2.4.1抛物线及其标准方程学案

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高中数学 2.4.1 抛物线及其标准方程学案新人教A版选修2-1

§2.4.1 抛物线及其标准方程学习目标：1、掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程；进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力。

一、主要知识：1、抛物线的定义：2二、典例分析：〖例1〗：（（1）已知抛物线的标准方程是26y x =,求它的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线经过点()4,2--,求它的标准方程。

（3）已知抛物线的焦点在直线上240x y --=，求它的标准方程。

（4）点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，求点M 的轨迹方程。

〖例2〗：斜率为1的直线经过抛物24y x =的焦点，与抛物线交于两点,A B ，求线段AB 的长。

〖例3〗：已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物上的动点，又有点()3,2A ，求PA PF +的最小值，并求出取最小值时P 点坐标。

三、课后作业：1、抛物线22(0)y ax a =≠的准线方程是（）A 、4a x =-B 、4a x =C 、4a x =-D 、4a x = 2、抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3412x y -=上，此抛物线的方程是（）A 、216y x =B 、212y x =C 、216y x =-D 、212y x =-3、抛物线280x y +=的准线方程是（）A 、2x =B 、2x =-C 、2y =D 、2y =-4、抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（）A 、52B 、5C 、152D 、10 5、已知(),4M m 是抛物线2x ay =上的点，F 是抛物线的焦点，若5MF =，则此抛物线的焦点坐标是（） A 、()0,1-B 、()0,1C 、()0,2-D 、()0,2 6、过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为34π的直线交抛物线于,A B 两点，则AB =（）A 、B 、4C 、8D 、2 7、①抛物线24(0)y px p =≠的焦点坐标是；②抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是；③抛物线22(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离是2p a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则点M 到准线的距离是，点M 的横坐标是。

学案4：2.4.1抛物线的标准方程

2.4.1抛物线的标准方程一、教材基础梳理 1、抛物线的定义平面内与一定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）_________________的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫抛物线的_______________，直线l 叫做抛物线的_____________. 注：（1）定点F 不在这条定直线l（2）定点F 在这条定直线l ，则点的轨迹是__________________. 2、推导抛物线的标准方程：如图所示，________________________建立平面直角坐标系，设|KF|=| p (p >0),那么焦点F 的坐标为____________,准线l 的方程为___________,设抛物线上的点M （x ,y ）, M （x ,y ）点具有的性质为__________________,坐标化得__________________,两边平方、化简方程得____________________.方程22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是________________，它的准线方程为__________.3、抛物线的标准方程二、课前检测1.抛物线22y x =的焦点坐标为( ) A.（0，1） B.（0，12） C.（0，18） D.（0，18-）2.若抛物线的准线方程为x =-7，则抛物线的标准方程为( ) A.228x y =- B.228y x = C. 228y x =- D. 228x y = 三、典例解析类型一有关抛物线的定义例1：已知抛物线的焦点是F (3，0),写出它的标准方程和准线方程.类型二求焦点或准线例2：已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.类型三抛物线标准方程的求法例3：求适合下列条件的抛物线标准方程.（1）过点（-3，2）；（2）焦点在直线240x y --=上.类型四抛物线中的简单最值问题例4：已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A （3，2），求｜P A ｜+｜PF ｜的最小值，并求出取最小值时P 点坐标.类型五抛物线的实际应用例5：某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，一木船宽4m ，高2m ，载货后木船露在水面上的部分高为34m ，问水面上涨到与拱桥相距多少时，木船开始不能通航？四、课堂达标练习1．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．线段 C ．直线 D ．射线2．抛物线x2＝－16y的焦点坐标是()A．(0，－4) B．(0,4) C．(4,0) D．(－4,0)3．抛物线y＝2x2的准线方程为________．4．抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．参考答案一、教材基础梳理1、抛物线的定义距离相等焦点准线（2）点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线 2、推导抛物线的标准方程：以过点F 且垂直于直线 l 的直线为x 轴,垂足为K .以FK 的中点O 为坐标原点 (，0 ) x =- |MF |=d(，0 ) x = 3、抛物线的标准方程二、课前检测 1. C 2.B三、典例解析类型一有关抛物线的定义例1：解：因为抛物线的焦点坐标是(3，0)，所以得p =6.2p 2p .2px =+22(0)y px p =>2p 2p 32p =因此，所求抛物线的标准方程是y 2=12x ，准线方程是x =-3. 类型二求焦点或准线例2：解：由已知，得p =-3. 因此，所求的抛物线的标准方程是 y 2=6x ; 焦点坐标是(, 0);准线方程是x =-. 类型三抛物线标准方程的求法例3：解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=﹣2px 或x 2=2py （p ＞0）， ∵过点（﹣3，2），∴4=﹣2p （﹣3）或9=2p •2． ∴p =或p =．∴所求的抛物线方程为y 2=﹣x 或x 2=y ，前者的准线方程是x =，后者的准线方程是y =﹣．（2）令x =0得y =﹣2，令y =0得x =4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣2）．当焦点为（4，0）时，=4， ∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ；焦点为（0，﹣2）时，=2， ∴p =4，此时抛物线方程为x 2=﹣8y ． ∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=﹣8y ，对应的准线方程分别是x =﹣4，y =2．类型四抛物线中的简单最值问题例4：解：由题意可得F （，0 ），准线方程为 x =﹣，作PM ⊥准线l ，M 为垂足，由抛物线的定义可得|P A |+|PF |=|P A |+|PM |，故当P ，A ，M 三点共线时，|P A |+|PM |最小为|AM |=3﹣（﹣）=，此时，P 点的纵坐标为2，代入抛物线的方程可求得P 点的横坐标为2，故P 点的坐标为（2，2），3232类型五抛物线的实际应用例5：解：如图所示建立直角坐标系xOy ，设抛物线方程为x 2=﹣2py （p ＞0），过点（4，﹣5）， ∴16=﹣2p （﹣5），∴2p =，∴抛物线方程为x 2=﹣y ，x =2时，y =﹣，∴相距为+=2时不能通行．四、课堂达标练习 1．A【解析】动点P 的条件满足抛物线的定义． 2．A【解析】 p 2＝4，焦点在y 轴上，开口向下，焦点坐标应为(0，－p2)，即(0，－4)．3．y ＝－18【解析】化方程为标准方程形式为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上，∴准线方程为y ＝－18.4．解设焦点为F (－p2，0)，M 点到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即9＋p2＝10，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x . 将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。

