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大学文科数学试卷A

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2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)

2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)

2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。

2018年高考(全国I卷)文科数学试题 A3版 含答案

2018年高考(全国I卷)文科数学试题 A3版 含答案

文科数学试题 第1页（共5页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--,则AB =A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}--2．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1 D3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆22214x yC a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为A ．13B ．12CD5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A．B ．12πC．D ．10π6．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 8．已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧 面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A． B．C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A ．8B．C．D．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos 23α=，则||a b -= A ．15BCD ．112．设函数2,0,()1,0,x x f x x -⎧=⎨>⎩≤ 则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞文科数学试题 第2页（共5页）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

202x年全国高考数学卷文科卷及解析

202x年全国高考数学卷文科卷及解析
在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
〔Ⅰ〕求 的极坐标方程.
〔Ⅱ〕假设直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积.
24．〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲
已知函数 .〔Ⅰ〕当 时求不等式 的解集；〔Ⅱ〕假设 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
〔A〕 斛〔B〕 斛〔C〕 斛〔D〕 斛
7．已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和，假设 ，则 〔〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
8．函数 的局部图像如下图，则 的单调递减区间为〔〕
〔A〕
〔B〕
〔C〕
〔D〕
9．执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 〔〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
10．已知函数 ，且 ，则 〔 〕
执行第5次，S=S-m =0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，
执行第6次，S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，
执行第7次，S=S-m=0.0078125, =0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，应选C.
真题解析：〔Ⅰ〕由散点图可以推断， 合适作为年销售 关于年宣传费用 的回归方程类型.
〔Ⅱ〕令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由于 = ，
∴ =563-68×6.8=100.6.
∴ 关于 的线性回归方程为 ，
∴ 关于 的回归方程为 .
〔Ⅲ〕(ⅰ)由〔Ⅱ〕知，当 =49时，年销售量 的预报值
=576.6，
执行第2次，S=S-m =0.25, =0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，

最新普通高等学校招生文科数学全国统一考试试题(广东卷A)(含解析)

最新普通高等学校招生文科数学全国统一考试试题(广东卷A)(含解析)

普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．锥体地 体积公式：13V Sh =．其中S 表示锥体地 底面积，h 表示锥体地 高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出地 四个选项中，只有一项是符合题目要求地 ． 1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =IA ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-图 1D ．{2,0,2}-【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ，5分到手，妙！2．函数lg(1)()1x f x x +=-地 定义域是A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞UD ．[1,1)(1,)-+∞U 【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +地 模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】：复数地 运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D .4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式，图 2俯视图侧视图正视图51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C.5．执行如图1所示地 程序框图，3，则输出s 地 值是A ．1B ．2C ．4D ．7【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可.6．某三棱锥地 三视图如图2所示，则该三棱锥地 体积是A ．16B ．13C ．23D ．1【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥地 高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限地直线方程是 A ．x y +-= B ．10x y ++=C ．10x y +-= D ．0x y ++=【解析】本题考查直线与圆地 位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线地 距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求地 直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线地 距离等于1r =，求得k =8．设l 为直线，,αβ是两个不同地 平面，下列命题中正确地 是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了.9．已知中心在原点地 椭圆C 地 右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 地 方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y xD ．13422=+y x【解析】基础题，1,2,c a b === D. 10．设r a 是已知地 平面向量且≠0r r a ，关于向量r a地 分解，有如下四个命题：①给定向量r b，总存在向量r c，使=+r r r a b c；②给定向量rb和r c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+r r r a b c；③给定单位向量r b 和正数μ，总存在单位向量r c和实数λ，使λμ=+r r r a b c；④给定正数λ和μ，总存在单位向量r b和单位向量r c，使λμ=+r r r a b c；上述命题中地 向量r b，r c和r a在同一平面内且两两不共线，则真命题地 个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】本题是选择题中地 压轴题，主要考查平面向量地 基本定理和向量加法地 三角形法则. 利用向量加法地 三角形法则，易地 ①是对地 ；利用平面向量地 基本定理，易地 ②是对地 ；以a 地 终点作长度为μ地 圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错地 ；利用向量加法地 三角形法则，结合三角形两边地 和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量地 基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！今年地 选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}na 是首项为1，公比为2-地 等比数列，则1234||||a a a a +++=【解析】这题相当于直接给出答案了1512．若曲线2ln y axx=-在点(1,)a 处地 切线平行于x 轴，则a =．【解析】本题考查切线方程、方程地 思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴=13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+地 最大值是．【解析】画出可行域如图，最优解为()1,4，故填 5 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 地 极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴地 正半轴建立直角坐标系，则曲线C 地参数方程为 ．【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程地 时候，参数地 意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易地 则曲线C 地 参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）15．（几何证明选讲选做题） 如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=o从而30AE CAD =∠=o ，2DE ==.【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.图 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数(),12f x x x Rπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭地 值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭Q ，4sin 5θ==-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．【解析】这个题实在是太简单，两角差地 余弦公式不要记错了.17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）地频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果地重量在[90,95)地频率；(2) 用分层抽样地方法从重量在[80,85)和[95,100)地苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)地有几个？(3) 在（2）中抽出地 4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个地概率．【解析】（1）苹果地重量在[)95,90地频率为20=0.4；50（2）重量在[)85,80地有54=1⋅个；5+15（3）设这4个苹果中[)85,80分段地为1，[)95分段地,100为2、3、4，从中任取两个，可能地情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)95中各有1个地,100事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31P==.(A)62【解析】这个基础题，注意格式！18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1地等边三角形ABC中，,D E分别是AB AC边上地点，AD AE,=，F是BC地Array于点G，将ABF∆沿AF折起，得到如图5图 4A BCF-，其中2BC =．(1) 证明：DE //平面BCF (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG-．【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=，在折叠后地 三棱锥A BCF -中也成立，//DE BC ∴ ，DE ⊄Q 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 地 中点，所以AF BC⊥①，12BF CF ==.Q在三棱锥A BCF-中，BC =222BCBF CF CF BF∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF⋂=∴⊥Q 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭【解析】这个题是入门级地 题，除了立体几何地 内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何地 内容.19．（本小题满分14分）设各项均为正数地 数列{}na 地 前n 项和为nS ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a=(2) 求数列{}na 地 通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<L ．【解析】（1）当1n =时，22122145,45a aa a =-=+，20naa >∴=Q（2）当2n ≥时，()214411n n Sa n -=---，22114444nn n n n aS S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+，102nn n aa a +>∴=+Q∴当2n ≥时，{}na 是公差2d =地 等差数列.2514,,a a a Q 构成等比数列，25214aa a ∴=⋅，()()2222824aa a +=⋅+，解得23a=，由（1）可知，212145=4,1a aa =-∴=21312a a -=-=Q ∴{}na 是首项11a=，公差2d =地 等差数列.∴数列{}na 地 通项公式为21nan =-.（3）()()1223111111111335572121n n a aa a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+L L11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知nS 求na ，{}na 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 地 顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=地 距离为2．设P 为直线l 上地 点，过点P 作抛物线C 地 两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 地 方程；(2) 当点()0,P x y 为直线l 上地 定点时，求直线AB 地 方程；(3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅地 最小值．【解析】（1）依题意2d ==，解得1c =（负根舍去）∴抛物线C 地 方程为24xy=；（2）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，),(0y x P ，由24xy=，即214yx ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处地 切线PA 地 方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.∵21141x y=， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上， ∴10102y x x y -=.①同理， 2022y x x y-=. ②综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 地 坐标都满足方程y x xy -=002.∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点地 直线是唯一地 ，∴直线AB 地 方程为y x xy-=002，即0220x x y y--=；（3）由抛物线地 定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y yy y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y yx y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-=0020x y --=Q()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y=-时，AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问地 解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 21．（本小题满分14分） 设函数xkx xx f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时，求函数)(x f 地 单调区间；(2) 当0<k 时，求函数)(x f 在[]k k -,上地 最小值m 和最大值M ． 【解析】：()'2321f x x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>，()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=≤，即0k ≤<时，()'0fx ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ， 当x k=-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k=-=---=--.（ii ）当(241240k k k ∆=-=+>，即k <时，令()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==，注意到210k xx <<<， (注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>，从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==- ()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>Q()f x ∴地 最小值()m f k k ==，()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<Q()f x ∴地 最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 地 最小值()m f k k ==，最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k kk -=--> 所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深地 功力.。

高考文科数学试卷带答案

高考文科数学试卷带答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数f(x) = 2x - 3在定义域上的最大值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 3, 5，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列命题中正确的是：A. 平方根和算术平方根都是非负数B. 所有有理数的平方根都是实数C. 所有实数的平方根都是实数D. 所有无理数的平方根都是实数4. 下列函数中，y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上的是：A. a = 1, b = 2, c = 3B. a = -1, b = -2, c = 3C. a = 1, b = -2, c = -3D. a = -1, b = 2, c = -35. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z对应的点位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列等式中正确的是：A. a² + b² = c²B. b² + c² = a²C. a² + c² = b²D. a² + b² + c² = 07. 下列不等式中，恒成立的是：A. x² > 0B. x³ > 0C. x² > 1D. x³ > 18. 若函数y = f(x)的图像与直线y = kx（k ≠ 0）有唯一交点，则函数f(x)的图像可能是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 周期函数D. 反比例函数9. 下列事件中，属于随机事件的是：A. 抛掷一枚硬币，正面朝上B. 抛掷一枚骰子，得到6C. 抛掷一枚骰子，得到偶数D. 抛掷一枚骰子，得到奇数10. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，x² ≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x² = 0D. 对于任意实数x，x³ = 011. 若等比数列{an}的前三项分别为a₁, a₂, a₃，且a₁ + a₂ + a₃ = 6，a₁a₂a₃ = 8，则该数列的公比为：A. 2B. 4C. 8D. 1612. 下列函数中，y = f(x)的图像为一条直线的是：A. y = x²B. y = 2x + 1C. y = 3x - 2D. y = x³二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

(word版)高考文科数学(全国I卷)试题及答案,文档

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绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 本卷须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共 12小题，每题 5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合A={0,2}，B={-2,- 1,0,1,2},那么AIBA ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}1 i，那么|z|2．设z 2i1 iA ．0B ．1C ．1D ．223．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番 .为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：那么下面结论中不正确的选项是．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半224．椭圆C ：x2y1的一个焦点为(2,0)，那么C 的离心率为a4A ．1B ．1C ． 2D ．223 22 35．圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数f(x)x 3(a 1)x 2 ax. 假设f(x)为奇函数，那么曲线y f(x)在点(0,0)处的切线方程为A ．y 2xB ．y xC ．y2x uuu rD ．yx7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EBA．3uuur1uuurB．1uuur3uuur4AB AC4AB AC44文科数学试题第1页〔共10页〕C．3uuur1uuurD．1uuur3uuu r 4AB AC AB4AC 448．函数f(x)2cos2x sin2x2，那么A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π4，最大值为C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为，最大值为42π9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱外表上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱外表上的点N在左视图上的对应点为B，那么在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．217B．25C．3D．210．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB BC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，那么该长方体的体积为A．8B．62C．82D．8311．角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos22，那么3|ab|A．1B．5C．25D．1 5552x,x≤0,1)f(2x)的x的取值范围是12．设函数f(x)x 那么满足f(x1,0,A．(,1]B．(0,)C．(1,0)D．(,0)二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)_文科数学_解析版

