集合课件 集合的描述性定义
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全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等 等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元 素组成的，就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合；
全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都 是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
1.1.2 集合的表示方法
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限 集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2,,an. 前五个正
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a
如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A；
或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而 3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
g f
A
C
f
g
B
f : R R; x sin x
例8 设 f : R R; x x2
f : R R; x sin x
那么 g f : R R; x sin x2
例9 设 A={1，2，3} f : A A;1 2,2 3,3 1
f :AB
1.2.2 映射的相等
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于每 一 ，都有 f g ，那么就说映射f与g是相等的. 记作 f g 例7 令
f : R R, x | x | ， g : R R, x x2 . 那么 f g .
设 f : A B是一个映射. 对于 x A，x的象 f (x) B. 一切
即：
(A B) (存在一个元素x : x A但x B)
例如，3的整数倍所成的集合，不是一切偶数所成的集 合的子集，因为3属于前者但不属于后者. 集合{1，2， 3}不是{2，3，4，5}的子集.
如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就 说A与B相等，记作：A=B. 我们有
(A B) (对于一切x : x A x B)
一个映射. 那么对于每一个 g( f (x))，，因而是C中的一
个元素. 因此，对于每一 x A，就有C 中唯一的确定
的元素 g( f (x)) 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，
这映射是由
f : A和 B g : B 所C决定的，称为 f 与
g 的合成（乘积），记作 g .于f 是有
g f : A C;(g f )(x) g( f (x))
称f是A到B的一个单映射，简称单射.
如果既是满射，又是单射，即如果f 满足下面两个条件，
① f (A) B
② f (x1) f (x2 ) x1 x2 对于一切，那么就称f 是A 到B 的一个双射. 一个有限集集合的A到自身的双射 叫做A的一个置换. 定理1.2.1 令 f : A B 是集合A 到B 的一个映射. 那么以
这所就以证A明了B上 C述 等 式A . B A C
两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，
设 A1, A2 ,, An 是给定的集合. 由 A1, A2 ,, An 的一切元 素所成的集合叫做 A1, A2 ,, An 的并；由 A1, A2 ,, An 的一切公共元素所成的集合叫做的 A1, A2 ,, An 交. A1, A2 ,, An 的并和交分别记为： A1 A2 An 和 A1 A2 An . 我们有
下两个条件是等价的：
① f是一个双射； ② 存在B到A的一个映射g ，使得
g f jA ，f g jB 再者，当条件成立②时，映射g是由f 唯一确 定的, 称为f 的逆, 表示为
f (x) y
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n....., 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
素所组成的，那么就用记号
A {x | x具有某一性质 来表示. 例如
对应.
用字母f，g，…表示映射. 用记号 f : A B 表示f 是A 到B的一个映射. 如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么 就写作 f : x y 这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
f (x)
例1 令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n，令 f (n) 2n 与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射，
反证之明，设若xxA(AB B)C，(A那 么C) x，那A且么 xxBACB或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B B与B CC，中C的之B一 C. 若，x所以B不，论那哪么一因
种为情x形都A有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
注意：并没有要求B是A的子集. 例如，Q C Ø
积运算：
设设A，B是两个集合，令
A B {(a,b) | a A,b B}
称为A与B的笛卡儿积（简称为积）. 是一切元素对（a, bA） B所成的集合，其中第一个位置的元素a取自A，第二 个位置的元素b取自B.
可以定义多个集wenku.baidu.com的笛卡儿积
关于集合的悖论－Russel ‘s Paradox
A B
显然，A B A ， A B B 例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
A B {2,3,4}
我们有 (x A B) (x A且x B)
(x A B) (x A或x B)
两个集合A与B不一定有公共元素，它们的交集是空集.
例如，设A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集 合，那么 A B 就是空集. 又如方程 x2 1 0 的实数根
称为设A上的 恒等映射。
设A，B是两个非空集合，用 jA 和 jB 表示A和B的恒等 映射. 设 f : A B是A到B的一个映射. 显然有：
f jA f ，jB f f .
f :AB
1.2.5 单射、满射、双射、逆映射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果Imf=B，那么说 称f 是A到B上的一个映射，这里也称f 是一个满映射，
这样的象作成B的一个子集，用 f (A) 表示： f (a) { f (x) | x A} ， 叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.
