由柯西收敛原理证确界存在定理

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用确界原理证明柯西收敛准则

用确界原理证明柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛的一个重要准则，它是由法国数学家柯西所提出的。

它的表述是：如果数列 ${a_n}$ 满足对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n,m>N$ 时，有 $|a_n-a_m|<varepsilon$，则称数列 ${a_n}$ 是柯西收敛的，或者称其为基本收敛的。

柯西收敛准则是收敛概念的一种等价表述，其证明可以通过极限的定义或确界原理等多种方式进行。

本文将以确界原理为基础，详细阐述柯西收敛准则的证明过程。

二、确界原理在证明柯西收敛准则之前，我们先来介绍一下确界原理。

确界原理是数学分析中的一个基本原理，它是指：非空有上界的实数集合必有上确界，非空有下界的实数集合必有下确界。

具体来说，如果实数集合 $S$ 非空且有上界，则存在一个实数$M$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xleq M$；这个实数 $M$ 被称为 $S$ 的上确界。

类似地，如果实数集合 $S$ 非空且有下界，则存在一个实数 $m$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xgeq m$；这个实数 $m$ 被称为 $S$ 的下确界。

在数学证明中，确界原理常常被用来证明一些重要定理，例如最大值定理、中值定理等。

三、柯西收敛准则的证明在进行柯西收敛准则的证明之前，我们先来说明一个引理：引理1：若数列 ${a_n}$ 满足对于任意 $nin mathbb{N}$，都有 $a_nleq a_{n+1}$，则 ${a_n}$ 收敛当且仅当 ${a_n}$ 有上界。

证明：设 ${a_n}$ 收敛于 $a$，则对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $|a_n-a|<varepsilon$。

因为 $a_nleq a_{n+1}$，所以 $a_Nleqa_{N+1}leq cdots leq a_nleq a$。

数分知识总结及例题

数分近一周知识点总结本周学习了第二章数列极限。

由于在数学分析中，变量的取值围是限制在实数集合，我们本章学习的重点便是实数系的基本性质和定理。

首先，经过严格的证明，引出了具有连续性的实数系，而确界存在定理就是R 连续性的表述之一——非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界，即非空有界数集的上（下）确界是唯一的。

接着，高中学习过的数列在数分课上也被进一步深化——无穷大量、无穷小量、极限等概念的引入，让我们知道数列是发散或收敛的。

数列极限有唯一性，且收敛数列必有界，而有界数列未必收敛。

由此展开的系列推论与性质，如夹逼性、保序性和四则运算定理也为我们数列运算和学习收敛准则（单调有界数列必收敛）提供了思路和工具。

数学是良好的工具。

应用极限，我们研究了兔群增长率变化情况，π、e、Euler 常数的起源，感受了极限的魅力。

接下来学习的闭区间套定理也解决了我们上一章遇到的问题——实数集是否可列。

Bolzano-Weierstrass定理是将收敛准则条件改动而得到的“稍弱的结论”，更重要的是它为我们最终证明Cauchy收敛原理提供了强有力的支持。

而Cauchy原理也说明了实数系的另一个性质——完备性。

回顾本章，我们会发现实数系的完备性等价于实数系的连续性，本章学习的5个实数基本定理也是相互等价的。

下面我们以5定理互证为例题补充：聚点有界数列的一个收敛子列的极限称为该数列的聚点，又称称极限点，因此Bolzano-Weierstrass 定理又称聚点定理。

下面我们用聚点定理代替B-W,是等效的例题：实数系完备性基本定理的循环证明摘要:循环论证了实数系的5个基本定理,并最终形成所有完美的论证环,体现了数学论证之美.(单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛． (闭区间套定理）设{[,]}n n a b 为一闭区间套： 1.11[,][,],1,2,,n n n n a b a b n ++⊃=L 2.lim()0n n n b a →∞-=则存在唯一一点[,],1,2,.n n a b n ξ∈=L(聚点定理)又称Bolzano-WEierstrass 定理直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ，即在ξ的任意小邻域都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ，也可以不属于S ）．或表述为：有界数列有至少一个收敛子列。

