!的零点是－3．2令2＋2＋4＝0，由于Δ＝22－4×40，所以f1·f2021点个数为A．3 B．2C．1 D．02函数f＝n ＋2－3的零点的个数是________。
1B21[1当≤0时，令2＋2＋3＝0，解得＝－3；当>0时，令－2＋n ＝0，解得＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B．2因为f1＝－2，f2＝n 2＋1>0；所以f1·f2<0又f＝n ＋2－3的图像在1，2上是不间断的，所以f在1，2上必有零点。
又f在0，＋∞上是递增的，所以零点只有1个。
]【教师小结】判断函数零点个数的三种方法（1）方程法：若方程＝f＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。
（2）图像法：由＝f＝＝g-h＝0，得g=h，在同一平面直角坐标系内作出1＝g和2＝h的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。
利用函数性质判定方程解的存在教学设计
利用函数性质判定方程解的存在一、教材分析《利用函数性质判定方程解的存在》是北师大版教材必修一，第四章，第一节的内容。
函数在数学中占据着不可替代的核心地位，它与其它知识具有广泛的联系，而本节课“利用函数性质判定方程解的存在”就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。
本节内容起着承上启下的作用：在函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程根的存在，是函数图像与性质内容的延续。
函数零点的概念和函数零点存在的判定方法，这又是学习下一节“利用二分法求方程的近似解”的基础。
同时，本节课还是培养学生“数形结合思想”、“函数与方程思想”、“转化与化归思想”的优质载体。
二、学情分析学生已经具备了：(1)基本初等函数的图象和性质；(2)初步了解一元二次方程和相应二次函数的关系；(3)初步具备将“数”与“形”相结合及转化的意识。
缺乏的能力：(1)应用函数解决问题的能力还不强；(2)由特殊到一般的归纳能力还不够；(3)数形结合的思想敏锐性还有待提高。
三、教学目标：1.知识与技能：（1）能说出函数零点的概念（2）能归纳并叙述函数零点存在性定理（3）会判断函数零点的个数和所在区间2.过程与方法：经历“类比—归纳—应用”的过程；经历方程与函数的转化过程3.情感、态度与价值观：体验自主探究，合作交流的乐趣；体会事物间普遍联系的辩证思想四、教学重点、难点：重点：函数零点的概念，函数零点的判定方法。
难点：探究发现函数零点的存在性，利用函数的图像和性质判断函数零点的个数五、教法学法： 教法：启发—探究—讨论 学法：自主—合作—交流 六、教学过程：教学准备：导学案，多媒体 课时安排：1课时（一）设问激疑，创设情景 问题引入：求下列方程的根 前两个方程学生容易求解，后两个却无从下手，于是，引出本节课所要解决的问题，同时引入本节课题《利用函数性质判定方程解的存在》。
（二）启发引导，形成概念 探究（一）：函数零点的概念问题1：一元一次方程10x -= 的解?一次函数1y x =- 图像与x 轴交点坐标？方程的根与交点的横坐标有什么关系？问题2：给定二次函数y ＝x 2＋2x －3，（1）做出函数图像，观察函数的图像与x 轴的交点是什么？（2）方程x 2＋2x －3＝0的根是什么？（3）方程的根与交点的横坐标有什么关系？由问题1、2引出函数零点的概念，及函数零点与对应方程根之间的联系。
精 品 教 学 设 计4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
精 品 教 学 设 计1.1利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。
让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
二、教学重点难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
三、教学程序设计(一)设问激疑，创设情景问题1一元一次方程10x -=的根和相应的一次函数()1f x x =-的图象与x 轴交点坐标有何关系？问题2一元二次方程2320x x -+=的根和相应的二次函数2()32f x x x =-+的图像与x 轴交点坐标有何关系？(二)启发引导，形成概念函数零点的概念：我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
等价关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点 例如：判断函数12y x =--零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出 函数图像。
函数12y x =--的图像与x 轴有两个交点，所以函数有两个零点。
练习：求下列函数的零点：2(1).()56f x x x =-+(2).()21x f x =-(三)讨论探究，揭示定理思考：函数()y f x =在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数()y f x =一定有零点？观察函数()1f x x =-的图像，此函数在区间[]0,2上有没有零点？计算函数()1f x x =-在区间[]0,2的两个端点对应的函数值(0)f 和(2)f 的乘积，你能发现这个乘积有何特点？观察函数2()32f x x x =-+的图像，此函数在区间[]0,1.5上有没有零点？ 计算函数2()32f x x x =-+在区间[]0,1.5的两个端点对应的函数值(0)f 和(1.5)f的乘积，你能发现这个乘积有何特点？此函数在区间[]1.5,3上是否也具有这样的特点？结论：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b <, 那么函数()y f x =在区间(),a b 内至少有一个零点，即存在(),c a b ∈ , 使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
北师大版高中数学必修第一册《利用函数性质判定方程解的存在性》评课稿
北师大版高中数学必修第一册《利用函数性质判定方程解的存在性》评课稿介绍本文是对北师大版高中数学必修第一册中《利用函数性质判定方程解的存在性》这一章节的评课稿。
本章主要讲解了如何通过利用函数性质来判定方程解的存在性。
通过学习本章，学生将能够掌握判断一元二次方程、绝对值方程和分式方程解的存在性的方法和技巧。
本评课稿将从教材内容的组织、教学目标的达成度、教学方法的灵活性以及学生对知识的掌握程度等方面进行评价和总结。
教材内容的组织本章的教材内容组织合理，层次清晰，基本符合学生的认知规律。
从解一元二次方程开始，逐渐引入绝对值方程和分式方程的求解，形成了一个由易到难、由简单到复杂的教学过程。
在每一小节中，教材都以实际问题为例子，具体说明了如何利用函数性质来判定方程解的存在性。
通过实际问题的引入，不仅提高了学生的学习兴趣，还帮助学生更好地理解和应用知识。
教学目标的达成度学生在学习本章后应能够： - 理解并应用一元二次方程的解的性质，判断方程解的存在性。
- 掌握绝对值方程的解的性质，准确判定方程解的存在性。
- 理解并运用分式方程解的性质，判定方程解的存在性。
通过对学生的学习情况的观察和测试，大部分学生能够达到上述学习目标。
他们能够准确地判断方程解的存在性，并能够应用所学知识解决实际问题。
然而，在对一些复杂问题的应用上，仍有部分学生存在困难，部分学生对分式方程解的判断仍存在不确定性。
因此，在教学过程中，可以适当增加一些练习和巩固的环节，帮助所有学生更好地掌握这些知识和技巧。
教学方法的灵活性教学过程中教师采用了多种灵活的教学方法，如讲解、示范、讨论和练习等。
教师在引入新知识时，注重通过简单明了的语言和具体的例子来解释概念和原理，使学生易于理解。
在讲解过程中，教师积极与学生互动，鼓励学生提问、思考和讨论，促进学生的主动学习。
同时，教师还设计了一些小组活动和练习，让学生在合作中巩固所学内容，提高解题能力。
教学方法的灵活性使学生能够更好地参与课堂，增加了学习的乐趣和积极性。
利用函数性质判定方程解的存在
利用函数性质判定方程解的存在高一数学组：闫小鹏课题：利用函数性质判定方程解的存在三维目标1、知识与技能理解方程的解与相应函数图像交点之间的内在联系，学会用函数观点处理某些方程的解的问题。
2、过程与方法由函数图像发现函数和方程的联系，并总结出零点的定义以及如何判定方程解的存在。
在发现、研究和解决问题的过程中，体会“函数与方程”、“化归与转化”和“数形结合”等数学思想方法。
3、情感态度价值观培养学生系统化及联系的观点和学生动手操作的能力。
重点难点教学重点学会用函数方法研究某些方程解的存在性等相关问题；体会函数与方程的思想。
教学难点理解方程的解与函数图像交点的横坐标的关系；学会问题转化、优化，能够将某些方程解的问题转化为函数图像的交点问题来解决。
教学策略和手段采用“自主学习——动手实践——解决问题”的教学模式。
利用自制的多媒体课件，创设形象生动的教学氛围，同时应用模型探究法、讲述法、比较法、指导学习法等，引导学生思考一系列问题，使他们积极主动参与到教学中，在获取知识的同时，培养学生动手、观察、比较和总结的能力。
