材料力学 8 组合变形及连接部分的计算

B
C
1kNm 2kNm
D
x
+
2kNm 1kNm
解:(1)画内力图，确定 (1)画内力图， 画内力图 危险截面: 危险截面:
M By = 2kNm, M Cy = 1kNm,
M Bz = 1kNm
M Cz = 2 kNm
x C D
A
B
而 W y = 1 bh 2 , 6
Wz = 1 b 2 h 6 16
q y = q sin α = 700 × 0.438 = 307 N/m
y
q z = q cos α = 700 × 0.899 = 629N/m
q
α=26°
z
②、内力分析——求Mzmax、Mymax 内力分析——求 ——
307 × 3 2 M z max = = = 345.4Nm 8 8 2 qz L 629 × 3 2 M y max = = = 707.6Nm 8 8
9
若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置， 若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直 接根据梁的变形情况， 接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点 的位置。 的位置。 D D
1 1
z D2 y
中性轴
z D2 y 中性轴
强度条件： 强度条件：
（ ）若 [σ t ] = [σ c ] = [σ ], 则 1
Fy = F cos ϕ = 25 cos15 = 21.4kN
o.
Fz = F sin ϕ = 25 sin 15o = 6.47 kN
14
M z max
Fy l 24.1× 4 = = = 24.1kNm 4 4
M y max
Fz l 6.47 × 4 = = = 6.47kNm 4 4
28a号工宇钢的抗弯截面模量 号工宇钢的抗弯截面模量
例8-2-1 矩形截面木檩条如图，跨长L=3m，h=2b， 矩形截面木檩条如图，跨长 ， ， 受集度为q=700N/m的均布力作用， [σ]=10MPa，容 的均布力作用， 受集度为 的均布力作用 ， 许挠度[ 许挠度[w]=L/200 ，E=10GPa，试选择截面尺寸并校 ， 核刚度。 核刚度。 外力分析——分解q ——分解 解：①、外力分析——分解
sin ϕ cos ϕ z− y) Iy Iz
二、中性轴的位置 是中性轴上任一点，则有： 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为 轴的夹角为α，则有： 设其与 轴的夹角为 ，则有：
y0 I z tan α = = tan ϕ z0 I y
Fy l 3 Fl 3 cos ϕ wy = = 3EI z 3EI z
中性轴
wz
βφ
α wy y
z
的挠度为 自由端处由F 引起的挠度 自由端处由 z引起的挠度为：
Fz l 3 Fl 3 sin ϕ wz = = 3EI y 3EI y
w F
则，自由端处由F引起的总挠度为： 引起的总挠度 自由端处由 引起的总挠度为
A Tx C _ 52kN 20kN·m
σ max
（2）若 [σ t ] ≠ [σ c ], 则
σ t ,max ≤ [σ t ] ,
M z max M y max sin ϕ cos ϕ = M max ( z1 − y1 ) = + ≤ [σ ] Iy Iz Wz Wy
σ c,max ≤ [σ c ]
10
四、挠度的计算 自由端处由F 引起的挠度为： 自由端处由 y引起的挠度为：
此梁满足强度要求。 此梁满足强度要求。
15
两端铰支矩形截面梁， 例8-2-3 两端铰支矩形截面梁，其尺寸 h=80mm , b=40mm, 校核梁的强度。 [σ ] = 120MPa , 校核梁的强度。 z z A B y
30kN
y C
30kN 100mm
D
h b
x
100mm 100mm
A
My Mz
(2)校核强度: (2)校核强度: 校核强度
σ B max
M By M Bz M By M Bz = + = + 2 Wy Wz bh hb 2 6 6 3 2 × 10 × 6 + 1 × 10 3 × 6 = 2 −9 2 − 9 = 93 .75 MPa 40 × 80 × 10 80 × 40 × 10
述
