一元二次方程的应用题分类题型汇总

合集下载

一元二次方程应用题题型归纳总结

一．增长率问题一．增长率问题1．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2. 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，剩余的又全部按一年定期存入，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）（假设不计利息税）3. 某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同下降的百分数相同,,求这个百分数求这个百分数. .4. 某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？年预计经营总收入为多少万元？5. 从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？升．问每次倒出溶液的升数？6. 王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率．利率．7. 某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？月份各应发行图书多少万册？8. 某校2003年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2005年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？9. 某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额约为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的16．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．月份的营业额的平均月增长率．10.今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内降低农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．假设这两年降低的百分率相同．（1）求每年降低的百分率；）求每年降低的百分率；（2）若小红家有四人，明年小红家减少多少农业税？）若小红家有四人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡有16000个农民，问该乡农民减少多少农业税？问该乡农民减少多少农业税？增长率相同，求这个增长率。

九年级数学：一元二次方程应用题典型题型归纳

一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题（病毒、细胞分裂等）1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。

5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

一元二次方程应用题专题[分类汇总]

一元二次方程应用题专题[分类汇总].WORD格式整理..列方程解应用题的步骤为：1．审题；目的是审清题目中的已知量和求知量。

2．设未知数；包括直接设未知数和间接设未知数两种；3．找等量关系列方程；4．解方程；5．判断解是否符合题意；一、面积问题：关于面积问题一般都是画出平面示意图，结合图形，利用“数形结合”的思想，来解决实际问题,对于图形进行平移是常用的方法。

（同时还要注意验根）例1:如图，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽例2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。

①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。

（3）若墙长为am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用作业：1.一块长和宽分别为40厘米和25厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？..专业知识分享..m2180.WORD格式整理..2.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形这两个正方形的面积之和等于少（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm17cm22.（1）要使，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多.吗若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由二、增长率问题：关于增长率的问题,一般有三个常用量，原产量；增长率（降低率）；增长后的产量（降低后的产量）。

如果把原产量叫做基数（也做始数）用A表示，把增长后的产量叫做末数用B表示，增长率n=B,在初中阶段，n通常取2.（下降率）用某表示,时间间隔用n增长率问题的数量关系A(1±某)例1、厚辉广场九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管.理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率例2、某公司一月份营业额100万元，第一季度总营业额为额平均增长率是多少？331万元，求该公司二、三月份营业作业：1、某厂改进工艺降低了某种产品的成本，元，求平均每月降低率？两个月内从每件产品250元，降低到了每件1602、某商店将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，如果该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。

一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总列一元二次方程解应用题中遇到的常见的典型题目，举例说明.一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额到达了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，那么根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1〔舍去〕.答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，假设经过两次相等下降后，那么有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，假设每件商品售价a元，那么可卖出〔350－10a〕件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店方案要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a 2=31不合题意，舍去.所以350－10a ＝350－10×25＝100〔件〕.答需100件，每件商品应定价25元. 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也点. 三、储蓄问题例3王红梅同学将100元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“行〞，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程〞，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.〔假设不计〕解设第一次存款时的年利率为x. 那么根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x 2+145x －3＝0. 解这个方程，得x 1≈0.0204＝2.04%，x 2≈－1.63所以将x 2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计. 四、趣味问题例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，城门高2米，二人没方法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.1那么根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)x＝·1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.2解这个方程，得x1＝－1.8〔舍去〕，x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解此题开场时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.例5读诗词解题：〔通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄〕.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，那么十位数字为x－3.那么根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x ＝6.当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明此题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总1局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显2然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44〔舍去〕.答参加比赛的选手共有45人.说明类似于此题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去XX湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去XX湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去XX湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去XX湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.那么根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去XX湾风景区旅游.说明求解此题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.如果人数超过25人，每增加1如果人数不超过25人，人，人均旅游费用降低20元，人均旅游费用为1000元.但人均旅游费用不得低于700图1八、等积变形例8长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园〔阴影局部〕所占的面积为原来荒地面积的二.〔准确到0.1m 〕〔1〕设计方案1〔如图2〕花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. 〔2〕设计方案2〔如图3〕花园中每个角的扇形都一样. 以上两种方案是否都能符合条件?假设能，2中的小路图3中扇形的半径；假设不能符合条件，请由. 解都能.〔1＝0，解这个方程，得x ＝〔2〕设扇形说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，积不变；或形变积也变，不变，等等. BQ 图2 图3 A PC 图4九、动态几何问题例9如图4所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点 A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.〔1〕如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？〔2〕点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.假设存在，求出运动的时间；假设不存在，说明理由.解因为∠C ＝90°，所以AB ＝22 ACBC ＝ 2268＝10〔cm 〕.〔1〕设xs 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2，所以AP ＝xcm ，PC ＝(6－x)cm ， CQ ＝2xcm.那么根据题意，得 1 2·(6－x)·2x ＝8.整理，得x 2－6x+8＝0，解这个方程，得x 1＝ 2，x2＝4.所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2.〔2〕设点P 出发x 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半.那么根据题意，得 1 2 (6－x)·2x ＝ 1 2 ×1 2 ×6×整8.理，得x 2－6x+12＝0. 由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻.说明此题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.十、题例10为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端6m.〔1〕假设梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？〔2〕假设梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端滑动多少米？〔3〕如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距墙角 22 106＝8〔m 〕.〔1〕假设梯子顶端下滑1m ，那么顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm. 那么根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x 2+12x －15＝0，解这个方程，得x 1≈1.14，x 2≈－13.14〔舍去〕，所以梯子顶端下滑1m ，底端水平滑动约1.14m.〔2〕当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动xm.那么根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x 2－16x+13＝0. 解这个方程，得x 1≈0.86，x2≈15.14〔舍去〕.所以假设梯子底端水平向外滑动〔3〕设梯子顶端向下滑动xm 时，底端向外也滑动xm. 那么根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x 2－4x ＝0，解这个方程，得x1＝0〔舍去〕，x2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南A方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海D 里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补FBE图5C给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.〔1〕小岛D和小岛F相距多少海里？〔2〕军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？〔准确到0.1海里〕解〔1〕F位于D的正南方向，那么DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝12AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.〔2〕设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程，得x1＝200－10063 ≈118.4，x2＝200+10063〔不合题意，舍去〕.所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解此题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n〔n为整数，且2≤n≤11〕的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一Xn×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二X纸片盖住第一X纸片的局部恰好为(n－1)×n(－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后答复以下问题：〔1〕由于正方形纸片边长n的取值不同，?完成摆放时所使用正方形纸片的X 数也不同，请填写下表：纸长n23456使用的纸片X数〔2〕设正方形ABCD被纸片盖住的面积〔重合局部只计一次〕为S1，未被盖住的面积为S2.①当n＝2时，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？假设存在，请求出来；假设不存在，请说明理由.解〔1〕依题意可依次：11、10、9、8、7. 〔2〕S 1＝n 2+(12－n)[n 2－(n －1)2]＝－n 2+25n －12. 图6①当n ＝2时，S 1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.所以S 1∶S2＝34∶110＝17∶55.②假设S 1＝S 2，那么有－n 2+25n －12＝ 1 2 ×122，即n 2－25n+84＝0，解这个方程，得n 1＝4，n2＝21〔舍去〕.所以当n ＝4时，S 1＝S 2.所以这样的n 值是存在的.说明求解此题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第〔3〕小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13将一2c m的铁丝剪成两段，并以每一一个正方形. 〔1〕要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分少? 〔2〕两个正方形的面积之和可假设不能，请说明理由. 解〔1〕设剪成两段后其中一段为x cm ，那么另一段为〔20－x 〕cm.x 4 2 + 20 4x 2 那么根据题意，得＝17，解得x 1＝16，x2＝4，当x ＝16时，20－x ＝4，当x ＝4时，20－x ＝16，答这段铁丝剪成两段后是4cm 和16cm. 〔2〕不能.理由是：不妨设剪成两段后其中yc m ，那么另〔20－y 〕 y 4 2 + 20 4 y 2 cm.那么由题意得＝12，整理，得y 2－20y+104＝0，移项并配方，得(y －10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面12cm 2. 说明此〔2〕小问也可以运用求根公式中的b 2－4ac 来判定.假设b 2－4ac ≥0，方程有两个实数根，假设b 2－4ac ＜0，方程没有实数根，此题中的b 2－4ac ＝－ 16＜0即无解. 十四、平分几何图形的面积问题例14如图7，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝5，AD ＝4，BC ＝10.点E?在下 BC 上，点F 在腰AB 上. 〔1〕假设E F平分等腰梯形A B CD的周长，设B x，x 的代数式表示△BEF 的面积；〔2〕是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？假设存在，求出此时BE 的长；假设不存在，请说明理由；〔3〕是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分？假设存在，求此时BE 的长；假设不存在，请说明理由.解〔1〕由条件得，梯形12，高4，28.AD F F 作F G ⊥B C 于G A 作AK ⊥BC 于K.那么可得，FG ＝ 12x 5 ×4， B C E GK 图7 所以S △BEF ＝ 1 2 BE ·FG ＝－ 2 5 x 2+ 24 5 x 〔7≤x ≤10〕. 〔2〕存在.由〔1〕得－2 5 x 2+ 24 5 x ＝14，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝5〔不合题意，舍去〕，所以存在线段E F 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE ＝7.〔3〕不存在.假设存在，显然有S △BEF ∶S 多边形AFECD ＝1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.那么有－ 2 5 x 2+ 16 5 x ＝ 28 3，整理，得3x 2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b 2－4ac ＝576－840＜0，所以不存在这数x .即不存EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两局部.求解此题时应注意：一是要x 的取值X 围；二是在求得x 2＝ 5时，并不属于7≤x ≤10，应及时地舍用一元二次方程来探索问题的. 十五、利用图形律例15在如图8中，每个正方形有图8〔1〕观察图形，请填写正长1357⋯n 〔奇数〕黑色小正方形个数⋯ 正长2468⋯n 〔偶数〕黑色小正方形个数⋯〔2n 〔n ≥1〕的正方形中，设黑色小正方形的个数为P 1，白色小正方形的个数为P 2，问是否在偶数．n ，使P 2＝5P 1？假设存在，n 的值；假设不存在，请由. 解〔1〕观察分析图案可知正方1、3、5、7、⋯、n 时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1〔奇数〕；正方2、4、6、8、⋯、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n 〔偶数〕. 〔2〕由〔1〕可知n 为偶数时P 1＝2n ，所以P 2＝n 2－2n.根据题意，得n 2－2n ＝5×2n ，即n 2－12n ＝0，解得n 1＝12，n2＝0〔不合题意，舍去〕.所以存在偶数 n ＝12，使得P2＝5P1.说明此题的第〔2〕小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和开展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少〞等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。