课前准备1、教师准备多媒体课件2、学生准备课前预习、一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象教学过程教学反思本节课的不足是：（1）开始时较紧张忽略了学生的参与，本应让学生自己尝试探究问题，但由于紧张最终变成教师自己介绍。
（2）学生参与较少，课堂个别提问人数较少，集体回答次数较多，应该增加个别提问人数，使更多学生参与到课堂教学中来。
（3）课堂时间处理的不够好，有点前松后紧，例题讲解时间较长，后面的知识提升和练习就稍微显得有点紧张。
4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
1 x
0
1 x 在 [ 1， 上 不 连 续 , 1]
②
f(x)=x2
，f(-1)f(1)>0
f (x)
可方程x2=0在(-1,1)上有解x=0。
尽 管 有 f ( 1) f 1) 0
．
③
x
可方程 在（-1，2）上无解
．
零点的存在性定理
若函数y=f(x)满足以下条件：
（1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)<0;
则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即方程
f(x)=0在(a,b)上有解.
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0;
则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程
f(x)=0在[a,b]上有解.
例1 判定方程 x3 + 2x +1=0在[-2,3]上是否有解。
• 零点是点吗？ • 函数一定有零点吗？
y
观察函数
f ( x) 2 x 1
-1 1 0 -1 1 2
x
的图像:
函数图像过x轴下方的点（0，-1），过x轴上方的点（1，1）， 图像是一条连续的直线，故函数在[0,1]上的图像必穿过x轴.
函 数 f ( x ) 2 x 1在 闭 区 间 [ 0 , 1 ] 上 的 图 像 是 连 续 的 ， 且 f (0 ) 1 0, f (1) 1 0， 则 在 区 间 （ 0 ， 1 ） 内 有 零 点 .
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0; 则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程 f(x)=0在[a,b]上有解.
利用函数性质判定方程解的存在性 获取数据的途径(2) 高一下学期数学北师大版(2019)必修第一册
如何从函数的角度判定方程 2 − − 6 = 0实数根的存在性呢？
观察函数 = 2 − − 6的图象，
−4 = 14 > 0
6 与
点C 4，6 之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间
= ln 在区间
它是方程− 2 − + 2 = 0的一个根．
它是方程ln = 0的一个根．
<0
内有零点 = 1，
= − 2 − + 2在 −3，0 内有零点 = −2，
它是方程− 2 − + 2 = 0的另一个根．
➢你能概括上面两种情况的共性吗？
如果函数 = 在区间[，]上满足 • < 0，是否一定能得到函数
至少有一个零点，即在区间 ， 内相应的方程 = 0至少有一个解．
如果满足零点存在定理的条件，那么方程 = 0 在区间 ， 内只有一个解吗？
不一定．
如： = (－1)(－2)(－3)， 0 4 = －6 × 6 < 0，
但是该函数在区间(0，4)内有三个零点 = 1， = 2和 = 3．
加什么条件就能保证函数 = 在区间[，]内存在零点？
函数 = 的图象在给定区间[，]上的图象连续不断．
零点存在定理 若函数 = 在闭区间[，]上的图象是一条连续的曲线，并且在
区间端点的函数值一正一负，即 • < 0，则在开区间 ， 内，函数 =
画出函数 = − 2 − 5 − 1的图象，如图：
观察得， −1 = −1 × −4 − 1 = 3 > 0， 6 = 4 × 1 − 1 = 3 > 0．
利用函数性质判定方程解的存在性 导学案(含答案)(2024)高一上学期北师大版必修 第一册
第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【学习目标】1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.◆知识点一函数的零点使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=x+1的零点是(-1,0).()(2)函数y=x2-2x-3有两个零点.()◆知识点二零点存在定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0解.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)在区间[a,b]内满足f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内无零点.()(2)f(x)在区间(a,b)内有一个零点,则f(a)·f(b)<0.()◆探究点一由图象确定函数的零点例1 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在[a,d]内有个零点.(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()A .a>0B .c<0C .(-1,0)是函数的一个零点D .3是函数的一个零点(3)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )=x 2-2x (x ≥0),则函数f (x )的零点个数为 ( ) A .0 B .1 C .2D .3[素养小结]由图象确定函数的零点个数主要有两种方法:1.直接画出函数的图象,通过图象与x 轴交点的个数确定零点个数.2.将函数f (x )写成f (x )=h (x )-g (x )的形式,画出函数y=h (x )与y=g (x )的图象,根据两函数图象的交点个数判断方程h (x )=g (x )的根的个数,即可确定函数f (x )的零点个数.◆ 探究点二 由方程的解求函数的零点[提问] 当方程易得出解时,可通过 得到对应函数的零点.例2 求函数f (x )=(ax-1)(x-1)(a ∈R)的零点.变式 函数f (x )={x 2+x -2,x ≤0,-1+lnx ,x >0的零点为 .[素养小结]求函数y=f (x )的零点通常有两种方法:其一是令y=0,由对应方程的根求得函数的零点;其二是画出函数的图象,图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.◆ 探究点三 函数零点的综合问题 角度1 判断函数零点个数例3 求函数f (x )=3x - lo g 12x 的零点个数.变式 (1)函数f (x )=2x +x 3-2在区间(0,1)上的零点个数是 ( )A .0B .1C .2D .3(2)设函数f (x )={x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0,若f (-2)=f (0),f (-3)=1,则函数y=f (x )-x 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4[素养小结]确定函数零点个数的方法:(1)因式分解法:可转化为一元n 次方程根的个数问题,一般采用因式分解法来解决. (2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数. (3)图象法:将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,可用图象法解决. (4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.角度2 判断函数零点所在的区间例4 (1)函数f (x )=ln x+x-4的零点所在的区间为( )A .(1,2)B .(2,3)C .(3,4)D .(5,6)(2)二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0)的部分对应值如下表:x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6不求a ,b ,c 的值,判断方程ax 2+bx+c=0的两根所在的区间是 ( ) A .(-3,-1)和(2,4) B .(-3,-1)和(-1,1) C .(-1,1)和(1,2) D .(-∞,-3)和(4,+∞)变式 (1)根据下表中的数据,可以判断方程e x -x-2=0的一个根所在的区间为 ( )x -1 0 123e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+212345A .