教学设计2：2.4.1 抛物线及其标准方程

2.4.1 抛物线及其标准方程教学内容抛物线及其标准方程三维目标【知识与技能】1．理解抛物线的定义。

明确焦点、准线的概念2．掌握抛物线的方程及标准方程的推导3．熟练掌握抛物线的四个标准方程。

【过程与方法】通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。

【情感态度与价值观】通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。

教学重点抛物线的定义和标准方程，四种抛物线标准方程的应用，理解坐标法的基本思想. 教学难点抛物线标准方程的推导与化简，坐标法的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。

教学过程复习引入一．引入新课【师】前面我们已经探究过，椭圆和双曲线都可以叙述为“平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l（F不在l上）的距离的比是常数e（0>e）的动点的轨迹”。

其中当()1,0∈e时是椭圆，当()+∞∈,1e时是双曲线。

那么，当1=e时，动点的轨迹是什么？它的方程如何呢？点题，板书课题。

新课学习二．新课讲解1．实验观察、实现构建探究1 点F与直线l的位置关系（1）点F在直线l上（引导学生求出动点的轨迹）点F的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线。

（2）点F不在直线l上用《几何画板》演示，观察点M的轨迹。

2.观察曲线的动态形成过程, 你能发现点M的轨迹是一条什么曲线吗？FlFHMl· oF y x lK (学生会猜想到轨迹是抛物线)3.如果曲线是抛物线，只要适当建立平面直角坐标系，就可以得到形如c bx ax y ++=2()0≠a 的轨迹方程，是否真是这样呢？（在学生思考的基础上引导学生先求出点M 的轨迹方程。

）4.如何建立坐标系求点M 的轨迹方程？（师生探讨建立不同方案，以下面方案为例进行推导）解：取经过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，建立平面直角坐标系。

学案10：2.4.1 抛物线及其标准方程

2.4.1 抛物线及其标准方程预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)观察教材，点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M ，拖动点H ，观察点M 的轨迹． ①M 的轨迹是什么形状？②|MH |与|MF |之间有什么关系？③抛物线上任意一点M 到点F 和直线l 的距离都相等吗？(2)观察教材，直线l 的方程为x ＝－p2，定点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，设M (x ，y )，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MH |，则M 点的轨迹方程是什么？2．归纳总结，核心必记 (1)抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的，直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2 续表图形标准方程焦点坐标准线方程x 2＝2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2问题思考(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？(2)到定点A (3，0)和定直线l ：x ＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？(3)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则它的标准方程是什么？课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程思考1 抛物线的标准方程有哪几种类型？思考2 抛物线方程中p 的几何意义是什么？思考3 如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？讲一讲1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0; (3)y 2＝ax (a >0)．类题·通法根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．练一练1．求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．知识点2 求抛物线的标准方程思考1抛物线标准方程有什么特点？思考2如何求抛物线的标准方程？讲一讲2．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6，6);(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．类题·通法求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n 的值．练一练2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1;(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.知识点3 抛物线定义的应用讲一讲3．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．类题通法(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等．练一练3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．知识点4 抛物线方程的实际应用讲一讲4．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．类题通法在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程不含常数项，形式更为简单，便于计算．练一练4．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法．难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如讲1；(2)求抛物线的标准方程，如讲2；(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如讲3.3．由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点．参考答案预习导引区核心必知1．(1)①提示：抛物线． ②提示：相等． ③提示：都相等． (2)提示：y 2＝2px (p >0)．2．(1)距离相等焦点准线问题思考(1)提示：不一定是抛物线，当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过点F 且垂直于定直线的一条直线，l 不过定点F 时，点的轨迹是抛物线． (2)提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y 2＝12x ．(3)提示：由焦点在x 轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则p2＝2，故p ＝4.所以抛物线的标准方程是y 2＝8x ．课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程思考1 名师指津：y 2＝2px (p >0)；y 2＝－2px (p >0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)．思考2 名师指津：p 的几何意义是：焦点到准线的距离．思考3 名师指津：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p ，利用焦点坐标及准线的定义求解．讲一讲1．解：(1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，110，准线方程是y ＝－110.(3)由a >0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4. 练一练1．解：把抛物线方程y ＝ax 2化成标准方程x 2＝1a y .当a >0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ；当a <0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 综上知，所求抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 知识点2 求抛物线的标准方程思考1 名师指津：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一个变量的一次项．思考2 名师指津：(1)确定抛物线的对称轴和开口方向；(2)求p 的值．讲一讲2．解：(1)∵点M (－6，6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x 轴上，设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6，6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)，将点M (－6，6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2，0)， ∴抛物线的焦点是F (2，0)， ∴p2＝2， ∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y . 练一练2．解：(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2，则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪－p 2－p2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .知识点3 抛物线定义的应用讲一讲3．解：如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴()|P A |＋|PF |min＝|AB |＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2，∴P 点坐标为(2，2)．练一练3．解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，当点P ，A (0，2)，和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋（2－0）2＝172. 知识点4 抛物线方程的实际应用讲一讲4．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4，由点B 在抛物线上，得⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ⎝⎛⎭⎫－a 4，所以p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点(0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .欲使卡车通过隧道，应有a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)． ∵a 取整数， ∴a 的最小值为13. 练一练4．解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5，所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8 m.。

高中数学选修2-1新教学案：2.4.1抛物线及其标准方程(1)