2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)_文科数学_解析版

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,4,2,5M N ==，则U N M =ð（）A.{}2,3,5 B.{}1,3,4 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,5【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,4}M =，所以{}2,3,5U M =ð，又{2,5}N =，所以{2,3,5}U N M = ð，故选：A.2.()()()351i 2i 2i +=+-（）A.1- B.1C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】()()351i 51i 1i(2i)(2i)5+-==-+-故选：C.3.已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A.117B.17C.55D.255【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得()(),,a b a b a b a b +-+⋅-，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则a b a b +==-== ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()cos ,17a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==+-.故选：B.4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C 6=件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=.故选：D.5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A.25 B.22 C.20D.15【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列{}n a 的公差和首项，再根据前n 项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列{}n a 的公差，再根据前n 项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，依题意可得，2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=,又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==，所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=．故选：C.方法二：264210a a a +==，4845a a =，所以45a =，89a =，从而84184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=，所以53520S a ==．故选：C.6.执行下边的程序框图，则输出的B =（）A .21B.34C.55D.89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行即可解出．【详解】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=；当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=；当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=；当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.7.设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（）A.1B.2C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠=，从而122121tan 4512FP F S b PF PF ===⨯⋅，所以122PF PF ⋅=．故选：B.方法二：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又122PF PF a +==2212121221620PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选：B.8.曲线e 1=+xy x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A.e 4y x =B.e 2y x =C.e e 44y x =+ D.e 3e24y x =+【答案】C 【解析】【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x xxx x y x x +-'==++，所以1e|4x k y ='==所以()e e124y x -=-所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+.故选：C9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A.B.C.355D.455【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e =，则22222215c b a a==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离5d ==，所以弦长45||5AB ===.故选：D10.在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为2的等边三角形，2,PA PB PC ===，则该棱锥的体积为（）A.1B.C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】证明AB ⊥平面PEC ，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB 得解.【详解】取AB 中点E ，连接,PE CE ，如图，ABC 是边长为2的等边三角形，2PA PB ==，,PE AB CE AB ∴⊥⊥，又,PE CE ⊂平面PEC ，PE CE E = ，AB ∴⊥平面PEC ，又322PE CE ==⨯=，PC =故222PC PE CE =+，即PE CE ⊥，所以11121332B PEC A PEC PEC V V V S AB --=+=⋅=⨯⨯=△，故选：A11.已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.b c a>> B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，因为4112222⎛⎫+---= ⎪ ⎪⎝⎭，而22491670+-=+-=->，所以41102222⎛⎫---=-> ⎪ ⎪⎝⎭，即1122->-由二次函数性质知63)22g g <，因为62624112222⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭，而22481682)0-=+==<，即621122-<-，所以62)22g g >，综上，263222g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选：A.12.函数()y f x =的图象由cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为________．【答案】12-【解析】【分析】先分析1q ≠，再由等比数列的前n 项和公式和平方差公式化简即可求出公比q .【详解】若1q =，则由6387S S =得118673a a ⋅=⋅，则10a =，不合题意.所以1q ≠.当1q ≠时，因为6387S S =，所以()()6311118711a q a q qq--⋅=⋅--，即()()638171q q ⋅-=⋅-，即()()()33381171q q q ⋅+-=⋅-，即()3817q ⋅+=，解得12q =-.故答案为：12-14.若()2π(1)sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________．【答案】2【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.【详解】()()()222π1sin 1cos (2)1cos 2f x x ax x x ax x x a x x ⎛⎫=-+++=-++=+-++ ⎪⎝⎭ ，且函数为偶函数，20a ∴-=，解得2a =，故答案为：215.若x ，y 满足约束条件323,2331,x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322zy x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：1516.在正方体1111ABCD A B C D -中，4,AB O =为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为R .当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R '为体对角线长1AC =，即2R R ''==，故max R =；分别取侧棱1111,,,AA BB CC DD 的中点,,,M H G N ，显然四边形MNGH 是边长为4的正方形，且O 为正方形MNGH 的对角线交点，连接MG ，则MG =MNGH 的外接圆，球的半径达到最小，即R 的最小值为.综上，R ∈.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．（1）求bc ；（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】（1）1（2）4【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc A bc A A+-===，解得：1bc =．【小问2详解】由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A B a B b A c A B B A C ---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B B A B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以sin 2A =，故ABC 的面积为1133sin 12224ABC S bc A ==⨯⨯=△．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥平面,90ABC ACB ∠=︒．（1）证明：平面11ACC A ⊥平面11BB C C ；（2）设11,2AB A B AA ==，求四棱锥111A BB C C -的高．【答案】（1）证明见解析.（2）1【解析】【分析】(1)由1A C ⊥平面ABC 得1A C BC ⊥，又因为AC BC ⊥，可证BC ⊥平面11ACC A ，从而证得平面11ACC A ⊥平面11BCC B ；(2)过点1A 作11A O CC ⊥，可证四棱锥的高为1AO ,由三角形全等可证1A C AC =，从而证得O 为1CC 中点，设1A C AC x ==，由勾股定理可求出x ，再由勾股定理即可求1AO .【小问1详解】证明：因为1A C ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ,所以1A C BC ⊥,又因为90ACB ∠= ，即ACBC ⊥，1,A C AC ⊂平面11ACC A ，1AC AC C ⋂=,所以BC ⊥平面11ACC A ，又因为BC ⊂平面11BCC B ,所以平面11ACC A ⊥平面11BCC B .【小问2详解】如图，过点1A 作11A O CC ⊥，垂足为O .因为平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，1A O ⊂平面11ACC A ，所以1A O ⊥平面11BCC B ，所以四棱锥111A BB C C -的高为1AO .因为1A C ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ,所以1A C BC ⊥,1A C AC ⊥,又因为1A B AB =，BC 为公共边，所以ABC 与1A BC 全等，所以1A C AC =.设1A C AC x ==，则11A C x =，所以O 为1CC 中点，11112OC AA ==,又因为1A C AC ⊥,所以22211A C AC AA +=,即2222x x +=，解得x =，所以11A O ==，所以四棱锥111A BB C C -的高为1．19.一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表m<m≥对照组试验组（ⅱ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【答案】（1）19.8（2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能【解析】【分析】（1）直接根据均值定义求解；（2）（i ）根据中位数的定义即可求得23.4m =，从而求得列联表；（ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】试验组样本平均数为：1(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.220+++++++++++39621.622.823.623.925.128.232.336.5)19.820++++++++==【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6, ，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m<m≥合计对照组61420试验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.20.已知函数()2sin π,0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 0f x x +<，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减（2）0a ≤【解析】【分析】（1）代入1a =后，再对()f x 求导，同时利用三角函数的平方关系化简()f x '，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数()()sin g x f x x =+，从而得到()0g x <，注意到()00g =，从而得到()00g '≤，进而得到0a ≤，再分类讨论0a =与a<0两种情况即可得解；法二：先化简并判断得2sin sin 0cos xx x-<恒成立，再分类讨论0a =，a<0与0a >三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得0a >时不满足题意，从而得解.【小问1详解】因为1a =，所以()2sin π,0,cos 2x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()()22432cos cos 2cos sin sin cos 2sin 11cos cos x x x x xx xf x xx--+'=-=-()3333222cos cos 21cos coscos 2cos cos x x xx x xx---+-==，令cos t x =，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1t x =∈，所以()()()23233222cos cos 22221211x x t t t t t t t t t +-=+-=-+-=-++-()()2221t t t =++-，因为()2222110t t t ++=++>，10t -<，33cos 0x t =>，所以()233cos cos 20cos x x f x x +-'=<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】法一：构建()()2sin πsin sin 0cos 2x g x f x x ax x x x ⎛⎫=+=-+<< ⎪⎝⎭，则()231sin πcos 0cos 2x g x a x x x +⎛⎫'=-+<< ⎪⎝⎭，若()()sin 0g x f x x =+<，且()()00sin 00g f =+=，则()0110g a a '=-+=≤，解得0a ≤，当0a =时，因为22sin 1sin sin 1cos cos x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x <<，0cos 1x <<，则211cos x>，所以()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<，满足题意；当a<0时，由于π02x <<，显然0ax <，所以()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<，满足题意；综上所述：若()sin 0f x x +<，等价于0a ≤，所以a 的取值范围为(],0-∞.法二：因为()2232222sin cos 1sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x---===-，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x <<，0cos 1x <<，故2sin sin 0cos x x x-<在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以当0a =时，()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<，满足题意；当a<0时，由于π02x <<，显然0ax <，所以()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<，满足题意；当0a >时，因为()322sin sin sin sin cos cos x xf x x ax x ax x x+=-+=-，令()32sin π0cos 2x g x ax x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()22433sin cos 2sin cos x x xg x a x +'=-，注意到()22433sin 0cos 02sin 000cos 0g a a +'=-=>，若π02x ∀<<，()0g x '>，则()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，注意到()00g =，所以()()00g x g >=，即()sin 0f x x +>，不满足题意；若0π02x ∃<<，()00g x '<，则()()000g g x ''<，所以在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上最靠近0x =处必存在零点1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，此时()g x '在()10,x 上有()0g x '>，所以()g x 在()10,x 上单调递增，则在()10,x 上有()()00g x g >=，即()sin 0f x x +>，不满足题意；综上：0a ≤.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论0a >这种情况的关键是，注意到()00g '>，从而分类讨论()g x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的正负情况，得到总存在靠近0x =处的一个区间，使得()0g x '>，从而推得存在()()00g x g >=，由此得解.21.已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，AB =（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，,M N 为C 上两点，且0FM FN ⋅=，求MFN △面积的最小值．【答案】（1）2p =（2）12-【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；（2）设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,,M x y N x y 利用0MF NF ⋅=，找到,m n 的关系，以及MNF 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px-+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p -+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==，所以A B AB y ==-==即2260p p --=，因为0p >，解得：2p =．【小问2详解】因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n ⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n --=，所以，12124,4y y m y y n +==-，22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0MF NF ⋅=，所以()()1212110x x y y --+=，即()()1212110my n my n y y +-+-+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=，将12124,4y y m y y n +==-代入得，22461m n n =-+，()()22410m n n +=->，所以1n ≠，且2610n n-+≥，解得3n ≥+或3n ≤-．设点F 到直线MN 的距离为d，所以d =12MN y y =-=1==-，所以MNF的面积()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-，而3n ≥+或3n≤-，所以，当3n =-时，MNF的面积(2min 212S =-=-【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知点()2,1P ，直线2cos ,:1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B ，且4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知()2||, 0 f x x a a a =-->．（1）求不等式()f x x <的解集；（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】（1）,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭（2）263【解析】【分析】（1）分x a ≤和x a >讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x a ≤,则()22f x a x a x =--<,即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤,若x a >,则()22f x x a a x =--<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】2,()23,x a x af x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩.画出()f x 的草图,则()f x 与坐标轴围成ADO △与ABCABC 的高为3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a所以21132224OAD ABC S S OA a AB a a +=⋅+⋅== ,解得263a =。