(-1,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,3)(2)若x 0是函数f (x )=(13)x -x 12的零点,则x 0属于区间( )A .(0,13)B .(13,12) C .(12,23)D .(23,1)[素养小结](1)判断一个函数是否有零点,首先看函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是否连续,其次判断f (a )·f (b )<0是否成立,若成立,则函数y=f (x )在区间(a ,b )内必有零点.(2)已知函数f (x )在[a ,b ]上的图象是连续不断的曲线,若存在f (a )·f (b )<0,则f (x )在区间(a ,b )内有零点,若只有一个零点,则称此零点为变号零点.反过来,若f (a )与f (b )不变号,而是同号,即不满足f (a )·f (b )<0,也不能说函数f (x )在(a ,b )内无零点,如f (x )=x 2在[-1,1]上的图象是连续不断的曲线,且f (-1)·f (1)=1>0,但0是f (x )的零点.角度3 由函数零点(或方程的解)的个数求参数问题例5 (1)函数f (x )=ax 2-x-1仅有一个零点,则实数a= .(2)已知函数f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象与直线y=k 有三个不同的交点,则k 的取值范围是 ( ) A .(-4,-3) B .[-4,-3) C .[-4,-3]D .(-4,-3]变式 若函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 .[素养小结]解此类题的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.求解时首先根据已知条件构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象,最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.拓展已知函数f(x)=log a x-4x-1(a>0且a≠1)在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,则实数a的取值范围为()A.(0,14)B.(14,1)∪(1,+∞)C.(0,14]D.(14,1)第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【课前预习】知识点一横坐标诊断分析(1)×(2)√[解析] (1)零点不是点,是一个数,是函数图象与x轴交点的横坐标.知识点二f(a)·f(b)<0至少有一个诊断分析(1)×(2)×[解析] (2)函数y=x2在区间(-2,2)内有零点,但f(-2)·f(2)>0.【课中探究】探究点一例1(1)3(2)D(3)D[解析] (1)由题图知函数f(x)在[a,d]内有3个零点.(2)由题图可知a<0,c>0,∵函数图象的对称轴为直线x=1,函数图象与x轴的一个交点的坐标为(-1,0),∴函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),∴3是函数的一个零点.故选D. (3)根据题意可知x=2,x=0为f(x)的零点,因为奇函数的图象关于原点对称,所以x=-2也为f(x)的零点,所以f(x)的零点共有3个,故选D.探究点二提问解方程例2 解:①当a=0时,函数f (x )=-x+1.令-x+1=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1.②当a=1时,函数f (x )=(x-1)2.令(x-1)2=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1. ③当a ≠0且a ≠1时,令(ax-1)(x-1)=0,得x=1或x=1a ,则函数f (x )的零点为1,1a .综上,当a=0或a=1时,函数f (x )的零点为1;当a ≠0且a ≠1时,函数f (x )的零点为1,1a . 变式 -2,e [解析] 由f (x )=0,得{x ≤0,x 2+x -2=0或{x >0,-1+lnx =0,解得x=-2或x=e .所以函数f (x )的零点为-2,e .探究点三例3 解:令f (x )=0得3x =lo g 12x.作出y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象,如图所示,由图可知y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象有1个交点,∴f (x )=3x -lo g 12x 有1个零点.变式 (1)B (2)B [解析] (1)因为y=2x 与y=x 3-2在R 上均为增函数,所以函数f (x )=2x +x 3-2在R 上是增函数,因此函数f (x )=2x +x 3-2在(0,1)上单调递增,又f (0)=1+0-2=-1<0,f (1)=2+1-2=1>0,所以f (x )在(0,1)上有1个零点.(2)由f (-2)=f (0)得4-2b+c=c ,所以b=2,由f (-3)=9-6+c=1,得c=-2,所以当x ≤0时,f (x )=x 2+2x-2.当x ≤0时,由f (x )-x=x 2+x-2=0,得x=-2或x=1(舍去).当x>0时,由f (x )-x=2-x=0,得x=2.因此方程f (x )-x=0只有两个解,即函数y=f (x )-x 有两个零点.故选B .例4 (1)B (2)A [解析] (1)易知f (x )=ln x+x-4在(0,+∞)上单调递增,又f (2)=ln 2-2<0,f (3)=ln 3-1>0,所以f (2)·f (3)<0,所以f (x )的零点在区间(2,3)内.故选B .(2)易知f (x )=ax 2+bx+c 的图象是一条连续不断的曲线,因为f (-3)×f (-1)=6×(-4)=-24<0,所以f (x )在(-3,-1)内有零点,即方程ax 2+bx+c=0在(-3,-1)内有根.同理方程ax 2+bx+c=0在(2,4)内有根.故选A .变式 (1)C (2)B [解析] (1)令f (x )=e x -x-2,则由表中数据知f (-1)=0.37-1=-0.63<0,f (0)=1-2=-1<0,f (1)=2.72-3=-0.28<0,f (2)=7.39-4=3.39>0,f (3)=20.09-5=15.09>0,因为f (1)·f (2)<0,f (x )的图象是连续不断的曲线,所以f (x )的一个零点在区间(1,2)内,即方程e x -x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选C .(2)根据指数函数和幂函数的性质,可得(13)13>(13)12,(13)12<(12)12,所以f (13)=(13)13-(13)12>0,f (12)=(13)12-(12)12<0,即f (13)·f (12)<0.又f (x )=(13)x-x 12为R 上的减函数,所以由零点存在定理,可得函数f (x )=(13)x-x 12有且只有一个零点且零点x 0∈(13,12).故选B .例5 (1)0或-14 (2)D [解析] (1)若a=0,则f (x )=-x-1,易知函数f (x )仅有一个零点.若a ≠0,则f (x )为二次函数,由f (x )仅有一个零点,得方程ax 2-x-1=0有两个相等的实数根,故Δ=1+4a=0,即a=-14.综上所述,当a=0或a=-14时,函数f (x )仅有一个零点.(2)作出f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象和直线y=k ,如图所示,由图可知-4<k ≤-3,故选D .变式 (0,2) [解析] 由|2x -2|-b=0,得|2x -2|=b ,由题意可知函数y=|2x -2|与y=b 的图象有两个交点,结合函数y=|2x -2|与y=b 的图象(如图所示)可知0<b<2.拓展 D [解析] 函数f (x )在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,即方程f (x )=0在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根,即方程log a x=4x-1在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根.设g (x )=log a x ,h (x )=4x-1,则函数h (x )在R 上为增函数,且h (0)=14,h (12)=12,h (1)=1,h (x )=4x-1>0恒成立.若a>1,则当x ∈(0,1)时,g (x )=log a x<0,不满足条件,故0<a<1.由于g (x )与h (x )的图象在(0,12]上无交点,在(12,1)上有交点,因此根据函数g (x )与h (x )的图象(如图所示)可知{0<a <1,g (12)>ℎ(12),解得14<a<1,故选D .。
利用函数性质判定方程解的存在
4.1.1
利用函数性质判定
方程解的存在
实例分析：
例 1.判断方程 x x 6 0 是否存在实数解.