选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程（学案）（第1课时）【知识要点】抛物线的定义及其标准方程. 【学习要求】1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握抛物线的定义,准确推导出抛物线的标准方程.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第64 页～第66页）1. 我们学过的二次函数221,2y x y x ==的图象是 . 抛物线2y x =上的点到点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭和直线14y =-的距离的大小关系是 . 抛物线212y x =上的点到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭和直线12y =-的距离的大小关系是 . 上面两个事实说明了什么问题 .2.抛物线、抛物线的焦点、抛物线的准线：平面内与和距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的直线l 叫做抛物线的 .3.根据求曲线方程的步骤,你能想到几种不同的建系方法?能分别推导出对应的方程吗? 取经过点F 且垂直于直线l 的直线为轴,垂足为K ,并使原点与线段KF 的中点重合,建立直角坐标系xoy ,设(0)KF p p =>,那么焦点F 的坐标为 ,准线l 的方程为 ,推导出的抛物线方程为 .4.根据抛物线的方程,填写下面的表格: 标准方程图形焦点坐标准线方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->【基础练习】1．根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1) 焦点是()3,0F ; (2) 准线方程式是14x =-; (3) 焦点到准线的距离是2.2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 220y x =; (2) 212x y =; (3) 2250;y x += (4) 280x y += . 【典型例题】例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 24x y =; (2) 235y x =;变式1：求抛物线2y ax =的焦点坐标和准线方程.例2 抛物线的焦点在直线20x y -+=上,则抛物线的标准方程为 ( ) (A) 2244x y y x =-=和 (B) 2244x y y x ==-和 (C) 2288x y y x ==-和 (D) 2288x y y x =-=和变式2：求焦点在直线240x y --=上的抛物线的标准方程. 例3 抛物线216x y =上的点P 到焦点的距离等于8,求点P 的坐标.变式3：在抛物线22y px =上,横坐标为4的点,到焦点的距离为5,则p 的值为 ( ) (A)12(B) 1 (C) 2 (D) 41. 已知抛物线的焦点为（1，0），则抛物线的标准方程 ( ). （A ）22y x = （B ）22y x =- （C ）24y x = （D ）24y x =- 2. 抛物线214y x =的焦点坐标为（）. （A ）(0,116) （B ）(116,0) （C ）(0,1) （D ）(1,0)3.已知抛物线的准线方程是2x =，则抛物线的标准方程( ).(A) 28y x = (B) 28y x =-(C) 28x y = (D) 28x y =-4.抛物线22y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标是 . 5. 抛物线2x ay =的准线方程是2x =,则a 的值为 ( ).(A)18 (B) 8 (C) 18- (D) -86.抛物线24x y =-上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ).(A) 1716-(B) 1516- (C) 78- (D) 07.已知抛物线22(0)y px p =>上有一点(4,)M y ,它到焦点F 的距离为5,则(OFM O ∆为坐标原点）的面积 .8.已知圆222230x y x y +-+-=经过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则p 的值为 .9.经过点(3,-2)的抛物线的标准方程 .10.抛物线的焦点在y 轴上,点A (m,-2)在抛物线上,且AF =3,求抛物线的标准方程. 11.已知圆222230x y x y +-++=与抛物线22(0)y px p =->的准线相切，则抛物线的方程为 .28y x =上,且动圆恒与直线1. 一动圆的圆心在抛物线20x +=相切，则动圆比过定点（）.（A ）(4,0) （B ）(2,0) （C ）(0,2) （D ）(0,-2)2.抛物线28(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离为a ,则点M 到y 轴的距离为 .选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程（教案）（第一课时）【教学目标】: 引导从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握抛物线的定义,准确推导出抛物线的标准方程.【重点】：对抛物线定义的理解及抛物线方程的推导. 【难点】：掌握抛物线的标准方程.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第64 页～第66页）1. 我们学过的二次函数221,2y x y x ==的图象是抛物线. 抛物线2y x =上的点到点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭和直线14y =-的距离的大小关系是相等. 抛物线212y x =上的点到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭和直线12y =-的距离的大小关系是相等. 上面两个事实说明了什么问题抛物线上的点到一个定点和一条定直线的距离相等.2.抛物线、抛物线的焦点、抛物线的准线：平面内与定点和定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点直线l 叫做抛物线的准线.3.根据求曲线方程的步骤,你能想到几种不同的建系方法?能分别推导出对应的方程吗? 取经过点F 且垂直于直线l 的直线为轴,垂足为K ,并使原点与线段KF 的中点重合,建立直角坐标系xoy ,设(0)KF p p =>,那么焦点F 的坐标为,0)p（2,准线l 的方程为px=-2,推导出的抛物线方程为2px =2y .4.根据抛物线的方程,填写下面的表格: 标准方程图形焦点坐标准线方程22(0)y px p =>(,0)2p2p x =-22(0)y px p =->(,0)2p -2p x =22(0)x py p =>(0,)2p2p y =-22(0)x pyp =->(0,)2p -2p y =【基础练习】1．根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1) 焦点是()3,0F ; (2) 准线方程式是14x =-; (3) 焦点到准线的距离是2.解: (1) 212y x =; (2) 2y x =; (3) 22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-. 2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 220y x =; (2) 212x y =; (3) 2250;y x += (4) 280x y += .解: (1) 焦点坐标F （5，0），准线方程x=-5 ;(2) 11焦点坐标F （0,），准线方程y=-88 ;(3) 55焦点坐标F （-，0），准线方程x=88;(4) 焦点坐标F （0,-2），准线方程y=2 . 【典型例题】例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 24x y =; (2) 235y x =;【审题要津】抛物线的方程不是标准方程,可先把平方项的系数比到另一边,然后根据四种不同形式的标准方程写出焦点坐标和准线方程.解: (1)由24x y =得: 214x y =,由12,4p = 18p ∴= ,所以焦点为1(0,)16,准线方程为116y =-; (2)由235y x =得: 253y x =,552,36p p =∴=,所以交点坐标为5(,0)12,准线方程为 512x =-. 【方法总结】求抛物线的焦点坐标和准线方程,关键是把方程化成标准形式. 变式1：求抛物线2y ax =的焦点坐标和准线方程.解: 由2y ax =得: 21111,02,0)24x y a p p a a a a=>==∴当时，焦点为（,准线方程为14y a =-;210a x y a ⎛⎫<=-- ⎪⎝⎭当时，方程为,112,,2p p a a =-=-∴焦点为 1(0),4a 1，准线方程为y=-4a. 例2 抛物线的焦点在直线20x y -+=上,则抛物线的标准方程为 ( C ) (A) 2244x y y x =-=和 (B) 2244x y y x ==-和 (C) 2288x y y x ==-和 (D) 2288x y y x =-=和【审题要津】因为抛物线的焦点在坐标轴上,又在直线20x y -+=上，所以抛物线的焦点为直线20x y -+=与坐标轴的焦点.解: 直线20x y -+=与两坐标轴的交点分别为(-2,0),(0,2).当(-2,0)为焦点时,抛物线的标准方程为28y x =-.当(0,2)为焦点时, 抛物线的标准方程为28x y = .【方法总结】知道了抛物线的焦点,则可求p ,求抛物线标准方程可直接代入标准方程. 变式2：求焦点在直线240x y --=上的抛物线的标准方程.解：直线240x y --=与坐标轴的交点为（4，0），（0，-2）.当焦点为（4，0）时,抛物线标准方程为216y x =;当焦点为（0，-2）时, 抛物线标准方程为28x y =-.例3 抛物线216x y =上的点P 到焦点的距离等于8,求点P 的坐标.【审题要津】根据给出的抛物线方程,求出抛物线的准线,由P 到焦点的距离等于8,知P 到准线的距离也是8,可求出P 点的纵坐标,代入抛物线方程,可求P .解: 由2168,p p ==∴得抛物线的准线为y=-4 ,设点P 的坐标为00(,)P x y ,则2000048,4,4168y y y x y x +=∴====±把代入得：,(8,0),(8,0).P ∴-【方法总结】借助于抛物线定义转化距离是解决此类问题常用的方法.变式3：在抛物线22y px =上,横坐标为4的点,到焦点的距离为5,则p 的值为 ( C ) (A)12(B) 1 (C) 2 (D) 41. 已知抛物线的焦点为（1，0），则抛物线的标准方程 ( C ). （A ）22y x = （B ）22y x =- （C ）24y x = （D ）24y x =- 2. 抛物线214y x =的焦点坐标为（ C ）. （A ）(0,116) （B ）(116,0) （C ）(0,1) （D ）(1,0)3.已知抛物线的准线方程是2x =，则抛物线的标准方程( B ).(A) 28y x = (B) 28y x =-(C) 28x y = (D) 28x y =-4.抛物线22y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标是1111(,11),(,11)22-. 5. 抛物线2x ay =的准线方程是2x =,则a 的值为 ( C ).(A)18 (B) 8 (C) 18- (D) -86.抛物线24x y =-上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B ).(A) 1716-(B) 1516- (C) 78- (D) 07.已知抛物线22(0)y px p =>上有一点(4,)M y ,它到焦点F 的距离为5,则(OFM O ∆为坐标原点）的面积2.8.已知圆222230x y x y +-+-=经过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则p 的值为6.9.经过点(3,-2)的抛物线的标准方程223290y x x y =+=或.10.抛物线的焦点在y 轴上,点A (m,-2)在抛物线上,且AF =3,求抛物线的标准方程. 解：由题意可设抛物线标准方程为22(0)x py p =->，由AF =3知1,22pp =∴=，所以抛物线标准方程为24x y =- .11.已知圆222230x y x y +-++=与抛物线22(0)y px p =->的准线相切，则抛物线的方程为28y x =- .1. 一动圆的圆心在抛物线28y x =上,且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆比过定点（ B ）.（A ）(4,0) （B ）(2,0) （C ）(0,2) （D ）(0,-2)2.抛物线28(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离为a ,则点M 到y 轴的距离为2a p - .。

