自主招生之函数与方程问题选讲(附答案)

自主招生之函数与方程问题选讲（附答案）

解法要点：

1.函数单调性

2.参变量与主变量

3.换元法

4.数形结合

5.分类讨论

6.特殊探路

1．（2005年复旦大学）设212{|log (1)0},{|221}x x A x R x x B x R -=∈-->=∈->，则B A C 为 ；

2．（2005年复旦大学）定义在R 上的函数()(1)f x x ≠满足2002()2()40151

x f x f x x ++=--，则(2004)f = ；

3．（2003同济大学）()f x 是周期为2的函数，在区间[1,1]-上，()||f x x =，则3(2)2

f m += （m 为整数） 4．（2008上海交通大学）若121(),()()21

x x f x g x f x --==+，则3()5g = ；

5．（2008年浙江大学）225{(,)|(1)(2)},{(,)||1|2|2|}4A x y x y B x y x y a =-+-≤=-+-≤，A B ⊆，求a 的取值范围。

6．（2008上海交通大学）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，试判断[()]f f x x =是否有实数根？并证明你的结论。

7．（2006年上海交大）若有函数(,)()()()()f x y a x b y c x d y =+，其中(),()a x c x 为关于x 的多项式，(),()b y d y 为关于y 的多项式，则称(,)f x y 为P 类函数，判断下列函数是否是P 类函数，并说明理由。

（1） 1xy + （2）22

1xy x y ++

8．（2005年上海交大）若2281

ax x b y x ++=+得最大值为9，最小值为1，求满足条件的实数,a b 。

9．（2005年复旦大学）

定义在R 上的函数4121(),()()(),2,3,42x n x n f x S f f f n n n n

-==+++=+ （1） 求n S

（2） 问是否存在常数0M >，使得2n ∀≥有

231

111n M S S S ++++≤

10．（2003年复旦大学）定义闭集合S ，若,a b S ∈，则,a b S a b S +∈-∈

（1）举一例，真包含于R 的无限闭集合；

（2）求证对任意两个闭集合12,S S R ⊂，存在c R ∈，但是12c S S ∉

11.(2009复旦)如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x ，y 都满足

()()()22x y f x f y f ++≤，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）

()f x 2x = （2）()f x =3x （3）()f x =2log x （0x >）（4）,0,()2,0,

x x f x x x <⎧=⎨≥⎩ 中是下凸函数的有

A ．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)

12. （06复旦）设x 1,x 2∈（0，

2π），且x 1≠x 2，下列不等式中成立的是： (1)1

2

（tanx 1+tanx 2）>tan 122x x +; (2) 12（tanx 1+tanx 2）sin 122x x +; (4) 12（sinx 1+sinx 2）

x x + A ． (1),(3) B ．(1),(4) C ．(2),(3) D ．(2),(4)

13.（09，清华）,1,y x 0,y 0,x +∈=+>>N n 证明：122221

x -≥+n n n y

14.（07交大） 设

432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ： （1）方程()0f x =总有相同实根；

（2）存在0x ，恒有0()0f x ≠．

15.（06交大）设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程

16. （053=的实数根．

参考答案

1.｛1|-

2.6015

3.2

1 4.

2 5.2

5≥a 6.无

7.（1）是 （2）不是

8.a=b=5 9.2

1-=n S n ;不存在 10.（1）S ＝Z （2）设1S x ∉，2S y ∉，则21S S y x ⋃∉+

11.D

12.B

13.略

14.⑴x ＝－2；⑵0)2(≠f

15.)3(+-=k x 或2

27632--±-=k k k x 16.6=x 或9-=x