2
解：由题意知函数 f ( x) x x 6 的图像是连续的,
2
因 f (0) 6 0 , f (4) 6 0 ,
y
A
故方程 x x 6 0 在区间 (0, 4) 内有实根,记为 x1 ；
x 1 f(x) 23
2 9
3 –7
4 11
5 6 7 –5 –12 –26
）个
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（
A.5 B.4 C.3 D.2
例4.方程log2 x x 0在 0,1内是否存在实数解.
练习3.判断下列方程在指定区间是否存在实数解.
1 log x 2 x 0在 1,3内；
所以方程 3 x 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
x 2
例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数 解,且一个大于5,一个小于2.
解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物 线,所以抛物线与横轴在 (5,+∞)内有一交点,在(-∞,2) 内也有一个交点.
方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小 于2
练习1.证明方x 2 1至少有一个小于1的正根.
x
1.在二次函数 y ax2 bx c中，ac<0,则其零点的个
数为（
Ａ.１
）
Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x) 对应值表：
《4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学案1
《4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学案三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点根据二次函数图像与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．教学过程导入新课据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图像与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面的学习埋好伏笔．推进新课①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图像.②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图像.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图像.④观察函数的图像发现：方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤如何判断一元二次方程根的个数？如何判断二次函数图像与x轴交点的个数？它们之间有什么关系？⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图像不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图像(图2)．图2 图3 图4②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3)．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图像的关键(图4)．④方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗？⑥函数的零点是一个实数．⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图像穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图像如图2.②方程的实数根为1，图像如图3.③方程没有实数根，图像如图4.④方程的根就是函数的图像与x轴交点的横坐标．⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图像与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数．a.当Δ＞0时，一元二次方程有两个不等的实根x1，x2，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)；b.当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实根x1＝x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点(x1,0)；c.当Δ＜0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点．⑥一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．⑦方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图像，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2 x－3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．应用示例例1 已知函数f (x )＝3x －x 2，问：方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？ 活动：学生回想判断函数零点的方法：解方程法和定理法．由于本题中方程f (x )＝0无法解，故用定理法，判断f (－1)f (0)＜0是否成立．解：因为f (－1)＝3－1－(－1)2＝－23＜0， f (0)＝30－(0)2＝1＞0，函数f (x )＝3x －x 2的图像是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．点评：本题主要考查函数零点的概念及其判断方法．当无法解方程f (x )＝0时，通常用定理法判断函数零点的存在性.变式训练1. 判断函数y ＝|x －1|－2零点的个数．解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图像(图5)，图5函数y ＝|x －1|－2的图像与x 轴有两个交点，所以函数y ＝|x －1|－2有两个零点．2．求证：函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法一：因为一元二次方程2x 2－3x －2＝0的判别式Δ＝32＋4×2×2＝25＞0，所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根．所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法二：因为一元二次方程2x 2－3x －2＝0可化为(2x ＋1)(x －2)＝0，所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根x 1＝2，x 2＝－12. 所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法三：因为函数f (x )＝2x 2－3x －2的图像是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方，即f (0)＝－2＜0，所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．如图6.图6点评：判断函数零点个数可以结合函数的图像．方法：零点⇔函数方程的根⇔两图像的交点．数学思想：转化思想和数形结合思想.例2 判定方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.分析：转化判断函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点．解：考虑函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1，f(2)＝(2－2) (2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线(如图7)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．图7所以方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：这里说“若f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解.变式训练关于x的方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a的取值范围．图8解：设f(x)＝x2－ax＋a2－7，图像为开口向上的抛物线(如图8)．因为方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的图像与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧．只需f(2)＜0，即4－2a＋a2－7＜0，所以－1＜a＜3.课堂小结本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．。
利用函数性质判定方程解的存在
2-5x+m=0的 f(x)=x
例3
讨论 x 2 解的个数和分 布情况。
-x=log 2
怎样求这个根的近似值？
数形 结合
6 2010-12-11
练习
已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 （A） （B） （C）