高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程学案新人教版选修2-1

2.4.1抛物线的标准方程导学案一、学习目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程二、学习重点抛物线的定义及标准方程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数2y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线例如：（1）24y x =，（2）24y x =-的图象（自己画出函数图像）（二）学习新课 1.抛物线的定义探究1观察抛物线的作图过程，探究抛物线的定义：抛物线的定义： 2.抛物线的标准方程要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系. 探究2 设焦点F 到准线l 的距离为(0)p p >，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程. 推导过程：我们把方程22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程是2p x =-。

在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：(三)例题例1（1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程,（2）已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程. 解：例2 一种卫星接收天线的轴截面如图（课本59页图1），卫星波速呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经放射聚集到焦点处。

已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为0.5m 。

试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

解：变式训练1：课本（59页） 1. 已知抛物线的准线方程是x =—41，求它的标准方程. 2. 已知抛物线的标准方程是2y 2+5x =0,求它的焦点坐标和准线方程. 解：变式训练2：在抛物线y 2=2x 上求一点P ，使P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小. (四)小结1、抛物线的定义；2、抛物线的四种标准方程；3、注意抛物线的标准方程中的字母P 的几何意义 (五)课后练习1.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-；(B)x =4a ；(C)||4a x =- ；(D)x =||4a2.抛物线21x m y =（m ≠0）的焦点坐标是（） (A ) （0，4m ）或（0，4m -）；(B) （0，4m）(C) （0，m 41）或（0，m 41-）；(D) （0，m41）3.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F (0,3)，(2)焦点到准线的距离是2.4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2=20x ；(2)x 2+8y =0.5.点M 到点（0，8）的距离比它到直线y ＝－7的距离大1，求M 点的轨迹方程。

抛物线及其标准方程学案

§2.4.1 抛物线及其标准方程
学习目的：
1．理解抛物线的定义明确焦点、准线的概念；
2．熟练掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件画出抛物线的草图并确定抛物线的标准方程；
3．能由抛物线定义推导抛物线的方程；
4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

学习过程：
一、复习引入
1、到两点距离相等的点的轨迹是这两点连成的线段的中垂线，那到一个点和一条直线距离相等的点的轨迹呢？
2、观看几何画板
二、研究新知
3、抛物线的定义：______________________________________________
点F称为抛物线的______，直线l叫做抛物线的________
思考：
1．此问题中是否存在定长？
2．类比椭圆和双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何建立坐标系，使抛物线的方程更简单？
填写下列表格：
思考：你能说明二次函数)0
(
≠
=a
ax
y的图像为什么是抛物线么？指出它的焦点坐标、准线方程
例：（1）已知抛物线的标准方程是x
y6
2=，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。