(完整word版)实数完备性基本定理的相互证明

实数完备性基本定理的相互证明（30个）一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证不妨设{}n a 为有上界的单调递增数列.由确界原理，数列{}n a 有上确界，令{}n a sup a =，下面证明：lim n n a a →∞=.对任意的0ε>，由上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ,使得：N a a ε->. 由于{}n a 单调递增,故对任意的n N >，有：n N a a a ε-<<.另一方面,由于a 是{}n a 的一个上界,故对任意的正整数n 都有：n a a a ε≤<+. 所以任意的n N >，有：n a a a εε-<<+，即：n a a ε-<.由极限的定义，lim n n a a →∞=.同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理证明：设[]{},n n a b 是一个闭区间套. 令数集{}n S a =.由于任一n b 都是数列{}n a 的上界，由确界原理，数集S 有上确界，设supS ξ=. 下证ξ属于每个闭区间[](),1,2,3,n n a b n =显然，()1,2,3,n a n ξ≤=，故只需证明对任意正整数n ，都有n b ξ≤.事实上，对任意正整数n ，n b 都是S 的上界，而上确界是最小上界，故必有n b ξ≤. 所以存在实数ξ，使得[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性，假设还有另外一点ξ'，也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞，故有:ξξ'=.唯一性得证. 3.确界原理证明有限覆盖定理证明：欲证闭区间[],a b 的任一开覆盖H 都有有限的子覆盖. 令[]{}|,S x a x H a x b =<≤能被中有限个开区间覆盖，显然S 有上界.又H 覆盖闭区间[],a b ，所以，存在一个开区间(),H αβ∈，覆盖住了a .取(),x a β∈，则[],a x 显然能被H 中有限个开区间覆盖（1个），x S ∈，从而S 非空.由确界原理，令supS ξ=.先证明b ξ=.用反证法，若b ξ≠，则a b ξ<<.由H 覆盖闭区间[],a b ，一定存在开区间()11,H αβ∈，覆盖住了ξ.取12,x x ，使：11211,x x x S αξβ<<<<∈ ，则[]1,a x 能被H 中有限个开区间覆盖，把()11,αβ加进去，就得到[]2,a x 也能被H 中有限个开区间覆盖，即2x S ∈，这与supS ξ=矛盾，故b ξ=.最后证明b S ∈.设开区间()22,H αβ∈，覆盖住了b .由b supS =，故存在y 使得：2y b α<≤且y S ∈.则[],a y 能被H 中有限个开区间覆盖，把()22,αβ加进去，就得到[],a b 也能被H 中有限个开区间覆盖. 4.确界原理证明聚点定理证明：设S 有界无限点集，则由确界原理令inf S ξ=.若ξ是S 的一个聚点，则命题已经成立，下面设ξ不是S 的聚点.令 ){}|,T x x S ξ=⎡⎣中只包含中有限个元素.因为ξ不是S 的聚点，所以存在00ε>，使得()()000;,U ξεξεξε=-+只包含S 中有限个数，故0T ξε+∈，从而T 非空. 又S 有界，所以S 的所有上界就是T 的上界，故T 有上确界，令sup T η=. 下面证明η是S 的一个聚点.对任意的0ε>，S ηε+∉，故),ξηε+⎡⎣包含S 中无穷多个元素.由上确界的定义，存在(],ληεη∈-，使得S λ∈，故),ξλ⎡⎣中只包含S 中有限多个元素.从而我们得知)(),;U ληεηε+⊂⎡⎣中包含了S 中无穷多个元素，由聚点的定义，η是S 的一个聚点.5.确界原理证明Cauchy 收敛准则证明：必要性：若lim n n x x →∞=，则对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >，有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性：现假设{}n x 满足对任意的0ε>，存在N ，对一切正整数,n m N >，有n m x x ε-<.令数集{}{}|,n n S x x x x x n =≥∀中只有有限项小于或，明显数列{}n x 的下界都属于S ，并且{}n x 的上界就是S 的上界.由确界存在定理，令sup S ξ=.对条件给定的0ε>和N ，S ξε+∉，故(),ξε-∞+包含{}n x 中无穷多项.由上确界的定义，存在(],λξεξ∈-，使得S λ∈，故(),λ-∞中只包含S 中有限多个元素.从而我们得知)()(),;,U ληεηεηεηε+⊂=-+⎡⎣中包含了S 中无穷多个元素，设()(),1,2,3,k n x U k ξε∈=则对任意正整数n N >，总存在某个k n N >，故有：2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=.从而lim n n x ξ→∞=.二.单调有界定理6．单调有界定理证明确界定理证明：我们不妨证明非空有上界的数集Ｓ必有上确界.设{}|T r r S =为数集的有理数上界.明显T 是一个可数集，所以假设：{}12,,,,n T r r r =.令{}1min n i i nx r ≤≤=.则得单调递减有下界的数列，由单调有界定理得，令lim n n x ξ→∞= 先证ξ是上界.任取s S ∈，有n n s r x ≤≤，由极限的保序性，s ξ≤.其次对于任意的0ε>，取一个有理数(),r ξεξ∈-，它明显不是S 的上界，否则lim n n x r ξξ→∞=≤<产生矛盾！故存在s S ∈，使得s ξε>-，我们证明了ξ是数集S 上确界.7.单调有界定理证明区间套定理若[]{},n n a b 是一个区间套,则{}n a 为单调递增有上界的数列,由单调有界定理, 令lim n n a ξ→∞=，并且容易得到()1,2,3,n a n ξ≤=.同理,单调递减有下界的数列{}n b 也有极限,并按区间套的条件有：()lim lim 0n n n n n n b a b a ξξ→∞→∞=+-=+=⎡⎤⎣⎦，并且容易得到()1,2,3,n b n ξ≥=.所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性，假设还有另外一点ξ'，也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞，故有:ξξ'=.唯一性得证.8.单调有界定理证明有限覆盖定理设[]{}|,,T r a r H r r b =∈≤可以被的开区间有限开覆盖，且.容易得到T 中包含无穷多个元素，并且T 是一个可数集，所以假设：{}12,,,,n T r r r =.令{}1max n i i nx r ≤≤=.则得单调递增有上界的数列，由单调有界定理得，令lim n n x ξ→∞=.先证明b ξ=.用反证法，若b ξ≠，则a b ξ<<.由H 覆盖闭区间[],a b ，一定存在开区间()11,H αβ∈，覆盖住了ξ.取,i j x r y =，使：11i j x r y αξβ<=<<< ，则[]1,a x 能被H 中有限个开区间覆盖，把()11,αβ加进去，就得到[],a y 也能被H 中有限个开区间覆盖，即y S ∈，这与supS ξ=矛盾，故b ξ=.最后证明b S ∈.设开区间()22,H αβ∈，覆盖住了b .由b supS =，故存在k l x r =使得：2k l x r b α<=≤.则[],l a r 能被H 中有限个开区间覆盖，把()22,αβ加进去，就得到[],a b 也能被H 中有限个开区间覆盖. 9.单调有界定理证明聚点定理证明：设S 是一有界无限点集，在S 中选取一个单调{}n a ，下证数列{}n a 有聚点.（1）如果在{}n a 的任意一项之后，总存在最大的项,设1a 后的最大项是1n a ，1n a 后的最大项是2n a ，且显然()2121n n a a n n ≤>；一般地，将k n a 后的最大项记为1k n a +，则有：()11,2,3,k k n n a a k +≤=.这样，就得到了{}n a 的一个单调递减子列{}k n a .（2）如果（1）不成立则从某一项开始，任何一项都不是最大的，不妨设从第一项起，每一项都不是最大项.于是，取11n a a =，因1n a 不是最大项，所以必存在另一项()2121n n a a n n >>又因为2n a 也不是最大项，所以又有：()3232n n a a n n >> ，这样一直做下去，就得到了{}n a 的一个单调递增子列{}k n a .综上所述，总可以在S 中可以选取一个单调数列{}k n a ，利用单调有界定理，{}k n a 收敛，极限就是S 的一个聚点.10.单调有界定理证明Cauchy 收敛准则证明：必要性：若lim n n x x →∞=，则对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >，有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性：现假设{}n x 满足对任意的0ε>，存在N ，对一切正整数,n m N >，有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=，故存在某个正整数0N ，对一切n ，有011n N x x +-<，即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.参考9的做法，可知数列{}n a 有一个单调子列{}k n a ，由单调有界定理，{}k n a 收敛，令lim k n k x ξ→∞=.则对任意正整数n N >，总存在某个()k k n n N >，使得k n x ξε-<，故有：2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.三．区间套定理11.区间套定理证明确界原理证明：仅证明非空有上界的数集S 必有上确界取一个闭区间[],a b ，使得[],a b 包含S 中的元素，并且b 为S 的上界.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为数集S 的上界，则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为数集S 的上界，则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =并且每个闭区间[],n n a b 都包含S 中的元素，并且右端点n b 为S 的上界.由于对任意s S ∈，有n s b ≤，所有由极限的保序性，lim n n s b ξ→∞≤=，从而ξ是数集S 的上界.最后，对于任意0ε>，存在n ，使得0n n b a ε<-<.由闭区间套的选取，[],n n a b 包含了S 中某个元素s ，从而有n n s a b εξε≥>->-.故ξ是数集S 的上确界. 12. 区间套定理证明单调有界定理设{}n x 是单调有界数列，不妨设其为单调递增且有上界取一个闭区间[],a b ，使得[],a b 包含{}n x 中的项，并且b 为{}n x 的上界.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为{}n x 的上界，则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为{}n x 的上界，则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =并且每个闭区间[],n n a b 都包含{}n x 中的项，并且右端点n b 为{}n x 的上界.下面证明lim n n x ξ→∞=.对任意的0ε>，存在n ，使得0n n b a ε<-<.由闭区间套的选取，[],n n a b 包含了{}n x 中某一项N x ，从而有N n n x a b εξε≥>->-.由于{}n x 单调递增,故对任意的n N >，有：N n x x ξε-<<. 又n n n x b a εξε<<+<+，故有n x ξεξε-<<+，即n x ξε-<. 13. 区间套定理证明有限覆盖定理若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法，若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =.显然[],a b ξ∈，考虑H 中覆盖ξ的开区间(),αβ，取{}0min ,δξαβξ<<--.由于lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==，所以存在N ，对一切正整数n N >，有,n n a b ξξδ--<，故此时[]()(),;,n n a b U ξδαβ⊂⊂.从而[](),n n a b n N >可以被H 中的一个开区间(),αβ覆盖，产生矛盾！故假设不成立，即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖. 14. 区间套定理证明聚点定理证明:已知点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ，每个闭区间包含了点集S 中无穷多个元素.由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =.下证ξ是点集S 的一个聚点.因为lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==，故对任意的0ε>，必定存在一个N ，对一切正整数n N >，有,n n a b ξξε--<，从而[]()(),;n n a b U n N ξε⊂>.又每个闭区间[],n n a b 包含了点集S 中无穷多个元素,故();U ξε包含了点集S 中无穷多个元素.由聚点的定义，ξ是点集S 的一个聚点.15. 区间套定理证明Cauchy 收敛准则必要性：若lim n n x x →∞=，则对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >，有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性：现假设{}n x 满足对任意的0ε>，存在N ，对一切正整数,n m N >，有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=，故存在某个正整数0N ，对一切n ，有011n N x x +-<，即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.取一个闭区间[],a b ，使得[],a b 包含所有{}n x 中的项.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了{}n x 中无穷多项，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了{}n x 中无穷多项，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ，并且每个闭区间[],n n a b 都包含{}n x 中无穷多项.由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =现在取一个子列{}k n x ，满足[](),1,2,3,k n k k x a b k ∈=.因为lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==和夹逼定理，lim kn k x ξ→∞=.则对任意正整数n N >，总存在某个()k k n n N >，使得k n x ξε-<，故有：2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.四.有限覆盖定理16.有限覆盖定理证明确界原理证明：不妨设S 为非空有上界的数集，我们证明S 有上确界. 设b 为S 的一个上界，下面用反证法来证明S 一定存在上确界.假设S 不存在上确界，取a S ∈.对任一[],x a b ∈，依下述方法确定一个相应的邻域（开区间）()();,x x x x U U x x x δδδ==-+.（1）若x 不是S 的上界，则至少存在一点x S '∈，使x x '>，这时取x x x δ'=-.（2）若x 是S 的上界，由假设S 不存在上确界，故有0x δ>，使得](,x x x δδ- 中不包含S 中的点.此时取(),x x x U x x δδ=-+，可知它也不包含S 中的点.于是我们得到了[],a b 的一个开覆盖：()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈ 根据有限覆盖定理，[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖.很明显（1）的开区间右端点属于S ，（2）的开区间中不包含S 中的点.显然a 所属的开区间是属于（1）的，b 所属的开区间是属于（2）的，所以至少有一个（1）中的开区间与某个（2）中的开区间相交，这是不可能的.17.有限覆盖定理证明单调有界定理证明：设{}n x 是单调有界数列，不妨设其为单调递增且有上界.任取b 为{}n x 的一个上界以及{}n x 中某项t x ，构造出闭区间[],t x b ，对任意的[],t x x b ∈，依下述方法确定一个相应的邻域（开区间）()();,x x x x U U x x x δδδ==-+.（1）若x 不是{}n x 的上界，则{}n x 中至少存在一项i x ，使i x x >，这时取x x x δ'=-.（2）若x 是{}n x 的上界，由假设{}n x 发散，故不会收敛到x .即有存在某个00ε>，对任何正整数N ，存在n N >，使得()()000;,n x U x x x εεε∉=-+.由于{}n x 递增，有上界x ，所以{}n x 中的所有项均不落在()()000;,U x x x εεε=-+中.此时取0x δε=.于是我们得到了[],t x b 的一个开覆盖：()[]{},|,x x x t H U x x x x b δδ==-+∈. 根据有限覆盖定理，[],t x b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖.很明显（1）的开区间右端点属于{}n x ，（2）的开区间中不包含{}n x 中的项.显然t x 所属的开区间是属于（1）的，b 所属的开区间是属于（2）的，所以至少有一个（1）中的开区间与某个（2）中的开区间相交，这是不可能的.18. 有限覆盖定理证明区间套定理证明:用反证法.假设[]{}(),1,2,3,n n a b n =没有公共点，则对任意一点[]11,x a b ∈，它都不会是[]{}(),1,2,3,nna b n =的公共点，从而存在正整数xn，使得,x x n n x a b ⎡⎤∉⎣⎦.故总存在一个开区间(),x x x U x x δδ=-+，使得：(),,xnx x n nx x a b δδ⎡⎤-+⋂=∅⎣⎦，于是我们得到了[]11,a b 的一个开覆盖：()[]{}11,|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理，[]11,a b 可以被H 中有限个开区间{}1i kx i U =覆盖.注意到闭区间套之间的包含关系，则所有{}1ikx i U =一定和某个最小的闭区间001,,i i k n n n n i a b a b =⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦无交.从而：[]{}0000001111,,,,i ik k n n x n n x n n i i a b a b U a b Ua b ==⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋂⊂⋂=⋂=∅⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭.产生矛盾！19. 有限覆盖定理证明聚点定理证明:设点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂.用反证法，假设S 没有聚点.利用聚点定义，对任意的[],x a b ∈，存在一个领域(),x x x U x x δδ=-+，使得x U 中只包含点集S 中有限个点.这样得到了[],a b 的一个开覆盖：()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理，[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖. 由于每个x U 中只包含点集S 中有限个点，所以[]1,i n x i a b U =⊂也只包含了S 中有限个点，这与S 是无限点集相矛盾！故假设不成立，即S 有聚点. 20. 有限覆盖定理证明Cauchy 收敛准则证明：必要性：若lim n n x x →∞=，则对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >，有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性：（使用反证法）现假设{}n x 满足对任意的0ε>，存在N ，对一切正整数,n m N >，有n m x x ε-<. 先证明柯西数列是有界的.取01ε=，故存在某个正整数0N ，对一切n ，有011n N x x +-<，即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.假设{}[],n x a b ⊂.若{}n x 发散，则对任意的[],x a b ∈，可以找到一个(),x x x U x x δδ=-+，使得{}n x 中只有有限项落在()0;U x ε中.否则对任何0δ>，(),x x δδ-+中均包含{}n x 中无限项，则可以证明{}n x 收敛.这样得到了[],a b 的一个开覆盖：()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理，[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1i nx i U =覆盖. 所以[]1,i n x i a b U =⊂也只包含了{}n x 中的有限项，矛盾！故假设不成立，{}n x 收敛.五．聚点定理21.聚点定理证明确界原理证明：仅证明非空有上界的数集S 必有上确界.取一个闭区间[],a b ，使得[],a b 包含S 中的元素，并且b 为S 的上界.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为数集S 的上界，则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为数集S 的上界，则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由于{}n b 明显有界，所有它有聚点ξ.对任意0,s S ε>∈，设()();,k b U ξεξεξε∈=-+，则k s b ξε≤<+.由ε的任意性，s ξ≤，故ξ是S 的一个上界.其次，对任意0ε>，取()();,k a U ξεξεξε∈=-+，设s S ∈包含于闭区间[],k k a b ，则k s a ξε≥>-.从而我们证明了ξ是S 的一个上确界. 22.聚点定理证明单调有界定理证明：设{}n x 是单调有界数列，则它一定存在聚点ξ.下证：lim n n x ξ→∞=.对任意的0ε>，由聚点的定义，()(),,U ξεξεξε=-+中包含{}n x 中的无穷多项，设{}()(),,kn x U ξεξεξε⊂=-+.则取1N n =，对一切正整数1n N n >=，假设k n n <.利用{}n x 是单调的，nx介于1n x 与k n x 之间，所以由()1,,k n n x x U ξε∈，可知(),n x U ξε∈，从而由极限的定义，lim n n x ξ→∞=23.聚点定理证明区间套定理证明：设{}{}n n S a b =⋃，则S 是有界无限点集由聚点定理得数集S 聚点ξ.若存在一个某个正整数0n ，使得00,n n a b ξ⎡⎤∉⎣⎦，不妨假设00n n a b ξ<<.取00n b εξ=-，则对一切0n n >，有00n n n a b b ξε<≤=-.于是()()000;,U ξεξεξε=-+中只包含S 中有限个点，这与ξ是数集S 的聚点矛盾！故[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性，假设还有另外一点ξ'，也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞，故有:ξξ'=.唯一性得证.24.聚点定理证明有限覆盖定理证明：若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法，若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ，并且[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖显然，{}n a 是有界的，故它存在聚点ξ.明显[],a b ξ∈.考虑H 覆盖中覆盖住ξ的开区间(),αβ.取{}min ,εξαβξ<--，则在()();,U ξεξεξε=-+中包含了{}n a 中的无穷多项，设{}()();,kn a U ξεξεξε⊂=-+.又()02n n nb aba n --=→→+∞ 于是存在某个0k n ，使得0k k n n b a βξε-<--故0n a ξεα>->；()00n n b a βξεξεβξεβ<+--<++--=. 故[]00,,n n a b αβ⎡⎤⊂⎣⎦.这与[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖矛盾！故假设不成立，即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.25.聚点定理证明Cauchy 收敛准则证明：必要性：若lim n n x x →∞=，则对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >，有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性：现假设{}n x 满足对任意的0ε>，存在N ，对一切正整数,n m N >，有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=，故存在某个正整数0N ，对一切n ，有011n N x x +-<，即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.故它存在聚点，设为ξ.对条件中的0ε>，由聚点的定义，假设{}()();,k n x U ξεξεξε⊂=-+ 则对任意正整数n N >，总存在某个()k k n n N >，使得k n x ξε-<，故有：2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.六.Cauchy 收敛准则26. Cauchy 收敛准则证明确界原理证明: 设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,对任何正数α,存在整数k α ,使得k ααλα=为S 的上界,而()1k ααλαα-=-不是S 的上界, 即存在S α'∈使得()1k ααα'>- 分别取()11,2,3,n n α==，则对每一个正整数n ,存在相应的n λ,使得nλ为S 的上界，而1n nλ-不是S 的上界,故存在S α'∈,使得1n nαλ'>-又对正整数m ,m λ是S 的上界，故有m λα'≥.所以1m n n λαλ'≥>-，即有1m n m λλ-<.同理有1m n nλλ-<，于是得到11min ,m n m n λλ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭.于是,对任意的0ε>，存在正整数N ，使得当,m n N >时有m n λλε-<. 由柯西收敛准则,数列{}n λ收敛.记lim n n λλ→∞=现在证明λ就是S 的上确界.首先,对任何S α∈和正整数n ，有n αλ≤，有极限的保序性，lim n n αλλ→∞≤=，故λ是S 的上界其次,对于任意的0δ>,存在充分的的正整数n ，使得12n δ<并且2n δλλ>-. 由于1n n λ-不是S 的上界，所以存在S α'∈，并且1n n αλ'>-.于是122n n δδαλλλδ'>->--=-.故λ就是S 的上确界. 27. Cauchy 收敛准则证明单调有界定理证明：设{}n x 是单调有界数列，不妨假设{}n x 单调递增有上界.若{}n x 发散，则又柯西收敛准则，存在00ε>，对一切正整数N ，存在m n N >>，使得0m n m n x x x x ε-=-≥.于是容易得到{}n x 的子列{}k n x ，使得10k k n n x x ε+-≥.进而()101k n n x x k ε>+-故()k n x k →+∞→∞，这与{}n x 是有界数列矛盾！所有假设不成立，即{}n x 收敛. 28. Cauchy 收敛准则证明区间套定理证明：设[]{},n n a b 为闭区间套.因为lim 0n n n a b →∞-=，所以对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>，m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<；m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<，由柯西收敛准则，{}{},n n a b 均收敛，而且是同一极限，设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.由于{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，由极限的保序性，所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性，假设还有另外一点ξ'，也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞，故有:ξξ'=.唯一性得证.29.Cauchy 收敛准则证明有限覆盖定理证明：若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法，若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ，并且[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖.因为lim lim02n n nn n b aa b →∞→∞--==，所以对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>，m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<；m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<，由柯西收敛准则，{}{},n n a b 均收敛，而且是同一极限，设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.由于{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，由极限的保序性，所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=.考虑H 覆盖中覆盖住ξ的开区间(),αβ.取{}min ,εξαβξ<--，则存在正整数N ，对一切n N >，,n n a b ξξε--<.即有[]()(),;,n n a b U ξεαβ⊂⊂.这与[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖矛盾！故假设不成立，即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.30. Cauchy 收敛准则证明聚点定理证明：已知点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素，设它为[]11,a b ；再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素，设它为[]22,a b .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ，每个闭区间包含了点集S 中无穷多个元素. 因为lim lim02n n nn n b aa b →∞→∞--==，所以对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>，m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<；m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<，由柯西收敛准则，{}{},n n a b 均收敛，而且是同一极限，设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.下证ξ是S 的一个聚点.对任意的0ε>，存在正整数N ，对一切n N >，,n n a b ξξε--<.即有[]()(),;,n n a b U ξεξεξε⊂=-+.故()();,U ξεξεξε=-+中包含了S 中无穷多个元素，由聚点的定义，ξ是S 的一个聚点.。

