专题二 中考数学转化思想(含答案)-

第2讲转化思想

概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，•此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．

典型例题精析

例1．（2002，上海）如图，直线y=1

2

x+2分别交x，y轴于点A、C、P•是该直线上

在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP=9．

（1）求P点坐标；

（2）设点R与点P在同一反比例函数的图象上，且点R在直线PB右侧．作RT⊥x轴，•T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．

分析：（1）求P点坐标，进而转化为求PB、OB的长度，P（m，n）•再转为方程或方程组解，因此是求未知数m，n值．

∵S△ABP=9，∴涉及AO长，应先求AO长，由于A是直线y=1

2

x+2与x轴的交点，∴

令y=0，得0=1

2

x+2，∴x=-4，∴AO=4．

∴(4)

2

m n

=9…①

又∵点P（m，n）在直线y=1

2

x+2上，

∴n=1

2

m+2…②

联解①、②得m=2，n=3，∴P（2，3）．

（2）令x=0，代入y=1

2

x+2中有y=2，

∴OC=2，∴△AOC∽△BRT，设BT=a，RT=b．

分类讨论：

①当2

4

b

a =…①

又由P点求出可确定反比例函数y=6 x

又∵R（m+a，b）在反比例函数y=6

x

上

∴b=

6

m a

+

……②

联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标．

②当2

4

a

b

=时，方法类同于上．

例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）•的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．

（1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？

（2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B，

①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？•若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验

x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2，

∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．

（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0，

∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点，

∴0=a（1-t-1）2+t 2⇒at2+t2=0．

∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1．

①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，

它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2⇒x-t-1=±t

∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1．

情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．

而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）

∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．

而FD=OD-OF=t+1-1=t，A D=t2，

∴AF2=t2+t2=AE2，

FE=OE-OF=2t+1-1=2t．

令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2，

∵t≠0，

∴t2-1=0，

∴t=±1．

情况二：E（1，0），F（2t+1，0）

用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．

且D为FE中点，∵A（t+1，t2），

∴AD=t2，OD=t+1，

∴AD=DE，∴t2=OE-OD=1-（t+1），

t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去），t2=-1．

故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．

中考样题看台

1．（2003，海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．

（1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式；

（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；

（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．

2．（2003，南宁）如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，•且与△ABC 的外接圆相交于点D．

（1）求证：∠DBE=∠DEB；

（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长．

3．（2003，山东）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A 1的直线分别与BC 1、BE 交于M 、N ，且被直线MN 分成面积相等的上、下两部分． （1）求

1MB +1NB

的值； （2）求MB 、NB 的长；

（3）将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN 间的距离．

D 2C 2

B 1A 1D 1

C 1

B

C A

E D

N

M F

4．（2004，云南）如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N•的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500•米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？

东

北

A

B

N

M