例析复合函数问题的若干处理方法

例析复合函数问题的若干处理方法

作者：丁维松

来源：《中学教学参考·理科版》2009年第12期

近几年来,有关复合函数的题目在各级各类考试中屡见不鲜,而同学们在平时学习中缺乏这方面的系统训练,因此,在解题时往往感到困难或不能正确解答.鉴于上述情况,本文结合高考题谈谈复合函数一些常见的处理方法,供同学们学习参考.

一、已知各层函数,求复合函数

解这类基本问题,只要将外层函数的自变量用内层函数的解析式代换即可.

【例1】 (2003,北京)已知f(x)=x2+c,且2+1),设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式.

解:∵f[f(x)]=f(x2+1),

∴(x22

∴c=1,∴2+2.

二、已知复合函数及内层函数,求外层函数

解这类问题,一般是用换元法或配凑法来找出函数对于中间变量的对应关系.

【例2】 (2006,广东)若f(1+1x)=1x2-1,则f(x)= .

解法1:设1+1x=t(t≠1),则x=1t-1,

故f(t)=(t---2t(t≠1).

解法2:∵f(1+1x)=[(1+1x)--1

-2(1+1x),

∴f(x)=x2-2x(x≠1).

三、确定复合函数的定义域

解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,由里往外或由外往里逐层解决.

【例3】 (2007,重庆)若函数f(x2+2ax--1的定义域为R,则实数a的取值范围为 .

∵2+2ax--1的定义域为R,

∴对一切x∈R都有2+2ax-恒成立,

即x2+2ax-a≥0对x∈R恒成立.

∴Δ≤0成立,

∴

∴-1≤a≤0.

四、确定复合函数的值域或最值

解这类问题的要点是由里到外,逐层解决.

【例4】 (2005,山东)函数的值域为 .

略解:令

∵-∴-2≤u≤4.

又u>0,∴0

又在[0,4]上为减函数,

∴值域为[-2,+∞).

五、讨论复合函数的单调性

由单调函数定义,不难证得:当复合函数的里外函数的单调性相同时,原函数为增函数,当复合函数的里外函数据单调性相反时,原函数据为减函数.

利用上述结论来讨论复合函数据的单调性,就显得比较简便.

【例5】 (2005,天津)若函数-ax)(a>0,a≠0)在区间(-12,0)内单调递增,则a的取值范围是

令-ax>0,定义域为(-a,0)∪(a,+∞),

令t′=3x2-a=0,则x=±a3.

t(-a,-a3)

-a3(-a3,0)

(a,+∞)

t′+0-+

t增极小值减增

当a>1时单调递增,

∴-ax)的单调递增区间是(--和(3,+∞)(a>0)与

-ax)在(-12,0)内单调递增矛盾.

当0

∴-ax)的单增区间是(-a3,0).

又∵-ax)在(-12,0)内单调递增,

又(--a3,0),

∴-a3≤-12,

∴a≥34,

又0

六、解与复合函数有关的不等式

解这类问题的要点是由外向里,逐层解决.

【例6】 (2005,全国)设0

-+∞)

-

略解:∵01.

解得

七、求与复合函数有关的反函数

解这类问题的要点是分别求出内外函数的反函数,再消去中间量即可.

【例7】 (2004,天津)函数2--1≤x

略解:令t=x2-1,-1≤x

∵-1

∴x=-1+t.

-1

∴13

∴

则x=-

即y=-

八、讨论复合函数的图象及变换

关于复合函数的图象,现行考纲要求会用描点法作这类函数的图象及其图象的常见变换(即平移变换、对称变换、伸缩变换).

【例8】 (2008,全国的图象,只需将函数的图象向平移个单位.

略解

∴只需将的图象向左平移个单位即可. (责任编辑:金铃)