10 零状态 全响应 三要素

− t
∴
′ + i ′′ = ( 4 e − 10 t + 2 ) A i=i
di uL = L = − 24 e − 10 tV dt t〉0
t≥0
§3-4 一阶电路的三要素法
RC RL
uC = [uC (0+ ) − uC (∞)]e
− t
−
t
τ
+ uC (∞) = (U0 − U S )e
−
′ u C′ ：通解（自由分量，暂态分量） 通解（自由分量，暂态分量） t
′′ uC = A e
−
RC
变化规律由电路参数和结构决定
− t RC
′ ′′ 全解 u C = uC + uC = U S + A e
− t RC
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
∴ A= - US
uc = U S − U S e
二. RL电路的零状态响应 电路的零状态响应
k(t=0) US + R
iL
– L +
已知 解
iL(0-)=0
电感电流i 求: 电感电流 L(t)
t ≥0
t ≥0
uR
uL
–
R − t US iL = (1− e L ) R
R − t di uL = L = USe L dt
US R
iL US t 0
+ C
列方程： 列方程：
源自文库
+u –
uC
–
duC RC + uC = U S dt
非齐次线性常微分方程
齐次方程的通解 非齐次方程的特解
uC (0-)=0
' " 解答形式为： 解答形式为： uc = uc + uc
′ 特解（强制分量） ′ uC ：特解（强制分量） uC = US
与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为 与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为 强制分量 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量
解: (1)把RC支路以外的部分等效为戴维宁等效电路（求 支路以外的部分等效为戴维宁等效电路（ 把 支路以外的部分等效为戴维宁等效电路 Uoc、Req）； 、 ）； (2)求时间常数 ；注意：t=R总C 求时间常数t；注意： 求时间常数 （3）按零状态响应公式直接求出 和ic。 ）按零状态响应公式直接求出uc和 。 注意： 注意：此时 Us=Uoc
RC零状态响应电路 零状态响应电路 uC (0+)= uC (0-)=0 τ =RC
RL零状态响应电路 零状态响应电路 iL(0+)= iL(0-)=0
τ = L/R
− t RC
uC = US (1 - e
) t ≥0
R − t US iL = (1- e L ) R
t ≥0
US iC = e R
uC = U S + (U 0 − U S )e
− t
零输入+零状态 零输入 零状态
τ
t≥0
uC = U S (1 − e τ ) + U 0 e
−
t
−
t
τ
t≥0
电路响应与其工作状态 之间的关系
激励与响应的因果关系
根据需要任选其中的一种 RC电路 τ=RC 电路 RL电路 电路τ=L/R 电路
− t
t
τ
+ US
t≥0
U S −τt U S i L = [i L (0+ ) − iL (∞)]e τ + i L (∞) = ( I 0 − )e + R R
uL
0
t
小结： 小结： 1. 一阶电路的零状态响应是在零初始状态下，由外加激 一阶电路的零状态响应是在零初始状态下， 都是由零按指数规律上升到稳态值。 指数规律上升到稳态值 励引起的响应 。都是由零按指数规律上升到稳态值。
f (t ) = f (∞)(1 − e τ )
2. 上升的快慢取决于时间常数τ 上升的快慢取决于 快慢取决于时间常数 RC电路 τ = RC , RL电路 电路 电路
RC零输入响应电路 零输入响应电路 uC (0+)= uC (0-)≠0 τ =RC
RL零输入响应电路 零输入响应电路 iL(0+)= iL(0-) ≠0
τ = L/R
t − RC
uC = U0e
t ≥0
i L = I 0e
−
R t L
t ≥ 0
− R t L
iC = I0e
−
t RC
− t RC
t >0
强制分量(稳态 强制分量 稳态) 稳态
= U S (1 − e
−
t RC
)
i
( t ≥ 0)
自由分量(暂态 自由分量 暂态) 暂态
US
uc
uC'
t
US R
-US
uC"
0 t duC U S − RC i =C e = dt R