高中数学《抛物线及其标准方程》导学案

2．4.1抛物线及其标准方程1．抛物线的定义□01平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.□02点F叫做抛物线的焦点，□03直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．()(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为________________；准线方程为__________________．(2)若抛物线的方程为x＝2ay2(a>0)，则焦点到准线的距离p＝________.(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为___________________________．(4)(教材改编P67T3(2))抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是________．答案(1)(1,0)x＝－1(2)14a(3)x2＝8y(4)(4，±4)解析(4)设P点的坐标为(x0，y0)，由题意得x0＋1＝5，x0＝4，∴y20＝16，y0＝±4，∴P点坐标为(4，±4)．探究1抛物线的标准方程例1求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．[解] (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，则将点(－3,2)代入方程得2p＝43或2p＝92，∴所求的抛物线方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)当焦点在y轴上时，令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，∴抛物线的焦点为F(0，－2)，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由p2＝2得2p＝8，∴所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点在x轴上时，同理得y2＝16x.[条件探究] 如果把例1(1)中的“点(－3,2)”改为“点(1,2)”如何解答？解解法一：点(1,2)在第一象限，要分两种情形：当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则22＝2p·1，解得p＝2，抛物线方程为y2＝4x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，则12＝2p·2，解得p＝14，抛物线方程为x2＝12y.解法二：设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点(1,2)代入，得m＝4，n＝12.故所求的方程为y2＝4x或x2＝12y.拓展提升求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程．【跟踪训练1】根据下列条件，求抛物线的标准方程：(1)焦点到准线的距离是4；(2)准线方程为y＝2 3.解(1)p＝4，抛物线的标准方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.(2)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且p2＝23，则p＝43，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－83y.探究2抛物线的定义及其应用例2(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B．1 C.54 D.74(2)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8(3)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标．[解析] (1)∵y 2＝x 的准线方程为l ：x ＝－14，由题意得|AF |，|BF |分别为A ，B 到准线l 的距离d 1，d 2(如图所示)．则线段AB 的中点到准线的距离d ＝d 1＋d 22＝32， ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为d ＝32－14＝54.故选C.(2)由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.(3)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号．∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AB | ＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线方程得x P ＝2， ∴P 点坐标为(2,2)．[答案] (1)C (2)A (3)见解析[结论探究] 如果例2(3)的问题改为“求点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值”，如何解答？解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离．由图可知，当点P ，A (0,2)，和抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0三点共线时所求距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋(2－0)2＝172. 拓展提升抛物线的定义及应用抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线的定义解决最值问题及其他问题的实质．【跟踪训练2】已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2 D.322＋1 答案 A解析将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为P 到焦点F (1,0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A.探究3 与抛物线有关的轨迹问题例3 已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 与圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．[解] 解法一：设点P 的坐标为(x ，y )，动圆P 的半径为r ，由条件知|AP |＝r ＋1，即(x ＋2)2＋y 2＝|x －1|＋1，化简，整理得y 2＝－8x .解法二：如图，设动圆P 的半径为r ，作PK 垂直直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，所以|PQ |＝r ＋1，又|AP |＝r ＋1，所以|AP |＝|PQ |，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线．∴p2＝2，∴p ＝4，∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .拓展提升利用定义求轨迹的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．【跟踪训练3】平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．解解法一：设P 点的坐标为(x ，y )，则有(x －1)2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x |.所以y 2＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，0，x <0，即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．解法二：由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x <0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．探究4 抛物线方程的实际应用例4 “中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD 8D 1和其上方的抛物线D 1OD 8(部分)组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知AB ＝44 m ，∠A ＝45°，AC 1＝4 m ，C 1C 2＝5 m ，立柱C 2D 2＝5.55 m.(1)求立柱C 1D 1及横梁D 1D 8的长；(2)求抛物线D 1OD 8的方程和桥梁的拱高OH . [解] (1)由题意知，∠A ＝45°，AC 1＝4 m ，则C 1D 1＝4 m.因为ABD 8D 1是等腰梯形，由对称性知， AH ＝HB ＝12AB ＝12×44＝22 m ， AC 1＝C 8B ＝4 m ，C 1H ＝12C 1C 8＝12(AB －AC 1－C 8B )＝12×(44－4－4)＝12×36＝18 m. 所以D 1D 8＝C 1C 8＝36 m.(2)由(1)知点D 1的横坐标为－18，则D 2的横坐标为－(18－5)＝－13，设D 1，D 2点的纵坐标分别为y 1，y 2，由图形知|y 1－y 2|＝|5.55－4|＝1.55.设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，将点D 1，D 2代入，得⎩⎪⎨⎪⎧(－18)2＝－2py 1，(－13)2＝－2py 2，两式相减得2p (y 2－y 1)＝182－132＝155，解得2p ＝100，故抛物线方程为x 2＝－100y .因此，当x ＝－18时，y ＝－1100x 2＝－1100×324＝－3.24 m ，故|y 1|＝3.24 m ，所以桥梁的拱高OH ＝3.24＋4＝7.24 m.拓展提升求解抛物线实际应用题的五个步骤(1)建系：建立适当的坐标系．(2)假设：设出合适的抛物线的标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出所要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．【跟踪训练4】喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解如图所示，建立直角坐标系，设B 点坐标为(0,0)，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，因为点A(－4，y0)在抛物线上，，所以16＝－5y0，即y0＝－165所以OA的长为5－16＝1.8 m.5所以管柱OA的长为1.8 m.探究5与抛物线有关的最值问题例5已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|P A|的值最小．[解] ∵(－2)2＜8×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B.由抛物线的定义可知，|PF|＋|P A|＝|PQ|＋|P A|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|.∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|P A|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12.故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.拓展提升解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如：两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等．【跟踪训练5】已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)答案 A解析点Q (2，－1)在抛物线内部，如图所示．由抛物线的定义知，抛物线上的点P 到点F 的距离等于点P 到准线x ＝－1的距离，过Q 点作x ＝－1的垂线，与抛物线交于点K ，则K 为所求，当y ＝－1时，x ＝14，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.1.根椐抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p 的几何意义，求出焦点坐标和准线方程.2.抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值.1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(4,0)D ．(－4,0) 答案 A解析由抛物线的方程为x 2＝8y 知，抛物线的焦点在y 轴正半轴上，所以2p ＝8，p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)．故选A.2．若动点P 到定点F (1,1)的距离与它到定直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线答案 D解析解法一：设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，(x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|10，整理得x －3y ＋2＝0，∴动点P 的轨迹为直线．故选D.解法二：∵点F (1,1)在直线3x ＋y －4＝0上，∴动点P 的轨迹为过点F 且垂直于直线l ：3x ＋y －4＝0的直线．3．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.116 B.1516 C ．1 D.1716 答案 B解析抛物线y ＝4x 2的标准方程为x 2＝y 4，其准线方程为y ＝－116，由抛物线的定义知y M －⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝1，所以y M ＝1516.4．若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________．答案－18解析把抛物线方程y ＝ax 2化为标准方程为x 2＝1a y ，所以－14a ＝2，a ＝－18. 5．设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．解当m >0时，准线方程为x ＝－m4，由已知条件知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝3，所以m ＝8.此时抛物线的方程为y 2＝8x ；当m <0时，准线方程为x ＝－m4，由已知条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线的方程为y 2＝－16x . 所以所求抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .A 级：基础巩固练一、选择题1．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( ) A ．(8,8) B ．(8，－8) C ．(8，±8) D ．(－8，±8)答案 C解析设P (x P ，y P )，因为点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，所以x P ＝8，y P ＝±8.故选C.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12 答案 C解析因为点A 在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点为F (2,0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34.3．抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M到该抛物线准线的距离为()A．1 B.32C．2 D.52答案D解析∵点P(2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m，∴m＝4.又P到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F到准线距离为2，∴M到抛物线准线的距离为d＝3＋22＝52.4．已知F是抛物线y＝116x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是()A．x2＝8y－16 B．x2＝2y－1 16C．x2＝y－12D．x2＝2y－2答案A解析抛物线方程可化为x2＝16y，焦点F(0,4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线方程，得(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16.故选A.5. 下图，南北方向的公路L，A地在公路正东2 km 处，B地在A北偏东60°方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等，现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B 修建公路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是()A．(2＋3)a万元B．(23＋1)a万元C．5a万元D．6a万元答案C解析依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线L的距离即可．∵B地在A地北偏东60°方向2 3 km 处，∴B到点A的水平距离为3 km，∴B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a万元．故选C.6．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A.522 B.522＋1C.522－2 D.522－1答案D解析设抛物线的焦点为F，过P作P A与准线垂直，垂足为A，作PB与l 垂直，垂足为B，则d1＋d2＝|P A|＋|PB|－1＝|PF|＋|PB|－1，显然当P，F，B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，d1＋d2取得最小值，最小值为522－1.二、填空题7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．答案2解析∵y2＝2px的准线方程为x＝－p2，由题意得，p2＋3＝4，∴p＝2.8．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,0)关于原点O对称．点P(x0，y0)在抛物线y2＝4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0＝________.答案1＋2解析∵点B与点A(－1,0)关于原点O对称，∴B(1,0)，根据题意，得y20x20－1＝2，又y20＝4x0，∴2x0＝x20－1，即x20－2x0－1＝0，解得x0＝2±82＝1±2，舍去负值，得x0＝1＋ 2.9．抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A ′，B ′，若四边形AA ′B ′B 的面积为48，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝23x解析因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入y 2＝2px (p >0)，整理得，x 2－7px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数之间的关系得，x 1＋x 2＝7p ，x 1x 2＝p 24，y 1－y 2＝33(x 1－x 2)，又四边形AA ′B ′B 是梯形，其面积为48，所以12(x 1＋x 2＋p )|y 1－y 2|＝48，即12(x 1＋x 2＋p )·⎪⎪⎪⎪⎪⎪33(x 1－x 2)＝36(x 1＋x 2＋p )·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48，解得p 2＝3，p ＝3或p ＝－3(舍去)，故抛物线的方程为y 2＝23x .三、解答题10．已知抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线的标准方程和准线方程．解设所求的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎨⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴m ＝±26，抛物线的方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.B 级：能力提升练1．已知圆C 的方程x 2＋y 2－10x ＝0，求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．解设P 点坐标为(x ，y )，动圆的半径为R ， ∵动圆P 与y 轴相切，∴R ＝|x |.∵动圆与定圆C ：(x －5)2＋y 2＝25外切， ∴|PC |＝R ＋5. ∴|PC |＝|x |＋5.当点P在y轴右侧，即x>0时，|PC|＝x＋5，故点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；当点P在y轴左侧，即x<0时，|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程y＝0(x<0)．故点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．2．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．解设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线为x＝－p2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋p2＋x2＋p2＝8，即x1＋x2＝8－p.∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，即(6－x1)2＋(－y1)2＝(6－x2)2＋(－y2)2.又y21＝2px1，y22＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线的方程为y2＝8x.。