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 x + bx + c, x ≤ 0, x ≤ 0 f (x) = f ( −4) = f ( 0)， f ( −2 ) = −2 2、设函数 2, ， x > 0若 则关于x的方程 f ( x ) = x 解的个数为 （A）1 （B）2 （C）3（D）4 3、已知函数 y = log x与y = kx 的图象有公共点A，且点 A的横坐标为2，则 k = 1 1 1 1 （A）− 4 （B） 2 （C） 4 （D） − 2
利用函数性质判 定方程解的存在
1 2010-12-11
问题提出
方程与函数都是函数的 关系求方程的解？
2 2010-12-11
实例分析
判断方程 x2-x-6=0 解的存在。 F(x)= x2-x-6
-3
0
4
-6
3 2010-12-11
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横 坐标叫做该函数的零点。即 f(x)=0的解。 若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续 曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内 至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
4 2010-12-11
例2
两根都大于1，求m 的范围。
数形 结合
2
（D）
高中数学知识点精讲精析 利用函数性质判定方程解的存在
4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在1.关于函数的零点(1)函数的零点的定义①如果函数在实数a 处的值等于零，即，则a 叫做这个函数的零点. ②函数的零点的几何意义是：函数的图象与x 轴的公共点.也就是函数的图象与x 轴的交点的横坐标.③方程有实数根函数有零点函数的图象与x 轴有交点.④若方程有二重实根，则称函数有二阶零点.(2) 如何判断函数在区间[a,b]上是否有零点？判断函数在区间[a ，b]上是否有零点，最关键是要把握两点：①函数的图象在区间[a ，b]上是否是连续不断的一条曲线.（函数的连续性，形象地说就是图象在指定区间无间断点）②在区间的两个端点处，函数值之积小于0，即，那么函数在区间(a ，b)内有零点，即存在，使，这个c 就是方程的根.2.二次函数的零点一元二次方程的根也称为二次函数的零点3.零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点.既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根.例1讨论函数的零点.解:本题主要考查对函数零点的求法的灵活准确应用和分类讨论思想的运用，解题时要本着简洁直观的原则，按照函数零点的求法进行转化和求解.例2 求证：方程的两个根一个在区间上，另一个在区间上. 解析:而二次函数是连续的，)(x f y =0)(=a f )(x f y =)(x f y =)(x f y =0)(=x f ⇔)(x f y =⇔)(x f y =0)(=x f )(x f y =)(x f y =)(x f y =)(x f y =0)()(<b f a f )(x f y =),(b a c ∈0)(=c f 0)(=x f )0(02≠=++a c bx ax )0(2≠++=a c bx ax y )2)(1(--=x ax y .2,10;2,2021==≠=+-==x ax a x x y a 时，零点为当故其零点为时，函数为当01752=--x x )0,1(-)2,1(,015)2()1(,011)0()1(,175)(2<-=<-=---=f f f f x x x f 则设所以函数在（－1，0）和（1，2）上分别有零点..即方程的两个根一个在区间上，另一个在区间上.证明方程的两个根一个在区间上，另一个在区间上.即证函数在和分别有一个零点.判断函数是否在上存在零点，除验算是否成立外，还要考查函数在上是否连续.例3 已知函数的图象的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围.解析:（1）当m ＝0时，，直线与x 轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意.（2）当m ≠ 0时，因为，所以抛物线过点.①若的开口向下，如下图，二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧.②若的开口向上，如下图，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当.综上所述，所求m 的范围是.对函数图象性质的研究，一是要注意特殊点；二是要画出示意图，再根据图象的特征解决问题.研究二次函数在给定区间上的零点时，可从判别式.对称轴.开口方向.区间的端点值等几方面去考虑.)(x f y =01752=--x x )0,1(-)2,1(01752=--x x )0,1(-)2,1()0,1(-)2,1()(x f y =),(21x x 0)()(21<x f x f )(x f ),(21x x 1)3()(2+-+=x m mx x f 13)(+-=x x f )0,31(311)0(=f )1,0()(,0x f m <)(,0x f m >1m 0,309,1,002304)3(2≤<⎩⎨⎧<<≥≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-≥--=∆即或解得：m m m m m m m m1,∞-。
北师大版数学高一必修1学案第四章4.1函数与方程
[核心必知]1．利用函数性质判定方程解的存在(1)函数零点：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，其就是方程f(x)＝0的解．(2)函数零点的判定定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．利用二分法求方程的近似解(1)二分法：在区间[a，b]上f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0，通过不断地把方程的解所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，进而得到一个近似解．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．(2)用二分法求方程近似解的过程(如图)：其中“初始区间”是一个两端函数值异号的区间；“M”的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义：方程解满足要求的精确度．[问题思考]1．函数的零点是一个点吗？提示：不是，是一个使f(x)＝0的x的取值．2．函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系？提示：等价关系，函数有几个零点⇔相应方程有几个根⇔相应函数的图像与x轴有几个交点．3．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)＞0，在区间(a，b)上就没有零点吗？提示：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，当f(a)·f(b)＜0时在(a，b)上一定有零点，但是零点的个数不能确定；当(a，b)是f(x)的单调区间时只有一个零点；当f(a)·f(b)＞0时也不一定没有零点．讲一讲1．(1)函数f (x )＝4x －16的零点为________． (2)函数f (x )＝x －4x 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(3)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)(4)已知函数f (x )＝2x －3x 2.问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？ [尝试解答] (1)令4x －16＝0，则4x ＝42，解得x ＝2，所以函数的零点为x ＝2. 答案：2(2)选C 令f (x )＝0，而x －4x ＝0，∴x ＝±2，故有两个．(3)选C 由f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0，知函数f (x )的零点在区间(0,1)内． (4)∵f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0，又∵函数f (x )＝2x －3x 2的图像是连续曲线， ∴f (x )在区间[－1,0]内有零点， 即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．(1)求函数f (x )的零点的方法：令f (x )＝0，解方程f (x )＝0即可． (2)判断函数零点的个数，常用的方法有：①解方程法：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断． ②用定理法：用零点存在性定理并结合函数的单调性．③利用图像的交点法：有些题目可先画出某两个函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像，其交点的横坐标是函数y ＝f (x )－g (x )的零点．(3)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f (x )＝0无法解出时，常用函数零点的判定定理：①函数图像的连续性；②区间端点函数值的符号相反．练一练1．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，18 B.