一元二次方程应用题经典题型汇总含答案解析

z一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答需要进货100件，每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n －1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解都能.（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，解这个方程，得x＝，即x≈6.6.（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题例9 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90?/SPAN>，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解因为∠C＝90?/SPAN>，所以AB＝＝＝10（cm）.（1）设x s后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距墙角＝8（m）.（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动x m时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11 如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）解（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝AB ＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200+（不合题意，舍去）.所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n （n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n 2 3 4 5 6使用的纸片张数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.①当n＝2时，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝×122，即n2－25n+84＝0，解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为x cm，则另一段为（20－x）cm.则根据题意，得+＝17，解得x1＝16，x2＝4，当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为y cm，则另一段为（20－y）cm.则由题意得+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E•在下底边BC上，点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.则可得，FG＝×4，所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.（2）存在.由（1）得－x2+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，舍去），所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.（3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD＝1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－x2+x＝，整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：图8（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）黑色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）黑色小正方形个数…（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数．．n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n，所以P2＝n2－2n.根据题意，得n2－2n＝5×2n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1.说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而专业资料整理分享将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.完美WORD格式编辑。

一元二次方程应用题典型题型汇总

一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

2. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

3. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。

5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6. 一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？7. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题1、-=实际数基数增长率基数2、平均增长率公式：b x a =±2)1( 其中a 是增长（或降低）的基础量，x 是平均增长（或降低）率，b 是增长（或降低）的数量。

相关测试题：1. 青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2. 某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3. 某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.6．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．7.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x ,列方程( )A. 500(12)x +=720B. 2500(1)720x+= C. 2500(1)720x += D. 2720(1)500x -=8．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________．9、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？（三）商品销售问题：（关键词：标价、售价、打折、销量等）售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1. 某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X 销售量P ，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。

6.王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

一元二次方程的应用题分类题型汇总

一元二次方程的应用（设未知数——找等量关系——求解——检验）一、商品销售问题售价—进价=利润单价×销售量=销售额一件商品的利润×销售量=总利润1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？2、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？4、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

（１）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？（２）若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？二、行程问题路程=速度*时间相遇路程=速度和*相遇时间追及问题=速度差*追及时间顺水速度=船速（静水中的速度）+ 水流速度逆流速度=船速（静水中的速度）—水流速度1、甲乙二人分别从相聚20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？2、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.3、一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自前进，行进10千米后调转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多少时间。

一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总1.市政府为解决市民看病难问题，决定下调药品价格。

某种药品经过两次连续降价后，每盒价格从200元下调至128元。

求该药品每次降价的百分比。

2.一人患流感，经过两轮传染后共有121人患流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出几个小分支？4.参加足球联赛的每两队之间进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，全组共送出72张贺卡，这个小组共有多少人？7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。

每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后，被感染的电脑数量是否会超过700台？1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少？3.某种商品原价50元，受金融危机影响，1月份降价10%，从2月份开始涨价，到3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。

5.某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。

6.XXX同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“XXX”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入。