2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解

2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解

2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（试题部分）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-iB ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2−B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16BC ．12D． 8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1 B．1 CD．110．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x −<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴． 19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值. 20．实数,a b 满足3a b +≥． (1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（答案详解）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,9【答案】A【解析】根据题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选A2．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-i B ．1C ．-1D ．2【答案】D【解析】根据题意得，z =，故22i 2zz =−=. 故选D3．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =−可得1155y x z =−，即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =−过点A ， 联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =−⨯=−. 故选D.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2− B ．73C ．1D ．29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【解析】方法1：利用等差数列的基本量 由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选D方法2：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选D方法3：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选B6．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3 C ．2 D 【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【解析】根据题意，()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF =，26PF ，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选C.7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16B C ．12D ． 【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =−−=−，故切线的横截距为13，纵截距为1−，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选A.8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为[]2.8,2.8−，故该函数为偶函数，AC 错误， 又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， D 错误.故选B.9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1CD ．1【答案】B 【分析】先将cos cos sin αα−α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin ααα=−11tan =−α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪−α⎝⎭， 故选B.10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α， 当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确， 故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32BC．2D【答案】C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可. 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 根据余弦定理可得:22294b a c ac ac =+−=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +. 故选C. 二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，当ππ32x −=时，即5π6x =时，()max 2f x =.答案为：2 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 【答案】64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−，整理得()2225log 60log a a −−=， 2log 1a ⇒=−或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==答案为：64.14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ．【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a −=−−+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+−+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a −=−−+，即3251a x x x =+−+，令()()32510,g x x x x x =+−+>则()()()2325351g x x x x x =+−=+−'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==−，因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈−.答案为：()2,1− 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.【答案】(1)153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)353232n⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用等比数列的求和公式可求n S .【解析】（1）因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−，所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =−=⨯−=−，故11a =，故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）根据等比数列求和公式得5113353523213n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−. 16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离. 【答案】(1)见详解；【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V −−=即可求解. 【解析】（1）因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ； （2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，等体积法可得M ABF F ABM V V −−=，2112333F ABM ABM V S FO −=⋅=⋅=△，2222222cos2FA AB FBFAB FAB FA AB+−+−∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d −−==⋅⋅==△解得d =M 到ABF17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x −<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x −−++>即可.【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'−=−= 当0a ≤时，1()0ax f x x −'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x −−−−=−−+−≥−++，令1()e 21ln (1)x g x x x x −=−++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x −'=−+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x−'=−，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=−=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=−+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=−++=，问题得证18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y += (2)见解析【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴.【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b = 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=， 故()()422Δ102443464120k k k =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】(1)221y x =+ (2)34a =【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程. （2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值； 法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. （2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R . 将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=−−=−，且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>，故1a <，12AB s s ∴=−2=，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +−+−=，()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−，则AB =2=， 解得34a = 20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【解析】（1）因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;（2）222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+ 22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。

高考全国1卷 文科数学试卷及答案(清晰word版)

高考全国1卷 文科数学试卷及答案(清晰word版)

.绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合{0,2}A，{2,1,0,1,2}B ,那么A B =A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}--2．设1i2i 1iz -=++，那么||z = A ．0B ．12C ．1D ．23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：那么下面结论中不正确的选项是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.4．椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，那么C 的离心率为A ．13B ．12C ．22D ．2235．圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 假设()f x 为奇函数，那么曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 8．函数22()2cos sin 2f x x x =-+，那么 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱外表上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，那么在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，那么该长方体的体积为 A ．8B ．62C ．82D ．8311．角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，那么||a b -=.A ．15B ．55C ．255D ．112．设函数2,0,()1,0,x x f x x -⎧=⎨>⎩≤ 那么满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

大学文科数学及试题答案

大学文科数学及试题答案

东莞理工学院（本科）清考试卷参考答案2010 2011 学年第二学期《大学文科数学》清考试卷参考答案开课单位：数学教研室 考试形式：闭、开卷，允许带 入场题序得分评卷人一二总分一、选择填空题（共70 分每空2 分）1、设函数f (x )=4-x 2+ln(x -1)，则函数f (x )的定义域为（C ） A) (1,2), B) [1,2], C) (1,2], D) [1,2). éù=2、设f (x )=x ,j (x )=cos x ，则lim f ëj (x )û(Bp2x ®2) A) cosp 242, B) 0, C) 1, D) 1. 2éù¢=3、设f (x )=x ,j (x )=sin x ,j ëf (x )û({}C )A) sin 2x, B) 2sin x , C) 2x cos x 2, D) cos x 2. 4、极限limx ®1x2-1=(3x +3x -4B) A) 11, B) , C) 0, D) 1. 2335.极限lim 3x 3-x +1=(B x ®¥2x +x -1A) 1, B) ). 32, C) 0, D) . 236.下列命题中正确的是( A ) 11A) lim x ®¥x sin x =1, B) lim x ®0x sin x =1, 1sin xC) lim x sin =0, D) lim =0. x ®¥x ®0x x =æ+1öx÷，则lim f (x )=(B 7、若函数f (x )ç1) x ®+¥x èø1A) 1, B) e , C) e , D) 0. =æ+1öx÷，则lim f (x )=(A) 8、若函数f (x )ç1x ®0+x èøA) 1, B) e , C) 3x ®0f (x )=2，则9、设f (x )=x +ax +b ，且f (1)=3，lim 1, D) 0. e(D ) A) a =2,b =0, B) a =-2,b =1, C) a =2,b =-1, D) a =0,b =2. 10、设f (x )=1-x，则f ¢(0)=(1+x2A) A) -2, B) -1, C) 0, D) 2. 11、曲线y =-x +1单调上升区间为( A ) A) (-¥,0], B) (-¥,1], C) [0,+¥), D) [1,+¥). 212、曲线y =x 在点(1,1)的切线方程为( C ) A) y -1=-(x -1), B) y 11-=(x -1), 2C) y -1=2(x -1), D) y -1=x -1. 13、若f (x )=x +5x -1，则f5(5)(x )=( D ) A) 0, B) 12, C) 24, D) 120. 14、当x =(3B)时，函数f (x )=x-3x +2取得极大值，该极大值等于4；A) 1, B) -1, C) 0, D) 3. 15.当x =1时，函数f (x )=x -3x +1取得极小值，该极小值等于( B ). 3A) 0, B) -1, C) -2, D) -3. 16、设函数f (x )=ìísin x ,x ³0,pî3x 2,x <0.则òf (x )dx =(C) 0A) 0, B) 1, C) 2, D) 3. 17、设函数f (x )=ìísin x ³2x ,0,则f Cî3x ,x <0.-ò1(x )dx =() A) -1, B) 0, C) 1, D) -2. 18、设函数f (x )=ìísin x ,x ³0,p则Dî2x ,x <0.òf (x )dx =() -1A) 0, B) 1, C) 2, D) 3. 319、积分ò11x 2dx =(B) +A) p 2, B) pp p 3, C) 4, D) 6. 20.p积分ò(2x -cos x )dx =(A) 222A) p , B) p -1, C) p -2, D) p21、积分òx cos xdx =(C) 0A) 0, B) -1, C) -2, D) -3. 1x22、积分òe 2+1dx =(C)2(e 3A) e -1), B) e , C) 1e (e 2-1), D) 1e 3. 22123、若òke x dx =1，则数k =(B)A) 1, B) 1e -1, C) 11e, D) e +1. 2p. 24.曲线y =x ,y =x 围成的平面图形的面积的( C ) A) 1, B) 1, C) 1, D) 1. 223612æ10-1öææ1-10öç÷=-ç÷A B ç÷çç011÷，则AB =ç25、设矩阵=ç011÷，-ç÷çè001øè000øè--1-2öææ0öç11-÷ç1-÷1÷, B) ç011÷, A) ç01ç÷ç÷è000øè002øæ10ç-C) ç11çè0-1æ1ç026. 设矩阵A =ççæ100ö0ö÷ç÷0÷, D) ç110÷. ÷ç÷0øè-21-2øæ1-10öæ0-1öç÷T T =-÷B B ç01ç11÷1÷，则A =ç，÷-ç÷çè001øè00øèAö÷÷ ÷øCö÷÷ ÷øæ1-10öæ1-1-2öç÷ç÷01-1÷01-1÷A) ç, B) ç, 000002èøèøæ1ç-C) çç1è0æ100ö0ö÷ç÷ç÷. 10÷110, D) ÷ç---÷10ø2øè21-112öæç÷=-11÷，当l =(27、设矩阵A ç0ç÷è00l øæ121ö=çç021÷÷÷，则r (A )=(28.设矩阵A çè021øD)时，A =2；A) -2, B) -1, C) 1, D) 2. )A) 0, B) 1, C) 2, D) 3. 29.设A 为三阶方阵,且A =3,则-2A =(D )A) -6, B) 6, C) 24, D) -24. ææx 1öæ0ö1-10öç÷=-çx 2÷÷，b =çç0÷÷. 则当l ¹(1÷，x =ç30.设矩阵A ç0l ç÷ç÷ç÷è002øèx 3øè1øC)时，线性方程组Ax =b 有唯一解 A) -2, B) -1, C) 0, D) 1. D)是线性方程组Ax =b 的解 31、设向量x 1,x 2是线性方程组Ax =b 的两个解，则(A) x 1+x 2, B) x 1-x 2, C) 2x 1+x 2, D) 2x 1-x 2. 32、设向量x 1,x 2是线性方程组Ax =b 的两个解，则(A)是线性方程组Ax =0的解 A) x 1-x 2,B) x 1+x 2,C) 2x 1+x 2,D) 2x 1-x 2.æ110öç÷=-1÷33、设矩阵A çç0l 1-÷，当l ¹(01øè0D)时，矩阵A 可逆；A) -2,B) -1,C) 0,D) 1.112öæ-÷,M =æçA 34、设矩阵M =çè37øèö÷.øææ7-2ö7-3öç÷ç÷,,B) A) è-31øè-21øC) ç7ææ-ö3ö÷,D) ç12÷.è21øè3-7øæ100ö1ç÷-35.设矩阵M =ç020÷,则M =(B ).ç÷è003ø300100æöæöç÷ç÷,0÷A) ç020÷,B) ç01/2ç÷ç÷è001øè001/3ø--ææ00öç100ö÷ç1÷0÷.C) ç0-20÷,D) ç0-1/2--3ø01/3øè00è0二、填空题（共30 分每空3 分）1.设函数f (x )=arctan2.若函数y =5x =5e3.若函数f (x )=e x +1x 1，则函数f (x )的定义域为(x ÎR \{-2}) 2+xx ln x ，则y ¢=5x (1+ln x ) (n )(x )，则f (x )=(e +x 1) 1cos x 1-() 4. 极限lim =2x ®0x 2x +sin x ®+¥x 5. 极限x lim =(1) +æ+ö1ln x =ç1+26.不定积分 òx dx è2(1ln x )C ÷ø7. 定积分ò1-12xdx =(2) 111100A =çA 100=çæöæö÷÷8.设矩阵,则0101èøèø1239.行列式231=(321-12) x x x ìæx 1öæ-1öï1+32-23=0,ç÷=ç÷的通解为çx 2÷c ç1÷10.齐次线性方程组íç÷ç÷ïx x x 2-3=0.îè3øè1ø南京晓庄学院大学文科数学课程考试试卷2010 –2010– 2011 学年度第 2011学年度第一学期院（系）级 共共页教研室主任审核签名：院（系）领导审核签名：院（系）领导审核签名：命题教师：数信院公共教研室数信院公共教研室 校对人：校对人：班级姓名学号得分序号得分阅卷人复核人一二三四总分一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数为初等函数的是( B )(A).sin x -2(B).y =2-cos xìx 2-1ì1+x x ¹1ï(C).y =ïíx 0-1x 1(D).y =íîx =î2.当x →0时，与sin x 等价的无穷小是( A )x <0x ³0(A)x +x (B)x sin x (C)3tan x (D)2x2f (0)-f (-x )x ®03设f ¢(0)存在，则lim ＝( D )x (A)-f ¢(0) (B)-2f ¢(0) (C)2f ¢(0) (D)f ¢(0)4.物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D 物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D ） D ）(A)函数值(A)函数值 (B)函数值 (B)极限 (B)极限 (C)极限 (C) 积分 (C)积分 (D)积分 (D)导数 (D)导数导数5.若f (x )的导函数是sin x ，则f (x )有一个原函数为（ C 有一个原函数为（ C ） C ）(A)1+cos x(B)x +sin x (C)x -sin x (D)1-cos x二、填空题（每小题3分，共15分）1.设函数cos x , x <0ì()在x =0点连续，则a =____1_____.f x =í-x a x ,0-³î2.设f (x )=x , 则,则f ¢[f (x )]= ____2x _ ____ .223．lim sin x =x ®+¥x4. 曲线.曲线y =1在点（1,1)在点（1,1)处的法线方程为1,1)处的法线方程为处的法线方程为y =xx5.(1-cos x )dx =x -sin x +c .ò三、计算题（每小题5分，共40分）1.求函数f (x )=ln(2x -1)+219-x 2的定义域.解：9-x >0且2x -1>0,所以函数f (x )=ln(2x -1)+2.设y =ln(2-x )，求其反函数19-x 2的定义域：1<x <32y y x 解：由e =2-x 得x =2+e 所以函数y =ln(2-x )的反函数是：y =2+e ，x Î(-¥,+¥)x (e x -1)3.求极限limx ®0sin 2xx (e x -1)lim x lim e x -11lim e x 1解：lim ==×=x ®0sin 2x x ®0sin x x ®0x ®01x 4.求极限limtan x -xx ®0x 3tan x -x=解：sec 2x -1limx ®0limx ®0x 323x =1-cos 2xx ®022x ®0sin 2x21=32lim3x cos x =lim 3x 5.已知y =ln(x +1)-ln x ，求dy解：因为y ¢x 2-12x1d x =2-所以dy =2x x x +1x(+1)6求y =e 2x cos x 的微分y ¢y x x 2x 解：¢=2e cos x -e sin x =e (2cos x -sin x )-1x7.求不定积分òx 2dx 22-é-ù=1x 11dx 解：=òx 2òêx 2x údx ûeë8.求定积分x 2ln xdxò1e1x x =d d ---ln x +Còx 2òx x 11解：ò1e é3ù-x 1ú =1(2e 3+1)x 2ln xdx =êx 3ln x9û19ë3四、综合应用题（每小题10分，共30分）1.证明方程x ×2-1=0至少有一个小于1的正实数根.x 解：令f (x )=x ×2-1，f (0)=-1<0 ,f (1)=1>0,f (x )闭区间[0,1]上连续，x 由根的存在性定理，有x Î(0,1)，使得f (x )=0 ,即x ×2-1=0至少有一个小于1的正实数根2.欲做一个体积为72立方厘米的带盖箱子，其底面长方形的两边成一比二的关系，怎样做法所用的材料最省？解：设底面长方形的两边的边长为x 厘米，2x 厘米，则高为表面积S =(x .2x ).2+(x .求导,x7236=2厘米x .2x x 36362162x x ).2(2.).24+=+x x 2x 2216S =8x -x 2=0所以在区间(0,+¥)上只有唯一的驻点x =3又因为在实际问题中存在最值，所以驻点x =3就是所求的最值点。