学案11：2.4.1 抛物线及其标准方程

2.4.1 抛物线及其标准方程教材新知知识点一抛物线的定义入门答辩如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？新知自解抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的.知识点二抛物线的标准方程入门答辩平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？问题3：到定点C和定直线l3，到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？新知自解抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)(p2，0) x ＝－p 2y 2＝－2px (p >0)(－p2，0) x ＝p 2x 2＝2py (p >0)(0，p2)y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)(0，－p 2)y ＝p 21．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M ；一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1.定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线．2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x 的一次项，则焦点就在x 轴上，并且焦点的横坐标为2p 4(或－2p 4)，相应的准线是x ＝－2p 4(或x ＝2p4)；如果含的是y的一次项，有类似的结论．3．抛物线标准方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离．热点考向考点一求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．一点通求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．题组集训1．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16xC．y2＝8x D．y2＝－8x2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m的值；(2)求抛物线的焦点和准线方程．考点二抛物线定义的应用例2已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)．在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|P A|的值最小．一点通利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用；其次是注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．题组集训3．点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴()A．相交B．相切C．相离D．位置由F确定4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B.3C. 5D.92考点三与抛物线有关的应用问题例3 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？一点通涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．题组集训5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( ) A ．11.25 cm B ．5.625 cm C ．20 cmD ．10 cm6．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．方法小结1．求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定型”(确定焦点位置)→定量(参数p 的值)的程序求解．2．应用定义可以解决两类问题：①求抛物线的方程；②涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯形的性质解题．参考答案教材新知知识点一抛物线的定义入门答辩问题1：提示：抛物线问题2：提示：是．AB 是直角三角形的一条直角边．问题3：提示：|DA |＝|DC |. 新知自解距离相等焦点准线知识点二抛物线的标准方程入门答辩问题1：提示：y 2＝4x . 问题2：提示：y 2＝－4x . 问题3：提示：x 2＝4y ，x 2＝－4y . 热点考向考点一求抛物线的标准方程例1 解：(1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)．又p2＝2，所以2p ＝8，故抛物线的标准方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝x －2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 题组集训 1．【答案】A【解析】由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上．由a 2＝16，得a ＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x . 2．解：(1)法一：∵抛物线焦点在x 轴上，且过点M (－3，m )， ∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p2，0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋(3－p 2)2＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p 2，0)，准线方程x ＝p 2.由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于5，即点M 到准线的距离等于5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上， ∴m 2＝24，∴m ＝±26，∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. (2)∵p ＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程是x ＝2.考点二抛物线定义的应用例2 解：∵(－2)2<8×4，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B .由抛物线的定义可知：|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|P A |取得最小值，即为|AB |.此时P 的横坐标为－2，代入x 2＝8y 得y P ＝12.故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(－2，12)．题组集训 3．【答案】B【解析】如图，抛物线的焦点为F (p 2，0)，M 为PF 的中点，准线是l ：x ＝－p 2.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么|PF |＝|PH |，且|QH |＝|OF |＝p2.作MN ⊥y 轴于N ，则MN 是梯形PQOF 的中位线，即|MN |＝12(|OF |＋|PQ |)＝12|PH |＝12|PF |，故以PF 为直径的圆与y 轴相切．4．【答案】A【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A (0,2)点，抛物线的焦点F (12，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝|AF |＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.考点三与抛物线有关的应用问题例3 解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米， ∴A (10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)，则102＝－2p (－2)，∴p ＝25，∴抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时， y ＝－150×82＝－1.28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．而船体高为5米，∴无法通行．又∵5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．题组集训 5．【答案】B【解析】如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)．∵A (40,30)在抛物线上， ∴302＝2p ×40，∴p ＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4524＝458＝5.625 (cm)．6．解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为(a 2，－a4)，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay . 将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a4)>3，即a 4－0.82a>3. 解得a >12.21或a <－0.21(舍去)． ∴使卡车通过的a 的最小整数值为13.。