这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率。

一元二次方程的应用(7种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

一元二次方程的应用（7种题型）【知识梳理】1、数字问题：对于数的应用题主要是要知道数的表示．例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x、y、z，那么这个三位数则可以表示为10010x y z++．2、增长率问题基本公式：()21a x b+=，a表示增长前的数，x表示增长率，b表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出a、b．如果是降低率，则为()21a x b−=．3、利润问题：总利润=单件利润⨯总件数；总利润=总售价−总成本价．根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．4、几何面积问题：x表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．5、双循环问题送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了1x−张，总共有x个人所以列式为()1930x x−=；6、单循环问题握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为(1)1052x x−=．这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．7、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【考点剖析】题型一：数字问题例1.有一个两位数等于它各位数字积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．【答案】24．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是2−x ，由题意可得：()()x x x x 23210−=+−，整理可得：0201732=+−x x ，解：41=x ，352=x （不是整数，舍去）∴这个两位数为24．【总结】本题主要考查一元二次方程在数字问题中的运用．【变式1】有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．【答案】36．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是3−x ．根据题意可得：()()32310−=+−x x x x ，整理得：0301722=+−x x ，()()0652=−−x x ，解得：61=x ，252=x （不是整数，舍去）．答：这个两位数为36．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．【变式2】已知两个连续奇数的积是323，求这两个数．【答案】17，19或1719−−，．【解析】解：设这两个连续奇数为2x x +，，则(2)323x x +=，整理得：223230x x +−=，解得：121719x x ==−，，所以12+219+217x x ==−，．答：这两个数是17，19或1719−−，．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．【变式3】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是35或53．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是x −8．根据题意可得：()[]()[]1855810810=−++−x x x x ，整理得：01357292=+−x x ．分解得：()()05279=−−x x ，解得：31=x ，52=x ．答：原来的两位数是35或53．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．题型二：增长率问题例2．受疫情影响某厂今年第一季度的产值只有200万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助下，该厂第三季度的总产值提高到500万元．若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程（）A ．()20012500+=xB ．()50012200−=xC ．()22001500+=xD ．()25001200−=x 【答案】C【分析】若平均每季度的增产率是x ，经过两次增长后应该为()22001x +，建立方程即可．【详解】解：若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程()22001500+=x 故本题选择C【点睛】本题是一元二次方程的应用问题当中的变化率问题，解题时找到等量关系是关键．【变式1】某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x ，则根据题意可得方程为（）A ．280(1)340x +=B ．8080(1)80(12)340x x ++++=C ．380(1)340x +=D ．28080(1)80(1)340x x ++++= 【答案】D【分析】由一月份口罩产值以及月平均增长率分别求出二月份、三月份的口罩产值，再根据第一季度总产值达340万元列方程即可．【详解】二月份口罩产值：80(1)x +万元，三月份口罩产值：280(1)x +万元，∴28080(1)80(1)340x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解增长率的概念并灵活运用是解题关键．【变式2】某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入3月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到129.6万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．【答案】20％【解析】三、四月份平均每月销售额增长的百分率是x ，则根据题意可得：()()6.12911011002=+−x ％，解：2.0=x （负值舍去）．答：三、四月份平均每月销售额增长的百分率是20％．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题．【变式3】某工厂1月份产品数是50万件，要求第1季度总产品数达到183.705万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解）【答案】设该工厂每月的平均增长率是x ，则根据题意可得：()()705.183********=++++x x ．【解析】注意第一季度为1、2、3月份产品数之和．【变式4】某中学读书社对全校600名学生图书阅读量（单位：本）进行了调查，第一季度全校学生人均阅读量是6本，读书社人均阅读量是15本．读书社人均阅读量在第二季度、第三季度保持一个相同的增长率x ，全校学生人均阅读量第三季度和第一季度相比，增长率也是x ，己知第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%，求增长率x 的值．【答案】增长率x 的值为50%【分析】根据“第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%”列出方程即可求出结论．【详解】解：由题意可得40×15（1＋x ）2=600×6（1＋x ）×25%整理，得（x ＋1）（x －0.5）=0解得：1=0.5x =50%，21x =−（不符合实际，舍去）答：增长率x 的值为50%．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．题型三：利润问题例3．某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P (件)与每件的销售价X (元)满足关系：1002P X =−，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？【答案】每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【解析】由题意列方程得：()()200210030=−−X X ，整理可得：01600802=+−X X ，解得：40=X20801002100=−=−=X P答：每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产X 只熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与X 的关系式分别为=500+30R X ，1702P X =−．（１）当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？（２）若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？【答案】（1）当日产量为25时每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为35时每日获得的利润为1950元．【解析】设利润为W 元，则()()50014023050021702−+−=+−−=x x x x x W ．当每日获得的利润为1750元时，则1750=W ．则175050014022=−+−x x ，解得：251=x ，452=x ．∵每日最高产量为40只， ∴45=x 舍去． ∴当日产量为25时每日获得的利润为1750元．（2）当每日获得的利润为1950元时，则1950=W ，则195050014022=−+−x x ，解得：3521==x x ． ∴当日产量为35时每日获得的利润为1950元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式2】某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？【答案】60元．【解析】设这种衬衫每件涨价x 元．则根据题意可得：()()8000105004050=−−+x x ，整理可得：0300402=+−x x ，解得：101=x ，302=x ．当101=x 时，50010400x −=；当302=x 时，50010200x −=．因为要减少库存量，所以售价应定为每件50+10=60元．【总结】本题中主要考查对减少库存的理解．【变式3】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】5元．【解析】设这种衬衫每件涨价x 元．则根据题意可得：()()60002050010=−+x x ，整理可得：050152=+−x x ，解得：101=x ，52=x ，要使顾客得到实惠，需涨价少，则5=x ．∴每千克应涨价5元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式4】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【答案】20元．【解析】设每件童装应降价x 元，则根据题意可得：()()120022040=+−x x ，整理可得：0200302=+−x x ，解得：101=x ，202=x ．要减少库存，则要使()x 220+的值比较大，则20=x ．∴每件童装应降价20元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式5】工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售共工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可售出该工艺品4件，如果既要每天要获得的利润4800元，又要使消费者得到实惠，问每件工艺品降价多少元出售？（3）请商场如何定价可以使每天获得最高利润？【答案】（1）该商品的每件标价为200元，进价为155元；（2）每件工艺品降价15元出售；（3）当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元【分析】（1）设标价为x，则进价为x-45，根据“标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等”列方程求解即可；（2）设工艺品降价m元，根据“总利润=单件利润×件数”列出方程即可求出结论；（3）设工艺品定价为a元，可根据总利润=单件利润×件数、配方法及平方的非负性即可求出结论．【详解】解：（1）设标价为x，则进价为x-45，8[0.85x-(x-45)]=12[x-35-(x-45)]，整理得360-1.2x=120，即1.2x=240，解得：x=200，则每件进价为：200-45=155（元）答：该商品的每件标价为200元，进价为155元．（2）设工艺品降价m元，则(45-m)(100+4m)=4800解得：m1=5，m2=15∵要使消费者得到实惠∴m=15答：每件工艺品降价15元出售．（3）设工艺品定价为a元，总利润为：(a－155)[ 100+4（200－a）]=-4a2＋1520a －139500=-4(a-190)2+4900，∵(a-190)2≥0∴-4(a-190)2≤0∴-4(a-190)2+4900≤4900，即总利润最大值为4900，此时a=190答：当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用配方法和平方的非负性求最值．题型四：几何面积问题：例4．某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，按下列要求，分别求长方形的两条邻边的长.（1）长方形的面积是1152平方米（2）长方形的面积是1800平方米（3）长方形的面积是2000平方米【答案】（1）长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.（2）长方形的长为60米，宽为30米.（3）此时的长方形不存在.【分析】本题可根据题意分别用x 表示垂直于墙的一边的长或平行于墙的一边的长，再根据面积公式列出方程求解即可．【详解】设垂直于墙的一边的长为x 米，则平行于墙的一边为（120-2x ）米．（1）根据题意得x （120-2x ）=1152．2605760x x −+=()()12480x x −−=解得1212,48x x ==当12x =时，120212021296x −=−⨯=；当48x =时，120212024824x −=−⨯=；答：长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.（2）x （120-2x ）=1800212021800x x −=2212018000x x −+=2609000x x −+=()2300x −=，解得30x =当30x =时，120212023060x −=−⨯=答：长方形的长为60米，宽为30米.（3）x （120-2x ）=2000212022000x x −=2212020000x x −+=26010000x x −+=∵()26041000360040004000=−−⨯=−=−△＜∴方程无实数根.