t
t ≥0
开关闭合,求 时的电压 和电流i 时的电压u 例 3-3-1 t=0时,开关闭合 求t>0时的电压 c和电流 c. 时 开关闭合 S 6 9V R1 + US – ic 3 R + 2F u C • –C • ic R2 3 Req + Uoc – 3 R + 2F u C • –C
f (t ) = f (∞)(1 − e τ )
=零输入响应 零状态响应 零输入响应+零状态响应 零输入响应
− t τ
−
t
只需求解出稳态值和时间常数即可。 只需求解出稳态值和时间常数即可。 全响应： 全响应：
？
f ( t ) = f ( 0 + )e
+ f ( ∞ )( 1 − e
−
t τ −
)
t τ
f ( t ) = f (0 + )e
−
t
τ
t>0
2. 衰减快慢取决于时间常数τ 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 τ = RC , RL电路 电路 电路
τ = L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 因此，只要求出初始值 和时间常数τ， 因此，只要求出初始值f(0+)和时间常数 ，即可根据公式直接写 和时间常数 再根据元件的VAR ，便可一求出其他 出uc、iL的零输入状态，再根据元件的 、 各个电压、电流。 各个电压、电流。 4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 一阶电路的零输入响应和初始值成正比 零输入线性
−
t RC
− t RC
t ≥0
t≥0
uL = USe
R − t L
R − t L
t ≥0
) t≥0
uR = U S e
uR = U S (1 − e
− t
f (t ) = f (∞)(1 − e τ )
零输入响应： 零输入响应：
f ( t ) = f ( 0 + )e
−
t
τ
只需求解出初始值和时间常数即可。 只需求解出初始值和时间常数即可。 零状态响应： 零状态响应：
求解零输入响应问题的步骤： 求解零输入响应问题的步骤： （1）通过换路前的稳态电路求电容电压、电感电流，由换路 ）通过换路前的稳态电路求电容电压、电感电流， 定则得到电压、电流的初始值； 定则得到电压、电流的初始值； （2）由换路后的电路求与动态元件相连的总电阻，即总的等 ）由换路后的电路求与动态元件相连的总电阻， 效电阻，从而求出电路的时间常数； 效电阻，从而求出电路的时间常数； （3）由RC零输入响应公式和 零输入响应公式求出各电 零输入响应公式和RL零输入响应公式求出各电 ） 零输入响应公式和 压、电流值； 电流值； （4）需画电压电流波形时，注意确定初始值和时间常数，以 ）需画电压电流波形时，注意确定初始值和时间常数， 及时间常数的大小和波形衰减的快慢。 及时间常数的大小和波形衰减的快慢。
R
i u C –C
uc +
K(t=0)
+u –
C (0 )=U0
R
R
i
C
=
US
+u –
+
全响应
+u –
uC
–
+
u
uC (0-)=0
− t − t
uC (0-)=U0
uC = U S (1 − e τ ) + U 0 e
零状态响应
τ
t≥0
US U0 0
零输入响应
零状态响应
t
零输入响应
暂态+稳态 暂态 稳态
解法二 全响应 i =零输入响应 ′+ 零状态响应i" 零输入响应i 零状态响应 零输入响应
i (0 − ) = i (0 + ) = 6 A
1.
i ′ = 6 e − 10 t A t ≥ 0 ( f ( t ) = f ( 0 + )e
− t
τ = 0.1s
i (∞ ) = 2 A
τ
)
′′ = 2(1 − e −10 t ) A t ≥ 0 2. i ( f ( t ) = f (∞ )(1 − e τ ))
自由分量(暂态解 自由分量 暂态解) 暂态解
uc US U0 0 U0 -US 稳态解(稳态响应分量 是t=∞时电路进入稳态时的uc值,其 稳态解 稳态响应分量):是 ∞时电路进入稳态时的u 稳态响应分量 变化规律是由输入激励决定的. 变化规律是由输入激励决定的. 暂态解(暂态响应分量 按指数规律逐渐衰减 暂态解 暂态响应分量):按指数规律逐渐衰减 最终趋近于 暂态响应分量 按指数规律逐渐衰减,最终趋近于 其变化规律与输入激励无关,决定于电路结构和参数 零,其变化规律与输入激励无关 决定于电路结构和参数 其变化规律与输入激励无关 决定于电路结构和参数.