实数的完备性、列紧性与紧性

ba ba ，易知 lim ln lim bn a n lim n =0。 n n n n 2 2

那么由区间套定理知，存在实数 c ，满足
k 1
I k c 。
下面构造一个 X 中的序列 cn ，该序列收敛于 c 。
cn 定义如下：对每个
n n n
a b c。

下面证明 c 是所有区间的唯一公共点，即
k 1
I k c 。
k 1
由单调收敛定理知 sup an c inf bn ，所以 an c bn ，即 c
I k 。对于
任意正实数，存在正整数 N,使得 c aN c bN c ，所以任意不等于 c
n n
a A 和非负数 ,使得 a c 。存在正整数 N,使得 c xN c a ，由于 xN
是 A 的一个上界且 A 无最大值， xN a 不可能成立。所以， c 是 A 的上界。对于任意正数，存在存在正整数 N，使得 c aN c ，所以任意小于 c 的实数不是 A 的上界。综上， c 是集合 A 的上确界。 3.单调收敛定理: R 中的单调有界序列必收敛。证明:用确界原理证明。仅对单调递增的序列证明，单调递减序列的证明是类似的。设 an 是单调递增的序列且上有界。由确界原理知 an 由上确界，设
I n an , bn ，任取 cn I n X 。因为 c I n ，
cn c bn an 。因为 lim bn an 0 ，所以对于任意正数，存在正整数 N，使
n
得 n>N 时， cn c bn an 。那么根据极限的定义， cn 收敛于 c 。（或:用致密性定理:元素个数无限时，选出元素互不相同的序列，再选出收敛子列，显然该子列就是集合的收敛的序列）（或:用聚点定理证明。元素个数无限时，用聚点定理得到聚点的存在性，再构造一个收敛于聚点的序列）（或:用单调收敛定理证明。选出单调子列，马里兰大学 Fitzpatrick 所著《高等微积分》的证法） 2.聚点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯): R 的有界无限子集存在聚点(极限点)。证明:用列紧定理证明。从集合中选出一个元素互不相同的序列(因为是无限集，所以可以做到)，由列紧定理得到一个收敛的子序列，显然此序列的极限是集合的聚点。（或：用有限覆盖定理证明。假设不存在聚点，那么每个点都是孤立点，那么集合是闭集，有限覆盖定理成立。每个孤立点都存在一个不包含任何其他点的邻域，这些邻域的集合是一个开覆盖，而这个开覆盖显然不存在有限覆盖，因为点和邻域是一对一的。那么这与有限覆盖定理矛盾，所以聚点必然存在。） 3.致密性定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯): R 的有界序列存在收敛的子序列。证明：用聚点定理。设 xn 是 R 的有界序列。设 xn 的象集是 X。 (1) X 是有限集。显然此时存在一个数 a 对应了无穷个下标，取出这些下标便得到一个收敛到 a 的常序列。 (2) X 是无限集。因为 xn 是 R 的有界序列，集 X 显然是有界的。所以由聚点定理知，集 X 存在聚点，设集 X 的一个聚点为 x 。根据聚点的定义，存在正整数 N1 ，使得

用柯西收敛准则证明确界原理

用柯西收敛准则证明确界原理确界原理（Bolzano–Weierstrass theorem）是实数完备性的一个重要结果之一，它表明，一个有界数列必然有收敛的子数列。

在证明确界原理时，通常会使用柯西收敛准则（Cauchy convergence criterion）。

柯西收敛准则也被称为柯西准则，是一种用来判断数列是否收敛的方法。

准则的表述如下：对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，对于所有的正整数m、n>N，当满足，m-n，<N时，必有，am-an，<ε。

现在，我们来证明确界原理。

假设我们有一个有界数列{an}，它的上界为M，下界为m。

根据确界的定义，我们可以找到一个M的上界m'，使得m' > m。

我们可以将这个上界作为第一个数列中的一些项，将其他的项作为第二个数列。

前一个数列的上界是m'，下界是m，后一个数列的上界和下界与原有数列的上界和下界相同。

所以，我们可以将问题简化为证明下列命题：如果存在一个有界数列，其上界为M，且存在一个正整数N，使得当n>N时，有，a_N-an，<ε，则可以找到一个收敛的子数列，其极限为a_N。

根据柯西收敛准则，我们可以找到一个正整数N，满足当n,m>N时，有，an-am，<ε/2、（注意：这里的n和m是任意的正整数）注意到数列{an}是有界的，所以它至少有一个收敛子数列，我们将其表示为{an_k}，极限为a。

由于{an_k}是一个收敛数列，根据收敛数列的定义，对于给定的ε/2，我们可以找到一个正整数K，当k>K时，有，an_k-a，<ε/2现在我们来证明{an_k}的极限也是{an}的极限。

对于给定的ε，选择N=max(N,K)，则当n>N时，有：an-a，≤ ，an - an_k， + ，an_k - a，< ε/2 + ε/2 = ε这证明了{an_k}的极限也是{an}的极限。

有界必有确届,单调有界必收敛,有界必有收敛子列,柯西收敛原理,区间套定理,有限开覆盖定理

有界必有确届，单调有界必收敛，有界必有收敛子列，柯西收敛原理，区间套定理，有
限开覆盖定理
这些都是数学分析中的重要定理和原理，它们在数学分析的证明和应用中起着重要的作用。