故此时的长方形不存在.【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要注意靠墙的那面不需要栅栏，不要把平行于墙的一边算成是12（120-2x ）．【变式1】如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？【答案】宽为10米，长为15米．【解析】设鸡场的宽为x ，则长为x x 2352233−=−+．根据题意可得：()150235=−x x ，整理可得：()()010152=−−x x ，解得：2151=x ，102=x ．当215=x 时，1820215235235>=⨯−=−x ，舍去．∴宽为10米，长为15米．【总结】本题主要考查一元二次方程在几何图形面积中的应用，注意对条件的分析．【变式2】如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形ABCD 的面积为216平方米，求,AB BC 边各为多少米？【答案】AB 边为12米，BC 边为18米【分析】设AB 的长为x 米，根据题意列出一元二次方程，求解并找到符合题意的解即可．【详解】设AB 的长为x 米，根据题意得()5133216x x +−=，解得126,12x x ==，当6x =时，513363625BC =+−⨯=>，不符合题意，故舍去；当12x =时，5133121825BC =+−⨯=<，符合题意，∴12,18AB BC ==，∴AB 边为12米，BC 边为18米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并找到合适的解是关键．【变式3】如图，要建一个面积为 140 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为 18 米，在与墙垂直的一边要开一扇 2 米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为 32 米，那么这个仓库的宽和长分别是多少米？【答案】长和宽分别为14米和10米.【分析】首先设这个仓库的长为x 米，则宽表示为1(322)2x +−，再根据面积为 140 平方米的仓库可得1(322)1402x x +−=，再解一元二次方程即可．【详解】解：设这个仓库的长为x 米，由题意得：1(322)1402x x +−=，解得：120x =，214x =，这堵墙的长为 18 米，20x ∴=不合题意舍去，14x ∴=，宽为：1(32214)102⨯+−=（米)．答：这个仓库的宽和长分别为 14 米、 10 米．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．【变式4】如图，某小区有一块长为30m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为2594m ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．【答案】人行通道的宽度为1米．【分析】设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为(30-3x)m ，宽为(24-2x)m ，根据矩形绿地的面积为594m2，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出x 的值，经检验后得出x=21不符合题意，此题得解．【详解】解：设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为()303x m −，宽为()242x m −，由已知得：()()303x 242x 594−⋅−=，解得：1x 1=，2x 21=，当x 21=时，303x 33−=−，242x 18−=−，不符合题意舍去，即x 1=．答：人行通道的宽度为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．【变式5】如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽【答案】花边的宽为1米.试题分析：可以设花边的宽为x .【详解】解：设花边的宽为x 米，列方程为(26)(23)40x x ++=，解之得12111,2x x ==−（舍去）答：花边的宽为1米. 考点：实际问题与一元二次方程题型五：双循环问题例5．圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出930张，求昂立共有师生多少人？【答案】31人．【解析】设昂立共有师生x 人，由题意可得：()9301=−x x整理得：09302=−−x x ，解得：311=x ，302−=x （负值舍去）．答：昂立共有师生31人．【总结】本题主要考查互送卡片问题，由于每人都要送到，因此不用除2．【变式1】生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？【答案】14．【解析】设这个小组共有x 名同学，由题意可得：()1821=−x x整理得：01822=−−x x ，解得：141=x ，132−=x （负值舍去）．答：这个小组共有14名同学．【总结】本题主要考查传播问题中的互送问题，由于每个成员各赠送一件，因此不用除2．【变式2】某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有___________人．【答案】12【分析】先找出题目中的等量关系为：人数×（人数-1）=132，通过列一元二次方程计算求得正数解即可．【详解】解：设这个小组共有x 人．x （x-1）=132，解得x1=12，x2=-11（不合题意，舍去）．故答案为: 12．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，得到照片总张数的等量关系是解决本题的关键，重点是理解2个人之间要互送出2张照片．题型六：单循环问题例6．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？【答案】10．【解析】设共有x 个队参加比赛，由题意可得：()4521=−x x整理得：0902=−−x x ，解得：101=x ，92−=x （负值舍去）．答：共有10个队参加比赛．【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每两队之间都进行一场比赛，因此不用除2．【变式1】一个小组同学互相握手，规定每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次，设小组共有x 人，则可列出方程___________________ ．【答案】()11202x x −=【分析】先根据题意可得每个人都要与()1x −个人握一次手，再根据“共计握手120次”建立方程即可得．【详解】由题意，可列方程为()11202x x −=，故答案为：()11202x x −=．【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．【变式2】某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．【答案】3．【分析】设共有x 个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设共有x 个班级参加比赛，根据题意得：(1)62x x −=，整理得：260x x −−=，即(3)(2)0x x −+=，解得：3x =或2x =−（舍去）．则共有3个班级球队参加比赛．故答案为：3．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”．【变式3】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与其它棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？【答案】21．【解析】设参加第一轮比赛的共有x 名选手由题意可得：()10521=−x x ，整理得：02102=−−x x ，解得：115x =，214x =−（负值舍去）．答：参加第一轮比赛的共有21名选手．【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每队只参加一场，因此要除2．题型七：利率问题例7．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％；∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．【变式1】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，1.038=）．【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x，由题意可列方程：()44.107795110002=+x％，则()07744.19512=+x％，解：038.1951±=+x％（负值舍去），04.0=x．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x％9511000+，而不是()x+11000．【变式2】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【答案】设第一次存款时的年利率为x，则可列方程为：()[]()53090150011000=+−+xx％．【解析】注意年利率的变化．【变式3】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x，则可列方程为()[]()1308143511500=+−+xx，化简可得：0818555002=−+xx，分解可得：()()0910095=−+xx，解：591−=x（负值舍去），09.02=x．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级月考）同学聚会，大家见面，所有人互赠小礼物，共有礼物90件．设x人参加聚会，列方程为（）A．B．C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝90【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了x（x﹣1）件礼物解决问题即可．【解答】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有（x﹣1）件礼物，依题意，得x（x﹣1）＝90．故选：D．【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都互赠了一件礼物”的条件，类似于球类比赛的双循环赛制．2．（2022秋•宝山区校级期中）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精多少升（）A．10或96B．10C．96D．26【分析】设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据倒出两次后容器内纯酒精还剩下60×升，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据题意得：•[60﹣（x+14）]＝60×，解得：x1＝10，x2＝96（不符合题意，舍去），∴第一次倒出了酒精10升．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022秋•宝山区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价销售，降价后的单价为16.2元，且两次降价的百分比均为x，那么可列方程为（）A．16.2（1﹣x）2＝20B．20（1﹣x）2＝16.2C．20（1﹣x）2＝20﹣16.2D．20（1﹣2x）＝16.2【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：20（1﹣x）2＝16.2，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022春•庐阳区校级期中）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x﹣1400＝0B．x2+65x﹣350＝0C．x2﹣130x﹣1400＝0D．x2﹣65x﹣350＝0【分析】根据矩形的面积＝长×宽，得出本题的等量关系是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）＝整个挂图的面积，由此可得出方程．【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，（80+2x）（50+2x）＝5400，故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．5．（2022秋•徐汇区校级期末）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式可列出方程．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．6．（2021秋•松江区期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（）A．300（1+x）2＝2100B．300+300（1+x）2＝2100C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100【分析】首先表示出各年栽种果树棵数，进而得出方程即可．【解答】解：设这个百分数为x，根据题意得出：300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，分别表示出各年的栽种数量是解题关键．二．填空题（共12小题）7．（2023春•奉贤区期末）某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为．【分析】利用连续两次降价后的售价＝原价×（1﹣每次平均降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：30（1﹣x）2＝24.3．故答案为：30（1﹣x）2＝24.3．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2022秋•奉贤区期中）如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为．【分析】根据各边之间的关系，可得出长方形的长为（33+2﹣2x）米，根据围成的养鸡场的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵竹篱笆的总长度为33米，且垂直于墙的长方形的宽为x米，∴垂直于墙的长方形的长为（33+2﹣2x）米，依题意得：x（33+2﹣2x）＝150．故答案为：x（33+2﹣2x）＝150．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2023春•浦东新区期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比。