普通高等学校招生全国统一考试文科数学测试.docx

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作绝密★启用前 试卷类型：A普通高等学校招生全国统一考试文科数学测试本试题卷共4页，24题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．在复平面内，复数322(1z i i i=--为虚数单位)表示的点位于( ) .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2．若2cos （θ﹣3π）=3cosθ，则tanθ=（ ）A ．32B ．23C ．33-D ．3323．若集合{}0,1,2,3,4M =，集合{}23N x x =-<，则下列判断正确的是（ ） A.x M ∉，是x N ∉的充分必要条件；B.x M ∉，是x N ∉的既不充分也不必要条件；C.x M ∉，是x N ∉的充分不必要条件；D.x M ∉，是x N ∉的必要不充分条件 4．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为（ ）A ．62，62.5B ．65，62.5C ．65，62D ．62.5，62.55．设函数1,2,()2log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1)a ≠的最大值为1,则实数a 的取值范围是( )A ．[11)2, B ．0,1（） C ．10]2(, D ．1,（）+∞6．若下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A ．7k =B ．6k ≤C ．6k <D ．6k > 7．已知()()cos 2,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图像上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变；再把所得的图像向右平移ϕ个单位长度，所得的图像关于原点对称，则ϕ的一个值是（ ） A.316π B.516π C.34π D.38π8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．73 B ．172C ．13D ．173102+9．设直线l ：340x y a ++=，圆22 (2)2C x y ：-+=，若在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，MQ （,P Q 为切点）满足︒=∠90PMQ ，则a 的取值范围是（ ）A ．[18,6]-B ．[652,652]-+C ．[16,4]-D ．[652,652]---+ 10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点PQ R ，，分别是棱11111A A A B A D ，，的中点，以PQR ∆为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（ ）A.22 B.2 C.33 D.3211．双曲线C ：22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||FQ QN =，则双曲线C 的离心率为( )A ．3B ．2C ．5D ．612．已知函数32e )(2-++=ax ax x f x 在(0,+)x ∈∞上有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A.1(,)2-∞-B.1(,)22e --C.(1,0)-D.1(,)2+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题（共6小题，每题5分）13． 已知关于,x y 的不等式组0,,2,2x y x x y x y k≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪-≥⎩所表示的平面区域D 为三角形，则实数k 的取值范围是 ．14．如图，为了测量A 、C 两点间的距离，选取同一平面上B 、D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）：5=AB ，8=BC ，3=CD ，5=DA ，且B ∠与D ∠互补，则AC 的长为 km .15．在平面直角坐标系xOy 中，过定点(1,1)Q 的直线与曲线1xy x =-交于,M N 两点，则OQ OM OQ NO ⋅-⋅=________.16．设数列}{n a 的首项231=a ，前n 项和为S n , 且满足321=++n n S a ( n ∈N *) ．则满足7817182<<n n S S 的所有n 的和为 ．三、解答题：本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上 17．（本小题满分12分）已知向量1(sin ,),(cos ,cos(2))26a xb x x π=-=+，函数b a x f ⋅=)(.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在y 轴右侧的极大值点从小到大构成数列{}n a ，试求数列21{}n n a a π+的前n 项和n T18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==．（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．19．（本小题满分12分）某家电专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调，销售情况如表所示：第一周 第二周 第三周 第四周 第五周A 型数量（台） 11 10 15 4A 5AB 型数量（台） 10 12 13 4B 5BC 型数量（台） 15 8 12 4C 5C(Ⅰ)求A 型空调前三周的平均周销售量；(Ⅱ)为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店前三周售出的所有空调中随机抽取一台，求抽到的空调不是B 型且不是第一周售出空调的概率？（Ⅲ）根据C 型空调连续3周销售情况，预估C 型空调连续5周的平均周销量为10台.请问：当C 型空调周销售量的方差最小时， 求4C ，5C 的值； (注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x 的平均数)ABCM PD20．（本小题满分12分）已知椭圆22:216C x y +=（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，点A 在椭圆C 上，点B 在直线4x =上，且0OA OB ⋅=，求直线AB 截圆2217x y +=所得弦长.21．（本小题满分12分）已知函数()(21)x f x x e =-，()()g x ax a a R =-∈.（1）若()y g x =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）已知a < 1，若关于x 的不等式()()f x g x <的整数解只有一个x 0，求实数a 的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．做答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，AB 与圆O 相切于点B ，CD 为圆O 上两点，延长AD 交圆O 于点E ，BF ∥CD 且交ED 于点F (I)证明：△BCE ∽△FDB ；(II)若BE 为圆O 的直径，∠EBF=∠CBD ，BF=2，求AD·ED.23．（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 15cos 5y x ，（ϕ为参数），直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t 23321y t x ,(t 为参数). 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为)2,3(π.（Ⅰ）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求PB PA +的值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。

2024年高考数学(文科)真题试卷(全国甲卷)

2024年高考数学(文科)真题试卷(全国甲卷)

2024年高考数学（文科）真题试卷（全国甲卷）1.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

设，则（ ）A.B. C.2. D.2若集合，，则（ ）A. B. C. D.3.若满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C.D.4.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B.C.1 D.6.已知双曲线的两个焦点分别为，点B.3（ ）A.4C.在该双曲线上，则该双曲线的离心率为2 D.7.设函数，则曲线在点积为（ ）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面A.B.C. D.8.函数在区间的图象大致为（ ）A. B.C. D.9.已知，则（ ）A. B. C.D.10.已知直线与圆交于两点，则B.3D.的最小值为（6）A.2C.411.设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或②若，则或③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 12. B.②④D.其中所有真命题的编号是（ ）A.①③C.①②③①③④在中,内角所对的边分别为，若，，则）（A. B. C. D.13.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．函数在上的最大值是_______________．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,15.，则圆台甲与乙的体积之比为_______________．已知且，则16._______________．曲线与在上有两个不同的交点，则17._______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 的取值范围为（一）必考题：共60分．已知等比数列的前项和为，且 17.1..求17.2.的通项公式；求数列18.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150的前n 项和.件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计9652215018.1.18.2.已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设.为升级改造后抽取的n件产品的优级品率如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k 3.8416.63510.82819.如图，，，，,为的中点.19.1.证明：平面19.2.；求点到20.的距离.已知函数20.1.．求 20.2.的单调区间；当时，证明：当时，21.恒成立．已知椭圆的右焦点为，点在上，且21.1.轴．求21.2.的方程；过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：22.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题轴．号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为22.1..写出22.2.设直线l 的直角坐标方程；：（为参数），若与l相交于两点，若，求23..已知实数满足23.1.．证明：23.2.；证明：．参考答案1.D 解析：先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.依题意得，，故故选：D2.C .解析：根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是故选：C3.D 解析：.画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.实数满足，作出可行域如图：由可得，即的几何意义为的截距的，则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点，联立，解得，即，则故选：D.4.B 解析：解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解..解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率.解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为故选：B5.D 解析：.可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和理，或者特殊值法处理.来处理，亦可用等差数列的性质进行处方法一：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，又故选：D方法二：利用等差数列的性质.根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，，故故选：D方法三：特殊值法.不妨取等差数列公差，则，则故选：D6.C 解析：.由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得由题意，，即可得离心率.设、、，则，，，则，则故选：.C.7.A 解析：借助导数的几何意义计算可得其在点其面积处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得.，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积故选：A.8.B 解析：利用函数的奇偶性可排除A、C .，代入可得，可排除D.，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又故可排除D.故选：B.9.B 解析：，先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.因为，所以，，所以故选：B.10.C 解析：，根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，定理代入计算，即可求解.的最小，结合勾股因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，的最小，此时故选：C11.A 解析：根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③..对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，故②错误；对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，则，因为平面，平面，则平面，因为平面，，则，又因为，则，故③正确；对④，若与和所成的角相等，如果，则综上只有①③正确，故选：A.12.C 解析：，故④错误；利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.因为，则由正弦定理得由余弦定理可得.:即，:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则故选：C.13.2 解析：结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. .，当时，，当时，即时，故答案为：.214.先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得 解析：解.由题可得两个圆台的高分别为，，所以.故答案为：15.64 解析：.将利用换底公式转化成来表示即可求解.由题，整理得，或，又，所以，故故答案为：64.16. 解析：将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.令，即，令则，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以.故答案为：17.1. 解析：因为,故，所以即故等比数列的公比为，故，故，故.17.2. 解析：由等比数列求和公式得，所以数列的前n项和18.1.答案见详解 解析：略18.2.答案见详解 解析：.由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，用频率估计概率可得，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.19.1.证明见详解； 解析：由题意得，，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面；19.2. 解析：取的中点，连接，，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，故.又平面，所以平面，易知.在中，，所以.设点到平面的距离为，由，得，得，故点到平面的距离为.20.1.见解析 解析：定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为20.2.见解析.解析：，且时，，令，下证即可.，再令，则，显然在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，问题得证21.1. 解析：设，由题设有且，故，故，故，故椭圆方程为21.2.证明见解析. 解析：直线的斜率必定存在，设，，，由可得，故，故，又，而，故直线，故，所以，故，即轴.22.1. 解析：由，将代入，故可得，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为.22.2. 解析：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为法1.：直线的斜率为，故倾斜角为，故直线的参数方程可设为，.将其代入中得设两点对应的参数分别为，则，且，故，，解得法2.：联立，得，，解得，设,，则，解得23.1.证明见解析 解析：因为，当时等号成立，则，因为，所以23.2.证明见解析;解析：。

