第二章 材料科学研究中的数学模型

第一节 数学模型基础 一.基本概念 如在物理学中，力学的牛顿三定律，电子学 中的基尔霍夫定律，马尔萨斯的人口模型。 通常把客观存在的事物及其运动形态统称为实 体，模型则是对实体的特征及其变化规律的一种表示 或抽象。
数学模型就是利用数学语言对某种事物系 统的特征和数量关系建立起来的符号系统。
数学模型是有目的的对客观所做的一种抽象模 拟，它是数学公式、数学符号、程序、图表等刻画客 观事物的本质属性与内在联系，是对现实世界的抽 象，简化而又本质的描述。
激光冲击应力为一维平面波，在激光冲击区取一个微体积 元，仅在x方向考虑被压缩，即冲击波沿X方向传播，考虑应力 和应变的关系，为保持x的单轴应变条件而假设y= z,形变 侧面Y、Z方向尺寸不变，X方向有弹塑性变形，激光冲击后弹 性变形恢复不完全，导致了残余应力的产生。
x y
x
X0
y
x
2.根据Mises屈服准则有：
其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆 脱原来的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源 和前提条件，这是建立模型最关键的一步。
对模型的抽象、简化不是无条件的，必须按照假设的合理性 原理进行，假设合理性原则有以下几点： (1) 目的性原则 从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化那些与建模无 关的或关系不大的因素。 (2) 简明性原则 所给出的假设条件要简单、准确，有利于构造模型。 (3) 真实性原则 假设要科学，简化带来的误差应满足实际问题所能允许 的误差范围。 (4) 全面性原则 对事物原型本身作出假设的同时，还要给出原型所处的 环境条件。
x-y|b
在弹性范围内，应力与应变的关系为：
x=+2x y=+2y z=+2z
式中：＝
（１）
质约束， x＝（V0-V)/V, y =z=0,V是体积，
x＋ y＋z，因为是单轴变形，侧面受到介
＝／2(+u)，和u是材料的拉梅常数，是泊松比。
二．数学模型的分类 1）按照对实体的认识过程来分，数学模 型可以分为描述性数学模型和解释性数学模型。
描述性模型是从特殊到一般，从分析具体客观事物 及其状态开始，最终得到一个数学模型。 解释性数学模型是由一般到特殊，从一般的公理系 统出发，借助数学壳体，对公理系统给出正确解释。
2）按照建立模型的数学方法分，可以分为 初等模型，图论模型，规划论模型，微分方程 模型，最优控制模型，随机模型，模拟模型。
5. 模型分析
根据建模目的要求，对模型求解的数字结果， 或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分 析、误差分析。通过分析，如果不符合要求，就修 改或增减建模假设条件，重新建模。 如果通过分析符合要求，还可以对模型进行评 价、预测、优化等方面的分析和探讨。
6.模型检验
模型分析符合要求之后，还必须回到客观实 际中去对模型进行检验，看是否符合客观实际。
其中b为参量；
在玻璃（K9)的约束层的条件下，激光冲击 产生的峰压可以估算为：

Pmax=0.2871/3(A.q0)2/3 如果有max=pmax代入公式（４） x=pmaxe-bx y=
1- (5)
pmaxe-bx
显然该式(5)所表达的是Pmax未卸载时残余 应力的情形。令x=0，取Pmax＝2.8GPa，
随机模型是根据概率论的方法讨论描述随机现象 的数学模型。例如描述高分子材料链式化学反应的数 学模型。 模拟模型是用其他现象或过程来描述所研究的现 象或过程，用模型的性质来代表原来的性质。例如采 用非牛顿流体力学和流变学来描述高聚物加工过程、 建立液晶高分子材料本构方程。
3）按照模型的应用领域分为人口模型、 交通模型等。 4）按照模型的特征分，可分为静态模型 和动态模型、确定性模型和随机模型、离散 模型和连续性模型、线性模型和非线性模型 等。
3.构造模型
在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的内 容，首先区分哪些是常量、哪些是变量，哪些是已知 的量，哪些是未知的量，然后查明各种量所处的地 位、作用和它们之间的关系，选择适当的数学工具和 构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题
的数学模型。
4．模型求解
构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分 析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解 模型的数学方法和算法，然后编写计算机程序或运 用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模 型的求解。
一般采用的建模基本步骤如下：
1. 建模准备
建模准备是确立建模课题的过程，就是要了 解问题的实际背景，明确建模的目的。掌握与课题 有关的第一手资料，汇集与课题有关的信息和数 据，弄清问题的实际背景和建模的目的，进行建模 筹划。
2.建模假设
建模假设就是根据建模的目的对原型进行适当的
抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及
目前，人们对残余应力的测试一般采用的是一种破坏 性的测试方法，而这种方法极大的防碍了激光冲击强化技术 在工程中的应用，造成大量人力物力的浪费，增加了生产的 成本，限制了人们对被加工性能的有效控制。 Shock wave 激光冲击的基本力学模型：
弹性形变 塑性形变