一阶电路的零状态响应(zero state response) §3-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应： 零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用 下产生的响应(excited response) 下产生的响应 一. RC电路的零状态响应 电路的零状态响应 K(t=0) US R
R
i
R
i
C
+u –
uC
–
duC RC + u C = U S 非齐次方程 dt +
uC = U S + Ae
−
t
τ
uC (0-)= uC (0+)= U0
由起始值定A 由起始值定 ∴ A=U0 - US
uC = U S + (U 0 − U S )e
强制分量(稳态解 强制分量 稳态解) 稳态解
− t
τ
t≥0
t>0
u L = − RI 0 e
u R = RI 0 e
− t
−
t>0
t >0
u R = U 0e
R t L
f ( t ) = f ( 0 + )e
τ
小结： 小结： 1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数 指数衰减函数。 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
t − duc 1 i =C = (US − U0 )e τ dt R
uC'
uc t
稳态解 全解
uC"
暂态解
t〉 0
uR = Ri = (U S − U0 )e − τ
t
t〉0
}
稳态分量为零
2. 全响应 零状态响应 + 零输入响应 全响应= K(t=0) US R
R
i
C uC – +
K(t=0)
R
= f ( ∞ ) + [ f ( 0 + ) − f ( ∞ ) ]e
一阶电路的全响应(complete response) §3-4 一阶电路的全响应
全响应： 全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应 一阶电路的全响应及其两种分解方式 1. 全解 =暂态响应分量 稳态响应分量 暂态响应分量+稳态响应分量 暂态响应分量 K(t=0) US R
uC = US + (U0 − US )e
i =C
τ
t ≥0
− t
US US −τt iL = )e + (I0 − R R
− diL uL = L = (US − RI0 )e τ dt t
t ≥0
t〉 0
duc 1 = (US − U0 )e dt R
τ
t〉0
uR = Ri = (US −U0 )e−τ
−
t
τ = L/R
因此，只要求出 ∞ 或 ∞ 和 ，根据公式直接写出u 、 因此，只要求出u(∞)或i(∞)和τ，根据公式直接写出 c、iL的零 再根据元件的VAR ，便可一求出其他各个电压、电流。 便可一求出其他各个电压、电流。 状态，再根据元件的 3. 一阶电路的零状态响应和激励成正比，称为零状态线性。 一阶电路的零状态响应和激励成正比，称为零状态线性 零状态线性。
t
t〉0 uR = (RI0 −US )e
t −τ
+ US
t〉 0
开关S打开前已稳定 打开前已稳定.在 时 将开关 断开,求开关 将开关S断开 求开关S断开 例 3-4-1 开关 打开前已稳定 在t=0时,将开关 断开 求开关 断开 后电路中的电流i及电感电压uL. i • 暂态响应i 稳态响应i 解法一 全响应 i =暂态响应 h + 稳态响应 p 暂态响应 + R2 US S t _ − t + − ih = Ae τ t ≥ 0 ∴ i = Ae τ + 2 R1 uL L _ •
US 12 ip = = = 2A R1 + R2 2 + 4
由初始值求Ａ： 由初始值求Ａ： i ( 0 − ) = 6 = i ( 0 + ) = A + 2
Ａ＝４ Ａ＝４
L τ = = 0 .1 s R1 + R 2
i = (4e
−10 t
+ 2) A t ≥ 0
di uL = L = −24e −10tV t 〉 0 dt