1.2.3 像集与原像集
设f 是A到B的映射 A的子集的像 Imf B的子集的原像或逆像
1.2.4 映射的合成
设 f : A B 是A到B 的一个映射，g : B C 是B 到C 的
的集合为空集.
运算性质:
交换律 : A B B A ; A B B A 结合律 : (A B) C A (B C) ; (A B) C A (B C)
分配律 : A B C A B A C A B C A B A C
我们选取一个来证明.
例1 证明 A B C A B A C
(x A1 A2 A) (x至少属于某一Ai ,i 1,2,, n)
(x A1 A2 A) (x属于每一Ai ,i 1,2,, n)
差运算：
设A，B是两个集合，令 A B {x | x A但x B} 也就是说，A B 是由一切属于A但不属于B 的元素所组 成的，称为A与B 的差.
g : A A;1 3,2 1,3 2 那么 g f : A A;1 1,2 2,3 3
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D ，有
h (g f ) (h g) f . 但是，一般情况下 f g g f ，
设A是非空集合 jA : A A ，x x,
1.1 集合
内容分布 1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
1.1.1 集合的描述性定义
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如 “一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫 这个集合的元素.
我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小 写拉丁字母a，b，c，…表示元素.
例如，一切整数的集合是一切有理数的集合的子集，而 后者又是一切实数的集合的子集.
A是B的子集，记作：
(A B) (对于一切x : x A x B)
A 是A的子集 空集是一切集合的子集
如果A不是B的子集，就记作：A B 或 A B . 因此，A 不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B，
例5 令A=B等于一切正整数的集合.
f : n n 1
不是A到B的一个映射，因为 f (1) 11 0 B .
例6 设A是任意 一个集合，对于每一 x A ，令 f (x) x 与它对应：f : x x
这自然是A到A的一个映射，这个映射称为集合A的恒等
映射，用…….表示
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对 应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象. ④ A中不相同的元素的象可能相同.
A {x | x R,1 x 1}表示一切大于-1且小于1的实数 的所组成的集合. 常用的数集：
全体整数的集合，表示为Z 全体有理数的集合，表示为Q 全体实数的集合，表示为R 全体复数的集合，表示为C
1.1.3 集合的包含和相等
设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的元素，那 么就说Ａ是Ｂ的子集，记作 A （B 读作Ａ属于Ｂ），或 记作 B （A 读作Ｂ包含Ａ）. 根据这个定义，Ａ是Ｂ的 的子集必要且只要对于每一个元素x，如果 x A，就 有xB .
简称满射.
f : A B是满射必要且只要对于B中的每一元素y，都
有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一 个唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可
以有相同的象.
定义3 设 f : A B 是一个映射，如果对于A中任意两
个元素x1 和x2 ，只要x1 x2 ，就有f (x1) f (x2 ) ，那么就
例如，设A={1，2}，B是二次方程 x2 3x 2 0 的根 的集合，则A=B.
(A B且B c) (A C)
(A B且B A) (A B)
1.1.4 集合的运算及其性质
并运算 设A，B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切
元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B.
1．2 映射
内容分布 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等 1.2.3 映射的像与原像 1.2.3 映射的合成 1.2.4 单射、满射、(一一映射)双射
1.2.1 映射的概念及例
定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个映射 指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的 每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它
例2 令R是一切实数的集合，B是一切非负实数的集合 ， 对于每一 x R，令 f (x) x2与它对应； f : x x2 ，那么 f 是R到B的一个映射.
例3 设 A B {1,2,3,4} f :1 2,2 3,3 4,4 1 这是A到B的一个映射.
例4 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集 合. 对于每一 x A，令 f (x) x 与它对应. f 不是A 到B的映射， 因为当 x 0 时，f (x)不能由x唯一确 定.
如图1所示.
A
AB B
例根如据，定A义={，1，我2，们3有}，B ={1，2，3，4}，则 A B {1,2,3,4}
又例如，A是(x一 切A 有B理) 数的(x 集 A合或，xB是B)一切无理数的集
合，则 A (A
A
B)
或B(是xA一A(切A实BB)数)的(集x 合A.且显x然，B)
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作：A B ，如图2所示.
