二次函数求最值的三种方法

二次函数求最值的三种方法

一、引言

在学习高中数学时，我们会学到二次函数，并学习如何求出这个函数的最值。这是一个非常重要的问题，因为在实际生活中，很多问题都可以用二次函数来描述，例如：投射物的运动轨迹、拱桥的设计等。

为了更好地理解和掌握这一知识点，本文将分析三种常见的方法来解决二次函数求最值的问题。这些方法包括：

1.利用二次函数的顶点公式求最值

2.利用二次函数的导数公式求最值

3.利用求根公式解二次方程求最值

在下文中，我们将详细展开上述三种方法的整体流程并进行详细描述。

二、利用二次函数的顶点公式求最值

二次函数的标准形式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

我们可以通过求出顶点来确定二次函数的最值。我们知道，对于标准二次函数，其顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。使用这一公式，我们可以简单地找到二次函数的最值。

接下来，我们将细致地介绍如何使用顶点公式求二次函数的最值。

1. 将二次函数转换为标准形式。我们有一个二次函数y=2x²+4x-5，我们可以将其转换为y=2(x²+2x)-5。

2. 现在，我们可以通过分离平方项来找到二次项x²的系数a和一次项x的系数b。在本例中，二次项系数a为2，一次项系数b为4。

3. 接下来，我们可以使用顶点公式来计算出顶点的坐标。根据公式，顶点的横坐标为-b/2a，若b为正数，顶点为函数的最小值，反之为最大值。在本例中，由于一次项系数为正数，因此我们将使用公式-b/2a来计算横坐标。

(a) 横坐标=-b/2a=(-4)/(2*2)=-1

(b) 将横坐标代入原函数中，可得纵坐标f(-1)=2*(-1)²+4*(-1)-5=-7

(c) 顶点坐标为(-1,-7)。

4. 因其二次项系数为正数，所以这是一个开口向上的抛物线，并且其最小值为-7，在顶点的位置。

答案为f(x)=-7。

三、利用二次函数的导数公式求最值

另一种方法是使用二次函数的导数公式来确定最值。二次函数y=ax²+bx+c的导函数为y'=2ax+b。在最值点上，导数为0。我们可以使用这种方法解决二次函数的最值问题。

此方法的步骤如下所示：

1. 将二次函数转换为标准形式。同样，假设我们有一个函数f(x)=-3x²+5x+2，我们先将其变为y=-3(x²-(5/3)x)-2。

2. 找出导函数，即y'=2ax+b。在本例中，导函数为y'=-6x+5。

3. 将导函数设置为0，求出最值点的横坐标。在本例中，我们需要解出-6x+5=0，因此横坐标为x=5/6。

4. 确定最值。因我们发现二次项系数为负数，所以这是一个开口向下的抛物线，并且在最值点处会取得最大值。

将x=5/6代入原方程中，可得f(5/6)=(-3)*(5/6)²+5*(5/6)+2=3.305556。

答案为f(x)=3.305556。

四、利用求根公式解二次方程求最值

在某些情况下，我们也可以使用求根公式来解决最值问题。根据二次函数的解根公式，如果ax²+bx+c=0，则x=(-b±√(b²-4ac))/2a。将这一公式应用于最值问题中，我们可以通过求解f'(x)=0来确定函数的最值。

步骤如下所示：

1. 将二次函数转换为标准形式。仍假设我们有一个函数f(x)=6x²+12x-1，我们先将其变为y=6(x²+2x/3)-1。

2. 找出导函数f'(x)=12x+12并将其设置为0。解得x=-1。

3. 求出相应的y值。将x=-1代入f(x)中，可得f(-1)=6*(-1)²+12*(-1)-1=-19。

答案为f(x)=-19。

五、总结

通过本文，可以看到三种方法都是可以解决二次函数求最值的。在实际问题中，应根据特定的情况选择合适的方法。如果二次函数的顶点已知，则顶点公式是最方便和直接的方法。如果是目标函数是一个三次或更高次方程，那么求导和求根公式可能是更好的选择。