以下是对这些定理和原理的简要解释：
1.有界必有确界：如果一个数列或函数有界，那么它一定有一个确切的上界和下界。

2.单调有界必收敛：如果一个数列或函数单调有界，那么它一定收敛。

3.有界必有收敛子列：如果一个数列或函数有界，那么它一定存在一个收敛的子列。

4.柯西收敛原理：如果一个数列或函数的任意两个子列收敛于相同的极限，那么整个数列或函数也收敛于这个极限。

5.区间套定理：如果存在一系列嵌套的闭区间，使得每个区间都包含下一个区间，并且这些区间的长度趋于零，那么这些区间的交集是一个单点。

6.有限开覆盖原理：如果一个集合可以被一系列开区间覆盖，那么这些开区间可以被有限个开区间覆盖。

这些定理和原理在数学分析中有着广泛的应用，例如在极限的计算、函数的连续性和可微性的证明、积分的计算等方面。

六大定理互相证明总结

六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院数学与应用数学专业班级指导老师 XXX摘要在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理1 确界定理1.1 确界定理有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理证明：设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b .显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞→n n n a b ∴βα=即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1]证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界{}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y .由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，有N n y y ≥，从而n y ＞εβ-.也就是说：当n ＞N 时，有 n y -≤β0＜ε 所以 β→n y 2 单调有界原理2.1 单调有界原理单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列{}n x 必存在单调子数列. 证明：⑴若{}n x 中存在递增子序列{}k n x ，则引理已证明；⑵若{}n x 中无递增子序列，那么∃1n ＞0，使n ＞1n ，恒有1n x ＞n x .同样在{}n x （n ＞1n ）中也无递增子序列.于是又存在2n ＞0，使2n ＞n ，恒有2n x ＜n x ＜1n x .如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列{}k n x . 引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加有上界的数列，{}n b 是单调递减有下界的数列.根据定理，则n n a ∞→lim 存在，且极限等于{}n a 的上确界.同样，n n b ∞→lim 也存在，且极限等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有n n k n n k b b a a ∞→∞→≥≤lim ,lim （*）由定理的另一条件： ()0lim =-∞→n n n a b ，并且由于已知{}n a 及{}n b 的极限都存在，则有()0lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n a b a b .从而证明了两个极限相等，且设ξ是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：ξ是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 n k b a ≤≤ξ（3,2,1=k …）也就是ξ是所有区间的一个公共点.现在要证明ξ是所有区间的唯一公共点.设除点ξ外，所设区间列还有另外一个公共点'ξ，且ξξ≠'.由于n n b a ≤≤',ξξ（3,2,1=n …），故有ξξ-≥-'n n a b （3,2,1=n …）由数列极限的性质知道：()ξξ-≥-∞→'lim n n n a b由于()0lim =-∞→n n n a b ，故有0'≤-ξξ从而有ξξ='.到此定理的全部结果都已得证. 3 区间套定理3.1 区间套定理设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b ，则区间的端点所成两数列{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理证明：设数列{}n x 递增有上界.取闭区间[]11,b a ，使1a 不是数列{}n x 的上界，1b 是数列{}n x 的上界.显然在闭区间[]11,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]11,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项. 对分[]11,b a ，取[]22,b a ，使其具有[]11,b a 的性质.故在闭区间[]22,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]22,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项.以此方法，得区间列{[,n a ]n b }.由区间套定理，ξ是所有区间的唯一公共点.显然，在ξ的任何邻域内有数列{}n x 的无穷多项，即ε∀＞0，∃*N N ∈，当n ＞N 时，有ξ-n x ＜ε. 所以ξ=∞→n n x lim 定理得证.3.3 区间套定理证明致密性定理[1]证明：设{}n y 为有界数列，即存在两个数b a ,，使b y a n ≤≤.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个区间含有{}n y 中的无穷个数.把这个区间记为[]11,b a ，如果两个区间都含有无穷个n y ，则任取其一作为[]11,b a .再等分区间[]11,b a 为两半，记含有无穷个n y 的区间为[]22,b a .这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列{[,n a ]n b }，这个区间列显然适合下面两个条件：（1）[][][]⊃⊃⊃2211,,,b a b a b a … （2）02→-=-nn n ab a b 于是由区间套定理，必存在唯一点[]b a ,∈ξ使ξξ→→n n b a ,，且[]k k b a ,∈ξ（3,2,1=k …）.每一[]k k b a ,中均含有{}n y 的无穷个元素.在[]11,b a 中任取{}n y 的一项，记为1n y ，即{}n y 的第1n 项.由于[]22,b a 也含有无穷个n y ，则它必含有1n y 以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为2n y ，则1n ＜2n .继续在每一[]k k b a ,中都这样取出一个数k n y ，即得{}n y 的一个子列{}k n y ，其中1n ＜2n ＜…＜k n ＜…，且k n k b y a k ≤≤.令∞→k ，由于,,ξξ→→k k b a 故ξ→k n y .这就是定理所要的结果.4 致密性定理4.1 致密性定理又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列. 4.2 致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设{}n x 单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列{}k n x . 令a x k n k =∞→lim .于是，对ε∀＞0，∃0k ，当k ＞0k 时，有a x k n -＜ε （*）由于{}n x 单调递增，显然恒有a x n ≤（3,2,1=n …）. 由此（*）式可改成0k n x a -≤＜ε （k ＞0k ）取0k n N =，当n ＞N 时有 k n n x a x a -≤-≤0＜ε 所以 a x n n =∞→lim4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1] 证明：首先证明条件的必要性：设a x n →，则对任意给定ε＞0，有一正整数N ，当k ＞N 时，有 a x k -＜2ε从而当n m ,＞N 时，有m n m n x a a x x x -+-≤-＜2ε+2ε=ε 其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取ε=1，必有一正整数0N ，当n m ,＞0N 时，有m n x x -＜1特别地，当n ＞0N 且10+=N m 时，有 10+-N n x x ＜1 从而当n ＞0N 时，有 1100+++-≤N N n n x x x x ＜1+10+N x这就证明了{}n x 的有界性.由致密性定理，必有收敛子列{}k n x ，设a x k n k =∞→lim .根据子列收敛定义，对任意给定的ε＞0，必有正整数K ，当k ＞K 时，有 a x n -＜ε取一正整数()1,1m ax 0++=N K k .于是0k ＞K ，且11+≥≥+N n n N k o ＞N .因此，当n ＞N 时，由已知条件有0k n n x x -＜ε，所以a x x x a x k k n n n n -+-≤-00＜ε+ε=2ε即 a x n n =∞→lim5 柯西收敛原理5.1 柯西收敛原理数列{}n x 有极限的必要与充分条件是：对任意给定的ε＞0，有正整数N ，当m , n ＞N 时，有m n x x -＜ε. 5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设{}n x 为一递增且有上界M 的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是ε∃＞0，对*N N ∈∀，当n m ,＞N 时，有 m n x x -ε≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x . 又由于数列{}n x 为一递增的数列，所以1212n n n n x x x x -=-1≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当32,n n ＞1N 时，有123≥-n n x x 取1=ε，必有一正整数1N ，当43,n n ＞1N 时，有134≥-n n x x …………… …………… …………… 取1=ε，必有一正整数1N ，当1,+k k n n ＞1N 时，有11≥-+k k n n x x 将以上式子相加，得11+≥+k x k n ∞→ （∞→k ）与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，单调有界数列有极限. 5.3 柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设{}n x 为一有上界M 的数列. 假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则ε∃＞0，对*N N ∈∀，当k k n n ,1+＞N 时，有ε≥-+k k n n x x 1. 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x 取2=ε，必有一正整数2N ，当32,n n ＞2N 时，有223≥-n n x x 取3=ε，必有一正整数3N ，当43,n n ＞3N 时，有334≥-n n x x…………… …………… …………… 取k =ε，必有一正整数k N ，当1,+k k n n ＞k N 时，有k x x k k n n ≥-+1 显然与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，任一有界数列必有收敛子列. 6 有限覆盖定理6.1有限覆盖定理若开区间所组成的区间集E 覆盖一个闭区间[a ,b ],则总可以从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a ,b ]. 6.2 有限覆盖定理证明确界定理证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间E ⊂R ，∀x ∈E ,有x ≤M ,任取一点0x ∈E ，假设E 无上确界，那么∀x ∈[0x ,M ]:ⅰ)当x 为E 的上界时，必有更小的上界1x ＜x ,因而x 存在一开邻域∆x ，其中每一点均为E 的上界，称其为第一类区间；ⅱ）当x 不是E 的上界时，则有2x ∈E 使2x ＞x ,那么x 存在一开邻域∆x ，其中每点均不是E 的上界，称其为第二类区间.∴ 当x 取遍[0x ,M ]上每一点找出一个邻域∆x .显然∆x 不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[0x ,M ]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[0x ,M ].显然M 所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间∆x 有公共点.所以∀x ∈∆x ，x 均为E 的上界.而与∆x 相邻接的开区间∆'x 有公共点，所以∀x ∈∆'x ，x 均为E 的上界. 依此类推，0x 所在的开区间也是第一类区间，则0x 为E 的上界. 又 0x E ∈，∴E 为常数集.由此矛盾引出. 得证.同理，E 有下确界.6.3 有限覆盖定理证明致密性定理证明：设{}n x 是一有界数列，现在证明{}n x 有收敛子列.（1）如果{}n x 仅由有限个数组成，那么至少有一个数ξ要重复无限多次，即ξ===21n n x x …==kn x … 因而子列{}kn x 收敛于ξ.（2）如果{}n x 是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间[]b a ,，使对一切自然数n 都有a ＜n x ＜b在[]b a ,内至少存在一点0x ，使对于任意的正数δ，在()δδ+-00,x x 内都含有{}n x 中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于[]b a ,中每一点x ，都有x δ＞0，在()x x x x δδ+-,内，仅有{}n x 中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：{=μ(,x x δ-)x x δ+}，μ完全覆盖了闭区间[]b a ,，依有限覆盖定理，存在μ中的有限多个区间.()11111,x x x x δδ+-=∆，…，()n n x n x n n x x δδ+-=∆,，他们也覆盖了[]b a ,，并且在每一个i ∆（,2,1=i …,n ）中都只含{}n x 中的有限多个数.因此{}n x 也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾. 于是，对于k δ=k1（,3,2,1=k …），于()k k x x δδ+-00,内取{}n x 中无穷多个点，就得到{}n x 的子列{}k n x 满足：0x x k n -＜kk 1=δ（,3,2,1=k …）从而∞→k lim 01x x n =得证.总结：六大定理可以分为两类： ① 有限覆盖定理：反映区间上的整体性质； ② 其余五个：反映函数在一点上的性质.实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上发挥着重要的作用.本文在写作过程中得到了XXX 老师的多次精心指导，在此表示感谢.参考文献：[1] 陈传璋金福临朱学炎 .《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7。

实数完备性的六大基本定理的相互证明

1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。

2 单调有界原理任何单调有界数列必有极限。

3 区间套定理若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。

4 Heine-Borel 有限覆盖定理设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。

5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。

）直线上的有解无限点集至少有一个聚点。

6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。

一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理证明：１设［ａｎ，ｂｎ］是一个闭区间套，即满足：１）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设sup Ｓ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ ≤ξ，（ｎ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ．事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。

关于实数连续性的6个基本定理的互证

1、确界定理证明单调有界定理证明：设 { xn } 是单调上升有上界的实数列 . 由确界定理可得， ∃ r ，使 r=sup { xn } .
∴ ∀ n , 有 x n ≤ r ，并且 ∀ε > 0, ∃xN , 有xN > r − ε
∴∀n > N , 有r − ε ≤ xN ≤ xn ≤ r ，即 | xn − r |< ε
0 0
n →∞
5、单调有界证明有限覆盖定理
证明：假设某一闭区间 [ a, b ] 的某个开覆盖 E 的有限个区间覆盖，等分 [ a, b ] 为两个部分区间，则至少有一个部分区间不能被 E 的有限个区间覆盖，把这个区间记为 [ a1 , b1 ] ，再等分 [ a1 , b1 ] ，记不能被 E 的有限个区间覆盖的那个部分区间为
∴{ x n } ∈ Q0且单调下降有下界的数列。
∴∃ξ s.t lim xn =ξ ,下面证明ξ =supE。
n →∞
（1）如果 ∃x0 ∈ E，s.tx0 > ξ，则
x0 − ξ x − ξ x0 + ξ > 0 ∴∃N，s.txn < ξ + 0 = < x0 2 2 2
∵ xN ∈ Q0 ∴ 这与xN 为E的上界矛盾.
n →∞
n→ ∞
an
= r， lim
n→ ∞
Hale Waihona Puke bn = r ′，由
∴ ∀ n，有 an
≤ r ≤ bn .
最后证明唯一性 . 若有 r , r ′ 满足 r ∈ ∩ [ an , bn ] ， r ' ∈ ∩ [ an , bn ] ，则

