2020-2021人教版高一数学《二次函数与一元二次不等式》知识梳理与例题详解

第二章 一元二次不等式、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【学习目标】
1.掌握判断一元二次方程实数根的存在性与实数根的个数的方法
2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系
【知识网络详解】
知识点一：一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，一
般形式：02>++c bx ax 或)0(02
≠<++a c bx ax 知识点二：一元二次不等式与二次函数的图像
0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数 c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
一元二次方程 ()的根
00
2>=++a c bx ax 有两相异实根 21,x x 有两相等实根
a b x x 221-== 无实根 的解集)0(0
2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(0
2><++a c bx ax
{}21x x x x << ∅ ∅ 的解集)0(0
2>≥++a c bx ax
{}21x x x x x ≥≤或 R R 的解集)0(0
2>≤++a c bx ax {}21x x x x ≤≤ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-a b 2 ∅
【考向详析】
题型一：解一元二次不等式
例1.解下列不等式：
(1) x 2－3x ＋5>0； (2)－6x 2－x ＋2≥0； (3)－4x 2≥1－4x (4)2x 2－4x ＋7<0.
【练习】1.解下列不等式：
（1）
02132-2≤-+x x ； （2）()422≤-x
题型二：含参的一元二次不等式的解法
例1.解下列不等式：
（1）02322<+-a ax x ； （2）0232
≤+-a ax ax ； （3）01)1(2≥++-x a ax
【练习】1.解下列不等式
（1）()a x a x +--12>0； （2）()0222≤++-x a ax
题型三：三个“二次”之间的关系
例1.已知不等式02≤++b ax x 的解集为{}32≤≤x x ，则=+b a 。

例2.不等式()()012422≥--+-x a x a 的解集为空集，则实数a 的取值范围为 。

例3.若二次函数()11222+++-=k x k x y 的图像与x 轴的两个交点为()0,1x ，()0,2x ，且21,x x 都大于1.
（1）求实数k 的若取值范围。

（2）2
121=x x ，求k 的值。

【练习】1.不等式()21-ax <2x 恰有2个整数解，则实数a 的取值范围为 。

2. 若方程()2
7132=0x m x m -+--的两个根，一根在区间（0,1）上，另一根在区间（1,2）上，则实数m 的取值范围为 。

3. 已知不等式226kx x k -+<0，
()0k ≠。

（1）若不等式的解集为{}
2>3<--x x x 或，求k 的值。

（2）若不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≠k x x 1-，求k 的值。

（3）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围。

（4）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围。

题型四：一元二次不等式的恒成立问题
例1.已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 例2.不等式x 2－3>ax －a 对一切3≤x ≤4恒成立，实数a 的取值范围是________．
【练习】1.关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m <x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．
2.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦
⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________．
题型五：一元二次不等式的实际应用
例1.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应用税收外，还征收附加税。

已知某种酒每瓶销售价为70元，不收附加税时，每年大约产销100万瓶;若征收附加税,每销100元要征附加税r 元(叫做税率r%),则每年的产销量将减少10r 万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,那么r 应怎样确定?。