１. 假设：
1) 假设在微秒时间内结构在厚度方向上所有质量都受到波 及，而结构塑性动力响应通常需要经历毫秒以至更长时间才 会达到结构的最大形变； ２）假设被冲击的工件材料为理想的刚塑性材料； ３）激光冲击压力为GPa;
在塑性变形状态，应变增量是弹性和塑性增量之和。
因而在X方向有：
dx=dxe+dxp
因为不存在塑性膨胀，所以有
dxp＋ dyp +dzp =0
微元体中的残余应力是弹性和塑性应变引起的， dx=d+2(dxe+dxp) dy=d+2（dye+dyp） dz=d+2(dze+dzp）
第二节 建立数学模型的一般步骤和原则
数学模型的建立，简称数学建模。数学 建模是构造刻画客观事物原型的数学模型并 用以分析、研究和解决实际问题的一种科学 方法。
运用这种科学方法，必须从实际问题出发，紧紧围绕 建模的目的，抽象，简化，逐步完善，直到构造出一个能够 用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。是一种定量解 决实际问题的科学方法，还是一种从无到有的创新活动过 程。
第二章 材料科学研究中的数学模型

数学模型是数学科学连接其他非数学学 科的中介和科学研究的有力工具。数学建 模是一种具有创新性的科学方法，它将现 实问题简化，抽象为一个数学问题或数学 模型，然后用适当的数学方法求解，进而 对现实问题进行定量分析和研究，最终达 到解决实际问题的目的。 本章将介绍数学模型的基本概念，建立 数学模型的基本步骤、原则和方法。
＝0.29，则b不论取何值，y=-1.12GPa，这显然与实际测 量值y=-400MPa相去甚远，因此必须对式（５）加以修 正。 首先，由弹性力学原理可知： ＝ ／ E 因此，材料的弹塑性形变与弹性模量关系较大，材料受到 相同外力作用时，弹性模量大的材料，弹塑性形变小；因此 有：
yE
7. 模型应用
模型应用是数学建模的目的。一个成功的数学模 型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解 决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中特殊 作用。
以上介绍的数学建模基本步骤应该根据具体问题灵活应 用，或交叉进行，或平行进行，不必拘泥于一种模式，最大限 度地发挥主观能动性和聪明才智。
实例：激光冲击残余应力的估算
（6)
其次，由冲击动力学原理可知，，当材料的冲击变形深度 相同时，材料本身的弹性模量大，屈服极限高，冲击波对材 料产生的残余应力的影响就深。如果材料本身弹性模量小， 局部极限低，冲击波对材料产生的残余应力深度就浅。 因此有：

结合（４）（５）（６）（７）
ye-bx/E
(7)
x EPmaxe-bx/E y E
二、模拟方法
模型的结构和性质已经了解，但其数量及其求 解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性质与其 相同，而且构造出的模型也类似，就可以把后一种模 型看成是原来模型的模拟，而对后一个模型去分析或 实验并求得其结果。 分为：实验模型来模拟理论模型和简单理论模型来 模拟分析较复杂理论模型。
（２）
激光冲击应力作用后，在冲击强化区的r，z 方向上由弹性应力引起的弹性变形难以完全 恢复，所以，在激光冲击区形成残余应力，于是可 得简单算式： (3) y= 1- x

实际上x是随冲击应力波的衰减而变化，故残余 应力y也是随x的变化而变化，设： x e-x
有x=maxe-bx (4)
1- (8)
Pmaxe-bx/E
然而此时，还需使公式（８）满足边界条件X=0时， 解决y与实际残余应力值相差太远的问题，因此还必须在
公式（８）中加入一个系数K,即：
x=EkPmaxe-bx/E y=Ek 1- Pmaxe-bx/E

(9)
公式(9)较好地反映了材料受到激光冲击作用时的综合力学 性能与残余应力之间的关系，只需代入相应的参数并利用相 应的实验数据对式(9)进行拟合，从而求得K和b，就可以拟 合出激光冲击强化工作产生的残余应力的一般计算公式。
z
(2)熔体为不可压缩的流体，即其熔体密度保持不 变； (3) 熔体在毛细管中的流动为充分发展流动； (4)毛细管内的温度沿全长不变，即聚合物熔体为等 温流动； (5) 熔体流动为轴向层流，z向为流动方向，z 向的 速度uz不为零，r与方向的速度为零，即 ur=u=0； (6) 熔体在流道壁面上r=R处没有滑动，即当r=R 时，uz=0； (7) 重力可以忽略； 根据以上假设，可知聚合物熔体挤出过程中的流 场具有以下分布形式： Uz=uz(r,z)

利用45钢试样的一组残余应力数据对式（9) 进行拟合，从而求得K=2.3x10-6(MPa)-1;
b=2.16x108(MPa/m)，将所得的k,b数据代入公式 （9）得到激光冲击强化残余应力的一般估算经验公 式： x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x10 x/E