全国统一标准测试·数学(文科A卷)

全国统一标准测试·数学(文科A卷)

全国统一标准测试数 学（文科A 卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分；考试用时120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)参考公式：sin αcos β=21［sin(α+β)+sin(α－β)］ cos αsin β=21［sin(α+β)－sin(α－β)］cos αcos β=21［cos(α+β)+cos(α－β)］sin αsin β=－21［cos(α+β)－cos(α－β)］sin α+sin β=2sin 2βα+cos 2βα-sin α－sin β=2cos 2βα+sin 2βα-cos α+cos β=2cos 2βα+cos 2βα-cos α－cos β=－2sin 2βα+sin 2βα-S 台侧=21（c ′+c )l (c 、c ′分别表示上、下底面周长；l 表示斜高或母线长）V 台体=31（S ′+S S '+S ）h (S ′、S 分别表示上、下底面积；h 表示高）如果事件A 、B 互斥；那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立；那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ；那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=C k n p k (1－p )n －k一、选择题（本大题共12小题；每小题5分；共60分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的）f (x )=lgsin x (2π＜x ＜π)；下列说法中正确的是 A.f (x )是增函数,且f (x )>0 B.f (x )是增函数,且f (x )<0 C.f (x )是减函数,且f (x )>0D.f (x )是减函数,且f (x )<0z 1=2－i ,已知|z 2|=|z 1|；且arg221π=z z ；则复数z 2的值为A.1+2iB.1－2iC.－1+2iD.－1－2i3.某地区高中分三类；A 类校共有学生4000人；B 类校共有学生2000人；C 类校共有学生3000人.现欲抽样分析某次考试的情况；若抽取900份试卷进行分析；则从A 类校抽取的试卷份数应为a =（3；4）；b =（2；1）；若（a +x b ）⊥(a －b )；则x 等于A.－3B.23D.－23R 上的函数f (x )；如果存在实数x 0；使f (x 0)=x 0,那么x 0叫做函数f (xf (x )=x 2+2ax +1不存在不动点；那么a 的取值范围是A.(－23,21) B.(－21,23) C.(－1,1)D.(－∞,－1)∪(1,+∞)6.直线y=x +5与曲线259||2y x x +=1的交点的个数是P 在曲线y=x 3－x +7上移动；过P 点的切线的倾斜角取值范围是 A.［0；π)B.(0,2π)∪［43π, π)C.［0,2π)∪(2π,43π]D.［0, 2π)∪［43π, π)8.在等比数列{a n }中；已知对任意自然数n ；a 1+a 2+…+a n =2n －1；则a 12+a 22+…+a n 2等于 A.(2n －1)2B.31(2n－1)2 n－1 D.31(4n－1) 9.将一张坐标纸折叠一次；使点（0；5）与点（4；3）重合；则与点（－4；2）重合的点是A.（4；－2）B.（4；－3）C.（3；23） D.（3；－1）f (x )在区间［－1；0］上是减函数；α、β是锐角三角形的两个内角；且α≠β；则下列不等式中正确的是A.f (cos α)＞f (cos β)B.f (sin α)＞f (cos β)C.f (sin α)＞f (sin β)D.f (cos α)＞f (sin β)11.如下图；正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 中；E 、F 分别是AB 、CC 1的中点；则异面直线A 1C 与EF 所成角的余弦值为A.33B.32C.31D.61 12.甲、乙两人同时从A 地出发沿同一路线走到B 地；所用时间分别为t 1、t 2；甲有一半时间以速度m 行走；另一半时间以速度n 行走（m ≠n ）；乙有一半路程以速度m 行走；另一半路程以速度nA.t 1>t 2B.t 1=t 2C.t 1<t 2D.t 1、t 2的大小无法确定第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题；每小题4分；共16分.把答案填在题中的横线上） f (x )是R 上的减函数；且f (x )的图象经过点A （0；3）和B （3；－1）；则不等式|f (x +1)－1|＜2的解集是____________.f (x )=2x 3－6x 2+m (m 为常数）在［－2；2］上有最大值3；那么此函数在［－2；2］上的最小值为____________.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0 ,10,01,1x x x ；则方程x +1=(2x －1)f (x )的解为____________.16.如图所示；在A 、B 间有四个焊接点；若焊接点脱落；则可能导致电路不通. 今发现A 、B 之间线路不通；则焊接点脱落的不同情况有_________种.三、解答题（本大题共6小题；共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知f (x )=xx x x 2cos 2sin 22)cos (sin 22-++；（Ⅰ）求f (x )的定义域、值域； （Ⅱ）若f (x )=2,－4π＜x ＜43π,求x 的值.18.（本小题满分12分）在袋里装30个小球；其中彩球有：n 个红色、5个蓝色、10个黄色；其余为白色. 求：（Ⅰ）如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球；并将它们编上了不同的号码后排成一排；那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？(Ⅱ)如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是40613；且n ≥2；计算红球有几个？(Ⅲ)根据（Ⅱ）的结论；计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率. 19.（本小题满分12分）已知数列1；3；6…的各项是由一个等比数列和一个等差数列的对应项相加而得到；其中等差数列的首项为0.（Ⅰ）求这个数列的前n 项和S n ；（Ⅱ）设T n =2222n n S n n +-；问是否存在正整数M ；使得对一切正整数n ；T n ≤M 都成立.如存在；求出M 的最小值;如不存在；说明理由.（Ⅲ）求∞→n lim T n 的值.20.（注意：在以下甲、乙两题中任选一题作答.如果两题都作答；只以甲题记分；本小题满分12分）（甲）如图,已知正四棱锥S —ABCD ；底面的中心O 为坐标原点；建立空间直角坐标系O —xyz ；其中Ox //BC 、Oy //AB ；四棱锥的底面的边长为4；高为6；点M 是高SO 的中点；G 是侧面△SBC（Ⅰ）MG 两点间的距离；（Ⅱ）异面直线MG 与BS 所成的角.（乙）如图；三棱锥P —ABC 中；△ABC 是正三角形；∠PCA =90°；D 为P A 的中点；二面角P —AC —B 为120°；PC = 2；AB =23.（Ⅰ）求证：AC ⊥BD ；（Ⅱ）求BD 与底面ABC 所成角的正弦值. 21.(本小题满分12分)给定双曲线x 2－22y =1；（Ⅰ）过点A （2；1）的直线l 与所给双曲线交于P 1 、P 2；求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点B （1；1）能否作出直线l ′；使l ′与所给双曲线交于两点Q 1 、Q 2,且B 是线段Q 1Q 2的中点？说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 4－4x 3+ax 2－1在区间［0,1)上单调递增；在区间［1；2）上单调递减. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若点A （x 0,f (x 0)）在函数f (x )的图象上；求证点A 关于直线x =1的对称点B 也在函数f (x )的图象上；（Ⅲ）是否存在实数b ；使得函数g (x )=bx 2－1的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点.若存在；请求出实数b 的值；若不存在；试说明理由.参 考 答 案一、选择题2.D （根据复数乘除法的几何意义）5.A （已知条件等价于x 2+2ax +1=x 无实根；由此易得答案）6.B （可用数形结合的方法；曲线259||2y x x +=1实际上是椭圆25922y x +=1在一、四象限的部分和双曲线－25922y x +=1在二、三象限的部分） 7.D （过P 点的切线的倾斜角正切值的范围即是y ′=3x 2－1的值域［－1,+∞）,由此得答案）9.A （所求点是（－4；2）关于（0；5）与点（4；3）的中垂线的对称点）10.B （ 由已知；α+β是钝角；则有α>90°－β；而正弦函数在第一象限是增函数； 所以sin α>sin(90°－β)；即sin α>cos β.又偶函数f (x )在区间［－1；0］上是减函数；所以函数f (x )在区间［0；1］上是增函数；因此选B ）11.B （设异面直线A 1C 与EF 所成角为θ；正方体棱长为1；CF BC EB EF BC AB A A C A ++=++=,11,得2631⋅=⋅EF C A cos θ=1；所以选B ） 12.C （设A 、B 两地的路程为2s ；则21t 1m +21t 1n =2s 和nsm s +=t 2成立； 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=m n n m s t nm s t )(421.由此易证t 1<t 2）二、填空题13.{x |－1＜x ＜2} 14.－37 15.x =0；2或－4171+ 三、解答题17.解：（Ⅰ）f (x )=x x x x 2cos 2sin 22)cos (sin 22-++=xx x x x x 2sin 2sin 21cos cos sin 2sin 222++++2分=2)2sin 1(2sin 1x x++ 3分=x2sin 11+.4分由1+sin2x ≠0；得sin2x ≠－1； ∴2x ≠2k π－2π.∴x ≠k π－4π(k ∈Z ). ∴f (x )的定义域为{x |x ∈R ；且x ≠k π－4π,k ∈Z }. 6分∵0＜1+sin2x ≤2；∴x 2sin 11+≥21.∴f (x )的值域为{y |y ≥21}.8分 (Ⅱ)由f (x )=2；即x 2sin 11+=2；得sin2x =－21.9分∵－4π＜x ＜43π,－2π＜2x ＜23π,10分 ∴2x =－6π或2x =67π,∴x =－12π或x =127π.12分18.解：(Ⅰ)将5个黄球排成一排只有A 55种排法；将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空上；有A 36种放法 .∴所求的排法为A 55A 36=5×4×3×2×6×5×4=14400（种）.4分(Ⅱ)取3个球的种数为C 330=4060,设“3个球全红色”为事件A ；“3个球全蓝色”为事件B ；“3个球全黄色”为事件C .P （B ）=406010C C 33035=；P （C ）=40601204060C 310=. ∵A 、B 、C 为互斥事件；∴P （A +B +C ）= P （A ）+P （B ）+P （C ） , 即4060120406010)(40613++=A P ⇒P （A ）=0⇒红球的个数≤2. 又∵n ≥2；故n =2.8分(Ⅲ)记“3个球中至少有一个是红球”为事件D ；则D 为“3个球中没有红球”；P （D ）=1－P （D ）=1－14528C C 330328=或P （D ）=14528C C C C C 3301282222812=⋅+⋅. 12分 19.解：（Ⅰ）设数列1；3；6；…为{A n }；A n =a n +b n ；其中{a n }为等比数列；{b n }为等差数列；q 、d 分别为数列{a n }、数列{b n }的公比与公差；而b 1=0；且⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+.62,3,11211111d b q a d b q a b a解之；得d 1=1；q =2；a 1a n =2n －1；b n =n －1. 4分∴S n =(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n )=(1+2+…+2n －1)+［0+1+…+(n －1)］ =2n －1+2)1(-n n . 6分（Ⅱ）T n =212125n n --≤25；因此存在满足条件的正整数M , 其中M 的最小值是3. 9分（Ⅲ）∞→n lim T n =∞→n lim （212125n n --）=25.12分20.（甲）解：由已知得S 坐标为（0；0；6）；B （2；2；0）；C （－2；2；0）.M 是SO 的中点,M （0；0；3）,G 是△SBC 的重心； ∴G （0；34；2）. 4分（Ⅰ）MG =.35)23()34(0222=-++ 6分（Ⅱ） |MG |=（0；34；－1）,BS =（－2；－2；6）. 设（MG ；BS ）=α；则cos α||||BS MG BS MG ⋅=55111311235326-=⋅-. 10分又∵α∈(0°,90°), ∴α=arccos(551113)或α=π－arccos(－551113)即为MG 与BS 所成的角. 12分（乙）解:（Ⅰ）取AC 中点E ；连DE 、BE ；则DE ∥PC ；PC ⊥AC ,∴DE ⊥AC . 2分 又△ABC 是正三角形；∴BE ⊥AC ,∴AC ⊥平面DEB . 又BD ⊂平面BED ,∴AC ⊥BD .5分（Ⅱ）由（Ⅰ）中知DE ⊥AC ；BE ⊥AC , ∴∠DEB 是二面角P —AC —B 的平面角.∴∠DEB =120°.又AB =23,其中线BE =23AB =3；DE =21PC =1.∵AC ⊥平面BDE ；又AC ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面BDE , 7分且交线为BE ；过D 作平面ABC 的垂线DF ；垂足F 必在直线BE 上. 又∠DEB =120°；∴设F 在BE 延长线上；则∠DBE 即为BD 与底面ABC 所成的角. 9分又△DEB 中；DB 2=DE 2+BE 2－2BE ·DE cos120°=13, ∴BD =13.由正弦定理：︒=120sin 13sin DBE DE , ∴sin DBE =2639,即BD 与底面ABC 所成的角的正弦值为2639.12分21.解：(Ⅰ)可设P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2) ；它们的中点P 的坐标为（x ,y ）； 则有x 12－221y =1；x 22－222y=1； 2分 两式相减得2(x 1+x 2)(x 1－x 2)=(y 1+y 2)(y 1－y 2),3分当x 1≠x 2时；y ≠0 ； 由x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y ； 得21212x x y y y x --=. ①又由P 1、P 2、P 、A 四点共线得：212121x x y y x y --=--, ②由①②得212--=x y y x ,即2x 2－y 2－4x +y =0.6分当x 1=x 2 时；x =2,y =0满足此方程.故线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程为2x 2－y 2－4x +y =0. 7分 （Ⅱ）假设满足题设条件的直线l ′Q 1（x 3,y 3）、Q 2(x 3,y 4) ； 同（Ⅰ）得2（x 3+x 4）(x 3－x 4)=(y 3+y 4)(y 3－y 4) ；9分由x 3+x 4=2,y 3+y 4=2；得4343x x y y --=2（x 3≠x 4),即k l ′=2；从而直线l ′的方程为y －1=2(x －1)；即 y =2x －1.因为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=121222y x x y ；无解；矛盾.11分故满足题设条件的直线l ′不存在. 12分 22.解：（Ⅰ）由函数f (x )=x 4－4x 3+ax 2－1；在区间［0；1）上单调递增；在区间［1；2）上单调递减；∴x =1时；f (x )取得极大值；∴f ′(1)=0. 2分 f ′(x )=4x 3－12x 2+2ax , ∴4－12+2a =0⇒a =4. 4分 (Ⅱ)点A （x 0,f (x 0)）关于x =1的对称点B 坐标为（2－x 0,f (x 0)）, 6分 f (2－x 0)=(2－x 0)4－4(2－x 0)3+4(2－x 0)2－1 =(2－x 0)2［(2－x 0)－2］2－1 =x 04－4x 03+4x 02－1=f (x 0). 8分 ∴点A 关于直线x =1的对称点B 也在函数f (x )的图象上. 9分 （Ⅲ）函数g (x )=bx 2－1的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点；等价于方程x 4－4x 3+4x 2－1=bx 2－1恰有3个不等实根； 10分x 4－4x 3+4x 2－1=bx 2－1⇒x 4－4x 3+(4－b )x 2=0. ∵x =0是其中一个根；∴方程x 2－4x +(4－b )=0有两个非0不等实根. 12分∴⎩⎨⎧≠->--=.04,0)4(416b b Δ∴b ＞0且b ≠4.14分。

