全称量词和特称量词

3．1全称量词与全称命题

3．2存在量词与特称命题

明目标、知重点 1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假．

1．全称量词与全称命题

在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题

在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．

含有存在量词的命题，叫作特称命题．

探究点一全称量词与全称命题

思考1 下列语句是命题吗(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系

(1)x>3；

(2)2x＋1是整数；

(3)对所有的x∈R，x>3；

(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．

答语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)

的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．

小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题．思考2 如何判定一个全称命题的真假

答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(即举反例)．例1 判断下列全称命题的真假：

(1)所有的素数是奇数；

(2)任意x∈R，x2＋1≥1；

(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．

解(1)2是素数，但2不是奇数．

所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．

(2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.

所以，全称命题“任意x∈R，x2＋1≥1”是真命题．

(3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．

所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．

反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．

跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假：

(1)任意x∈R，x2＋2>0；(2)任意x∈N，x4≥1.

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“任意x∈R，x2＋2>0”是真命题．

(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x4≥1”是假命题．

(3)由于任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．

探究点二存在量词与特称命题

思考1 下列语句是命题吗(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系

(1)2x＋1＝3；

(2)x能被2和3整除；

(3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；

(4)至少有一个x0∈Z，使x0能被2和3整除．

答(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，

从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．

小结 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．

思考2 怎样判断一个特称命题的真假

答 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．

例2 判断下列特称命题的真假：

(1)有一个实数x 0，使x 2

0＋2x 0＋3＝0；

(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；

(3)有些整数只有两个正因数．

解 (1)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在．所以，特称命题“有一个实数x 0，使x 20＋2x 0＋3＝0”是假命题．

(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．

(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．

反思与感悟 特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．

跟踪训练2 判断下列命题的真假：

(1)存在x 0∈Z ，x 30<1；

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)有一个实数α，tan α无意义；

(4)存在x 0∈R ，cos x 0＝π2

. 解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，

∴“存在x 0∈Z ，x 30<1”是真命题．

(2)真命题，如梯形．

(3)真命题，当α＝π2

时，tan α无意义． (4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，

而π2

>1，∴不存在x 0∈R ， 使cos x 0＝π2

， ∴原命题是假命题．

探究点三 全称命题、特称命题的应用

思考 不等式有解和不等式恒成立有何区别

答 不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题．

例3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；

(2)令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对任意x ∈R ，p (x )是真命题，求实数a 的取值范围．

解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋

2)≥0，即4a －7≥0，

解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞. (2)∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．

∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，

当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，

当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨

⎪⎧ a >0，Δ＝4－4a <0，

∴a >1.

反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．

跟踪训练3 (1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围；

(2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．

解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ， ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，

∴只要m <－2即可．

∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．

(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，

∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，

∴只要m <2即可，

∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．

1．下列命题中特称命题的个数是( )