人教版高中数学选修2.4.1《抛物线及其标准方程》教案

《2.4.1 抛物线的标准方程》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
掌握抛物线的定义、几何图形，会推导抛物线的标准方程，能够利用给定条件求抛物线的标准方程，灵活运用定义解决具体问题.
（二）过程与方法
通过观察、思考、探究与合作交流等一系列数学活动，锻炼观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，进一步感受坐标法及数形结合的思想.
（三）情感态度与价值观
通过观看介绍我国研发的FAST射电望远镜、实验演示抛物线原理等视频，激发学习兴趣，体会抛物线极为广泛而重要的应用，同时也增强民族自豪感.
二、教学重点
抛物线的定义及标准方程.
三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导.
四、教学过程。

高中数学选修2-1新教学案：2.4.1抛物线及其标准方程

选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程（学案）（第2课时）【知识要点】1. 抛物线在解决实际问题中的应用；2. 运用抛物线的定义处理最值问题.【学习要求】1.感受抛物线在解决实际问题中的作用;2.能熟练运用抛物线的定义解决问题,通过作图,进一步体会数形结合的数学思想在解题中的应用.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第66 页～第67页）1. 通过预习教材中的例2,你认为当曲线的特征符合我们所学的某种曲线时,应运用法来求出曲线方程.2. 在建立平面直角坐标系时,应掌握什么基本原则?3. 教材中例2的求解过程在建系方面有什么优点?你能不能尝试另外的建系方法来解决该题?尝试后请你谈一下不同的建系方法的得到的结果是否相同?答案是否都正确?4. 通过上一节问题的处理,体会到抛物线定义在处理问题时的最大优点就是把抛物线上点到焦点的距离转化成的距离.5. 平面内两点之间线段最短.【基础练习】1．抛物线22y px = (0p > ) 上一点M 到焦点的距离是()2p a a >,则点M 到准线的距离是 , 点M 的横坐标是 .2. 抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .3. 抛物线22(0)y ax a =≠的焦点坐标是 .【典型例题】例1 点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，求点M 的轨迹方程.变式1：已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3,)M m -到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值.例 2 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m.建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.变式2：一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图(单位:m).一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由. 3 626例 3 已知M为抛物线(3,1)P,则的最小值为（）.(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6变式练习3：在抛物线22y x=上求一点P，使P到焦点F与到定点(2,3)A的距离之和最小.1. 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）.(A)（1, 0）(B)（2, 0）(C)（3, 0）(D)（－1, 0）2. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）(A) 6m (B)26m (C) 4.5m (D) 9m3.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）.(A) 22y x=-(B)24y x=-(C)22y x=(D)22436y x y x=-=-或4. 抛物线21(0)4y x aa=≠的焦点坐标是 ( ).(A) 0(0,),0(0)a a a a><-时是时是(B) 0(0,),0(0)22a aa a><-时是时是(C) (0,)a (D)1(,0)a5. 抛物线22y px=上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是MP MF+24y x=( ). (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32 6. 已知点M 为抛物线22y x =上的一个动点，则点M 到点(0,2)的距离与M 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ). (A) 172(B) 3 (C) 5 (D)92 7. 已知抛物线232y x =的焦点为F ，点111222333(,),(,),(,)M x y M x y M x y 在抛物线上，且2132x x x =+则有（）.(A) 123M F M F M F +=(B) 222123M F M F M F += (C) 1322M F M F M F +=(D) 2122M F M F M F •=8. 设斜率为2的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,且和y 轴交于点A ，若OAF ∆(O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为（）.（A ）24y x =± (B) 28y x =±(C) 24y x = (D) 28y x = 9. 已知点M 在抛物线24y x =上，那么点M 到点(2,1)N 的距离与点M 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点M 的坐标为 .10. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？.1. 花坛水池中央有一喷泉，水管高1m ，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m ，距抛物线的对称轴1m ，则水池的直径至少应设计为多少米（精确到整数位）？选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程（教案）（第二课时）【教学目标】:1. 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.2. 通过解决实际问题,对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育.【重点】：对抛物线定义的进一步理解.【难点】：转化思想的应用.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第66 页～第67页）1. 通过预习教材中的例2,你认为当曲线的特征符合我们所学的某种曲线时,应运用待定系数法来求出曲线方程.2. 在建立平面直角坐标系时,应掌握什么基本原则?建立的坐标系对我们处理问题越简单越好，即坐标要简，未知量要少.3. 教材中例2的求解过程在建系方面有什么优点?你能不能尝试另外的建系方法来解决该题?尝试后请你谈一下不同的建系方法的得到的结果是否相同?答案是否都正确?2教材在处理例时把坐标原点健在了抛物线的顶点，得到的是抛物线标准方程也可以以焦点为坐标原点建系，求得的抛物线方程要复杂，但本题的最后结果一样4. 通过上一节问题的处理,体会到抛物线定义在处理问题时的最大优点就是把抛物线上点到焦点的距离转化成点到准线的距离.5. 平面内两点之间直线段最短.【基础练习】1．抛物线22y px = (0p > ) 上一点M 到焦点的距离是()2p a a >,则点M 到准线的距离是a , 点M 的横坐标是2p a -. 2. 抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是(6,62),(6,62)-.3. 抛物线22(0)y ax a =≠的焦点坐标是1(0,)8a . 【典型例题】例1 点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，求点M 的轨迹方程.【审题要津】点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1 ,说明点M 与点(4,0)F 的距离与它到:40l x +=的距离相等.解: 设点M 的坐标为（x ，y ），由已知条件可知：点M 与点F 的距离等于它到直线x+4=0的距离，根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F （4,0）为焦点的抛物线. 4,82p p ∴=∴=. 所以点的轨迹方程为: 216y x = .【方法总结】转化思想是解决此类问题的有效方法.变式1：已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3,)M m -到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值.解: 因为焦点在x 轴上且过(3,)M m -点,所以设标准方程为22(0)y px p =->.由抛物线的定义知(3)52p --=,即4p =.所以所求抛物线标准方程为28y x =-,又点(3,)M m -在抛物线上，于是224m =, 得: 2 6.m =±例 2 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的径口（直径）为4.8m ，深度为0.5m.建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.【审题要津】根据题目意思,正确的建立平面直角坐标系,利用待定系数法设出曲线方程,然后根据条件解决.解: 在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合.设抛物线的标准方程是：22(0)y px p =>.由已知条件可得,点A 的坐标是(0.5,2.4),代入方程,得22.420.5, 5.76p p =⨯=即.所以,所求抛物线的标准方程是211.52y x =,焦点坐标是(2.88,0) .【方法总结】数形结合，利用所学抛物线知识，把实际问题转化成数学问题.变式2：一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图(单位:m).一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？并说明理由.解: 如图,建立坐标系,则(3,3),(3,3)A B --, y设抛物线方程为22(0)x py p =->,将B 点 O x坐标代入,得()3923,.2p p =-∴=所以抛物线 A A B 方程为23(30)x y y =--<<.因为车与箱共高4.5m,所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m ，设抛物线上点D 的坐标为0(,0.5)x -，则2'000336,.26322x x DD x =∴=±=±∴==<. 故此车不能通过隧道.例 3 已知M 为抛物线上一动点，F 为抛物线的焦点，定点(3,1)P ,则的最小值为（）.(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【审题要津】根据抛物线的定义,把M 到焦点的距离转化成M 到准线的距离,然后过(3,1)P 作准线的垂线交抛物线于M ,则M 点位所求的点.距离为(3,1)P 到准线的距离.解：过P 作准线l 的垂线交抛物线于M ，垂足为N ，则 =MN ,所以最小值为4，故选（B ）.【方法总结】抛物线中的最小值问题,一般是借助于定义,把动点到两定点的距离和,转化为定点到抛物线准线的距离.变式3：在抛物线22y x =上求一点P ，使P 到焦点F 与到定点(2,3)A 的距离之和小. 解: 因为点(2,3)A 在抛物线外部,连结AF 交抛物线于P ,则P 点为要求的点.1. 如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ A ）.(A)（1, 0） (B)（2, 0） (C)（3, 0） (D)（－1, 0）2. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ B ）(A) 6m (B)26m (C) 4.5m (D) 9m3. 抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛MP MF +24y x =MP MF +物线的方程是（ B ）. (A) 22y x =- (B) 24y x =-(C) 22y x = (D) 22436y x y x =-=-或4. 抛物线21(0)4y x a a=≠的焦点坐标是 ( C ). (A) 0(0,),0(0)a a a a ><-时是时是(B) 0(0,),0(0)22a a a a ><-时是时是(C) (0,)a (D) 1(,0)a5. 抛物线22y px =上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是 ( B ).(A) 4 (B) 8(C) 16 (D) 326. 已知点M 为抛物线22y x =上的一个动点，则点M 到点(0,2)的距离与M 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( A ).(A) 172(B) 3 5 (D)92 7. 已知抛物线232y x =的焦点为F ，点111222333(,),(,),(,)M x y M x y M x y 在抛物线上，且2132x x x =+则有（ C ）.(A) 123M F M F M F +=(B) 222123M F M F M F += (C) 1322M F M F M F +=(D) 2122M F M F M F •=8. 设斜率为2的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,且和y 轴交于点A ，若OAF ∆(O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为（ B ）.（A ）24y x =± (B) 28y x =±(C) 24y x= (D) 28y x=9. 已知点M在抛物线24y x=上，那么点M到点(2,1)N的距离与点M到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点M的坐标为1(,1)4.10.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？.解：以拱桥的拱顶为原点,以过拱点且平行于水面的直线为x轴,建立直角坐标系,设桥拱抛物线方程为22(0)x py p=->,由题意可知,点(45)B-在抛物线上,故85p=,得2165x y=-.当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为'AA则(2,)AA y,54=-2A A16由2=-y得y5,又知船面露出水面上部分高为0.75米,所以0.752+=Ah=y米.所以水面上涨到与抛物线拱顶相距2米时,小船开始不能通航.1. 花坛水池中央有一喷泉，水管高1m ，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为多少米（精确到整数位）？解: 如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为22(0)x py p=->.依题意,有(1,1)p--所以21,2p x y==-故抛物线的方程为.设'(,2),2,12B x x O B-=∴=+则.所以水池直径为()2125()m+≈,即水池的直径至少应设计为5m.。