一元二次方程应用题七大题型

一元二次方程应用题七大题型
1. 求解物体运动距离
题型：一个物体从静止开始运动，加速度为 a，运动时间为 t。

求物体运动的距离。

公式：距离 = (1/2) 加速度时间²
2. 求解物体最终速度
题型：一个物体从静止开始运动，加速度为 a，运动时间为 t。

求物体最终速度。

公式：最终速度 = 加速度时间
3. 求解物体运动时间
题型：一个物体从静止开始运动，最终速度为 v，加速度为 a。

求物体运动的时间。

公式：时间 = 最终速度 / 加速度
4. 求解物体加速度
题型：一个物体从静止开始运动，运动时间为 t，最终速度为v。

求物体加速度。

公式：加速度 = 最终速度 / 时间
5. 求解运动物体速度
题型：一个物体从静止开始运动，在 t1 时刻速度为 v1，在
t2 时刻速度为 v2。

求物体在 t3 时刻的速度。

公式：速度 = (最终速度 - 初始速度) / (最终时间 - 初始
时间)
6. 求解运动物体加速度变化率
题型：一个物体的加速度从 a1 变化到 a2，时间间隔为Δt。

求加速度的变化率。

公式：加速度变化率 = (最终加速度 - 初始加速度) / 时间间隔
7. 求解运动物体速度变化率
题型：一个物体的速度从 v1 变化到 v2，时间间隔为Δt。

求速度的变化率。

公式：速度变化率 = (最终速度 - 初始速度) / 时间间隔。

一元二次方程应用题分类

一元二次方程的应用（一）传播问题（比赛问题）1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（如果每两队比才两场呢？）3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？4.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？（二）平均增长（下降）率问题变化前数量×（1x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少？3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

附加题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（三）商品销售问题售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？2.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。

为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。

经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。

一元二次方程应用题典型题型归纳

一元二次方程应用题典型题型归纳This manuscript was revised by the office on December 22, 2012一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。

5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.9.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元每天要售出这种商品多少件2.3.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

一元二次方程的应用题分类题型汇总

一元二次方程的应用题分类题型汇总一元二次方程作为高中数学中的重要知识点，是数学中的重要内容之一。

在学习一元二次方程的过程中，掌握其应用题的解题方法和技巧是非常重要的。

一元二次方程的应用题主要分为以下几类：一、开平方型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的开方运算来解题，常见的题目包括：物体自由下落问题、两船相遇问题、地平线问题等。

例如：一个物体从100米高的地方自由下落，求它落地时的速度是多少？解：根据自由落体运动公式，可以列出方程h=gt^2，再可得方程100=4.9t^2，解出t=2s，代入vt=gt，解得v=9.8m/s。

二、三角形型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的几何意义来解题，常见的题目包括：三角形的边长问题、三角形的面积问题、三角形的高问题等。

例如：一个三角形的面积为24平方厘米，底长为6厘米，求其高是多少？解：设三角形的高为h，则可得方程24=6h/2，解得h=8。

三、投影型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的投影意义来解题，常见的题目包括：物体投射问题、光的反射问题、图像放大缩小问题等。

例如：一枚炮弹以初速度20m/s与水平面夹角30°的角度射出，求炮弹落地的水平距离是多少？解：设炮弹飞行的时间为t，则可得方程h=20t*sin30°-4.9t^2，代入可得t=40/39s，再代入可得落地的水平距离为20*40/39*cos30°=38.84m。

四、应用文型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的应用文意义来解题，常见的题目包括：距离、速度、时间问题、消费问题、利润问题等。

例如：甲乙两地相距240公里，分别以60公里/小时和80公里/小时的速度开车同时出发相向而行，几小时后相遇？解：设相遇的时间为t，则可得方程60t+80t=240，解得t=2小时。