全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都 是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
1.1.2 集合的表示方法
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限 集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2,,an. 前五个正
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a
如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A；
或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而 3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
g f
A
C
f
g
B
f : R R; x sin x
例8 设 f : R R; x x2
f : R R; x sin x
那么 g f : R R; x sin x2
例9 设 A={1，2，3} f : A A;1 2,2 3,3 1
f :AB
1.2.2 映射的相等
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于每 一 ，都有 f g ，那么就说映射f与g是相等的. 记作 f g 例7 令
f : R R, x | x | ， g : R R, x x2 . 那么 f g .
设 f : A B是一个映射. 对于 x A，x的象 f (x) B. 一切
即：
(A B) (存在一个元素x : x A但x B)
例如，3的整数倍所成的集合，不是一切偶数所成的集 合的子集，因为3属于前者但不属于后者. 集合{1，2， 3}不是{2，3，4，5}的子集.
如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就 说A与B相等，记作：A=B. 我们有
(A B) (对于一切x : x A x B)
一个映射. 那么对于每一个 g( f (x))，，因而是C中的一
个元素. 因此，对于每一 x A，就有C 中唯一的确定
的元素 g( f (x)) 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，
这映射是由
f : A和 B g : B 所C决定的，称为 f 与
g 的合成（乘积），记作 g .于f 是有
g f : A C;(g f )(x) g( f (x))
称f是A到B的一个单映射，简称单射.
如果既是满射，又是单射，即如果f 满足下面两个条件，
① f (A) B
② f (x1) f (x2 ) x1 x2 对于一切，那么就称f 是A 到B 的一个双射. 一个有限集集合的A到自身的双射 叫做A的一个置换. 定理1.2.1 令 f : A B 是集合A 到B 的一个映射. 那么以
这所就以证A明了B上 C述 等 式A . B A C
两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，
设 A1, A2 ,, An 是给定的集合. 由 A1, A2 ,, An 的一切元 素所成的集合叫做 A1, A2 ,, An 的并；由 A1, A2 ,, An 的一切公共元素所成的集合叫做的 A1, A2 ,, An 交. A1, A2 ,, An 的并和交分别记为： A1 A2 An 和 A1 A2 An . 我们有
下两个条件是等价的：
① f是一个双射； ② 存在B到A的一个映射g ，使得
g f jA ，f g jB 再者，当条件成立②时，映射g是由f 唯一确 定的, 称为f 的逆, 表示为
f (x) y
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n....., 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
素所组成的，那么就用记号
A {x | x具有某一性质 来表示. 例如
对应.
用字母f，g，…表示映射. 用记号 f : A B 表示f 是A 到B的一个映射. 如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么 就写作 f : x y 这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
f (x)
例1 令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n，令 f (n) 2n 与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射，
反证之明，设若xxA(AB B)C，(A那 么C) x，那A且么 xxBACB或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B B与B CC，中C的之B一 C. 若，x所以B不，论那哪么一因
种为情x形都A有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
注意：并没有要求B是A的子集. 例如，Q C Ø
积运算：
设设A，B是两个集合，令
A B {(a,b) | a A,b B}
称为A与B的笛卡儿积（简称为积）. 是一切元素对（a, bA） B所成的集合，其中第一个位置的元素a取自A，第二 个位置的元素b取自B.
可以定义多个集wenku.baidu.com的笛卡儿积
关于集合的悖论－Russel ‘s Paradox
A B
显然，A B A ， A B B 例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
A B {2,3,4}
我们有 (x A B) (x A且x B)
(x A B) (x A或x B)
两个集合A与B不一定有公共元素，它们的交集是空集.
例如，设A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集 合，那么 A B 就是空集. 又如方程 x2 1 0 的实数根
称为设A上的 恒等映射。
设A，B是两个非空集合，用 jA 和 jB 表示A和B的恒等 映射. 设 f : A B是A到B的一个映射. 显然有：
f jA f ，jB f f .
f :AB
1.2.5 单射、满射、双射、逆映射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果Imf=B，那么说 称f 是A到B上的一个映射，这里也称f 是一个满映射，
这样的象作成B的一个子集，用 f (A) 表示： f (a) { f (x) | x A} ， 叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.
