人教版高中物理选修3-4教学案：第十一章 第4节 单 摆-含解析

第4节单_摆一、单摆单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，实验中尽量选择质量大、体积小的小球和尽量细不可伸长的线。

二、单摆的回复力1．回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

2．回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg l x 。

3．单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律。

三、单摆的周期1．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响 (1)探究方法：控制变量法。

1.在摆角小于5°的情况下，单摆的自由振动是简谐运动。

2．单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线。

3．单摆的回复力是由摆球的重力沿运动方向的分力提供，与摆球偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置。

4．荷兰物理学家惠更斯首先提出单摆的周期公式T ＝2πlg，利用周期公式可以测定当地的重力加速度。

(2)实验结论①单摆振动的周期与摆球的质量无关。

②振幅较小时，周期与振幅无关。

③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。

2．定量探究单摆的周期与摆长的关系(1)周期的测量：用停表测出单摆N (30～50)次全振动的时间t ，利用T ＝tN 计算它的周期。

(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l 0，用游标卡尺测出小球直径D ，利用l ＝l 0＋D2求出摆长。

(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T -l 、T -l 2或T -l 图像，得出结论。

3．周期公式(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。

(2)公式：T ＝2πlg ，即T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反比。

4．周期公式的应用由单摆周期公式可得g ＝4π2lT 2，只要测出单摆的摆长l 和周期T 就可算出当地的重力加速度。

1．自主思考——判一判(1)制作单摆的细线弹性越大越好。

(×) (2)制作单摆的细线越短越好。

(×) (3)制作单摆的摆球越大越好。

(×)(4)单摆的周期与摆球的质量有关，质量越大，周期越小。

(×) (5)单摆的回复力等于摆球所受合力。

(×) 2．合作探究——议一议(1)由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？提示：不是。

摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a ∝Fm ，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由T ＝2πlg 决定，与摆球的质量无关。

(2)多多观察，写出生活中你能遇到哪些单摆模型。

提示：坐钟、牛顿摆、秋千等。

1．单摆的回复力图11-4-1(1)单摆受力：如图11-4-1所示，受细线拉力和重力作用。

(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。

(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力。

2．单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sin θ≈xl，又回复力F＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F＝－mgl x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。

1．下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是()A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力C．单摆经过平衡位置时合力为零D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力解析：选B单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，故选项A错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，D 错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误。

2.一单摆做小角度摆动，其振动图像如图11-4-2所示，以下说法正确的是( )图11-4-2A ．t 1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大B ．t 2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C ．t 3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小D ．t 4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大解析：选D 在t 1时刻和t 3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，A 、C 均错误；在t 2时刻和t 4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为零，故B 错误，D 正确。

1．摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l ＝L ＋d2，L 为摆线长，d 为摆球直径。

(2)等效摆长。

图11-4-3(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l ·sin α，这就是等效摆长，其周期T ＝2πl sin αg。

图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。

图11-4-32．重力加速度g若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即g ＝GMR2，式中R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。

另外，在不同星球上M 和R 也是变化的，所以g 也不同，g ＝9.8 m/s 2只是在地球表面附近时的取值。

[典例] 有一单摆，其摆长l ＝1.02 m ，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t ＝60.8 s ，试求：(1)当地的重力加速度是多大？(2)如果将这个单摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？ [思路点拨](1)单摆的周期T 与t 的关系：T ＝tn 。

(2)秒摆的周期为2 s 。

[解析] (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T ＝2πl g ，由此可知g ＝4π2l T 2，只要求出T 值代入即可。

因为T ＝t n ＝60.830 s ＝2.027 s ，所以g ＝4π2lT 2＝4×3.142×1.022.0272m/s 2＝9.79 m/s 2。

(2)秒摆的周期是2 s ，设其摆长为l 0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：T T 0＝ll 0，故有：l 0＝T 02l T 2＝22×1.022.0272m ＝0.993 m 。

所以其摆长要缩短Δl ＝l －l 0＝1.02 m －0.993 m ＝0.027 m 。

[答案] (1)9.79 m/s 2 (2)缩短 0.027 m计算单摆的周期的两种方法计算单摆的周期有两种方法，一是依据T ＝2πl g ，二是根据T ＝tN 。

第一种方法利用了单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长。

第二种方法利用了粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t 和N ，但利用该种方法计算周期，会受到时间t 和振动次数N 测量的准确性的影响。

1．甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲>α乙(α甲、α乙都小于5°)，在同一地点由静止开始同时释放，则( )A ．甲先到达平衡位置B ．乙先到达平衡位置C ．甲、乙同时到达平衡位置D ．无法判断解析：选C 由单摆的周期公式T ＝2πlg，可知周期T 与l 、g 有关，与质量、摆动的幅度无关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故同时释放，同时到达平衡位置。

2．一个单摆，在第一个行星上的周期为T 1，在第二个行星上的周期为T 2，若这两个行星的质量之比为M 1∶M 2＝4∶1，半径之比R 1∶R 2＝2∶1，则( )A ．T 1∶T 2＝1∶1B ．T 1∶T 2＝4∶1C ．T 1∶T 2＝2∶1D ．T 1∶T 2＝1∶2解析：选A 单摆的周期公式为T ＝2πl g ，同一单摆即有T ∝1g，又据万有引力定律mg ＝G Mm R 2，有g ＝GMR 2，因此T ∝R 2M，故T 1∶T 2＝R 12M 2M 1R 22＝4×14×1＝1∶1，故A 正确。

3.一个单摆的摆长为l ，在其悬点O 的正下方0.19 l 处有一钉子P (如图11-4-4所示)，现将摆球向左拉开到A ，使摆线偏角θ<5°，放手后使其摆动，摆动到B 的过程中摆角也小于5°，求出单摆的振动周期。

图11-4-4解析：释放后摆球到达右边最高点B 处，由机械能守恒可知B 和A 等高，则摆球始终做简谐运动。

单摆做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。

小球在左边的周期为T 1＝2πl g 小球在右边的周期为T 2＝2π 0.81l g则整个单摆的周期为T ＝T 12＋T 22＝πl g ＋π0.81 lg ＝1.9πl g 。

答案：1.9πl g1．实验原理单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可以看成是简谐运动。

其固有周期为T＝2πl g，由此可得g＝4π2lT2。

据此，只要测出摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度值。

2．实验器材摆球1个(穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或钢卷尺、游标卡尺、细线等。

3．实验步骤(1)做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结。

然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记。

(2)测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量出摆球的直径d，则单摆的摆长l＝l线＋d 2。

(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过最低位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期T＝t N。

(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。

4．数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g值，最后求出g的平均值。

设计如下所示实验表格(2)图像法：由T＝2πlg得T2＝4π2g l，作出T2-l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴。

其斜率k＝4π2g，由图像的斜率即可求出重力加速度g。

图11-4-55．误差分析(1)系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。

即：悬点是否固定，摆球是否可看做质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。

只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到忽略不计的程度。

(2)偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上。

因此，要注意测准时间(周期)。

要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0,1,2，…在数“零”的同时按下秒表开始计时。