以上是一元二次方程的应用题的主要分类和题型汇总，掌握这些题型的解题方法和技巧，将对学生在解题过程中起到很大的帮助。

初中数学《一元二次方程的解法》十大题型含解析

一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，得2x-1=，即2x-1=或2x-1=，所以x1=，x2=．【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3，2x-1=-3∴x1=2，x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，∴m -7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x x +4 =6．解：原方程可变形，得：x +2 -2 x +2 +2 =6．x +2 2-22=6，x +2 2=10．直接开平方并整理，得．x 1=-2+10，x 2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x +a -b x +a +b =5．x +a 2-b 2=5，∴x +a 2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x -5 x +7 =12．【答案】(1)7，2，-4，-10．(2)x 1=-1+43，x 2=-1-43．【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5，可得x +7 2=9，再解方程即可；(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12，可得x +1 2=48，再解方程即可；【详解】(1)解：∵x +5 x +9 =5，∴x +7 -2 x +7 +2 =5，∴x +7 2-4=5，∴x +7 2=9，∴x +7=3或x +7=-3，解得：x 1=-4，x 2=-10．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，-4，-10．(2)∵x -5 x +7 =12，∴x +1 -6 x +1 +6 =12，∴x +1 2-36=12，∴x +1 2=48，∴x +1=43，x +1=-43，解得：x 1=-1+43，x 2=-1-43．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程，补全解答过程．3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2-16x =56．配方，得_________________________________，即x -112 2=121144．两边开平方，得__________________，即x -112=1112，或x -112=-1112．所以x 1=1，x 2=-56．【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得x 2-56=16x ．移项，得x 2-16x =56．配方，得x2-16x+1122=56+112 2，即x-1 122=121144．两边开平方，得x-112=±1112，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-5 6．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：x2-6x-1=0移项得：x2-6x=1配方得：x2-6x+9=1+9即x-32=10故选：B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【答案】x1=-m+2m，x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得x2+2mx=m2，配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2，所以原方程的解为：x1=-m+2m，x2=-m-2m．4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1，得x2+2x=4第二步配方，得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以，x1=-2+22，x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4，然后配方为x+12=8，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②2x2+4x-8=0，移项，得2x2+4x=8，二次项系数化为1，得x2+2x=4，配方，得x+12=5，由此可得x+1=±5，所以，x1=-1+5，x2=-1-5．知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是．【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a，可得方程的各项系数，即可解答．【详解】解：∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4，∴a=4，b=6，c=1，从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0，故答案为：4x2+6x+1=0．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b=，c=10．Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0．方程实数根．x ==，即x 1=，x 2=53．【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为3x 2-11x +10=0．a =3，b =-11，c =10．Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0．方程有两个不相等的实数根．x =--11 ±12×3=11±16，即x 1=2，x 2=53．故答案为：-11；(-11)2；有两个不相等的；--11 ±12×3；11±16；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)，下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得：x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数，则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2，由题意得x 1+x 2=0，可求出b =0．【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根，∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0．求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a，两根互为相反数，所以x1+x2=0，即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0，解得b=0．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵x x-2=2-x，∴x x-2+x-2=0，∴x+1x-2=0，∴x+1=0或x-2=0，解得x=-1或x=2，故选：D．2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可；(2)先移项，然后用因式分解法求解．【详解】(1)解：∵x-3可能为0，∴不能除以x-3，∴第②步出现了错误故答案为②．(2)解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，移项，得x x-3+2x-3=0，∴x-3x+2=0，∴x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22 -2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算m※n=m2-2n可得，x※5x=0即为x2-5x·2=0，即x x-10=0，∴x1=0，x2=10，则方程的根为0或10．故选：C．4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【答案】(1)y1=0,y2=34；(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y；4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34，故答案为：y1=0,y2=3 4；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3，故答案为：x1=-32,x2=3．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2=3y时，给方程两边同除以y，解得y=34，而丢掉y=0的情况．【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可．【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【答案】(1)x1=-4，x2=-1；(2)x1=2，x2=-5．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】(1)解：x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4，x2=-1；(2)解：x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2，x2=-5．3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m，x2=4mB.x1=3m，x2=4mC.x1=-3m，x2=-4mD.x1=3m，x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．【详解】解：x2-7mx+12m2=0，x-3mx-4m=0，x-3m=0或x-4m=0，x1=3m，x2=4m．故选B．4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=；x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【答案】(1)(x+1)(x+2)，(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)m=54m=-56，x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【详解】解：(1)①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=(-2)×(-3)，-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3)，1=1×5+1×(-4)，2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时，(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1，x=-75y=245(舍)，{x=-1y=4当m=-56时，(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述，方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4；方法二：x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56．【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【答案】(1)x1=4，x2=0(2)x1=5，x2=1(3)x1=2+142，x2=2-142(4)x1=-2，x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】(1)解：x2-4x=0x x-4=0，解得x1=4，x2=0(2)解：x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0，解得x1=5，x2=1(3)解：∵a=2，b=-4，c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142，x2=2-142(4)解：x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0，x+2x-3=0，∴x+2=0,x-3=0，解得x1=-2，x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2，x2=-6-2(2)x1=-3，x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．(1)利用配方法解方程；(2)先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】(1)解：移项，得x2+4x=2，配方，得x2+4x+4=2+4，x+22=6，两边开平方，得x+2=±6，所以，x1=6-2，x2=-6-2；(2)解：原方程可变形为：x x+3=5x+3，x x+3-5x+3=0，x+3x-5=0，x+3=0或x-5=0，所以，x1=-3，x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【答案】(1)x1=32，x2=-32(2)x1=-1+73，x2=-1-73(3)x1=-12，x2=34(4)x1=-3+19，x2=-3-19【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可；(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；(4)方程利用配方法求解即可．【详解】(1)解：方程整理得：x2=18，开方得：x=±32，解得：x1=32，x2=-32；(2)解：方程整理得：3x2+2x-2=0，这里a=3，b=2，c=-2，∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，∴x=-2±276=-1±73，解得：x1=-1+73，x2=-1-73；(3)解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，所以2x+1=0或4x-3=0，解得：x1=-12，x2=34；(4)解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3)2=19，开方得：x+3=±19，解得：x1=-3+19，x2=-3-19．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【答案】(1)x1=3，x2=-7(2)x1=1，x2=-5(3)x1=12，x2=1【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；(2)利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)解：(x+2)2-25=0，(x+2-5)(x+2+5)=0，∴x-3=0或x+7=0，解得x1=3，x2=-7；(2)解：x2+4x-5=0，x-1x+5=0，∴x-1=0或x+5=0，解得x1=1，x2=-5；(3)解：2x2-3x+1=0，2x-1x-1=0，∴2x-1=0或x-1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程：(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=1，x2=-3；(3)x1=3，x2=-2；(4)x1=-1，x2=2．【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9，∴x-1=±3，∴x1=4，x2=-2；(2)∵x2+2x=3，∴x2+2x+1=4，∴(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3；(3)∵x2-x-6=0，∴△=1-4×1×(-6)=25，∴x=1±252=1±52，∴x1=3，x2=-2；(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0，∴x+1=0或2-x=0，∴x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2，x2=-5+2(2)x1=11+136，x2=11-136(3)x1=3，x2=92(4)y1=12，y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．(2)先化为一般式，再根据Δ=b2-4ac算出，以及代入x=-b±Δ2a进行化简，即可作答．(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．【详解】(1)解：x2-4x-1=0移项，得x2-4x=1配方，得x 2-4x +4=1+4，即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2，x 2=-5+2；(2)解：3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136，x 2=11-136；(3)解：5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0，4x -18=0解得x 1=3，x 2=92；(4)解：2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0，y +2=0解得y 1=12，y 2=-2．3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程：(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程：(1)x 2=8x +9(配方法)；(2)2y 2+7y +3=0(公式法)；(3)x +2 2=3x +6(因式分解法)．【答案】(1)x 1=9，x 2=-1．(2)x 1=-3，x 2=-12．(3)x 1=-2，x 2=1．【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25，可得x -4 2=25，再利用直接开平方法解方程即可；(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0，再利用求根公式解方程即可；(3)先移项，再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】(1)解：x 2=8x +9，移项得：x 2-8x =9，∴x 2-8x +16=25，配方得：x-42=25，∴x-4=5或x-4=-5，解得：x1=9，x2=-1．(2)解：2y2+7y+3=0，∴△=72-4×2×3=49-24=25>0，∴x=-7±254=-7±54，∴x1=-3，x2=-12．(3)解：x+22=3x+6，移项得：x+22-3x+2=0，∴x+2x-1=0，∴x+2=0或x-1=0，解得：x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)-15=0，解得：x1=3,x2=-5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，∴t-1t+3=0，∴t-1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=-3，∴x2+x的值是1或-3．∵x2+x=-3，即x2+x+3=0，Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解，故x2+x=-3舍去，∴x2+x的值是1，故选：B．3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7，则a+5b=．【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．【详解】解：设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，整理得，x2+6x-7=0，x-1x+7=0，x-1=0，x+7=0，∴x=1，x=-7，即a+5b=1或-7，故答案为：1或-7．4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【答案】(1)x1=2，x2=-2(2)x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52【分析】(1)根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=-12，由此即可求解；(2)设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．【详解】(1)解：(1)设y=x2，则原方程化为2y2-3y-2=0，∴y=2或y=-12，当y=2时，x2=2，∴x1=2，x2=-2，当y=-12时，x2=-12，此时方程无解，∴原方程的解是x1=2，x2=-2．(2)解：设y=x2-x，则原方程化为y2-5y+4=0，∴y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，∴x1=1+172，x2=1-172，当y=1时，x2-x=1，∴x3=1+52，x4=1-52．∴原方程的解是x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52．【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去)；②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得x3=-5,x4=2(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=5,x2=-5．请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0．【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程化为x2-x+1-1=0，解得x1=2,x2=-1；②当x+1<0，即x<-1时，原方程化为x2+x+1-1=0，解得x3=0(舍去)，x4=-1(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=2,x2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0．【答案】x1=0，x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥-2时，方程变形得：x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0，x2=-2；②当x+2<0，即x<-2时，方程变形得：x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去)，x2=4(舍去)∴综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0．【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2x+1≥0，即x≥-32时，原方程可化为：x2-2(2x+3)+9=0整理得：x2-4x+3=0解得：x1=1,x2=3当2x+1<0，即x<-32时，原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292，x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2-x+5-2=0，即x2-x+3=0，a=1,b=-1,c=3，∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0，∴原方程无解，②当x-5<0时，即x<5时，原方程化为x2+x-5-2=0，即x2+x-7=0，a=1,b=1,c=-7，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得：x1=-1+292，x2=-1-292．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，∵y+22≥0，∴y+22+4≥4∴当y =-2时，y 2+4y +8的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值；(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时，y 有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0，则x +y =________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m )，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF =4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3，再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1，再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0，再利用非负数的性质求解即可；(4)设BF =xm ，则CF =2BF =2xm ，则BC =3xm ，进而求出AB =24-3x 3m ，则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48，据此可得答案．【详解】(1)解：x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3，∵x -3 2≥0，∴x -3 2+3≥3，∴当x =3时，x 2-6x +12的最小值为3；(2)解：y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1，∵x+12≥0，∴-x+12≤0，∴-x+12+1≤1，∴当x=-1时，y=-x2-2x有最大值，最大值为1，故答案为：-1；大；1；(3)解：∵x2-4x+y2+2y+5=0，∴x2-4x+4+y2+2y+1=0，∴x-22+y+12=0，∵x-22≥0，y+12≥0，∴x-22=y+12=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1；(4)解：设BF=xm，则CF=2BF=2xm，∴BC=3xm，∴AB=24-3x3m，∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48，∵x-42≥0，∴-3x-42≤0，∴-3x-42+48≤48，∵AD=BC=3x≤15，∴0<x≤5，∴当x=4时，S矩形ABCD最大，最大值为48，∴当BF=4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1；∴当x=1时，B-A有最小值-1；当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2x2+6x+n2，∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c，且满足a2-10a+b2-16b+89= 0，则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0，∴(a-5)2+(b-8)2=0，∵(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a<c<b+a，∴3<c<13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8<c<13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2；∵无论x取何实数，都有(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______；【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】(1)8；(2)见解析；(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74，则可判断x2+x+2>0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD=10-AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC，利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8，∵无论x取何实数，都有2(x+1)2≥0，∴(x+1)2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8；故答案为：8；(2)x2+x+2=x+122+74，∵x+122≥0，∴x2+x+2>0，∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)∵AC⊥BD，。

