第五章 线性三角形单元ppt课件
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j j = 2, 3, 1
*
7
形函数的性质
在单元任一点上三个形函数之和等于1(单位分解性)
N i(x,y)N j(x,y)N m (x,y)
2 1 A (aiajam )(b ibjbm )x(cicjcm )y 1
第一列与它的 第一列与第二
代数余子式乘 列的代数余子
积之和
式乘积之和
第一列与第三 列的代数余子 式乘积之和
插值函数。
为什么叫形函数?
三个函数其实描述的就是单元上近似解的插值关系，它决定了近似解在单 元上分布的形状，所以称它为形函数（shape function）。这里值得注意一 下的是近似解，前面我们说过，假设位移模式是线性变化的，实际情况并 不一定是线性变化的，所以我们通过所做假设得到的结果只能说是近似解 ，而不能说是精确解。
三角形单元
引言
➢ 杆梁结构：由于有自然的连接关系，可以凭一种直觉将其进 行自然的离散。
➢ 连续体：它的内部没有自然的连接节点，必须完全通过人工 的方法进行离散。
三维问题
平面应力 平面问题 平面应变
离散
*
2
三节点平面三角形单元
u1
v1
de
uv22
u3
v3
节点1的位移
节点2的位移
*
10
形函数的性质
N i( x ,y ) 1 x x j x x ii N j( x ,y ) x x j x x ii N m ( x ,y ) 0
m源自文库
j
相邻单元的位移在公共边上是连续的
p
i
形函数在单元上的面积分和边界上的线积分公式为
AN idx dA 3y ijN id l1 2lij
N i( x i,y i) 1 N i( x j,y j) 0 N i( x m ,y m ) 0 N j( x i,y i) 0 N j( x j,y j) 1 N j( x m ,y m ) 0 N m ( x i ,y i ) 0 N m ( x j ,y j) 0 N m ( x m ,y m ) 1
1 i(xi，yi)
y yi y j yi x xi x j xi
Ni(x, y) 1 xxj xi xj
m (xm，ym)
xj
x
xi
xy
yi
bm cm
(x
xi)
N i(x,y)x x i x x jjx x x ii x x ij xj 1 x x j x x ii
N i(x ,y ) N j(x ,y ) N m (x ,y ) 1
Ni =1 i
j
*
i
m Nj =1 j
i m
j
Nmm =1
9
形函数的性质
在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有:
N i( x ,y ) 1 x x j x x ii N j( x ,y ) x x j x x ii
证
N
y
Ni(x、y)
N m ( x ,y ) 0
ij方程
j (xj，yj)
2A
0
0
1. 三个形函数只有两个是独立的
2. 当三角形单元的三个结点的位移相等 ui uj umu*
u ( x ,y ) N i u i N j u j N m u m ( N i N j N m ) u * u *
*
8
形函数的性质
形函数Ni 在节点i 上的值等于1，在其它节点上的值等于0。
*
3
平面三角形单元
显然，三角形三个节点的的位移可由下列方程给出，在各节点上 的水平位移方程为：
u1=1+2 x1 +3 y1 u2=1+2 x2 +3 y2 u3=1+2 x3 +3 y3
解出
12 3
1 1 1
x1 x2 x3
y1 y2 y3
1
uu12 u3
1 x1
ux,y1 x y1 x2
节点3的位移
y, v
3 (x3, y3)
(u3, v3)
fsy
A
1 (x1, y1) (u1, v1)
fsx
2 (x2, y2) (u2, v2)
x, u
引入位移函数的概念：
三节点三角形单元的位 移函数可假设为：
vuxx,,yy41
2x3y 5x6y
“位移函数”也称“位移模式”，是单元内部 位移变化的数学表达式，是坐标的函数。有限 元分析必须事先给出（设定）位移函数。一般 而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算 结果的精度。弹性力学中，恰当选取位移函数 不是一件容易的事情。有限单元法中当单元划 分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项 式也可得到相当精确的结果。这正是有限单元 法具有的重要优势之一。
其中A是三角形的面积