无穷级数的柯西收敛准则

无穷级数的柯西收敛准则无穷级数是高等数学中一个重要的概念，它指的是无限个数的和，可以分为收敛和发散两种情况。

对于无穷级数的收敛，有很多判别法，而柯西收敛准则是其中一种重要的方法，本文将对此进行详细介绍。

一、柯西收敛准则的概念柯西收敛准则是由19世纪的法国数学家柯西提出的。

在介绍这个概念之前，我们需要先了解一下柯西序列的概念。

柯西序列是指在实数或复数集合中，满足任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n，m大于等于N时，它们的差的绝对值小于ε，即|an - am| < ε。

那么，对于无穷级数来说，如果它的部分和(an + ... + ak)是一个柯西序列，那么这个无穷级数是收敛的。

具体来讲，对于一个无穷级数∑an，如果对于任意的ε > 0，都存在一个正整数N，使得当n > m > N时，它们的部分和之差的绝对值小于ε，即|∑an - ∑am| < ε，则这个无穷级数是收敛的。

这个条件也被称为柯西收敛准则。

二、柯西收敛准则的证明柯西收敛准则的证明可以分为两步。

第一步是证明如果一个无穷级数收敛，则其部分和构成的序列是柯西序列。

第二步是证明如果一个无穷级数的部分和构成的序列是柯西序列，则这个无穷级数收敛。

对于第一步，可以采用分离法和三角不等式共同完成。

分离法是指首先分离出前几项的有限和，将其余项看成一个整体，用三角不等式将其估计，最终得出一个有限的上界。

对于无穷级数∑an来说，假设它的部分和为Sn，则|Sn - Sm| = |an+1 + an+2 + ... + am|≤ |an+1| + |an+2| + ... + |am|根据无穷级数的定义可知，∑an是收敛的，即它的部分和有一个上界M，即|an+1| + |an+2| + ... + |am| ≤ M。

因此，|Sn - Sm| ≤ M，即Sn构成柯西序列。

对于第二步，可以采用反证法和取极限的方法完成。

假设一个无穷级数的部分和构成的序列是柯西序列，但这个无穷级数发散。

谈谈数学分析中的几类柯西准则

谈谈数学分析中的几类柯西准则【摘要】本文主要论述了数列的柯西收敛准则，函数极限存在的柯西准则，级数收敛的柯西准则，函数列一致收敛的柯西准则，函数项级数一致收敛的柯西准则，平面点列的柯西准则，含参量反常积分一致收敛的柯西准则的应用并进行了总结和证明，并通过大量的例题体现了它们的地位和作用.柯西收敛准则是证明收敛与发散的基本方法，并且通过此种方法还推出了很多简单的方法，由此可见柯西准则的重要地位，此种方法的优越性也是显而易见的，就是通过本身的特征来判断是否收敛，这就给证明带来了方便，本文将这几种准则作了以下总结，并且探讨了它们之间的一些关系.【关键词】柯西准则，一致收敛，级数Some Canchy criteria in the Mathematical Analysis【Abstract】This passeage discusses the sequence of cauchy criterion function limit, the convergence of cauchy criterion, the convergence of the series, the function of cauchy criterion listed uniform convergence of cauchy criterion function series, uniform convergence of cauchy criterion, plane of cauchy criterion, some abnormal integral parameter uniform convergence of cauchy criterion and summarized and proof, and through a lot of sample reflected their status and role. Cauchy convergence criteria is proved the convergence and spread the basic method and through this method also launched many simple method, thus the important position of cauchy criterion, this kind of method is obvious superiority of the characteristics of itself, through to judge whether to prove the convergence, and this will bring convenience to the standards for the following summary, and probes into some of the relationship between them.【Key words】cauchy criterion, uniform convergence, series目录1 引言 (1)2数列的柯西收敛准则 (1)3函数极限存在的柯西准则 (2)4级数收敛的柯西准则 (3)4.1 级数的定义 (3)4.2 级数收敛的柯西准则及其应用 (3)5函数列一致收敛的柯西准则 (5)5.1 函数列的定义 (5)5.2 函数列的一致收敛及其应用 (5)6函数项级数一致收敛的柯西准则 (7)6.1 函数项级数定义 (7)6.2 函数项级数的一致收敛 (7)7含参量反常积分的一致收敛的柯西准则 (8)7.1 含参量反常积分的定义 (8)7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则 (8)8 柯西准则在数学分析中的作用 (11)9参考文献 (13)1 引言柯西准则是数学分析的基础理论，贯穿于整个数学分析内容之中.在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念的，都有与内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大优点是不需要借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的特点，它具有整齐完美的形式，在分析中有很重要的理论价值．由于柯西准则的内容多，又分布在教材的不同地方，在学习时感到空洞，抓不住实质，更不能很好地应用它们，下面根据自己的学习经验，谈点体会．2 数列的柯西准则定理2.1 (柯西收敛准则) 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时有 n m a a ε-<. 例1 证明：任一无限十进小数120.na bb b =的n 位不足近似(1,2,)n =所组成的数列1121222,,,,101010101010nn b b b b b b ++++ (1) 满足柯西条件(从而必收敛)，其中k b 为0,1,2,,9中的一个数，k=1,2，.证记122101010nn n b b b a =+++.不妨设n m >,则有 1212101010m m nn m m m nb b b a a ++++-=+++ 11911(1)101010m n m +--≤+++1111(1)101010m n m mm -=-<<. 对任给的0ε>，取1N ε=，则对一切n m N >>有n m a a ε-<. 这就证明了数列(1)满足柯西条件. 例2 已知1sin 2nn k k kx ==∑，求证lim n n x →∞存在. 证明：设n m >，11sin 122nnn m k k k m k m k x x =+=+-=≤∑∑11111(1)222m n m +--=+++1111112212m m m +≤⋅=<-.所以10,{}N εε∀>∃=，当n m N >>时，1n m x x mε-<<，由柯西收敛准则，所以lim n n x →∞存在.3 函数极限存在的柯西准则定理 3.1(柯西准则) 设函数f 在00(;')U x δ内有定义.0lim ()x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")f x f x ε-<.证必要性设0lim ()x x f x A →=，则对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00(;)x U x δ∈有()2f x A ε-<.于是对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")(')(")22f x f x f x A f x A εεε-≤-+-<+=.充分性设数列00{}(;)n x U x δ⊂且0lim n n x x →∞=.按假设，对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈，有(')(")f x f x ε-<.对上述的0δ>，存在0N >，使得当,n m N >时有00,(;)n m x x U x δ∈，从而有 ()()n m f x f x ε-<.于是，按数列的柯西准则，数列{()}n f x 的极限存在，记为A ，即lim ()n n f x A →∞=.按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在00ε>，对任何0δ>(无论δ多么小)，总可以找到00',"(;)x x U x δ∈，使得0(')(")f x f x ε-≥.例3 证明极限01lim sin x x→不存在.证取01ε=，对任何0δ>，设正整数1n δ>，令11',"2x x n n πππ==+ 则有00',"(;)x x U x δ∈，而011sin sin 1'"x x ε-==.于是按柯西准则，极限01lim sin x x →不存在.4 级数收敛的柯西准则4.1 级数的定义给定一个数列{n u }，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++(2)称为数项级数或无穷级数(也常称级数)，其中n u 称为数项级数(2)的通项 4.2 级数收敛的柯西准则及其应用定理4.2 级数收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m>N 以及对任意的正整数p ，都有 12m m m p u u u ++++++<ε根据定理4.2，我们立刻可写出级数发散的充要条件：存在某正数0ε，对任何正整数N ，总存在正整数0m (>N)和0p ，有 0000120m m m p u u u ε++++++≥ (3)由定理4.2立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件.推论若级数(2)收敛，则l i mn n u →∞=0. 例4讨论调和级数1+11123n++++的敛散性解这里调和级数显然满足推论的结论，即1l i m l i m 0n n n u n→∞→∞==. 但令p=m 时，有 122111122m m m u u u m m m+++++=+++++ ≥111222m mm+++=12.因此，取0ε=12，对任何正整数N ，只要m>N 和p=m 就有(5)式成立.所以调和级数是发散的.例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数21n∑收敛.证由于12m m m p u u u ++++++=222111(1)(2)()m m m p ++++++ <111(1)(1)(2)(1)()m m m m m p m p +++++++-+=11m m p -+ <1m. 因此，对任给正数ε，取N=1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使当m>N 及对任意正整数p ，由上式就有12m m m p u u u ++++++<1m<ε. 依定理4.2推得级数21n∑是收敛的. 例6 设11111!2!!n x n =++++，证明{}n x 收敛.证明 ,n p N ∀∈，111111(1)!(2)!()!(1)(1)(2)(1)()n p n x x n n n p n n n n n p n p +-=+++<++++++++++-+ 1111111111121n n n n n p n p n np n=-+-++-=-<++++-++. 0ε∀>，11,n n εε<>，取1[]N ε=，于是0ε∀>，1[]N ε∃=，,n N p N ∀>∀∈，有n p n x x ε+-<，故{}n x 收敛.5函数列一致收敛的柯西准则5.1 函数列收敛的定义设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有 ()()n f x f x ε-<，则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.由定义看到，如果函数列{}n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的()N ε(即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关)，只要n>N ，都有|()()n f x f x ε-<.由此看到函数列{}n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛.反之，在D 上每一点都收敛的数列{}n f ，在D 上不一定收敛. 5.2 函数列的一致收敛及其应用定理5.2 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列{n f }在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在正数N ，使得当n ，m>N 时，对一切x D ∈，都有()()n m f x f x ε-<. (4)证 [必要性] 设()()n f x f x ⇒ (n →∞)，x D ∈，即对任给0ε>，存在正数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有()()2n f x f x ε-<. (5)于是当n ，m>N ，由(5)就有()()()()()()n m n m f x f x f x f x f x f x -≤-+-<22εε+=ε.[充分性] 若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，{}n f 在D 上任一点都收敛，记其极限函数为()f x ，x D ∈.现固定式中的n ，让m →∞，于是当n>N 时，对一切x D ∈都有()()n f x f x ε-≤. 由定义可得，()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈. 根据一致收敛定义可推出下述定理：函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是：l i m s u p ()()0n n x Df x f x →∞∈-=. (6) 证 [必要性] 若()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.则对任给的正数ε，存在不依赖于x 的正整数N ，当n>N 时，有 ()()n f x f x ε-<，x D ∈. 由上确界的定义，亦有sup ()()n x Df x f x ε∈-≤.这就证得(6)式成立.[充分性] 由假设，对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n>N 时，有s u p ()()n x Df x f x ε∈-<. (7)因为对一切x D ∈，总有 ()()s u p ()()n n x Df x f x f x f x ∈-≤-. 故由(7)式得()()n f x f x ε-<.于是{}n f 在D 上一致收敛于f .在判断函数列是否一致收敛上定理 5.2更为方便一些(其缺点是必须事先知道它的极限函数)，由, 所以在(,)-∞+∞上，sin 0nxn ⇒()n →∞. 例7 证明：若对,0,n n N a x I ∀∈∃>∀∈，有1()()n n n f x f x a +-≤，且1n n a ∞=∑收敛，则函数列{()}n f x 在区间I 上一致收敛. 证明： ,,n p N x I ∀∈∀∈，111()()()()()()n p n n p n p n n n p n f x f x f x f x f x f x a a +++-++--≤-++-≤++(,)sin 1lim sup 0lim 0n n x nx nn →∞→∞∈-∞+∞-==因为1n n a ∞=∑收敛，故0,,n N p N ε∀>∃∈∀∈，有1n p n a a ε+-++<.于是，0,,,n N p N x I ε∀>∃∈∀∈∀∈，有 11()()n p n n p n n p n f x f x a a a a ε++-+--≤++=++<.所以{()}n f x 在区间I 上一致收敛.6 函数项级数一致收敛的柯西准则6.1 函数项级数定义定义1 设{()}n u x 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 12()()()n u x u x u x ++++，x E ∈ (8)称为定义在E 上的函数项级数，简记为1()nn k u x =∑或()n u x ∑.称1()()nn k k S x u x ==∑， x E ∈，n=1，2，(9)为函数项级数(10)的部分和函数列定义2 设{()}n S x 是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列.若{()}n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ，则称函数项级数()n u x ∑在D 上一致收敛于函数()S x ，或称()n u x ∑在D 上一致收敛. 6.2 函数项级数的一致收敛定理6.2（一致收敛的柯西准则）函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的充要条件为：对任给的正数ε，总存在某正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈和一切正整数p ，都有()()n p n S x S x ε+-<,或 12()()()n n n p u x u x u x ε++++++<.此定理中当p=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件.推论函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列{()}n u x 在D 上一致收敛于零.设函数项级数()n u x ∑在D 上的和函数为()S x ，称()()()n n R x S x S x =- 为函数项级数()n u x ∑的余项.7 含参量反常积分的一致收敛的柯西准则7.1 含参量反常积分的定义设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,),}R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，无穷积分(,)cf x y dy +∞⎰(10)都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当记这个函数为()I x 时，则有 ()(,)cI x f x y d y +∞=⎰，[,]x a b ∈， (11)称(10)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限无穷积分，或简称含参量无穷积分. 如同无穷积分与数项级数的关系那样，含参量无穷积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似.7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则定义若含参量无穷积分(10)与函数()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N>c ，使得当M>N 时，对一切[,]x a b ∈，都有(,)()Mcf x y d yI x ε-<⎰，即(,)Mf x y d y ε+∞<⎰，则称含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛于()I x ，或简单地说含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.定理7.3 (一致收敛的柯西准则) 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某一实数M c >，使得当12,A A M >时，对一切[,]x a b ∈，都有21(,)A A f x y d y ε<⎰. (12)例8 证明含参量无穷积分s i n xydy y+∞⎰(13) 在[,)δ+∞上一致收敛(其中0δ>)，但在(0,)+∞内不一致收敛. 证作变量代换u xy =，得s i n s i n AA x x y u d y d u yu +∞+∞=⎰⎰， (14)其中A>0.由于0sin udu u+∞⎰收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，当'A M >时，就有's i n A udu uε+∞<⎰. 取A M δ>，则当MA δ>时，对一切0x δ≥>，由(14)式有s i n Axydy yε+∞<⎰，所以(13)在0x δ≥>上一致收敛.现在证明(13)在(0,)+∞内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数M(>c)，总相应地存在某个A M >及某个[,]x a b ∈，使得0(,)Af x y d y ε+∞≥⎰.由于非正常积分0sin udu u+∞⎰收敛，故对任何正数0ε与M ，总存在某个(0)x >，使得00s i n s i n Mxu u du du u uε+∞+∞-<⎰⎰，即0000sin sin sin Mx uu u du du du u u uεε+∞+∞+∞-<<+⎰⎰⎰. (15) 现令001sin 2udu uε+∞=⎰，由(14)及不等式(15)的左端就有000s i n s i n 2MM x x y u d y d u yu εεε+∞+∞=>-=⎰⎰. 所以(13)在(0,)+∞内不一致收敛.关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理.定理含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A (其中1A c =)，函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰(16)在[,]a b 上一致收敛.证 [必要性]由(10)在[,]a b 上一致收敛，故对任给的0ε>，必存在M c >，使当m n A A M >>时，对一切[,]x a b ∈，总有"'(,)A A f x y d y ε<⎰. (17)又由()n A n →+∞→∞，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当m n M >>时，就有m n A A M >>.由(17)对一切[,]x a b ∈，就有 11()()(,)(,)m n mnA A n m A A u x u x f x y dy f x y dy ++++=++⎰⎰=1(,)m nA A f x y dy ε+<⎰.这就证明了级数(16)在[,]a b 上一致收敛.[充分性] 用反证法.假如(10)在[,]a b 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数M c >，存在相应的"'A A M >>和'[,]x a b ∈，使得"0'(',)A A f x y d y ε≥⎰.现取1max{1,}M c =，则存在211A A M >>及1[,]x a b ∈，使得2110(,)A A f x y dy ε≥⎰.一般地，取2(1)max{,}(2)n n M n A n -=≥，则有221n n n A A M ->>及[,]n x a b ∈，使得2210(,)n n A n A f x y dy ε-≥⎰. (18)由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且lim n n A →∞=+∞.现考察级数111()(,)n nA n A n n u x f x y dy +∞∞===∑∑⎰.由(18)式知存在正数0ε，对任何正整数N ，只要n M >，就有某个[,]n x a b ∈，使得21220()(,)n nA n n n A u x f x y dy ε+=≥⎰.这与级数(16)在[,]a b 上一致收敛的假设矛盾.故含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.例9 若无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，函数()f x 在[,)a +∞单调，则lim ()0x xf x →+∞=.证不妨设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，已知无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，我们有()0f x ≥，[,)x a ∈+∞.由已知条件无穷积分()a f x dx ∞⎰收敛，根据柯西收敛准则0,ε∀>..1p A ∀>和2p A >，有12()p p f x dx ε<⎰.于是122,,2xx A p p x ∀>==取，因为()f x 单调递减，得到2122()()()()02p xxx x p xf x dx f t dt f x dt f x ε>=≥=≥⎰⎰⎰. 即lim ()0x xf x →+∞=.8 柯西准则在数学分析中的作用8.1 柯西准则在实数完备性理论中的作用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架.作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则人手，可依次推出其它五个定理.由广义积分收敛的柯西准则易推出广义积分的绝对收敛判别法及比较判别法. 8.2 用柯西准则判断敛散性的优越性作为判别敛散性的工具，柯西准则较其它判别法具有更多的优点.其一，条件的充分必要性决定其适用范围更广，更普遍；其二，柯西准则只利用题目本身的条件，不必借助极限结果，以下举两个例子说明之.例10 若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 必收敛. 证 0ε∀>{}n a 收敛，由柯西准则',,N N m n N ∴∃∈∀>，有m n a a ε-< 从而m n m n a a a a ε-<-<，由柯西准则数列{}n a 收敛.例11 设函数列{()}n f x 在D 上一致收敛，则函数级数11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛.证设1()()()n n n u x f x f x +=- 0ε∀>因为 {()}n f x 在D 上一致收敛，由函数列一致收敛的柯西准则：所以 'N N ∃∈，当n N >时，',p N x D ∀∈∀∈，有()()n p n f x f x ε+-< 从而 11()()()()()n n n p n p n u x u x u x f x f x ε++-++++=-<.由函数级数的柯西一致收敛准则得：11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛。