一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总列一元二次方程解应用题中碰到的罕有的典范标题,举例解释.一.增长率问题例1 恒利商厦九月份的发卖额为200万元,十月份的发卖额降低了20%,商厦从十一月份起增强治理,改良经营,使发卖额稳步上升,十二月份的发卖额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1－20%)(1+x)2＝193.6,即(1+x)2＝1.21,解这个方程,得x1＝0.1,x2＝－2.1（舍去）.答这两个月的平均增长率是10%.解释这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清晰增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可应用公式m(1+x)2＝n求解,个中m＜n.对于负的增长率问题,若经由两次相等降低后,则有公式m(1－x)2＝n即可求解,个中m＞n.二.商品订价例2 益群精品店以每件21元的价钱购进一批商品,该商品可以自行订价,若每件商品售价a元,则可卖出（350－10a）件,但物价局限制每件商品的利润不得超出20%,市肆筹划要盈利400元,须要进货若干件？每件商品应订价若干？解根据题意,得(a－21)(350－10a)＝400,整顿,得a2－56a+775＝0,解这个方程,得a1＝25,a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2,所以a2=31不合题意,舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答须要进货100件,每件商品应订价25元.解释商品的订价问题是商品生意业务中的主要问题,也是各类测验的热门.三.储蓄问题例3 王红梅同窗将1000元压岁钱第一次按一年按期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利钱掏出,并将个中的500元捐给“愿望工程”,残剩的又全体按一年按期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,如许到期后,可得本金和利钱共530元,求第一次存款时的年利率.（假设不计利钱税）解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意,得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整顿,得90x2+145x－3＝0.解这个方程,得x1≈＝2.04%,x2≈－.因为存款利率不克不及为负数,所以将x2≈－.答第一次存款的年利率约是2.04%.解释这里是按教导储蓄求解的,应留意不计利钱税.四.趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,成果竖着比城门高2米,二人没办法,只好就教愚蠢人,愚蠢人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不久不多许多刚好进城,你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m,那么渠底宽为(x)m,上口宽为(x)m.则根据题意,得12(x+0.1+x)·x＝,整顿,得x2x－＝0.解这个方程,得x1＝－1.8（舍去）,x2＝1.所以x＝＝.答渠道的上口宽2.5m,渠深1m.解释求解本题开端时仿佛无从下笔,但只要能细心地浏览和口胃,就能从中找到等量关系,列出方程求解.例5 读诗词解题：（经由过程列方程式,算出周瑜去世时的年纪）.大江东去浪淘尽,千古风流数人物;而立之年督东吴,早逝英年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符;哪位学子算得快,若干韶华属周瑜？解设周瑜去世时的年纪的个位数字为x,则十位数字为x－3.则根据题意,得x2＝10(x－3)+x,即x2-11x+30＝0,解这个方程,得x＝5或x＝6.当x＝5时,周瑜的年纪25岁,非而立之年,不合题意,舍去;当x＝6时,周瑜年纪为36岁,完整相符题意.答周瑜去世的年纪为36岁.解释本题固然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年纪问题,经由过程求解同窗们应从中卖力口胃.六.象棋比赛例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手正好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.假如平手,两个选手各记1分,领司有四个同窗统计了中全体选手的得分总数,分离是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同窗统计无误.试盘算此次比赛共有若干个选手介入.解设共有n个选手介入比赛,每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局,共计n(n－1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,是以现实比赛总局数应为12n(n－1)局.因为每局共计2分,所以全体选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的天然数,轻易验证,相邻两天然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不成能是1979,1984,1985,是以总分只能是1980,于是由n(n－1)＝1980,得n2－n－1980＝0,解得n1＝45,n2＝－44（舍去）.答介入比赛的选手共有45人.解释相似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠拜年片等问题,都可以模仿些办法求解.七.情景对话例7 春秋观光社为吸引市平易近组团去天水湾景致区旅游,推出了如图1对话中收费尺度.某单位组织员工去天水湾景致区旅游,共付出给春秋观光社旅游费用27000元.请问该单位此次共有若干员工去天水湾景致区旅游？解设该单位此次共有x名员工去天水湾景致区旅游.因为1000×25＝25000＜27000,所以员工人数必定超出25人.则根据题意,得[1000－20(x －25)]x ＝27000.整顿,得x 2－75x +1350＝0,解这个方程,得x 1＝45,x 2＝30. 当x ＝45时,1000－20(x －25)＝600＜700,故舍去x 1; 当x 2＝30时,1000－20(x －25)＝900＞700,相符题意. 答：该单位此次共有30名员工去天水湾景致区旅游.解释求解本题要时刻留意对话框中的数目关系,求得的解还要留意分类评论辩论,从中找出相符题意的结论.八.等积变形例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地建筑成一个花圃（暗影部分）所占的面积为本来荒地面积的三分之二.（准确到0.1m ）（1）设计筹划1（如图2）花圃中修两条互相垂直且宽度相等的巷子.（2）设计筹划2（如图3）花圃中每个角的扇形都雷同.图1假如人数超出25人,每增长1人,人均旅游费用降低20元,但人均旅游费用不得低于700元. 假如人数不超出25人,人均旅游费用为1000元.以上两种筹划是否都能相符前提?若能,请盘算出图2中的巷子的宽和图3中扇形的半径;若不克不及相符前提,请解释来由.解都能.（1）设巷子宽为x ,则18x +16x －x 2＝23×18×15,即x 2－34x +180＝0,解这个方程,得x＝342 ,即x ≈. （2）设扇形半径为rr 2＝23×18×15,即r 2≈57.32,所以r ≈. 解释等积变形一般都是涉及的是罕有图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等.例9 如图4所示,在△ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝6cm,BC ＝8cm,点P 从点A 动身沿边AC 向点C 以1cm/s的速度移动,点Q 从C 点动身沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.（1）假如P .Q 同时动身,几秒钟后,可使△PCQ 的面积为8平方厘米？图2 Q PC BA 图4 图3（2）点P.Q在移动进程中,是否消失某一时刻,使得△PCQ 的面积等于△ABC的面积的一半.若消失,求出活动的时光;若不消失,解释来由.解因为∠C＝90°,所以AB10（cm）.（1）设x s后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以AP＝x cm,PC＝(6－x)cm,CQ＝2x cm.则根据题意,得12·(6－x)·2x＝8.整顿,得x2－6x+8＝0,解这个方程,得x1＝2,x2＝4.所以P.Q同时动身,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.（2）设点P动身x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意,得12(6－x)·2x＝12×12×6×8.整顿,得x2－6x+12＝0.因为此方程没有实数根,所以不消失使△PCQ的面积等于ABC 面积一半的时刻.解释本题固然是一道动态型应用题,但它又要应用到行程的常识,求解时必须根据旅程＝速度×时光.十.梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水腻滑动若干米？（2）若梯子的底端程度向外滑动1m,梯子的顶端滑动若干米？（3）假如梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是若干米？解依题意,8（m）.