九年级秋季班-第16讲：一模复习之锐角三角比的计算与应用(1)(教案教学设计导学案)

在历年各区的一模考试中，大部分区县都会在解答题中考察两道关于锐角三角比的大题，合计约20分．一道题是纯粹的计算题，主要考察特殊锐角三角比的值和计算能力，另一道题是应用解答题，主要考察解直角三角形的应用，包括仰角和俯角、方位角、坡度与坡角的应用，以及解直角三角形在其他图形中的应用，旨在考察同学们利用锐角三角比解决实际问题的能力．

本讲整理了近两三年的关于锐角三角比的计算和应用类题目，同学们可根据自身情况进行适当的练习．

锐角三角比的计算主要考察特殊锐角的三角比的值以及同学们的计算能力，同学们需熟记各特殊锐角的三角比的值，并熟练其他计算类型（绝对值、幂运算、二次根式等）的相关要点．

【例1】（2015学年·嘉定区一模·第19题）计算：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式=

=．

【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．

【例2】（2015学年·长宁区、金山区一模·第20题）计算：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式=

=．

【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及零次幂的运算．

【例3】（2014学年·普陀区一模·第19题）计算：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式=，

=

=．

【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．

【例4】（2015学年·宝山区一模·第19题）计算：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式=

=

=．

【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．

【例5】（2015学年·徐汇区一模·第19题）计算：．【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

．

【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．

【例6】（2015学年·奉贤区一模·第19题）计算：．【难度】★★

【答案】．

【解析】原式=

=

．

【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．【例7】（2014学年·金山区一模·第19题）计算：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式=││+

=

=．

【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．

【例8】（2014学年·崇明县一模·第19题）计算：．【难度】★★

【答案】2．

【解析】原式=

=

=．

【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及计算．

【例9】（2014学年·长宁区一模·第19题）计算：

．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式= = = =．

【总结】本题考查了特殊锐角三角比的值及零次幂的运算．

锐角三角比的应用主要考察应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的的方法进行有关的几何计算，解决有关的实际问题，包括但不局限于仰角、俯角、方位角、坡度和坡角等的应用．

【例10】（2015学年·嘉定区一模·第22题）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸边选取、两点，在对岸岸边选择点，测得，，米，求这条河的宽度（这里指点到直线的距离）．（结果精确到1米，参考数据：，）

【难度】★★

【答案】19m．

【解析】过点A作，

设

则，

在，

解得：

答：河宽为19m．

【总结】本题考察了锐角三角比的应用——方位角问题．

【例11】（2015学年·浦东新区一模·第22题）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时的公路上由西向东匀速行驶，依次经过点A、B、C．P是一个观测点，，PC = 60米，，，测得该车从点A点行驶到B点所用时间为1秒．

（1）求A、B两点间的距离；

（2）试说明该车是否超过限速．

【难度】★★

【答案】（1）20m；（2）没有超速，理由略．

【解析】（1）∵PC⊥l，∴tan∠APC=．

∵tan∠APC=，PC=60，∴∴AC=80

∵PC⊥l，∠BPC=45°，∴BC=CP=60，

∴AB=80-60=20(米)；

（2）实际速度为20米/秒，

因为20（千米/小时）<80千米/小时，所以汽车没有超速．

【总结】本题考察了锐角三角比在实际生活中的应用．

【例12】（2015学年·黄浦区一模·第23题）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在A、B两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为37°，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板DE所成的角度为30°．

（，，）

（1）求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差．

（2）求OD这段细绳的长度．

【难度】★★

【答案】（1）10cm；（2）30cm．

【解析】（1）过点A作AF⊥OC，垂足为点F．

在Rt△AFO中，∵，AO =50cm，

∴

∴．

答：小球达到最高点位置与最低点位置的高度差为10cm；

（2）因为B点与A点的高度相同，所以B点与C点的高度差为10cm，

联结BF，则BF⊥OC，设OD长为x cm

∵，，∴，

∴，

在Rt△DFB中，，解得：

∴

答：OD这段细绳的长度为30cm．

【总结】本题考察了锐角三角比的应用．

【例13】（2015学年·长宁区、金山区一模·第23题）靠校园一侧围墙的体育场看台侧面，如图阴影部分所示，看台的二级台阶高度相等，宽度相同，现要用钢管做护栏扶手及三根与水平底面垂直的护栏支架、、（底端、、分别在每级台阶的中点处），已知看台高为1.2米，护栏支架米，．

（参考数据：，，）

（1）点与点的高度差是米；

（2）试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度l，即的长度．（结果精确到米）

【难度】★★

【答案】（1）0.8；（2）4.9m．

【解析】（1）；

（2）联结GD，易得：，

，

，

，

．

【总结】本题考察了锐角三角比在实际生活中的应用．