人教版高中物理选修3-4教学案：第十一章 第4节 单 摆-含解析

第4节

单_摆

一、单摆

单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，实验中尽量选择质量大、体积小的小球和尽量细不可伸长的线。

二、单摆的回复力

1．回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

2．回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg l x 。

3．单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律。 三、单摆的周期

1．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响 (1)探究方法：控制变量法。

1.在摆角小于5°的情况下，单摆的自由振动是简谐运动。 2．单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，

摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线。 3．单摆的回复力是由摆球的重力沿运动方向的分力提供，

与摆球偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置。

4．荷兰物理学家惠更斯首先提出单摆的周期公式T ＝2π

l

g

，利用周期公式可以测定当地的重力加速度。

(2)实验结论

①单摆振动的周期与摆球的质量无关。 ②振幅较小时，周期与振幅无关。

③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。 2．定量探究单摆的周期与摆长的关系

(1)周期的测量：用停表测出单摆N (30～50)次全振动的时间t ，利用T ＝t

N 计算它的周期。

(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l 0，用游标卡尺测出小球直径D ，利用l ＝l 0＋

D

2求出摆长。

(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T -l 、T -l 2或T -l 图像，得出结论。

3．周期公式

(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T ＝2πl

g ，即T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成

反比。

4．周期公式的应用

由单摆周期公式可得g ＝4π2l

T 2，只要测出单摆的摆长l 和周期T 就可算出当地的重力加

速度。

1．自主思考——判一判

(1)制作单摆的细线弹性越大越好。(×) (2)制作单摆的细线越短越好。(×) (3)制作单摆的摆球越大越好。(×)

(4)单摆的周期与摆球的质量有关，质量越大，周期越小。(×) (5)单摆的回复力等于摆球所受合力。(×) 2．合作探究——议一议

(1)由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？

提示：不是。摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a ∝F

m ，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由T ＝2π

l

g 决定，与摆球的质量无关。

(2)多多观察，写出生活中你能遇到哪些单摆模型。

提示：坐钟、牛顿摆、秋千等。

1．单摆的回复力

图11-4-1

(1)单摆受力：如图11-4-1所示，受细线拉力和重力作用。

(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。

(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力。2．单摆做简谐运动的推证

在偏角很小时，sin θ≈x

l，又回复力F＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F＝－

mg

l x(式中

x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。

1．下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是()

A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力

B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

C．单摆经过平衡位置时合力为零

D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

解析：选B单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，故选项A错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，D 错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C

错误。

2.一单摆做小角度摆动，其振动图像如图11-4-2所示，以下说法正确的是( )

图11-4-2

A ．t 1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大

B ．t 2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

C ．t 3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小

D ．t 4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

解析：选D 在t 1时刻和t 3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，A 、C 均错误；在t 2时刻和t 4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为零，故B 错误，D 正确。

1．摆长l

(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l ＝L ＋d

2，

L 为摆线长，d 为摆球直径。

(2)等效摆长。

图11-4-3(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l ·sin α，这就是等效摆长，其周期T ＝2π

l sin α

g

。 图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。

图11-4-3

2．重力加速度g

若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即g ＝GM

R

2，