第三节隐函数的导数与取对数求导法

等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
一般地
7：由方程 xy tan(x
n
dy y)所确定的隐函数y的导数 dx
/
8 : 设 y x cos x x 1 , 则 y .
二：求下列函数的导数:
3 1 1：y= x 0.1x 2 e 2 x
2 : y x4 sin 3x
4 : y ln[sin(2 x 5)]
解 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
y x2 y 3 3 2 1. ( , ) y x 22 3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
三、由参数方程所确定的函数的导数
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
(2) y f (sin 2 x) f (cos2 x) x a cost 五：求椭圆 在t 处的切线方程。 4 y b sin t
第三节
隐函数的求导与 取对数求导法
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数 .
一． 填空题： 1、 设 y x sin x ，则 y = __________. 2 dy 2、 设 y 3a x e x ，则 =__________. x dx dy x 2 3、 设 y e ( x 3 x 1) ,则 = __________. dx x 0 4、 设 y 2 tan x sec x 1,则 y =_________. 3 x2 5、 设 , 则 y f ( x) 5 x 5 f (0) =________. 6、 曲线 y sin x 在 x 0 处的切线 与 x 轴 正向 2 的夹角为_________.
dy e x y 解得 , y dx x e
dy dx
x0
由原方程知 x 0, y 0,
1.
ex y xey
x0 y0
例2 设曲线C的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点 .
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
y x
sin x
.
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x)
的情形.
( x 1)3 x 1 例4 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得
3: y sin(3x 1) 1 2x
3x 5 : y 2 x x arctan 2
3
6: y x x x x
a bx 8 : y ln a bx
3
5 x 3x x 7: y x
2
9: y 9
x 2 3 x
log a [cos(5 3x )]
代入 x 0, y 1, y
x0 y 1
1 得 y 4
x0 y 1

1 . 16
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 观察函数 y , 2 x ( x 4) e
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
3 3 ( , ) 2 2
例3 设 x 4 xy y 4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
解 方程两边对x求导得
3 4 x y xy 4 y y 0 3
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(1)
1 ; 4
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
将方程(1)两边再对x求导得
12 x 2 2 y xy 12 y 2 ( y)2 4 y 3 y 0
x(1 x)2 10 : y (1 x)3
x2 x 1 三：设函数 f ( x) x 1 ax b a, b 为了使函数 f ( x)在 x 1 处连续且可导， 应取什么值？
四：设 f ( x)可导，求下列函数
(1) y f (sin 2 x)
y
dy 的导数 dx