2021年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)

2021年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)

全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P 的子集共有（）A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个2．（5 分）复=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|4．（5 分）椭=1 的离心率为（）A．B．C．D．5．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（）A．120 B．720 C．1440 D．50406．（5 分）有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ．B ． ）A ．B ．C ．D ．7．（5 分）已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 cos2θ=（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．8．（5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）C ．D ．9．（5 分）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直．l 与 C 交于 A ， B 两点，|AB |=12，P 为 C 的准线上一点，则△ABP 的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．4810．（5 分）在下列区间中，函数 f （x ）=e x +4x ﹣3 的零点所在的区间为（ ）A ．（，），0）） ，）11．（5 分）设函数，则）+cos （2x +），则（）A ．y=f （x ）在 ）单调递增，其图象关于直线 对称B ．y=f （x ）在 ）单调递增，其图象关于直线 对称C ．y=f （x ）在 ）单调递减，其图象关于直线 对称D ．y=f （x ）在 ）单调递减，其图象关于直线对称12．（5 分）已知函数 y=f （x ）的周期为 2，当 x ∈[﹣1，1]时 f （x ）=x 2，那么第 2 页（共28 页）二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向+与向量k ﹣垂直，则k= ．14．（5 分）若变量x，y 满足约束条，则z=x+2y 的最小值为．15．（5 分）△ABC 中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为．16．（5 分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．三、解答题（共8 小题，满分70 分）17．（12 分）已知等比数列{a n}中，公比．（Ⅰ）S n为{a n}的前n 项和，证明（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC 的高．19．（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102） [102，106） [106，110] 频数8 20 42 22 8B 配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102） [102，106） [106，110] 频数 4 12 42 32 10 （Ⅰ）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B 配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t 的关系式为y=从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=x2﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．（Ⅰ）求圆 C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线x﹣y+a=0 交与A，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值．21．（12 分）已知函数+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b 的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1 时．22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 的边AB，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m，AC 的长为n，AD，AB 的长是关于x 的方程x2﹣14x+mn=0 的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E 四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E 所在圆的半径．23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程（α为参数）M 是C1上的动点，P 点满=2，P 点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）≥3x+2 的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0 的解集为{x|x≤﹣1}，求a 的值．2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P 的子集共有（）A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P 的子集个数．【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，∴P=M∩N={1，3}∴P 的子集共有22=4故选：B．【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n 个元素，则其子集的个数是2n．2．（5 分）复=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2 用﹣1 代替即可．【解答】解：=﹣2+i故选：C．【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除A ；对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0 时，y=x+1，是增函数，故B 正确；对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0 时为减函数，故排除C；对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0 时，y=2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．4．（5 分）椭=1 的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b 的值，结合椭圆的性质，可得 c 的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方=1，可得a=4，b=2 ，则=2；则椭圆的离心率为=，故选：D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．5．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k 的值，当k＜N 不成立时输出p 的值即可．【解答】解：执行程序框图，有N=6，k=1，p=1P=1，k＜N 成立，有k=2P=2，k＜N 成立，有k=3 P=6，k＜N 成立，有k=4 P=24，k＜N 成立，有k=5 P=120，k＜N 成立，有k=6P=720，k＜N 不成立，输出p 的值为720．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6．（5 分）有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3 种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有 3 种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9 种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有 3 种结果，根据古典概型概率公式得到，故选：A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分第10 页（共28 页）题目．7．（5 分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】11：计算题．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ 的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ 的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ 的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以= ，则cos2θ=2co s2θ﹣1=2× ﹣1=﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．8．（5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）第11 页（共28 页）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】13：作图题．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．9．（5 分）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直．l 与C 交于A，B 两点，|AB|=12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】44：数形结合法．【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP 的面积是|AB|与DP 乘积一半．【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x 轴，准线为x=﹣∵直线l 经过抛物线的焦点，A、B 是l 与C 的交点，又∵AB⊥x 轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P 在准线上∴DP=（+| |）=p=6∴S= （DP•AB）= ×6×12=36△ABP故选：C．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10．（5 分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3 的零点所在的区间为（）A．（，），0）），）【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导函数判断函数f（x）=e x+4x﹣3 单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3∴f′（x）=e x+4当x＞0 时，f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+4x﹣3 在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0f（）= ﹣1＞0f（）= ﹣2= ﹣＜0∵f（）•f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x﹣3 的零点所在的区间为（，）故选：A．【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．11．（5 分）设函数，则）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在）单调递增，其图象关于直线对称B．y=f（x）在）单调递增，其图象关于直线对称C．y=f（x）在）单调递减，其图象关于直线对称D．y=f（x）在）单调递减，其图象关于直线对称【考点】H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为）+cos（2x+）= ）= cos2x ．由于y=cos2x 的对称轴为kπ（k∈Z），所以y= cos2x 的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C 错误；y= cos2x 的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），（k∈Z），函数y=f（x）在）单调递减，所以 B 错误，D 正确．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．12．（5 分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10 个B．9 个C．8 个D．1 个【考点】3Q：函数的周期性；4N：对数函数的图象与性质．【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有 5 次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x=1 时y=0；x=10 时y=1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10 个，故选：A．【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向+与向量k ﹣垂直，则k= 1 ．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k 值．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴k=1故答案为：1【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．14．（5 分）若变量x，y 满足约束条件，则z=x+2y 的最小值为﹣6 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y 变化为x+，当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增大，当直线过A 点时，z 取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为x+，当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增大，当直线过A 点时，z 取到最小值，由y=x﹣9 与2x+y=3 的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5 分）△ABC 中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知=﹣，求得BC=﹣8 或3（舍负）∴△ABC 的面积•AB•BC•si nB=×5×3×=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．16．（5 分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．故答案为：【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．三、解答题（共8 小题，满分70 分）17．（12 分）已知等比数列{a n}中，公比．（Ⅰ）S n为{a n}的前n 项和，证明（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【考点】89：等比数列的前n 项和．【专题】15：综合题．【分析】（I）根据数列{a n}是等比数列，公比，求出通项公式a n和前n 项和S n，然后经过运算即可证明．（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，q=∴a n=×=，S n=又∵= =S n∴S n=（II）∵a n =∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）=﹣（1+2+…+n）=﹣∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n 项和以及对数函数的运算性质．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC 的高．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（II）要求棱锥D﹣PBC 的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD ，作DE⊥PB 于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE 的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（II）解：作DE⊥PB 于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD=1，则，PB=2．根据DE•PB=PD•BD，得，即棱锥D﹣PBC 的高为．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．第20 页（共28 页）19．（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102） [102，106） [106，110] 频数8 20 42 22 8B 配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102） [102，106） [106，110] 频数 4 12 42 32 10 （Ⅰ）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B 配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t 的关系式为y=从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的频率为∴用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为∴用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用 B 配方生产的100 件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X 的分布列为X ﹣2 2 4P 0.04 0.54 0.42∴X 的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=x2﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．（Ⅰ）求圆 C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线x﹣y+a=0 交与A，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值．【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．【专题】5B：直线与圆．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C 与直线x﹣y+a=0 的交点A，B 坐标，通过OA⊥OB 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a 的方程，通过解方程确定出a 的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3 上，故可设该圆的圆心 C 为（3，t），则有）2+t2，解得t=1，故圆 C 的半径为，所以圆C 的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1 有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0 与x2+Dx+F=0 是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到①，由于OA⊥OB 可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．21．（12 分）已知函数f（x）= + ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b 的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1 时．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b 的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0 的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知所以考虑函，则所以当x≠1 时，h′（x）＜0 而h（1）=0，从而当x＞0 且x≠1 时，当x∈（0，1）时，h（x）＞0 可得；当【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 的边AB，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m，AC 的长为n，AD，AB 的长是关于x 的方程x2﹣14x+mn=0 的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E 四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E 所在圆的半径．【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE 的长为m，AC 的长为n，AD，AB 的长是关于x 的方程x2﹣14x+mn=0 的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE 的中点G，DB 的中点F，分别过G，F 作AC，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E 四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6 时，方程x2﹣14x+mn=0 的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE 的中点G，DB 的中点F，分别过G，F 作AC，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH．∵C，B，D，E 四点共圆，∴C，B，D，E 四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E 四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程（α为参数）M 是C1上的动点，P 点满=2，P 点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（I）先设出点P 的坐标，然后根据点P 满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线与C2的交点B 的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知，）．由于M 点在C1上，所以从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线与C1的交点A 的极径为，射线与C2的交点B 的极径为．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= ．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）≥3x+2 的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0 的解集为{x|x≤﹣1}，求a 的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论．【分析】（Ⅰ）当a=1 时，f（x）≥3x+2 可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2 的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0 得|x﹣a|+3x≤0 分x≥a 和x≤a 推出等价不等式组，分别求解，然后求出a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1 时，f（x）≥3x+2 可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3 或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2 的解集为{x|x≥3 或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0 得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x }由题设可得﹣=﹣1，故a=2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。