⎣⎡⎦⎤18，14 C.⎣⎡⎦⎤14，12 D.⎣⎡⎦⎤12，1 解析：选C f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫π4＋log 214π2＋log 212＝⎝⎛⎭⎫π4－2⎝⎛⎭⎫π2－1＜0. 2．试判断方程x 3＝2x 在区间[1,2]内是否有实数解． 解：设函数f (x )＝x 3－2x ，则f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝8－4＝4＞0， ∴f (1)·f (2)＜0.又函数f (x )＝x 3－2x 的图像是连续曲线，∴函数f (x )＝x 3－2x 在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x 3＝2x 在区间[1,2]内至少有一个实数解．讲一讲2．当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？ [尝试解答] (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a ＞0时， 设f (x )＝ax 2－2x ＋1，因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＞0，a－2＋1＜0，4a－4＋1＞0，解得34＜a＜1.(3)当a＜0时，设方程的两根为x1，x2，则x1·x2＝1a＜0，x1，x2一正一负，不符合题意．综上，当34＜a＜1时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．若将本例中根的存在情况变为一根小于1，另一根大于1，则a的取值如何？解：设f(x)＝ax2－2x＋1，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，f(1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，f(1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，a－2＋1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，a－2＋1＞0.解得0＜a＜1.解决该类问题，有两种常用途径：(1)利用零点的判定定理构建不等式求解．(2)画出符合题意的草图，转化为函数问题．数形结合构建关于参数的方程或不等式，从而求解．练一练3．已知函数f(x)＝x2－x－m在区间(－1,1)上有零点，求实数m的取值范围．解：法一：①当函数f(x)＝x2－x－m＝⎝⎛⎭⎫x －122－m －14， 其对称轴x ＝12∈(－1,1)，故函数在区间(－1,1)上只有1个零点时，Δ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，f (－1)·f (1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f (1)＝0.即1＋4m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，m (m －2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，－m ＝0. 解得m ＝－14或0＜m ＜2或m ＝0.②当函数f (x )＝x 2－x －m 在区间(－1,1)上有2个零点时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，2－m ＞0，－m ＞0.解得－14＜m ＜0.综上所述，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－14，2. 法二：函数f (x )＝x 2－x －m 在区间(－1,1)上有零点 ⇔方程x 2－x －m ＝0在区间(－1,1)上有解 ⇔方程x 2－x ＝m 在区间(－1,1)上有解 ⇔函数y ＝x 2－x 与函数y ＝m 在区间 (－1,1)上有交点，∵函数y ＝x 2－x 在区间(－1,1)上的值域为⎣⎡⎭⎫－14，2，∴－14≤m ＜2，∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－14，2.讲一讲3．求方程lg x ＝3－x 的近似解(精确到0.1)． [尝试解答]令f (x )＝lg x ＋x －3，在同一坐标系中，作出y ＝lg x 和y ＝3－x 的图像如图所示，观察图像可以发现lg x ＝3－x 有唯一解x 0，x 0∈[2,3]，且f (2)＜0，f (3)＞0， 利用二分法可列下表：计算次数左端点 右端点 1 2 3 2 2.5 3 3 2.5 2.75 4 2.5 2.625 52.562 52.625由于区间(2.562 5,2.625)内的所有值若精确到0.1都为2.6，所以原方程的近似零点为2.6.求方程近似解的步骤：①构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n ，n ＋1)，n ∈Z ；②利用二分法求出满足精确度的方程解所在的区间M ；③写出方程的近似解．练一练4．求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个正数零点(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：计算次数左端点右端点11 22 1.5 23 1.5 1.754 1.625 1.755 1.687 5 1.756 1.718 75 1.757 1.718 75 1.734 375由上表可知，区间[1.718 75,1.734 375]中的每一个数精确到0.1都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[解]法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．[尝试用另一种方法解题]法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图像．由图像，知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点．1．函数y ＝x 2＋2x －3的零点和顶点的坐标为( ) A ．3,1；(－1，－4) B ．－3，－1；(－1,4) C ．－3,1；(1，－4) D ．－3,1；(－1，－4) 答案：D2．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )解析：选C 当且仅当函数f (x )在区间[a ，b ]上连续且f (a )·f (b )＜0时，才能用二分法求其零点，观察函数的图像知：选项A 中函数没有零点；选项B 和D 中函数虽然有零点，但是在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点；选项C 中函数有零点，且符合零点存在定理的条件．3．(北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选B 因为y ＝在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫12x在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x 在定义域内有唯一零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2，f (1)·f (2)＜0，用二分法逐次计算时，若x 0是[1,2]的中点，则f (x 0)＝________.解析：由题意知f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22＝f (1.5)，代入解析式易计算得0.625. 答案：0.6255．(湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 解析：由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0＜b ＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 答案：(0,2)6．判断下列函数在给定的区间内是否存在零点． (1)f (x )＝x 2－8x ＋16，x ∈[1,8]； (2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]； (3)f (x )＝2x －3，x ∈[2,4]．解：(1)f (1)＝9，f (8)＝16，f (1)·f (8)＞0，但是f (4)＝0且4∈[1,8]，所以函数在区间[1,8]内存在零点4.(2)由于f (1)＝log 2(1＋2)－1＝log 232＞0，f (3)＝log 2(3＋2)－3＝log 258＜0，因此f (1)·f (3)＜0，又函数f (x )在区间[1,3]上的图像是连续曲线，所以函数在区间[1,3]内存在零点．(3)因为函数的定义域为(－∞，3)∪(3，＋∞)，所以函数y ＝f (x )的图像在区间[2,4]上不是一条连续曲线，故不能用零点的存在性定理来判断是否存在零点．函数的图像如图所示，观察图像，可得函数在区间[2,4]内不存在零点．一、选择题1．下列函数有两个零点的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝2log 2xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 012，x ＞0，x 3，x ≤0 解析：选D 易知A 只有一个零点；对于B ，方程x 2＋2x ＋3＝0无解；对于C ，令2log 2x ＝0，也无解；对于D ，y ＝0有两解x ＝2 012和x ＝0.2．