1.2.3 像集与原像集
设f 是A到B的映射 A的子集的像 Imf B的子集的原像或逆像
1.2.4 映射的合成
设 f : A B 是A到B 的一个映射，g : B C 是B 到C 的
的集合为空集.
运算性质:
交换律 : A B B A ; A B B A 结合律 : (A B) C A (B C) ; (A B) C A (B C)
分配律 : A B C A B A C A B C A B A C
我们选取一个来证明.
例1 证明 A B C A B A C
(x A1 A2 A) (x至少属于某一Ai ,i 1,2,, n)
(x A1 A2 A) (x属于每一Ai ,i 1,2,, n)
差运算：
设A，B是两个集合，令 A B {x | x A但x B} 也就是说，A B 是由一切属于A但不属于B 的元素所组 成的，称为A与B 的差.
g : A A;1 3,2 1,3 2 那么 g f : A A;1 1,2 2,3 3
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D ，有
h (g f ) (h g) f . 但是，一般情况下 f g g f ，
设A是非空集合 jA : A A ，x x,
1.1 集合
内容分布 1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
1.1.1 集合的描述性定义
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如 “一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫 这个集合的元素.
我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小 写拉丁字母a，b，c，…表示元素.
例如，一切整数的集合是一切有理数的集合的子集，而 后者又是一切实数的集合的子集.
A是B的子集，记作：
(A B) (对于一切x : x A x B)
A 是A的子集 空集是一切集合的子集
如果A不是B的子集，就记作：A B 或 A B . 因此，A 不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B，
例5 令A=B等于一切正整数的集合.
f : n n 1
不是A到B的一个映射，因为 f (1) 11 0 B .
例6 设A是任意 一个集合，对于每一 x A ，令 f (x) x 与它对应：f : x x
这自然是A到A的一个映射，这个映射称为集合A的恒等
映射，用…….表示
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对 应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象. ④ A中不相同的元素的象可能相同.
A {x | x R,1 x 1}表示一切大于-1且小于1的实数 的所组成的集合. 常用的数集：
全体整数的集合，表示为Z 全体有理数的集合，表示为Q 全体实数的集合，表示为R 全体复数的集合，表示为C
1.1.3 集合的包含和相等
设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的元素，那 么就说Ａ是Ｂ的子集，记作 A （B 读作Ａ属于Ｂ），或 记作 B （A 读作Ｂ包含Ａ）. 根据这个定义，Ａ是Ｂ的 的子集必要且只要对于每一个元素x，如果 x A，就 有xB .
简称满射.
f : A B是满射必要且只要对于B中的每一元素y，都
有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一 个唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可
以有相同的象.
定义3 设 f : A B 是一个映射，如果对于A中任意两
个元素x1 和x2 ，只要x1 x2 ，就有f (x1) f (x2 ) ，那么就
例如，设A={1，2}，B是二次方程 x2 3x 2 0 的根 的集合，则A=B.
(A B且B c) (A C)
(A B且B A) (A B)
1.1.4 集合的运算及其性质
并运算 设A，B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切
元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B.
1．2 映射
内容分布 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等 1.2.3 映射的像与原像 1.2.3 映射的合成 1.2.4 单射、满射、(一一映射)双射
1.2.1 映射的概念及例
定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个映射 指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的 每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它
例2 令R是一切实数的集合，B是一切非负实数的集合 ， 对于每一 x R，令 f (x) x2与它对应； f : x x2 ，那么 f 是R到B的一个映射.
例3 设 A B {1,2,3,4} f :1 2,2 3,3 4,4 1 这是A到B的一个映射.
例4 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集 合. 对于每一 x A，令 f (x) x 与它对应. f 不是A 到B的映射， 因为当 x 0 时，f (x)不能由x唯一确 定.
如图1所示.
A
AB B
例根如据，定A义={，1，我2，们3有}，B ={1，2，3，4}，则 A B {1,2,3,4}
又例如，A是(x一 切A 有B理) 数的(x 集 A合或，xB是B)一切无理数的集
合，则 A (A
A
B)
或B(是xA一A(切A实BB)数)的(集x 合A.且显x然，B)
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作：A B ，如图2所示.