二次函数与最值问题(含答案)

二次函数与最值问题

1.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.

(Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标;

(Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为7

4

,最大值为4,求a,b应满足的条件;

(Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3,

得－9＋6(m－2)＋3=0,

解得m=3,

则二次函数为y=－x2＋2x＋3,

∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4,

∴顶点D的坐标为(1,4);

(Ⅱ)把y=7

4

代入y=－x2＋2x＋3中,

得7

4

=－x2＋2x＋3,

解得x1=－1

2

,x2=

2

5

,

又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4),

结合图象知－1

2

≤a≤1.

当a=－1

2

时,1≤b≤

2

5

,

当－1

2

＜a≤1时,b=

2

5

;

(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,

当x=0时,y=3,

∴点C坐标为(0,3).

当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:

①如解图①,当DC=DP时,

由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,

∴点P坐标为(2,3);

②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P, 过点D作x轴的平行线交y轴于点H,

过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,

∵HD=HC=1,PC=PD,

∴HP是线段CD的垂直平分线.

∵HD=HC,HP⊥CD,

∴HP平分∠MHN,

∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N, ∴PM=PN.

设P(m,－m2＋2m＋3),

则m=4－(－m2＋2m＋3),解得m=

25

3±

,

∴点P的坐标为(

2

5

3－

,

2

5

5＋

)(解图中未标记此点)或(

2

5

3＋

,

2

5

5－

);

③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.

综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(

25

3－

,

25

5＋

)或(

25

3＋

,

25

5－

).

图①图②图③

第1题解图

2.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a<0)过(m,b),(m＋1,a)两点,

(Ⅰ)若m=1,c=1,求抛物线的解析式;

(Ⅱ)若b≥a,求m的取值范围;

(Ⅲ)当b≥a,m＜0时,二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,求a的最大值. 解:(Ⅰ)∵m=1,c=1,

∴抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋1(a<0)过(1,b),(2,a)两点,

∴

1

421

a b b

a b a

++=

⎧

⎨

++=

⎩

,

解得

1

1

a

b

=-⎧

⎨

=

⎩

,

∴抛物线的解析式为y=－x2＋x＋1;

(Ⅱ)依题意得

2

2

(1)(1)

am bm c b

a m

b m

c a

⎧++=

⎪

⎨

++++=

⎪⎩

①

②

,

由②－①得b=－am, ∵b≥a,

∴－am≥a,

∵a＜0,

∴m≥－1;

(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b=－am,

代入①得am2－am2＋c=b,

∴c=b=－am,

∵b≥a,m＜0,

∴－1≤m＜0,

∵二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,

∴

2

4

4

ac b

a

-

=－2,

∴8

a

=m2＋4m,

∴8

a

= (m＋2)2－4,

∵－1≤m＜0,

∴－3≤(m＋2)2－4＜0,

∴a≤－8 3 ,

∴a的最大值为－8 3 .

3.平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2m2x＋2交y轴于A点,交直线x=4于B点. (Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);

(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;

(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(x p,y p),一定满足y p≤2,求m的取值范围.

∴抛物线的对称轴为直线x=m;

(Ⅱ)当x=0时,y=mx2－2m2x＋2=2,

∴点A(0,2).

∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,

∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,

∴m=2,

∴抛物线的解析式为y=2x2－8x＋2;

(Ⅲ)当m＞0时,如解图①,

∵A(0,2),

∴要使0≤x p≤4时,始终满足y p≤2,只需使抛物线y=mx2－2m2x＋2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.

∴m≥2;

当m＜0时,如解图②,

m＜0时,y p≤2恒成立.

综上所述,m的取值范围为m＜0或m≥2.