bolzano weierstrass定理证明

Bolzano-Weierstrass 定理是实分析领域中的一个非常重要的定理，它指出了有界数列必定存在收敛的子数列。

本文将从数学分析的角度，对Bolzano-Weierstrass 定理进行证明。

1. 定理陈述Bolzano-Weierstrass 定理又称柯西-波尔查诺定理，它的具体陈述如下：对于任意有界的实数数列 {an}，必存在收敛的子数列{a nk}，即存在一个收敛到某一实数极限的子数列。

2. 证明准备证明Bolzano-Weierstrass 定理需要借助实数的有界性和确界原理。

我们知道实数集合有上界和下界，对于有界数列而言，存在一个上确界和下确界。

接下来，我们将利用这一性质来证明Bolzano-Weierstrass 定理。

3. 证明过程假设 {an} 是一个有界数列，即存在M>0，使得|an|<M对任意n成立。

由确界性质知，存在点x0，使得x0是{an}的上确界。

根据上确界的定义，对于任意正数ε>0，存在数列中的某个数a n0，使得x0-ε <an0≤x0。

现在我们来构造一个收敛子数列。

首先考虑ε=1，根据上确界的定义，存在a n1，使得x0-1 <a n1≤x0。

接着考虑ε=1/2，存在 a n2，使得x0-1/2 <a n2≤x0。

依此类推，我们可以构造出一个递增的数列{a n1，a n2，a n3，…}，满足x0-1 <a n1≤x0<x0-1/2 <a n2≤x0<x0-1/3 <a n3≤x0<….由于{an}有界，这个递增数列也必定有界。

根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的定义，存在一个实数x，使得x是递增数列的极限。

我们构造出了一个收敛的子数列{a nk}，它的极限即为x。

Bolzano-Weierstrass 定理得以证明。

4. 结论通过以上的严密证明过程，我们成功地证明了Bolzano-Weierstrass定理。

数学分析（二）知识点总结（可编辑）

第七章关于实数完备性的6 个基本定理1. 确界原理(定理1.1 );2. 单调有界定理(定理2.9) ;3. 区间套定理(定理7.1);4. 有限覆盖定理(定理7.3)5. 聚点定理(定理7.2 )6. 柯西收敛准则(定理2.10);在实数系中这六个命题是相互等价的。

在有理数系中这六个命题不成立。

1. 确界原理在实数系中,任意非空有上(下)界的数集必有上(下)确界。

2sup S2, inf S? 2,反例 : Sx | x2, xQ,即S 在有理数集没有确界。

确界原理在有理数域不成立。

2. 单调有界定理;在实数系中,单调有界数列必有极限。

1n反例 : 1 是单调有界有理数列 ,n但其极限是无理数 e.即数列的单调有界定理在有理数域不成立。

3. 区间套定理,若[ ] a b 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的点n n, 使?[a ,b ],n1,2,n n反例:取单调递增有理数列a , 使a2,n n取单调递减有理数列b , 使b2,n n则有理数域内构成闭区间套 [a ,b ] ,n n .其在实数系内唯一的公共点为 2所以区间套定理在有理数系不成立。

4. 有限覆盖定理在实数系中,闭区间[a, b] 的任一开覆盖H , 必可从H 中选出有限个开区间覆盖[a, b] 。

设[1,2] 表示[1 , 2] 中所有有理数的集合 , 反例:Qx [1,2] ,有理数r , 使 2(xr , xr ,Q x x x令Hxr , xr | x ?[1,2] ,则H 是[1,2] 的一个开覆盖 ,x x QQ*任取H 的有限个元素 , 构成集合H ,*Hxr , xr ,xr , xr ?xr , xr1 1 1 12 2 2 2 n n n n*由于H 中的开区间都不含 2 , 且2n 个端点都是有理数 , 设这2n 个有理数中与 2 最靠近的数为 r,则在r 与 2 之间所有有理数都在上述n 个区间之外。