(重庆高考)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b ) 和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a ) 和(c ，＋∞)内解析：选A 令y 1＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＝(x －b )·[2x －(a ＋c )]，y 2＝－(x －c )(x －a )，由a <b <c 作出函数y 1，y 2的图像(图略)，由图可知两函数图像的两个交点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，即函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．3．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是 ( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B ∵f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，则函数f (x )的零点所在的大致区间是(1,2)．4．若方程|ax |＝x ＋a (a ＞0)有两个解，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(0，＋∞)D ．∅解析：选A 分三种情况，在同一坐标系中画出y ＝|ax |和y ＝x ＋a 的图像如图：结合图像可知方程|ax |＝x ＋a 有两个解时，有a ＞1.二、填空题5．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，可知，f (2)、f (3)分别等于－1、16，又因为f (2.5)＝458＞0，显然下一个有根的区间为[2,2.5)． 答案：[2,2.5)6．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．解析：分别作出函数f (x )＝3－x 2与函数g (x )＝2－x 的图像，如图所示．∵f (0)＝3，g (0)＝1，∴从图像上可以看出它们有2个交点．答案：27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，则函数y ＝f (x )－2的零点是________． 解析：当x ≤1时，y ＝3x －2，令y ＝0，得x ＝log 32≤1，当x ＞1时，y ＝－x －2，令y ＝0，得x ＝－2不合题意，综上，零点是log 32.答案：log 328．已知y ＝x (x －1)·(x ＋1)的图像如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)＋0.01，则方程式f (x )＝0①有三个实根；②当x ＜－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；③当－1＜x＜0时，恰有一实根；④当0＜x＜1时，恰有一实根；⑤当x＞1时，恰有一实根．正确的有________．解析：函数f(x)的图像如图所示，由图像易知，当x＜－1时，方程f(x)＝0恰有一实根；当－1＜x＜0时，方程f(x)＝0没有实根；当0＜x＜1时，恰有两个实根；当x＞1时，没有实根．答案：①②三、解答题9．判断方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．解：设函数f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数f(x)＝x3－x－1的图像是连续的曲线，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，用计算器可算得f(1.25)＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．再取(1.25,1.5)的中点x2＝1.375，用计算器可算得f(1.375)≈0.22＞0，因为f(1.25)·f(1.375)＜0，所以x0∈(1.25,1.375)．同理，可得x0∈(1.312 5,1.375)，x0∈(1.312 5,1.343 75)．由于区间(1.312 5,1.343 75)内的所有数精确到0.1都是1.3，所以1.3是方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个近似解．10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数h (x )＝f (x )－ax ，x ∈[2,3]时有唯一零点，且不是重根，求实数a 的取值范围；(3)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1.因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)h (x )＝f (x )－ax ＝x 2－(a ＋1)x ＋1，则h (2)＝3－2a ，h (3)＝7－3a . 所以h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一零点，且不是重根，只需⎩⎨⎧ h (2)≤0，h (3)≥0或 ⎩⎪⎨⎪⎧ h (2)≥0，h (3)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a ≤0，7－3a ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ≥0，7－3a ≤0，解得32≤a ≤73. 经验证，知当a ＝32时，方程h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一解x ＝2；当a ＝73时，方程h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一解x ＝3；故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，73.(3)由题意，得f (x )＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0在区间[－1,1]上恒成立．设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其图像的对称轴为直线x ＝32，所以g(x)在区间[－1,1]上是减少的．所以只需g(1)＞0，即m＋1＜0，解得m＜－1. 即m的取值范围为(－∞，－1)．。
《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计
单元课题：函数与方程一、课标要求与教材分析这一节，是用函数来研究方程，具体研究的是方程的实数解，先是判断方程实数解的存在性，然后是求方程的近似解。
方程f(x)=0的实数解就是函数f(x)的零点，解方程的过程（求方程的近似解）就是细化函数连续区间的过程。
这样容易看出函数对方程的统领作用，使学生感受函数的核心地位。
学生将通过本节学习，结合实际问题，感受运用函数概念简历模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题。
学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系，并为今后进一步学习函数与不等式等知识奠定了坚实的基础．二、学情分析高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节内容必须承载的任务．通过本节学习要让学生意识到“数学可以解决实际问题”并且也认识到“自己的数学知识还有待进一步提高”。
;三、教学目标1．知识与技能目标：（1）正确认识函数与方程的关系，求方程f(x)=0的实数解就是函数f(x)的零点，体会函数知识的核心作用。
（2）能够利用函数的性质判定方程解得存在性（3）能够用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义。
2．过程与方法目标：在近似计算的学习中感受近似，逼近和算法等数学思想的含义和作用。
3．情感、态度和价值观目标：（通过本节的学习，进一步拓展学生的视野，使他们体会数学不同内容之间是存在一定联系的。
课时课题：利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标：'（1）知识与技能目标了解函数零点的概念；理解函数零点与方程的根之间的关系；掌握判断函数零点存在的方法；（2）过程与方法目标培养学生独立思考,自主观察和探究的能力；树立数形结合，函数与方程相结合的思想；（3）情感态度与价值观目标培养学生用联系的观点看待问题；感悟由具体到抽象、由特殊到一般地研究方法，形成严谨的科学态度。
利用函数性质判定方程解的存在学案
教师寄语：再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。
编写：雷义平组长审核：年级审核：时间：班组：学生姓名：第四章函数应用§1-1.1利用函数性质判定方程解的存在一、学习目标：1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程解的关系。
2、掌握零点存在的判定条件。
二、学习重难点：1、重点：零点的概念及存在性的判定；2、难点：零点的确定。
三、教学过程：第一部分阅读导学阅读课本有关内容，自主学习，完成下列内容。