1 A 1 1
2
x1 x2
y1 y2
1 x3 y3
*
5
平面三角形单元
u x ,y N 1 u 1 N 2 u 2 N 3 u 3
同理
vx ,y N 1 v 1 N 2 v 2 N 3 v 3
u(x,y)N (x,y)de
式中N1，N2和N3是坐标的函数，反映了单元内近似解的形态，称为单元的形 函数，数学上它反应了由节点的场量对单元内任意一点场量的插值，也叫做
式中 lij 为 ij边的长度。
Ni =1 i
N
y
j (xj，yj)
Ni(x、y)
1 i(xi，yi)
m j
m (xm，ym)
x
xj
x
xi
*
11
形函数的性质
完备性—包含常应变项和刚体位移项 ➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m 阶，则选取的位移函数至少是m阶完全多项式。
协调性—相邻单元公共边界保持位移连续 ➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m 阶，则位移函数在单元交界面上必须具有直至(m-1)阶的 连续导数，即Cm-1连续性。 如果在单元交界面上位移不连续，表现为当结构变形时将在 相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将引起无限大的应变， 这时必然会发生交界面上的附加应变能补充到系统的应变能 中去，有限元解就不可能收敛于真正解。
*
6
平面三角形单元
三角形的形函数可统一表示为：
Ni
1 2A
ai
bi x
ci y
其中
aixj
ymxmyj
xj xm
yj ym
1 bi yi ym1
yj ym
k
j i
1
ci
xm
x
j
1
xj xm
1 xi yi 2A 1 xj yj
1 xm ym
k k = 3, 1, 2
i = 1, 2, 3 i
1 x3
yy121uu12 y3 u3
*
4
平面三角形单元
假设
1 x1 y11
N1 N2 N31 x y1 x2 y2
1 x3 y3
求得
N1 21Ax2y3 x3y2(y2 y3)x(x3 x2)y N2 21Ax3y1 x1y3(y3 y1)x(x1 x3)y N3 21Ax1y2 x2y1(y1 y2)x(x2 x1)y
*
7
形函数的性质
在单元任一点上三个形函数之和等于1(单位分解性)
N i(x,y)N j(x,y)N m (x,y)
2 1 A (aiajam )(b ibjbm )x(cicjcm )y 1
第一列与它的 第一列与第二
代数余子式乘 列的代数余子
积之和
式乘积之和
第一列与第三 列的代数余子 式乘积之和
插值函数。
为什么叫形函数?
三个函数其实描述的就是单元上近似解的插值关系，它决定了近似解在单 元上分布的形状，所以称它为形函数（shape function）。这里值得注意一 下的是近似解，前面我们说过，假设位移模式是线性变化的，实际情况并 不一定是线性变化的，所以我们通过所做假设得到的结果只能说是近似解 ，而不能说是精确解。
三角形单元
引言
➢ 杆梁结构：由于有自然的连接关系，可以凭一种直觉将其进 行自然的离散。
➢ 连续体：它的内部没有自然的连接节点，必须完全通过人工 的方法进行离散。
三维问题
平面应力 平面问题 平面应变
离散
*
2
三节点平面三角形单元
u1
v1
de
uv22
u3
v3
节点1的位移
节点2的位移
*
10
形函数的性质
N i( x ,y ) 1 x x j x x ii N j( x ,y ) x x j x x ii N m ( x ,y ) 0
m源自文库
j
相邻单元的位移在公共边上是连续的
p
i
形函数在单元上的面积分和边界上的线积分公式为
AN idx dA 3y ijN id l1 2lij
N i( x i,y i) 1 N i( x j,y j) 0 N i( x m ,y m ) 0 N j( x i,y i) 0 N j( x j,y j) 1 N j( x m ,y m ) 0 N m ( x i ,y i ) 0 N m ( x j ,y j) 0 N m ( x m ,y m ) 1
1 i(xi，yi)
y yi y j yi x xi x j xi
Ni(x, y) 1 xxj xi xj
m (xm，ym)
xj
x
xi
xy
yi
bm cm
(x
xi)
N i(x,y)x x i x x jjx x x ii x x ij xj 1 x x j x x ii
N i(x ,y ) N j(x ,y ) N m (x ,y ) 1
Ni =1 i
j
*
i
m Nj =1 j