用柯西收敛原理证明实数完备性的其它定理

用柯西收敛原理证明实数完备性的其它定理柯西收敛原理可以用来证明实数完备性的很多定理，下面以一些常见的例子进行说明。

1. 单调有界数列定理：设有一实数数列{a_n}，若该数列单调递增且有上界，则该数列必有极限。

类似地，若该数列单调递减且有下界，则该数列必有极限。

证明：设{a_n}为单调递增且有上界的实数数列。

根据柯西收敛原理，对于任意ε>0，存在N，使得当n,m>N时，有|a_n -a_m|<ε。

由于{a_n}单调递增，所以对于任意的n, m>N，有a_n < a_m，因此0 ≤ a_m - a_n < ε，即a_n是柯西数列。

根据实数的完备性，柯西数列必有极限，即{a_n}收敛。

2. 上确界和下确界定理：设E是实数集合，若E有上界，则必有上确界；若E有下界，则必有下确界。

证明：设E为实数集合且有上界。

定义数列{a_n}，其中a_n为E中的任意一个元素，并且a_n < a_(n+1)。

根据柯西收敛原理，数列{a_n}是柯西数列，因此存在极限L。

由于E有上界，所以对于任意的n，有a_n ≤ L ≤ b，其中b是E的上界。

因此L是E的一个上界。

另一方面，对于任意的ε>0，存在N，使得当n>N时，有|a_n - L| < ε。

取ε = (b - L)，则对于任意的n>N，有a_n > L - ε = L - (b - L) = 2L - b。

因此L ≤ a_n ≤ b，即L是E的上确界。

3. 紧致性定理：设E为实数集合，若E有上界，则存在收敛子列收敛于上确界。

证明：设E为实数集合且有上界。

根据实数的完备性，E中的任意数列都有收敛子列。

记E的上确界为M，对于任意的ε>0，存在E中的数列{a_n}，使得lim(a_n) = M。

根据柯西收敛原理，存在N，使得当n,m>N时，有|a_n - a_m|<ε。

因此，由lim(a_n) = M可知，对于任意的ε>0，存在N，使得当n>N时，有|a_n - M|<ε。

用柯西收敛准则证明确界原理

用柯西收敛准则证明确界原理用柯西收敛准则证明确界原理什么是确界原理•确界原理是数学中的一个基本原理，也被称为上确界原理或最大元原理。

在实际问题中，确界原理常常用于证明数列或函数的存在性及性质。

什么是柯西收敛准则•柯西收敛准则是数学分析中用于判断数列的收敛性的一种方法。

根据柯西收敛准则，如果对于任意给定的正数ε，序列的后续项差的绝对值小于ε时，我们可以说这个序列是收敛的。

如何用柯西收敛准则证明确界原理1.首先，让我们考虑一个数列{a_n}，假设它是一个有上界的数列。

2.我们借助确界原理来证明这个数列必然存在一个上确界。

3.根据确界原理，我们需要证明数列的上确界是存在的、唯一的。

4.为了证明数列的上确界存在，我们需要使用柯西收敛准则。

5.根据柯西收敛准则，我们需要证明对于任意给定的正数ε，数列的后续项差的绝对值小于ε。

6.我们可以假设存在一个正数ε，使得数列的后续项差的绝对值大于等于ε，即|a_m - a_n| >= ε，其中m、n为自然数且m > n。

7.由于数列有上界，所以存在一个上确界M，使得M >= a_n对于所有的n。

8.考虑数列的后续项差a_m - a_n，由于数列有上确界，所以存在一个N，使得a_N >= M - ε。

9.由于a_N >= M - ε，所以a_m >= a_N，即a_m >= M - ε。

10.综合前两步得到的不等式，我们可以得到a_m - a_n >= (M - ε)- a_n。

11.由于|a_m - a_n| >= ε，所以(M - ε) - a_n >= ε，即M -2ε >= a_n。

12.这与M >= a_n矛盾，因此假设不成立。

13.因此，对于任意给定的正数ε，数列的后续项差的绝对值小于ε，即数列满足柯西收敛准则。

14.根据柯西收敛准则，数列是收敛的。

15.则存在一个上确界M，即数列的确界是存在的。

柯西收敛准则证明确界原理

柯西收敛准则证明确界原理哎呀，今天咱们来聊聊一个挺有意思的数学话题——柯西收敛准则和极界原理。

这两个概念就像两个老朋友，虽然各自有各自的性格，但结合起来，能让我们更好地理解数学的奥秘。

想象一下，你在街边的小摊上，瞧见一群人围着，那个摊主可是个高手，能把简单的食材做出让人惊艳的美味。

这就是数学，简单而又复杂。

柯西收敛准则，听起来有点拗口，但别担心。

简单来说，它的意思就是：如果一个数列的后面项之间越来越接近，也就是说，它们的差别越来越小，那这个数列就可以认为是收敛的。

就像你和朋友一起聚会，大家聊得越来越投机，最后干脆约定下一次再聚。

这里面其实就有个趋势，数列也一样，慢慢趋近于某个值，像是个“聚会点”。

有个小故事，说是有个学生在学习这个准则的时候，总是觉得无从下手。

一天，他突然灵光一现，决定用实际生活中的例子来理解这个概念。

他发现每次和朋友们聚餐，大家点的菜越来越少，最后都是分享一盘小菜。

他们之间的距离越来越近，哈哈，这不是正好是柯西收敛准则的真实写照吗？所以说，数学就藏在我们的日常生活里，别小看这些简单的例子。

再聊聊极界原理。

这玩意儿也很有意思。

极界原理其实是说，一个有界的序列，如果它的所有子列都有极限，那这个序列的极限也存在。

这就像你们有个小圈子，虽然每次聚会的主题不一样，但大家都是在某个界限内活动。

想象一下，你们每次聚会都约在同一个咖啡馆，虽然聊的话题千变万化，但最终的感觉都是温馨的。

这个温暖就是极限，而大家的共同点就是那个界限。

柯西和极界这两者之间有啥关系呢？嘿，答案就是：一个是趋势，一个是界限。

它们像一对好搭档，互相补充。

你要是想知道一个序列的收敛性，柯西准则告诉你看“朋友们之间的距离”，而极界原理则提醒你关注“圈子里的活动范围”。

这两者结合，就像一把钥匙，能打开更深的数学大门。

话说回来，学习这些理论时，可能一开始会有点晕头转向，但别忘了，慢慢来，不急。

你可以把它们看作拼图，拼的过程虽然有点折磨，但完成后的那一瞬间，绝对会让你心满意足。

柯西准则及其应用 (1)