2.4.1抛物线及其标准方程导学案

2.4.1抛物线及其标准方程班级：姓名：学号：分数：学习目标：
1、掌握抛物线的定义
2、掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线。

3、能根据已知条件求抛物线的标准方程，并会由标准方程求相应准线方程，焦点坐标。

4、提高分析、概括等方面能力，渗透数形结合和分类讨论等数学思想。

【预习案】
一、自主学习:阅读教材p64-65 回答下列问题：
1、和椭圆和双曲线的研究过程一样，教材先给出抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （）的的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的，直线l 叫做抛物线的
2、根据定义推导出了焦点在x 轴上的抛物线的标准方程： ,这里标准的含义是 ,其中p 的几何意义是。

3、抛物线px y 22=(p ＞0)上一点Ｍ到焦点的距离是⎪⎭⎫ ⎝
⎛>2p a a ，则点Ｍ到准线的距离是，点Ｍ的横坐标是______
【探究案】
二、问题探究（先独立思考，再小组交流）
1、在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系可以得到不同形式的标准方程，那么抛物线的标准方程有哪些不同的形式？探究之后填写下表：
图形标准方程焦点坐标准线方程
px y 22=(p ＞0)
)0,2(p 2p x -=
三、例题分析
1、（1）已知抛物线的标准方程是y 2=6x ，求它的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。

2.根据已知条件分别写出抛物线标准方程。

（1）经过点（-3，2）。

（2）焦点在直线x-2y-4=0上。

学案3：2.4.1抛物线的标准方程

2.4.1抛物线的标准方程学习目标1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．2．会求简单的抛物线的方程．学习重点：抛物线的定义及其标准方程的求法．学习难点：抛物线定义及方程的应用．学习过程知识梳理1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向_______．(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是______，准线方程是________，开口方向________．例题解析例1：已知抛物线的焦点是F(3，0),写出它的标准方程和准线方程.例2 已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.课堂检测1．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．2．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．3．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于4. 求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．课堂小结1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．参考答案知识梳理1．相等焦点准线2．(1)标准 (2)(p 2，0) x ＝－p2向右(3)(－p 2，0) x ＝p 2 向左 (4)(0，p 2) y ＝－p 2 向上 (5)(0，－p 2) y ＝p2 向下例题解析例1：解：因为抛物线的焦点坐标是(3，0)，所以得p =6.因此，所求抛物线的标准方程是y 2=12x ，准线方程是x =-3. 例2 解：由已知，得p =-3. 因此，所求的抛物线的标准方程是 y 2=6x ; 焦点坐标是( , 0);准线方程是x =-. 课堂检测 1．y ＝3【解析】抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3. 2．y ＝4x 23．解设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2.32p=3232。