§11.4 条件概率、二项分布

§11.4 条件概率、二项分布

【复习目标】

独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。

【知识梳理】

1． 条件概率

叫作B 发生时A 发生的条件概率，用符号P (A |B )来表示，其公式为 2． 相互独立事件

(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果有 ，则称A 、B 相互独立． (2)如果A 、B 相互独立，则 也相互独立． (3)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有： ． 3． 二项分布

进行n 次试验，如果满足以下条件：

(1)每次试验只有两个相互对立的结果： ；

(2)每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率均为 ； (3)各次试验是 ．

用X 表示这n 次试验成功的次数，则P (X ＝k )＝ (k ＝0,1,2，…，n )

若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～B (n ，p )．

【复习自测】

1． 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于

( )

A.12

B.14

C.16

D.18

2． 某一批花生种子，如果每粒发芽的概率都为4

5

，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

( )

A.16

625

B.96

625

C.192625

D.256625

3． 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋

级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．

4．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反

对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为1

3，他们的投

票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．

(1)求该公司决定对该项目投资的概率；

(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．

【合作探究】

例1 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取

到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．

例2 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3

次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为1

2，且各次投篮互不影响．

(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．

例3甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2

3

.假设各局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；

(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列．

【提升训练】

1． 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出

一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)

①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝5

11；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不

能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．

2.某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染的。对于C,

因为难以判定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是1/2.同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是1/3.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量。写出X 的分布列（不要求写出计算过程）。

3．某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补

一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有n m +道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类试题的数量。 （Ⅰ）求2X n =+的概率；

（Ⅱ）设m n =，求X 的分布列。

4．从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，继续做下一次摸球试验：如果摸出红球，则结束摸球试验．

(1)求一次摸球后结束试验的概率P 1和两次摸球后结束试验的概率P 2； (2)记结束试验时的摸球次数为ξ，求ξ的分布列．

【总结反思】

（1）我的疑问 （2）我的收获