目标规划模型

目标规划模型 Prepared on 22 November 2020

§ 目标规划模型

1. 目标规划模型概述

1)引例

目标规划模型是有别于线性规划模型的一类多目标决策问题模型，通过下面的例子，我们可看出这两者的区别。

例1 某工厂的日生产能力为每天500小时，该厂生产A 、B 两种产品，每生产一件A 产品或B 产品均需一小时，由于市场需求有限，每天只有300件A 产品或400件B 产品可卖出去，每出售一件A 产品可获利10元，每出售一件B 产品可获利5元，厂长按重要性大小的顺序列出了下列目标，并要求按这样的目标进行相应的生产。

（1）尽量避免生产能力闲置；

（2）尽可能多地卖出产品，但对于能否多卖出A 产品更感兴趣； （3）尽量减少加班时间。

显然，这样的多目标决策问题，是单目标决策的线性规划模型所难胜任的，对这类问题，须采用新的方法和手段来建立对应的模型。 2）相关的几个概念

（1）正、负偏差变量+

d 、-

d 正偏差变量+

d 表示决策值)

,,2,1(n i x i =超过目标值的部分；负偏差变量-

d 表示

决策值

)

,,2,1(n i x i =未达到目标值的部分；一般而言，正负偏差变量+d 、-d 的相互

关系如下：

当决策值

)

,,2,1(n i x i =超过规定的目标值时，

0 ,0=>-

+d d ；当决策值)

,,2,1(n i x i =未超过规定的目标值时，

0 ,0>=-

+d d ；当决策值),,2,1(n i x i =正好等于规定的目标值时，

0 ,0==-

+d d 。

（2）绝对约束和目标约束

绝对约束是必须严格满足的等式约束或不等式约束，前述线性规划中的约束条件一般都是绝对约束；而目标约束是目标规划所特有的，在约束条件中允许目标值发生一定的正偏差或负偏差的一类约束，它通过在约束条件中引入正、负偏差变量+

d 、-

d 来实现。

（3）优先因子（优先级）与权系数

目标规划问题常要求许多目标，在这些诸多目标中，凡决策者要求第一位达到的目标赋予优先因子1P ，要求第二位达到的目标赋予优先因子2P ，……，并规定1

+>>k k P P ，

即

1

+k P 级目标的讨论是在

k

P 级目标得以实现后才进行的（这里n k ,,2,1 =）。若要考

虑两个优先因子相同的目标的区别，则可通过赋予它们不同的权系数j

w 来完成。

3）目标规划模型的目标函数

目标规划的目标函数是根据各目标约束的正、负偏差变量+d 、-d 和其优先因子来构

造的，一般而言，当每一目标值确定后，我们总要求尽可能地缩小与目标值的偏差，故

目标规划的目标函数只能是

) ,( min -

+=d d f z 的形式。我们可将其分为以下三种情形：

（1）当决策值

)

,,2,1(n i x i =要求恰好等于规定的目标值时，这时正、负偏差变

量+d 、-

d 都要尽可能小，即对应的目标函数为： )( m in -++=d d f z ；

（2）当决策值

)

,,2,1(n i x i =要求不超过规定的目标值时，这时正偏差变量+

d 要

尽可能小，即对应的目标函数为：

)( min +

=d f z ； （3）当决策值

)

,,2,1(n i x i =要求超过规定的目标值时，这时负偏差变量-

d 要尽

可能小，即对应的目标函数为：

)( min -

=d f z 。 目标规划数学模型的一般形式为：

有了以上的讨论，在例1中，设21 ,x x 分别表示产品A 、B 的生产数量，-1d 表示生产能力闲置的时间，+1d 表示加班时间，-

2d 表示产品A 没能达到销售目标的数目，-

3d 表

示产品B 没能达到销售目标的数目。因要求尽量避免生产能力闲置及尽量减少加班时

间，故有目标约束条件为：5001121=-+++-d d x x （-1d 、+

1d 要尽可能小），又要求尽

可能多地卖出产品，故有目标约束条件为：

400

,3003221=+=+--

d x d x （-

2d 、-

3d 要尽

可能小），多卖出A 产品的要求可体现在目标函数的权系数中，于是可得到例1的目标规划模型为： 满足的约束条件为：

2．应用实例

例1. 职工的调资方案问题 1）问题的提出

某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，要求相关部门遵守以下的规定： （1） 年工资总额不超过60000元； （2） 每级的人数不超过定编规定的人数；

（3） П、Ш级的升级面尽可能达到现有人数的20%；

（4） Ш级不足编制的人数可录用新职工，又I 级的职工中有10%的人要退休。 相关资料汇总于下表中，试为单位领导拟定一个满足要求的调资方案。

2）模型分析与变量假设

显然这是一个多目标规划的决策问题，适于用目标规划模型求解，故需要确定该问题与之对应的决策变量、目标值、优先等级及权系数等。设1x 、2x 、

3

x 分别表示提升到

I 、П级和录用到Ш级的新职工人数，由题设要求可确定各目标的优先因子为：

1P ——年工资总额不超过60000元； 2P ——每级的人数不超过定编规定的人数；

3

P ——П、Ш级的升级面尽可能达到现有人数的20%；

下面再确定目标约束，因要求年工资总额不超过60000元，所以有：

2000（10-10×10%+1x ）+1500（12-1x +2x ）+1000（15-2x +3x ）+

6000011=-+

-d d 且正偏差变量+

1d 要尽可能小，又第二目标要求每级的人数不超过定编规定的人数，所

以，

对I 级有：12)1.01(10221=-++-+-d d x ，且正偏差变量+2d 要尽可能小；

对П级有：

15

123321=-++-+-d d x x ，且正偏差变量

+

3d 要尽可能小；

对Ш级有：

15

154432=-++-+-d d x x ，且正偏差变量+

4d 要尽可能小；

对第三目标——П、Ш级的升级面尽可能达到现有人数的20%，我们有：

%,2012551⨯=-++-d d x 且负偏差变量-5d 要尽可能小；

%,2015662⨯=-++-d d x 且负偏差变量

-

6d 要尽可能小；

3）模型的建立

由此，我们可得到该问题的目标规划模型为： 满足约束条件

求解后可得到该问题的一个多重解，并将这些解汇总于下表中，以供领导根据具体情况进行决策：