i m
j
Nmm =1
9
形函数的性质
在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有:
N i( x ,y ) 1 x x j x x ii N j( x ,y ) x x j x x ii
证
N
y
Ni(x、y)
N m ( x ,y ) 0
ij方程
j (xj，yj)
2A
0
0
1. 三个形函数只有两个是独立的
2. 当三角形单元的三个结点的位移相等 ui uj umu*
u ( x ,y ) N i u i N j u j N m u m ( N i N j N m ) u * u *
*
8
形函数的性质
形函数Ni 在节点i 上的值等于1，在其它节点上的值等于0。
*
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平面三角形单元
显然，三角形三个节点的的位移可由下列方程给出，在各节点上 的水平位移方程为：
u1=1+2 x1 +3 y1 u2=1+2 x2 +3 y2 u3=1+2 x3 +3 y3
解出
12 3
1 1 1
x1 x2 x3
y1 y2 y3
1
uu12 u3
1 x1
ux,y1 x y1 x2
节点3的位移
y, v
3 (x3, y3)
(u3, v3)
fsy
A
1 (x1, y1) (u1, v1)
fsx
2 (x2, y2) (u2, v2)
x, u
引入位移函数的概念：
三节点三角形单元的位 移函数可假设为：
vuxx,,yy41
2x3y 5x6y
“位移函数”也称“位移模式”，是单元内部 位移变化的数学表达式，是坐标的函数。有限 元分析必须事先给出（设定）位移函数。一般 而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算 结果的精度。弹性力学中，恰当选取位移函数 不是一件容易的事情。有限单元法中当单元划 分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项 式也可得到相当精确的结果。这正是有限单元 法具有的重要优势之一。
其中A是三角形的面积
1 A 1 1
2
x1 x2
y1 y2
1 x3 y3
*
5
平面三角形单元
u x ,y N 1 u 1 N 2 u 2 N 3 u 3
同理
vx ,y N 1 v 1 N 2 v 2 N 3 v 3
u(x,y)N (x,y)de
式中N1，N2和N3是坐标的函数，反映了单元内近似解的形态，称为单元的形 函数，数学上它反应了由节点的场量对单元内任意一点场量的插值，也叫做
式中 lij 为 ij边的长度。
Ni =1 i
N
y
j (xj，yj)
Ni(x、y)
1 i(xi，yi)
m j
m (xm，ym)
x
xj
x
xi
*
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形函数的性质
完备性—包含常应变项和刚体位移项 ➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m 阶，则选取的位移函数至少是m阶完全多项式。
协调性—相邻单元公共边界保持位移连续 ➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m 阶，则位移函数在单元交界面上必须具有直至(m-1)阶的 连续导数，即Cm-1连续性。 如果在单元交界面上位移不连续，表现为当结构变形时将在 相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将引起无限大的应变， 这时必然会发生交界面上的附加应变能补充到系统的应变能 中去，有限元解就不可能收敛于真正解。
*
6
平面三角形单元
三角形的形函数可统一表示为：
Ni
1 2A
ai
bi x
ci y
其中
aixj
ymxmyj
xj xm
yj ym
1 bi yi ym1
yj ym
k
j i
1
ci
xm
x
j
1
xj xm
1 xi yi 2A 1 xj yj
1 xm ym
k k = 3, 1, 2
i = 1, 2, 3 i
1 x3
yy121uu12 y3 u3
*
4
平面三角形单元
假设
1 x1 y11
N1 N2 N31 x y1 x2 y2
1 x3 y3
求得
N1 21Ax2y3 x3y2(y2 y3)x(x3 x2)y N2 21Ax3y1 x1y3(y3 y1)x(x1 x3)y N3 21Ax1y2 x2y1(y1 y2)x(x2 x1)y