（1）若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2＝102,整顿,得x2+12x－15＝0,解这个方程,得x1≈1.14,x2≈－13.14（舍去）,.（2）当梯子底端程度向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理,列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整顿,得x2－16x+13＝0.解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14（舍去）..（3）设梯子顶端向下滑动x m时,底端向外也滑动x m.则根据勾股定理,列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102,整顿,得2x2－4x＝0,解这个方程,得x1＝0（舍去）,x2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.解释求解时应留意无论梯子沿墙若何高低滑动,梯子始终与墙上.地面构成直角三角形.十一.帆海问题例11 如图5所示,我水师基地位于A 处,在其正南偏向200海里处有一主要目的B ,在B 的正东偏向200海里处有一主要目的C ,小岛D 正好位于AC 的中点,岛上有一补给船埠;小岛F 位于BC 上且恰利益于小岛D 的正南偏向,一艘军舰从A 动身,经B 到C 匀速巡航．一艘补给船同时从D 动身,沿南偏西偏向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D 和小岛F 相距若干海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处,那么相遇时补给船航行了若干海里？（准确到0.1海里）F D C B A 图5解（1）F位于D的正南偏向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC,D为AC的中点,所以DF＝12AB＝100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.（2）设相遇时补给船航行了x海里,那么DE＝x海里,AB+BE ＝2x海里,EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2,整顿,得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程,得x1＝200－≈118.4,x2＝200+（不合题意,舍去）..解释求解本题时,必定要卖力地剖析题意,实时发明标题中的等量关系,并能从图形中查找直角三角形,以便准确应用勾股定理布列一元二次方程.十二.图表信息例12 如图6所示,正方形ABCD的边长为12,划分成12×12个小正方形格,将边长为n（n为整数,且2≤n≤11）的诟谇两色正方形纸片按图中的方法,诟谇相间地摆放,第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分正好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如斯摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你卖力不雅察思虑后答复下列问题：（1）因为正方形纸片边长n的取值不合,•完成摆放时所应用正方形纸片的张数也不合,请填写下表：纸片的边长n 2 3 4 5 6应用的纸片张数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1,未被盖住的面积为S2.①当n＝2时,求S1∶S2的值;②是否消失使得S1＝S2的n值？若消失,要求出来;若不消失,请解释来由.解（1）依题意可依次填表为：11.10.9.8.7.（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.图6①当n＝2时,S1＝－22+25×2－12＝34,S2＝12×12－34＝110.所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.②若S1＝S2,则有－n2+25n－12＝12×122,即n2－25n+84＝0,解这个方程,得n1＝4,n2＝21（舍去）.所以当n＝4时,S1＝S2.所以如许的n值是消失的.解释求解本题时要经由过程浏览题设前提及供给的图表,实时发掘个中的隐含前提,对于求解第（3）小题,可以先假定问题的消失,进而结构一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以断定.十三.摸索在在问题例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分离是若干?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不克不及,请解释来由.解（1）设剪成两段后个中一段为x cm,则另一段为（20－x）cm.则根据题意,得24x⎛⎫⎪⎝⎭+2204x-⎛⎫⎪⎝⎭＝17,解得x1＝16,x2＝4,当x＝16时,20－x＝4,当x＝4时,20－x＝16,答这段铁丝剪成两段后的长度分离是4cm和16cm.（2）不克不及.来由是：无妨设剪成两段后个中一段为y cm,则另一段为（20－y）cm.则由题意得24y⎛⎫⎪⎝⎭+2204y-⎛⎫⎪⎝⎭＝12,整顿,得y2－20y+104＝0,移项并配方,得(y－10)2＝－4＜0,所以此方程无解,即不克不及剪成两段使得面积和为12cm2.解释本题的第（2）小问也可以应用求根公式中的b2－4acb2－4ac≥0,方程有两个实数根,若b2－4ac＜0,方程没有实数根,本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.十四.等分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形ABCD中,AB＝DC＝5,AD＝4,BC＝10.点E•鄙人底边BC上,点F在腰AB上.（1）若EF等分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式暗示△BEF的面积;（2）是否消失线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时等分？若消失,求出此时BE的长;若不消失,请解释来由;（3）是否消失线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若消失,求此时BE的长;若不消失,请解释来由.解（1）由已知前提得,梯形周长为12,高4,面积为28.过点F作FG⊥BC于G,过点A作AK⊥BC于K.则可得,FG＝125x×4,所以S△BEF＝12BE·FG＝－25x2+245x（7≤x≤10）.（2）消失.由（1）得－25x2+245x＝14,解这个方程,得x1＝7,x2＝5（不合题意,舍去）,FEDC BA图7KG所以消失线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时等分,此时BE＝7.（3）不消失.假设消失,显然有S△BEF∶S多边形AFECD＝1∶2,即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－25x2+165x＝283,整顿,得3x2－24x+70＝0,此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0,所以不消失如许的实数x.即不消失线段EF将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分.解释求解本题时应留意：一是要能准确肯定x的取值规模;二是在求得x2＝5时,其实不属于7≤x≤10,应实时地舍去;三是处理第（3）个问题时的本质是应用一元二次方程来摸索问题的消失性.十五.应用图形摸索纪律例15 在如图8中,每个正方形有边长为1 的小正方形构成：图8（1）不雅察图形,请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）黑色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）黑色小正方形个数…（2）在边长为n（n≥1）的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,问是否消失偶数n,使P2＝5P1？若消失,请写出n的值;若不消失,请解释来由.解（1）不雅察剖析图案可知正方形的边长为1.3.5.7.….n 时,黑色正方形的个数为1.5.9.13.2n－1（奇数）;正方形的边长为2.4.6.8.….n时,黑色正方形的个数为4.8.12.16.2n（偶数）.（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n,所以P2＝n2－2n.根据题意,得n2－2n＝5×2n,即n2－12n＝0,解得n1＝12,n2＝0（不合题意,舍去）.所以消失偶数n＝12,使得P2＝5P1.解释本题的第（2）小问是属于消失性问题,求解时,可以先假设结论消失,进而从中找到数目关系,使问题获解.综上所言,列一元二次方程解应用题是列一元一次方程.二元一次方程组解应用题的延续和成长,列方程解应用题就是先把现实问题抽象为方程模子,然后经由过程解方程获得对现实问题的解决.列一元二次方程解应用题的症结是：找出未知量与已知量之间的接洽,从而将现实问题转化为方程模子,要擅长将通俗说话转化为代数式,在审题时,要特别留意症结词语,如“若干.快.慢.和.差.倍.分.超出.残剩.增长.削减”等等,此外,还要控制一些经常应用的公式或特别的等量关系,如特别图形的面积公式.行程问题.工程问题.增长率问题中的一些特别关系等等.。