湖北高考文科数学A卷

湖北高考文科数学A卷

试卷类型A2021年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕本试卷共4页，共22题，总分值150分。

考试用时120分钟。

考前须知：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方块涂黑。

2.选择题的作答：每题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1集合A{x|x2-3x+2=0,x∈R}，B={x|0＜x＜5，x∈N}，那么满足条件A CB的集合C的个数为A1B2C3D42容量为20的样本数据，分组后的频数如下表那么样本数据落在区间AB[10,40]的频率为CD3函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为A2B3C4 D 54.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数〞的否认是A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数5.过点P〔1,1〕的直线，将圆形区域{〔x，y〕|x2+y2≤4}分两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=06．定义在区间〔〕上的函数y=f(x)的图像如下图，那么y=-f(2-x)的图像为7.定义在〔-∞，0〕∪〔0，+∞〕上的函数f〔x〕，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f〔a n〕}仍是等比数列，那么称f〔x〕为“保等比数列函数〞。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷·文科)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷·文科)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷·文科)压轴题解读11．若α∈(0，π2)，tan2α＝cos α2−sinα，则tanα＝( ) A ．√1515B ．√55 C ．√53D ．√153【命题意图】考查三角恒等变换，考查数学运算，逻辑推理能力。

【答案】A【解析】由题意得222sin cos cos ,sin 2sin 1cos αααααα=--整理得222sin cos cos ,cos sin 2sin ααααα=-- 即22sin 1,12sin 2sin ααα=--解得1sin 4α=，则cos 4α=所以tan 15α=选A 。

【解题方法】重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.12．设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f －x )．若f (−13)＝13，则f (53)＝( )A ．−53B ．−13C ．13D ．53【命题意图】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，考查了学生的抽象思维及逻辑思维能力． 【答案】C【解析】由(1)()f x f x +=-，得(1)()f x f x +=-，则(2)(1)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期为2，则5111()(2)()3333f f f =-=-=。