柯西准则及其应用摘要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0x x →一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用．关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0x x →一种情形来讨论，即设函数()f x 在00(;)U x δ'内有定义，00()lim x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数δ(<δ')，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ，都有()()f x f x '''-<ε．事实上，当0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞，x →∞五种情形函数极限存在的柯西准则可以类比，它们的应用也非常广泛．本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深之处．1 柯西准则的其它五种形式定理1.1 设函数f 在00(;)U x δ+'内有定义．00()lim x x f x +→存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ+，均有()()f x f x '''-<ε．证必要性设0()lim x x f x A +→=，则对任给的ε>0，存在正数δ(<δ')，使得对00(;)x U x δ+∀∈，有()2f x A ε-<．于是对00(;)x x U x δ+'''∀∈，，有充分性设数列{}00(;)n x U x δ+⊂且0lim n n x x →∞=，按假设，对任给的ε>0，存在正数δ(<δ')，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ+，有()()f x f x ε'''-<．由于0()n x x n →→∞，对上述的δ>0，存在N >0，使得当n m ，>N 时有00(;)n m x x U x δ+∈，从而有()()n m f x f x ε-<．于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列{}()n f x 的极限存在，记为A ，即()lim n n f x A →∞=．设另一数列{}00(;)n y U x δ+'⊂且0lim n n y x →∞=，则如上所证，()lim n n f y →∞存在，记为B ．现证B A =，为此，考虑数列易见{}n z ⊂00(;)U x δ+'且0lim n n z x →∞=，故仍如上面所证，{}()n f z 也收敛．于是，作为{}()n f z 的两个子列，{}()n f x 与{}()n f y 必有相同的极限，所以由归结原则推得0()lim x x f x A +→=．证毕定理1.2 设函数f 在00(;)U x δ-'内有定义．00()lim x x f x -→存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ-，均有()()f x f x '''-<ε．以下利用定理1.2和致密性定理证明数列极限的柯西准则的充分性．证充分性设数列{}n a 满足柯西条件，先证明{}n a 是有界的．为此，取ε=1，则存正整数N ，当1m N =+及n N >时有由此得111111n n N N n N N N a a a a a a a a +++++=-+≤-+<+．令则对一切正整数n 均有n a M ≤．于是，由致密性定理可知，有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ，设lim k n k a A →∞=．对任给的0ε>，存在0K >，当m n k K >，，时，同时有2n m a a ε-<(由柯西条件)，2k n a A ε-<（由lim k n k a A →∞=）．因而当取()k m n k K =≥>时，得到22k k n n n n a A a a a A εεε-≤-+-<+=．这就证明了lim n n a A →∞=．有归结原则：0lim ()x x f x A -→=⇔对任何0()n x x n →→∞有lim ()n n f x A →∞=．充分性即证．必要性设lim n n a A →∞=．有数列极限定义，对任给的0ε>，存在0N >当m n N >，时有因而22m n m n a a a A a A εεε-≤-+-<+=．由归结原理知，即可证得．证毕注归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题．定理1.3 充分大的M >0，设函数f 在()U +∞内有定义．()lim x f x →+∞存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何x '>1M ，x ''>1M ，均有()()f x f x '''-<ε．证先证必要性．设()lim x f x A →+∞=，按照定义，0ε∀>，110M M M ∃>>，，1x x M '''∀>，()2f x A ε'-<，()2f x A ε''-<．于是()()f x f x '''-≤()f x A '-+()f x A ''-<ε．再证充分性．设0ε∀>，110M M M ∃>>，，1x x M '''∀>，()()f x f x '''-<ε．任意选取数列{}n x ，lim n n x →∞=+∞．则对上述10M >，10n m N n m N x x M ∃>∀>>，，，，．有()()n m f x f x ε-<．这说明函数值数列{}()n f x 是基本数列，因而必定收敛．根据相应的归结原则，可知()lim x f x →+∞存在而且有极限．证毕注上述证明过程中用到了基本数列，下面介绍基本数列的定义如果数列{}n x 具有以下特征：0ε∀>，0N n m N ∃>∀>，，则称数列是一个基本数列．定理1.4 充分大的M >0，设函数f 在()U -∞内有定义．()lim x f x →-∞存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何x '<1M -，x ''<1M -，均有()()f x f x '''-<ε．证必要性设()lim x f x A →-∞=，则对任给的0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何1x M <-有()2f x A ε-<．于是对任何1x x M '''<-，有充分性设数列{}n x (]1,M ⊂-∞-且lim n n x →∞=-∞．按假设，对任给的0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何1x x M '''<-，，有()()f x f x ε'''-<．由于()n x n →-∞→∞，对上述的10M >，存在0N >使得当n m N >，时有1n m x x M <-，，从而有于是，按数列的柯西收敛准则，数列{}()n f x 的极限存在，记为A ，即()lim n n f x A →∞=．设另一数列{}(],n y M ⊂-∞-且lim n n y →∞=-∞，则如上所证，()lim n n f y →∞存在，记为B ．现证B A =，为此，考虑数列易见{}(],n z M ⊂-∞-且lim n n z →∞=-∞，故仍如上面所证，()lim n n f z →∞也收敛．于是，作为{}()n f z 的两个子列，{}()n f x 与{}()n f y 必有相同的极限，所以由归结原则推得()limx f x A →-∞=．证毕定理1.5 充分大的M >0，设函数f 在()U ∞内有定义．()lim x f x →∞存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何1x x M '''>，，均有()()f x f x '''-<ε．定理1.5的证明可以类似前面4个定理的证明． 2 归纳柯西准则在数学分析中的应用． 2.1柯西准则在实数完备性理论中的应用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架．作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则入手，可依次推出其它五个定理．2.1.1 用数列的柯西收敛准则证明确界原理．证设S 为非空有上界数集．由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数ακ，使得ααλκα=为S 的上界，而(1)ααλακα-=-不是S 的上界，即存在S α'∈，使得(1)αακα'>-．分别取112n nα==，，，，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为S 的上界，而1n nλ-不是S 的上界，故存在a S '∈，使得1n a nλ'>-．（1）又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有m a λ'≥．结合（1）式得1n m n λλ-<；同理有1m n mλλ-<．从而得11max(,)m n m nλλ-<．于是，对任给的0ε>，存在0N >，使得当m n N >，时有m n λλ-<ε．由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛．记lim n n λλ→∞=．（2）现在证明λ就是S 的上确界．首先，对任何a S ∈和正整数n 有n a λ≤，由(2)式得a λ≤，即λ是S 的一个上界．其次，对任何0δ>，由10()n n→→∞及(2)式，对充分大的n 同时有 122n n δδλλ<>-，．又因1n nλ-不是S 的上界，故存在a S '∈，使得1n a n λ'>-．结合上式得22a δδλλδ'>--=-．这说明λ为S 的上确界．同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界． 2.1.2 用平面点列收敛的柯西准则证明闭区间套定理证在闭域套{}n D 的每一个闭域n D 内任取一点n P ，构成一个各点各不相同的平面点列{}n P ，则对一切自然数P ，由于n p n D D +⊂，以1,,0(,)0()n n p n n n n P P D P P d n ρ++∈<≤→→∞，因此(,)0lim n n p n p p ρ+→∞=．由定义任给0ε>，存在正整数N ，使得当n N >时，对一切自然数P ，都有(,)n n p p p ρε+<，根据柯西准则{}n P 收敛，记0lim n n P P →∞=．现证012n P D n ∈=，，，，为此任意取定n ，则因为对一切自然数12p =，，，都有0lim n p n p n n p p P D D P P +++→∞∈⊂=，，由定义知0P 是n D 的聚点，而闭域n D 必为闭集，所以它的聚点012n P D n ∈=，，，，最后证明0P 的唯一性，若还有012n P D n '∈=，，，，则由于10(,)0()n n n P P d n ρ+≤≤→→∞．，所以0000(,)0P P P P ρ''==，．2.2 柯西准则是极限论的基础，许多敛散性判别法都由它导出． 2.2.1 柯西准则在数列收敛性判定中的应用数列{}n a 收敛0N N m n N ε'⇔∀>∃∈∀>，，，有m n a a ε-<．数列{}n a 发散00N N m n N ε'''⇔∃>∀∈∃>，，，，使得0m n a a ε''-≥．例1 应用柯西收敛准则，证明数列{}n a 收敛证对0ε∀>，取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则对n m N ∀≥>，有而由2m ε>知2mε<，故n m a a ε-<，由柯西收敛准则知数列{}n a 收敛． 2.2.2 柯西准则在函数极限存在性判定中的应用0()lim x x f x →不存在的充要条件是：00ε∃>，对0δ∀>，都存在x '，x ''∈00(;)U x δ，使得0()()f x f x ε'''-≥．例2 证明极限01sin lim x x→不存在．证可取01ε=，对任何0δ>，设正整数1n δ>，令则有0(0;)x x U δ'''∈，，而011sinsin 1x x ε-=='''．于是按照柯西准则，极限01sin lim x x→不存在．2.2.3 柯西准则在无穷积分与瑕积分收敛性判定中的应用因为无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性是由变上限函数()lim ta t f t dt →+∞⎰存在与否确定的．因此，可由函数极限()lim x f x →+∞存在的柯西准则导出无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的柯西准则：无穷积分()af x dx +∞⎰收敛120G a u u G ε⇔∀>∃≥∀>，，，有同理，由函数极限0()lim t t f x →存在的柯西准则可直接推出瑕积分()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛的柯西准则：瑕积分()ba f x dx ⎰（a 为瑕点）收敛()1200,u u a a εδδ⇔∀>∃>∀∈+，，，有例3 设()f x 在[)0,+∞上连续可微，并且20()f x dx +∞<+∞⎰．如果()f x C '≤(当0x >时)，其中C 为一常数．试证：()0lim x f x →+∞=．证（反证）假设()0lim x f x →+∞≠，则00ε∃>，使对0G ∀>，总有A x G >，()A f x ε≥０因为()f x 在[)0,+∞上连续可微，()f x c '≤．故f 在[)0,+∞上一致连续，于是0δ∃>，使当[)0,x x x x δ''''''∈+∞-<，，时，又因20()f x dx +∞⎰收敛，故0M ∃>时，当12x x M >，时，2120()2x x f x dx εδ<⎰，对该M ，存在0x ，故00(,)(,)x x M δδ-+⊂+∞，0()f x ε≥０当00(,)x x x δδ∈-+时 0()()f x f x ε-<０． 20()4f x ε∴≥．00200()242x x f x dx δδεεδδ+-∴≥⋅=⎰矛盾．()0lim x f x →+∞∴=．2.2.4 柯西准则在级数收敛性判定中的应用因为级数1n n u =∑的敛散性是由其前n 项和数列{}1n n k k S u =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑的敛散性确定的．所以，由{}n S 收敛的柯西准则直接可得级数1n n u ∞=∑收敛的柯西准则：1nn u∞=∑收敛0N N m N p N ε''⇔∀>∃∈>∀∈，，，有例 4 级数1nn a∞=∑收敛的充要条件是：对任意的正整数序列12n r r r ，，，，都有12()0lim n n n n r n a a a +++→∞+++=．证必要性因为1n n a ∞=∑收敛，所以对当,N N n N '∃∈>及p N '∀∈有特别地12n n n n r a a a ε++++++<．所以12()0lim n n n n r n a a a +++→+∞+++=．充分性用反证法．若1n n a ∞=∑发散，则000N n N ε∃>∀>∃>，，及自然数p ，使特别1111N n =∃>，及自然数1r 使{}2122max 2N n n N =∃>，，，及自然数2r ，使这与12()0lim n n n n r n a a a +++→+∞+++=矛盾．所以级数1n n a ∞=∑是收敛的．例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数21n ∑收敛．证由于因此，对任给0ε>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，使当m N >及对任意正整数p ，由上式就有121m m m p u u u mε++++++<<．依级数收敛的柯西准则推得级数21n∑是收敛的． 2.2.5 柯西准则在函数列与函数项级数一致收敛性判定中的应用由数列收敛的柯西准则易推得函数列{}()n f x 一致收敛的柯西准则：函数列{}()n f x 在D 上一致收敛0N N m n N x D ε'∀>∃∈∀>∀∈，，，，有又因为函数项级数1()n n f x ∞=∑的一致收敛性是由其部分和函数列{}1()()n n k k S x f x =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑的一致收敛性确定的．所以，可用函数列一致收敛的柯西准则直接推出函数项级数一致收敛的柯西准则：1()nn fx ∞=∑在D 上一致收敛0N N ε'⇔∀>∃∈，，当n N >时，p N x D '∀∈∀∈，有12()()()n n n p u x u x u x ε++++++<．进一步易推出判断函数项级数一致收敛常用的魏尔斯特拉斯判别法．例6 证明：若对0n n N a x I '∀∈∃>∀∈，，，有1()()n n n f x f x a +-≤且1n n a ∞=∑收敛，则函数列{}()n f x 在区间上一致收敛．证 n p N x I '∀∈∀∈，，，因为1n n a ∞=∑收敛，故有0N N n N p N ε''∀>∃∈∀>∀∈，，，0N N n N p N x I ε''∀>∃∈∀>∀∈∀∈，，，，有1n p n a a ε+-=++<．所以函数列{}()n f x 在区间上一致收敛．例7 设()(1,2,)n u x n =是[],a b 上的单调函数，证明：若()n u a ∑与()n u b ∑都绝对收敛，则()n u x ∑在[],a b 上绝对且一致收敛．证因为()n u a ∑与()n u b ∑绝对收敛⇒对0N N ε+∀>∃∈，，当n N >时，对p N +∀∈有12()()()n n n p u a u a u a ε++++++<． 12()()()n n n p u b u b u b ε++++++<．又因为()(1,2,)n u x n =是[],a b 上的单调函数，所以对[],x a b ∀∈．有()()()n n n u a u x u b ≤≤ 或()()()n n n u a u x u b ≥≥．由一致收敛的柯西准则可推出函数项级数()n u x ∑在[],a b 上绝对且一致收敛．柯西准则的优越性柯西准则的优越性是显然的，在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念都有内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大的优点是不需借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的具体特点来解决相应的问题，使得看似复杂的问题变的简单易懂．它具有整齐完美的形式，充分体现了数学美，使得许多抽象的数学理论形象可见．在数学分析中有非常重要的理论价值，所以深刻理解柯西准则很重要．参考文献[1] 责任编辑高尚华，华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社，2001年，第三版 [2] 崔万臣，谈柯西准则在数学分析中的作用，唐山师专学报，1993年，第21卷，第2期 [3] 王安斌、宾红华，用柯西准则证明几个相关命题，数学理论与应用，2004年，第24卷，第4期 [4] 陈祥平，对柯西准则教学的体会，济宁师专学报，1998年，第19卷，第6期[5] 薛怀玉，2R 上完备性定理的等价，咸阳师范专科学校学报（自然学版），1998年，第13卷，第6期[6] 钱吉林，数学分析题解精粹，湘北长江出版集团，2009年，第二版[7] 刘玉链、傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社，2003年，第三版 [8] 陈纪修、於崇华、金路，数学分析，高等教育出版社，2004年，第二版Cauchy criterion and its applicationAbstract: The Cauchy criterion is one of the six theorems which is about the completeness of real numbers. it isthe foundation of the limit. Throughout the course of mathematical analysis,its applicationhas always been. In general, During the curriculum materials of themathematical analysis, when it discusses the Cauchy criterion, only asituation that 0x x is discussed.This article will supply proofs of the other five cases of the Cauchy criterion of the limits of function. At the same time, it will discuss and sum the flexibility application of Cauchy criterion in the limits, the series , Points and so on.Keywords:Cauchy criterion; applications; limit exists; superiority。

学年论文-数学分析七大定理的相互证明

云南大学课题名称：数学分析七大定理的相互证明学院：数学与统计专信息与计算科学业：指导教师：何清海学生姓名：段飞龙学生学号20101910050目录摘要关键词 .、八、-前U言,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 结论十口V U j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j参考文献,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,摘要：数学分析中的单调有界性定理、闭区间套定理、确界存在性定理、有限覆盖定理、Weierstrass聚点定理、致密性定理以及柯西收敛准则，虽然他们的数学形式不同，但他们都描述了实数集的连续性，在数学分析中有着举足轻重的作用。

关键词：单调有界性定理闭区间套定理确界存在性定理有限覆盖定理Weierstrass聚点定理致密性定理柯西收敛准则前言：一、七大定理定理1单调有界性定理(1 )、上确界上确界的定义“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。

考虑一个实数集合M.如果有一个实数S,使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。

在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。

一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。

上确界的数学定义有界集合S,如果B满足以下条件①对一切x • S，有X —，即［是S的上界；②对任意存在x • S，使得x • ：•，即一：又是S的最小上界，则称1为集合S的上确界，记作一：二supS (同理可知下确界的定义)在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界)的非空数集必存在上确界(下确界)”。

上确界的证明(1)每一个x • X满足不等式x空m ;⑵对于任何的；-0,存在有x X ,使x' M -；则数M =sup、x f称为集合X的上确界。

(2)下确界下确界的定义“下确界”的概念是数学分析中最基本的概念。