复习1：一元二次方程2a x+bx+c=0 (a≠0)的解法.判别式∆= .当∆0，方程有两根，为x=；1,2当∆0，方程有一根，为x=；当∆0，方程无实数.复习2：二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象思考：方程与函数图像之间有怎样的关系呢？第二部分自学检测1、判断二次函数f(x)= x2-x-6的零点（）A (-2,0)和(3,0)B x=-2C -2和32、p116页练习1第三部分问题探究探究一：一元一次方程x-1=0的解和相应的一次函数f(x)=x-1的图像之间的关系?一元二次方程x2-3x+2=0的解和相应的二次函数f(x)= x2-3x+2的图像之间的关系？探究二：观察二次函数f(x)= x2-x-6的图像:如何判断它在某区间上是否存在零点？第四部分合作交流例2、已知 f(x)=3x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内有没有实数解?为什么?例3、判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且有一个大于５，一个小于２。
P116页课后练习2、3课后探究：若在区间(a,b)内有零点，则f(a)f(b)<0 一定成立吗？。
“利用函数性质判定方程解的存在”的教学实践与思考
教 学 观 点 “ 数 的 零 点 ”是 课 标 教 材 新 增 内 容 ， 是 高 中 函 也 学 过 函 数后 的 首 次 应 用 ． 过 应 用 来 加 深 和 完 善 对 函 通
＿ｎ＿ｂ 厂 ）（ ）＜ ０ 那 么一 定 只有 一 个 根 吗 ？ （ 厂 ，
然 在 知 识 点 上 是 函数 的零 点 及 其 存 在 性 的判 定 ， 是 但
在 整 体 上 ， 该 是 “ 一 种 联 系 、 动 变 化 的观 点 来 认 应 用 运 识 和 处 理 ”问题 ， 体 的 数 学 知 识 只 是 一 个 载 体 ． 如 具 正
一
文 ［ ］ 言 ， 数 学 课 堂要 重 过 程 更 要 重 思 想 ” 所 以 ２ 所 “ ，
向学 生 渗 透 并 让 学 生 体 会 函 数 方 程 思 想 、 形 结 合 思 数 想 和 化 归 思 想 应 贯 穿 课 堂 的 始 终 ． 然 了 ， 于 学 生 当 对 而 言 ， 解 函数 零 点 的 定 义 ， 握 函 数 零 点 存 在 性 的 理 掌 判定 ， 了解 方 程 的根 与 函数 零 点 的联 系 就 是 本 节 的 重 点 ． 实 现 这 一 目标 ， 者 遵 循 钱 老 师 的 指 导 ， 计 了 为 笔 设 生 成 性 “ 题 串 ” 迎 合 学 生 好 奇 、 胜 的 心 理 ， 发 学 问 ， 好 激
问题 １２ ．ｘ—Ｙ一６ ＝ ０表示 什 么 ？ 引 出零 点 的概 （
念）
问题 ２ 方 程 ２ ． ＋２ ｘ一６＝０ 否 有 实 根 ？ 生成 判 是 （
北师大版必修1《利用函数性质判定方程解的存在》教案及教学反思
北师大版必修1《利用函数性质判定方程解的存在》教案及教学反思一、引言函数是高中数学中重要的概念之一，对于理解数学中的许多问题具有重要作用。
其中，通过利用函数性质判定方程解的存在是高中数学中重要的一块内容，也是许多学生感觉比较困难的一个知识点。
本文主要介绍北师大版必修1中的“利用函数性质判定方程解的存在”这一节的教学教案及反思。
二、教学目标1.知道什么是函数性质，了解常见函数形式；2.能够准确地运用函数性质判定方程解的存在。
三、教学内容本节课程的重点在于利用函数性质判定方程解的存在，主要涉及以下内容：1.函数的概念和性质；2.奇偶性函数；3.单调性函数；4.形如f(x)=x的方程的图像与y=x的图像的位置关系；5.利用奇偶性、单调性和函数图像判定方程解的存在。
四、教学重难点1.知道如何准确地应用函数奇偶性和单调性判定方程解的存在；2.理解函数f(x)=x与y=x的图像位置关系。
五、教学策略1.引导学生发现函数的特点，理解函数性质；2.针对方程的形式，引导学生思考利用哪些函数性质进行判定；3.引导学生运用数学工具，如画函数图像等。
六、教学过程1. 知识导入引导学生听一段《小燕子》的歌曲，鼓励学生用歌词中的“如何让你知道我在等你”的形式，思考几种方程的解的存在性，并在黑板上列示出来。
2. 理解函数的概念和性质介绍函数的定义和常见的函数形式，并讲解函数的性质，如奇偶性、单调性等。
在讲解过程中，通过示例让学生理解基本函数性质。
3. 利用奇偶性和单调性判定方程解的存在从最简单的形式f(x)=c入手，引导学生思考不同情况下的判定方法。
然后引导学生自己发现利用奇偶性和单调性判定方程解的方法，并通过练习加深理解。
4. 画f(x)=x的图像与y=x的图像的位置关系通过讲解y=x的图像在平面直角坐标系中的位置，以及f(x)=x的图像与y=x的图像的位置关系，引导学生理解如何运用图像判定方程解的存在。
5. 实例练习将学过的知识点整合起来，让学生结合题目进行实例练习，加深对知识点的理解和记忆。
高一数学利用函数性质判定方程解的存在
仅有的猜疑奇特，奇特的灰蓝色闪电般的手指的确绝对的典雅出色。他威猛的活像肥肠般的腿好像十分夸张同时还隐现着几丝华丽，硕长的活像筷子般的脚的确绝对
的灿烂和经典，他矮胖的活像黄瓜般的屁股的确绝对的富贵科学！腰间一条，威 风的浓绿色黄瓜 般的腰带感觉空前英武标准。这个党棍喘息时有种动听的春绿色台风 般的声音，得意时会散发出弥漫的亮蓝色天线一样的气味。他威猛的银橙色小号造型的骨骼感觉空前酷帅但又有些正点，那种高贵的深红色廊柱般的神态感觉空前诡
堆般的皮肤，认为很是猜疑超脱，她头上是镶着狮头的淡灰色磨盘样的长辫，戴着一顶寒酸的灰蓝色猪肚般的萝卜冰火巾，她上穿贵族的淡白色鸭蛋似的羽毛飘帘雨
萍袍，下穿肥胖的的浓绿色胶卷模样的牢笼湖帆裤子，脚穿有飘带的白象牙色仙鹤似的牛怪银兽鞋……有时很喜欢露出露着傻傻的亮紫色牛肝样的龙爪浪雾胖肚，那
上面上面长着神气的纯灰色的细小企鹅般的肚毛。整个形象认为很是冷酷酷野……女参谋Ｈ．琦叶娆仙女长着凹露的亮蓝色袋鼠般的脑袋和凸凹的天青色野象模样的
（A）1 （B）2 （A）
（B）
（C）
（（D）C）3（D）4
3、已知函数 y log 1 x与y k的x 图象有公共点A，且点
A的横坐标为2，则4 k =
（A）
1 4
（B）12
1
（C） 4
（D）
1 2
l方程与函数的关系
l根的存在性的判断 的方法
lP136:A 2
l
B1
lP125:A 6
脖子，最出奇的是一张威猛的纯白色海参般的脸，配着一只怪异的湖青色火苗一般的鼻子。鼻子上面是一对不大的纯蓝色天网造型的眼睛，两边是脏脏的紫宝石色小
鬼耳朵，鼻子下面是很大的深蓝色炉灰一样的嘴唇，说话
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2
解：由题意知函数 f ( x) x x 6 的图像是连续的,
2
y
A
因 f (0) 6 0 , f (4) 6 0 ,
故方程 x x 6 0 在区间 (0, 4) 内有实根,记为 x1 ；
2
因 f (0) 6 0 , f (4) 14 0 ,
问题引入：
1.方程 x 2 x 1 0 是否有实数解？
2
2.方程 x 2 x 1 0 在区间 (2,3) 上是否有实数解？
2
3.方程 2 3x 0 在区间 (3,5) 上是否有实数解？
x
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利用函数性质判定方程解的存在
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实例分析：
故方程 x x 6 0 在区间 (4, 0) 内有实根,记为 x2 .
2
C
x2
-4 O
x1
4
x
综上可知,方程 x x 6 0 有两个实数解 x1 , x2 .
2
B
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抽象概括:
1.请指出函数的零点的概念. 2.函数的零点与方程的实数解之间有何关系？ 3.用函数的性质来断定方程有解的条件有哪些？
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典例分析:
例 2.已知函数 f ( x ) 3x x 2 .问:方程 f ( x ) 0 在 [1,0] 内 有没有实数解?为什么?
解：由题意知函数 f ( x) 3 x 的图像是 0 , f (1) 2 0 , 3 x 2 所以方程 3 x 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
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课后思考：
请求出方程 x log2 x 0 的一个有解区间 ( a, b ) , 使得 b a 0.1 .
注意：函数在区间端点处是否有意义！ 2.函数的图像和性质在方程是否有解的判断过程中有哪些作用？ ①用函数图象的特征可以判断方程是否有解. ②分析函数的单调性可以判断方程是否有解. ③用函数图象的连续性及端点函数值的符号判断方程是否有 解.
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作业布置:
1.教材P119,习题4—1之A组第2题. 2.教材P119,习题4—1之B组第1题.
y
O
1
x
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深入理解：
3 0 在区间 (0, 2) 上是否有实数解？ 5.方程 x 2 x 1
2
y
y
O
1 x
O
1 2
3
x
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课堂小结:
1.怎样判断方程在给定区间上是否有实数解？ ①判断函数的图像在该区间上是否连续.
②判断函数在区间端点处的函数值是否异号.
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问题解决：
1.方程 x 2 x 1 0 是否有实数解？
2
x 2 2 x 1 0 在区间 (2,3) 上是否有实数解？ 2.方程
3.方程 2 3x 0 在区间 (3,5) 上是否有实数解？
x
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巩固提高：
4.方程 x log2 x 0 在 (0,1) 上是否有实数解？