故选C 。

【规律总结】根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.16．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为______．【命题意图】本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题． 【答案】C【解析】因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PF QF 为矩形， 设1||PF m =，2||PF n =，由椭圆的定义可得12||||||||28PF PF m n a +=+==，所以22264m mn n ++=， 因为2222221212||||||44()48PF PF F F c a b +===-=，即2248m n +=，所以8mn =， 所以四边形12PF QF 的面积为12||||8PF PF mn ==．16.解法1：设(,),P x y 由||OP =得2212,x y += ① 又221164x y +=，②①②联立解得||y =所以四边形12PFQF 的面积为1212||||8.2F F y ⨯⋅== 解法2：由题意知，四边形12PFQF 为矩形，由椭圆定义得12||||28,PFPF a +== 即212(||||)64,PF PF +=所以221212||||2||||64,PF PF PF PF ++⋅=又2221212||||||48,PF PF F F +==所以12||||8,PFPF ⋅=即四边形12PFQF 的面积为8. 答案：820．设函数f(x)＝a 2x 2＋ax −3lnx ＋1，其中a >0． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若y ＝f (x )的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【命题意图】考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，考查数学抽象，逻辑推理，数学运算的能力 【解析】（1）因为f(x)＝a 2x 2＋ax −3ln x ＋1，所以定义域为()0,+∞，所以222323(23)(1)'()2a x ax ax ax f x a x a x x x +-+-=+-==，因为0,0a x >>，所以230ax x +>，令1'()0101,f x ax ax x a>⇒->⇒>⇒> 令1'()0101,f x ax ax x a <⇒-<⇒<⇒<因为0x >，所以10x a <<，所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）知()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 而1133ln f a a ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 所以要使()y f x =的图象与x 轴没有公共点，则1111111033ln 033ln 1ln 1ln ln 1f a a a a a a a e ⎛⎫>⇒->⇒>⇒>⇒>-⇒>-⇒> ⎪⎝⎭所以a 的取值范围为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.21．抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线:1l x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点(2,0)M ，且M 与l 相切． （1）求C ，M 的方程；（2）设1A ，2A ，3A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由． 【命题意图】本题主要考查抛物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系，同构、对称思想的应用等知识，属于中等题．【解析】（1）因为1x =与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p =>，令1x =，则y =，根据抛物线的对称性，不妨设P 在x 轴上方，Q 在X 轴下方，故(1(1P Q ，因为OP OQ ⊥，故1102p =⇒=， 抛物线C 的方程为：2y x =，因为M 与l 相切，故其半径为1，故22:(2)1M x y -+=． （2）设11(A x ，1)y ，22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ．当1A ，2A ，3A 中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标的值均为3时，满足条件， 且此时直线23A A 与M 也相切，当123x x x ≠≠时，可知，直线12A A 的方程为1212?()0x y y y y y ++=，1=，即22212121(?1)23?0y y y y y ++=， 同理，由对称性可得，22213131(?1)23?0y y y y y ++=， 所以2y ，3y 是方程222111(?1)23?0y t y t y ++= 的两根， 依题意有，直线23A A 的方程为2323?()0x y y y y y ++=．，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213?(2)(2)?11?21()1()?1y y y y d y y y y ++===+++，此时，直线23A A 与M 也相切． 综上，直线23A A 与M 相切．压轴题模拟1．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）已知(0,)2πα∈，cos 2cos 2αα=-tan 2α=( ) AB．-CD．【答案】B【解析】cos 2cos 2αα=-，2cos 22cos1αα=-， 24cos 20αα∴+-=，解得cos α=cos α=舍去)， 又(0,)2πα∈，sin α∴=tan α∴= 22tan tan 21tan ααα==-故选：B . 2．（2020·梅河口市第五中学高三模拟）已知cos2cos(),sin 04πααπαα⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A．2--B．2C．2D．2【答案】A【解析】22cos2cossin sin cos cos sin (cos )44ππαααααα⎫=-=-⋅-⎪⎭，所以22cos sin (cos sin )cos ααααα-=-，所以(cos sin )sin 0ααα-=． 又sin 0α≠，所以cos sin αα=，所以tan 1α=，因此tantan 3tan 231tan tan 3παπαπα+⎛⎫+==-- ⎪⎝⎭-A 3．（2021·宁夏银川市·高三模拟）已知()y f x =为R 上的奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈，()()2log a f x x =+，则()2021f =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】()f x 为R 上的奇函数，且当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+∴()00f =，即2log 0a =， 1a，∴当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，()1f x +为偶函数，()()11f x f x ∴+=-+， ()()2f x f x ∴+=-，又()f x 为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，∴()f x 是周期为4的周期函数，∴()()()()22021450511log 111f f f =⨯+==+=，故选：C.4．（2021·天津市耀华中学高三模拟）已知函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞上单调递减，()20f =，则()()10+<f x f x 的解集为（ ）A ．()()2,10,1--⋃B ．()()1,01,2-C ．()1,2-D ．()2,1-【答案】B【解析】因为函数()1y f x =+是偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称． 由()f x 在(),1-∞上单调递减，得()f x 在()1,+∞上单调递增，且()()020f f ==， 所以当0x <或2x >时，()0f x >，当02x <<时，()0f x <． 函数()f x 的图象如图所示，()()10+<f x f x 等价于()()0,10f x f x ⎧>⎪⎨+<⎪⎩或()()0,10,f x f x ⎧<⎪⎨+>⎪⎩ 即02012x x x ⎧⎨<+<⎩或或02,1012x x x <<⎧⎨++⎩或 解得10x -<<或12x <<，故选：B ．5．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN 的周长为6，则FAN 的面积为_____.【解析】如图所示，由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为y b =-， 把35y b =代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴N 在直线MN 上，∴3455b a b =-，解得2b a =.又222a b c =+，∴222)b c =+，解得b =，令y b =-=0，则M ⎫⎪⎭，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =， 由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∴FMN 的周长为6，∴226a c +=，∴2b a =，∴2a c =，∴1,2,===c a b∴()138255FANSFM b b c b ⎡⎤=⋅⋅--=⋅=⎢⎥⎣⎦.6．（2021·河北石家庄二中高三模拟）我设1F ，2F 是椭圆C ：2214x y +=的两个焦点，过1F ，2F 分别作直线1l ，2l ，且12l l //，若1l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2l 与椭圆C 交于C ，D 两点（点A ，D 在x 轴上方），则四边形ABCD 面积的最大值为__________． 【答案】4【解析】当两平行直线没有斜率时，此时2221||1,122OABb AB Sa ===∴=⨯=当两平行直线有斜率时，设直线AB 的方程为(y k x =即0kx y -=，联立椭圆方程2214x y +=，消去y 得2222(14)1240k x x k +++-=，由弦长公式得2224(1)||1414kABk k+==++，又原点到直线AB的距离为d=所以222114(1)=||221414OABkS d ABk k+⨯=⨯=++所以4242222421212()12(14)1681OABk k k kSk k k++=⨯=+++，设2(0)k t t=>，所以2222121212(41)(21)(),()1681(1681)t t t tf t f tt t t t+-+-'=∴=++++，当12t<<时，()0f t'>，此时函数()f t单调递增，当12t>时，()0f t'<，此时函数()f t单调递减，所以max1()()12f t f==，所以OABS的最大值为1，因为1>，所以OABS∆的最大值为1，因为四边形ABCD的面积为||2AB d⨯，所以四边形ABCD的面积为4OABS,所以此时四边形ABCD的面积的最大值为4.7．（2021·河南郑州外国语学校）已知函数()2ln,0x m xf x mx-=＞.（1）当()'10f=时，讨论()f x的单调性；（2）若曲线()y f x=与直线y m=有交点，求证：m1≥.【解析】（1）因为()2ln lnx m x m xf x xx x-==-，所以()222ln ln'1,0mx m x x m x mxf x xx x⋅-+-=-=＞，则()221ln1'1011m mf m+-==⇒=，所以()22ln1',0x xf x xx+-=＞，令()2ln1,0g x x x x=+-＞，显然，()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()10g =，所以当01x ＜＜时，()'0f x ＜，函数()f x 在()0,1上单调递减， 当1x ＞时，()'0f x ＞，函数()f x 在()1,+∞上单调递增； （2）证明：令()()h x f x m =-，当0m ＞时，曲线()y f x =与直线y m =有交点即函数()h x 在()0,∞+有零点， 由()0h x =得，21ln x xm x +=， 令()2ln ,0,x xF x x x +=＞ 所以直线1y m=与()F x 图像 有交点 则()()24112ln 'x x x x x F x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭= 32ln 1,0x x x x--+=＞， 令()2ln 1x x x ϕ=--+，显然()x ϕ在()0,∞+上单调递减，且()10ϕ=， 所以()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞在上单调递减， 故()F x 在1x =处取最大值为()11F =，当0x →时，()F x →-∞，当x →+∞时，()0F x →， 要使直线1y m=与()F x 图像 有交点， 只需11m≤， 又因为0m ＞，所以m 1≥.8．（2021·安徽高三其他模拟）已知函数()()32413f x x a x ax =-++-. （1）若()f x 在()2,+∞上有极值，求a 的取值范围；（2）求证：当1a 2-<<时，过点()0,1P -只有一条直线与()f x 的图象相切. 【解析】（1）由题意得：()()()()2421212f x x a x a x x a '=-++-=---，由()0f x '=得：112x =，22a x =，()f x 在()2,+∞上有极值，22a∴>，解得：4a >，a ∴的取值范围为()4,+∞.（2）设过点()0,1P -的直线与()f x 的图象切于点()324,13t t a t at ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭， 则切线斜率()()()32241134210t a t at k f t t a t a t -++-+==-++-'=-，整理可得：()3281103t a t -++=，若过点()0,1P -只有一条直线与()f x 的图象相切，则关于t 的方程()3281103t a t -++=有且仅有1个实根，设()()328113g t t a t =-++，则()()2821g t t a t '=-+， 由()0g t '=得：10t =，2104a t +=>， ∴当()1,0,4a t +⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0g t '>；当10,4a t +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '<；()g t ∴在(),0-∞，1,4a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,4a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， ()01g =，()()333118111114341648a a a g a +++⎛⎫⎛⎫=⋅-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12a -<<，013a ∴<+<，()3111048a ∴-++>，即104a g +⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴当0t >时，()0g t >，()()885110333g a a -=--+=--<-<，又()g t 在(),0-∞上单调递增，()0g t ∴=在(),0-∞上有唯一的实数根()01,0t ∈-，即当1a 2-<<时，过点()0,1P -只有一条直线与()f x 的图象相切.9．（2021·浙江高三模拟）已知动直线l ：()210mx y m m R --+=∈恒过定点M ，且点M 在抛物线1C ：()220x py p =>上.（1）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（2）将曲线1C 沿y 轴向上平移1个单位长度得到曲线2C ，若点()00,P x y 在曲线2C 上，且在曲线1C 上存在A ，B ，C 三点，使得四边形PABC 为平行四边形，求平行四边形PABC 的面积S 的最小值.【解析】（1）将210mx y m --+=整理为()()210m x y ---=，由20,10,x y -=⎧⎨-=⎩得2,1,x y =⎧⎨=⎩，故()2,1M .将()2,1代入()220x py p =>，得2p =，所以抛物线1C 的方程为24x y =.所以抛物线1C 的准线方程为1y =-，所以点M 到抛物线1C 的准线的距离为2. （2）由（1）知，抛物线1C 的方程为214y x =，将曲线1C 沿y 轴向上平移1个单位长度得到曲线2C ，其方程为2114y x =+. 点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，故20044x y -=-∴. 连接AC ，当直线AC 的斜率不存在时，AC x ⊥轴，与抛物线1C 只有一个交点，不符合题意，故舍去. 当直线AC 的斜率存在时，设直线AC 的方程为y kx b =+，()11,Ax y ，()22,C x y ，联立，得2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=，216160k b =+>△，则124x x k +=，124x x b =-，故线段AC 的中点()22,2D k k b +. 若四边形PABC 为平行四边形，则B ，P 关于点D 对称，所以()2004,42B k x k b y -+-.又点B 在抛物线1C 上，故()()22004442k x k b y -=+-，即()2000148kx b x y +=+ ∴. 点P 到直线AC的距离d =，124AC x x =-==，所以1122PAC S AC d =⋅⋅=⨯=△00kx b y +-，结合∴∴得，2004PACS x y =-△===012k x =时，PACS 取得最小值2. 因为2PACS S=，所以S10．（2021·山西高三二模（文））已知P 为抛物线C ：()220y px p =>上一动点，F 为C 的焦点，定点()3,1Q 在C 的内部，若PQ PF +的最小值为4. （1）求C 的方程；（2）不经过原点的直线l 与C 交于A ，B 两点(其中点A 在x 轴上方)，若以线段AB 为直径的圆经过点F ，且圆心在11直线1y =-上.证明：直线l 与C 在点A 处的切线垂直.【解析】（1）过点P 作C 的准线的垂线，垂足为N ，连接NQ ， 由抛物线的定义知PN PF =，则PQ PF PQ PN NQ +=+≥， 当N ，P ，Q 三点共线时，NQ 取得最小值， ∴342p +=，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =. （2）证明：设直线l ：()0x my n n =+≠，且直线l 与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩，化简得2440y my n --=，且216160m n ∆=+>，即20m n +>， ∴121244y y m y y n+=⎧⎨⋅=-⎩，则可得21221242x x m n x x n ⎧+=+⎨⋅=⎩， ∴以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,2m n m +，∴圆心在直线1y =-上，∴21m =-，12m =-， 又∴以线段AB 为直径的圆经过点()1,0F ，∴0FA FB ⋅=，∴()()1212110x x y y --+=，∴()12121210x x x x y y -+++=，即()2242140n m n n -++-=，化简得260n n -=，可得0n =(舍去)或6n =， ∴直线l 的方程为162x y =-+，即2120x y +-=，且直线l 的斜率为12k =-， 由21624x y y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得()4,4A ， ∴当0y >时，抛物线24y x =在x轴上方曲线的方程为y =∴'y =24y x =在()4,4A 处的切线的斜率为41'|2x k y ===切； ∴11(2)12k k ⋅=-⨯=-切，∴直线l 与抛物线C 在点A 处的切线垂直.。

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东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷）
2008 --2009 学年第 1 学期
《 大学文科数学 》试卷
开课单位： 数学教研室 考试形式：闭卷，允许带 入场
题序 一 二 总 分 得分 评卷人
一、填空题A （共70分 每空2分）
1、设函数()1
ln 1f x x x =
+- 则函数()f x 的定义域为（ ）
，(2)(
).f =
2、设()()3,cos f x x g x x ==，则()(
),f g x =⎡⎤⎣⎦
()(
)g f x =⎡⎤⎣⎦.
3、22
01
lim ()34x x x x →-=+-， 2211
lim (
)34x x x x →-=+-，
221lim ()34
x x x x →∞-=+-.
4、若函数()sin x
f x x
=
，则 ()0lim (
)x f x →=，()lim (
)x f x →∞
=.
5、若函数()11x
f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭， 则()()lim x f x →+∞
=， 若函数()()
11x
g
x x =+ , 则(
)0
lim ()x g x →=.
6、设()2f x x ax b =
-+，且()11f =，()0
lim 2x f x →=， 则(
)(),.a b ==
7、设2
()1f x x
=
+，则()(),(0)()f x f ''==.
8、曲线21y x =-+单调上升区间为（ ），其在点(1,0)处的切线方程为（
）.
9、若()41f x x x =-+-，则=')0(f ( ),
''(0)f =( ).
10、若cos ln 1y x x =++，则(
)y '=，
(
).dy =
11、当()x =时，函数32()391f x x x x =--+取得极小值，该极
小值等于(
).
12、1
(
)dx x =⎰， 1(
).x e dx +=⎰
13、1
3
0(
)x dx =⎰，
(sin 2cos )(
).x x dx π
+=⎰
14、画出由2y x =与2y x =+所围成的图形（
），
它的面积是（）.
15、设矩阵110011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，113011002B -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 则
2()A B ⎡⎤⎢
⎥⎢
⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，
()AB ⎡⎤⎢
⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 16、已知123212134A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则A =（ ）， 2A =（ ）.
17、若矩阵10010
21100200
000A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
，则()R A =（ ）；若矩阵1123B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，则
1()B -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
.
二、填空题B （共 30 分 每空3分）
1、设2sin 2,0()2,0x
x f x x x x ⎧>⎪
=⎨⎪+≤⎩，则()0
lim x f x →=（ ）.
2、0
11
x x →+-=( ).
3、201cos lim x x
x
→-=( ).
4、若22(),x f x dx x e C =+⎰则()()f x =.
5、积分(
)2
cos .x e xdx π
=⎰
6、设函数()f x x = 则()(
)1
1f x dx -=⎰.
7、设矩阵11
001
1002A λ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，当()λ≠时，矩阵A 可逆；若1λ=，
则1().A -⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
8、设矩阵2111455A λλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，123x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121b ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
. 则当(
)λ=时，线
性方程组Ax b =有无穷多解，其通解为（ ）.。

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