组合变形： 一、组合变形： 由两种或两种以上基本变形组合而成 的变形，称为组合变形（ 的变形，称为组合变形（combined deformation) )
P
R
P z x
P
Ｍ
y
P
hγ
4
P
q
γh
水坝
5
——先分解而后叠加 二、组合变形的研究方法 ——先分解而后叠加 具体步骤： 具体步骤： 外力分析，确定基本变形： ① 外力分析，确定基本变形：将外力分解为几组与之 静力等效的简单载荷，确定基本变形； 静力等效的简单载荷，确定基本变形； ② 内力分析，确定危险截面：求每个外力分量对应的 内力分析，确定危险截面： 内力并画内力图，确定危险面； 内力并画内力图，确定危险面； 应力分析，确定危险点：画危险面应力分布图， ③ 应力分析，确定危险点：画危险面应力分布图， 确定危险点，叠加求危险点应力； 确定危险点，叠加求危险点应力； 强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度计算。 ④ 强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度计算。
Wz = 508cm3 , Wy = 56.6cm3
σ max
M x max M y max 24.1× 103 6.47 × 103 = + = + −2 3 Wz Wy 508 × (10 ) 56.6 × (10 − 2 ) 3 = (47.4 + 114.3) ×10 6 = 161.7 MPa < [σ ]
故，梁安全。 梁安全。
17
§8 - 3
拉伸(压缩)与弯曲 拉伸(压缩)
F2 F1 轴向力 和横向 力同时 作用 偏心压缩
工程实际中，常遇到如下受力的构件： 工程实际中，常遇到如下受力的构件：
l 偏心拉伸 F M F F FM y Mz
y z
18
一、轴向力和横向力同时作用
F2 z x y l F1 x
§8 - 2
两相互垂直平面内的弯曲

斜弯曲：杆件产生弯曲变形后， 斜弯曲：杆件产生弯曲变形后，杆轴线不再位于外力 作用平面内。 作用平面内。 一、正应力的计算 ： 1、将外载沿横截面的两个形心主轴分解，得: 将外载沿横截面的两个形心主轴分解，
Fy = F cos ϕ ,
Fz = F sin ϕ
M z = F y (l − x ) = F (l − x ) cos ϕ = M cos ϕ M y = Fz (l − x ) = F (l − x ) sin ϕ = M sin ϕ
M y z M sinϕ σ′ = = z Iy Iy
σ ′′ = −
Mzy M cosϕ =− y Iz Iz
引起的应力为： 则，F引起的应力为： σ = σ ′ + σ ′′ = M ( 引起的应力为
另外， 的正负号可由M 另外，σ ′和σ ′′ 的正负号可由 y和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。 还是压直接判断。
h = 2b = 118.8mm
3 × (2M z + M y ) b≥ = 59.4mm 2[σ ]
3
⑤、校核刚度
wmax = w
2 y max
+w
2 z max
5L4 ( q y ) 2 + ( q z ) 2 = 384 E I z Iy
13
= 1.44 × 10 − 2 m ≤ [ w] = L = 1.5 ×10 − 2 m 200
7
2、梁任意截面上的弯矩为： 梁任意截面上的弯矩为：
z y z
O
x
x l
Fz F
φF y y
O
z y
A
z Fz F
z φF y y
x
M z = M cos ϕ
M y = M sin ϕ
x
y
l My引起 的应力： 引起A的应力 的应力： Mz引起 的应力： 引起A的应力 的应力：
考虑坐标符号） 3、梁截面上任一点A（y,z）的应力为（考虑坐标符号）： 梁截面上任一点 （ ）
M Cy M Cz = + Wy Wz
M Cz σ C max = + 2 bh hb 2 6 6 1 × 10 3 × 6 + 2 × 10 3 × 6 = = 117 .19 MPa 2 −9 2 −9 40 × 80 × 10 80 × 40 × 10
M Cy
∴ σ max = σ C max = 117 .19 MPa < [σ ] = 120 MPa
sin ϕ cos ϕ z0 − y0 ) = 0 σ = M( Iy Iz
Fz φ
D2
D1
α
z
F
中性轴 Fy y
可见，中性轴的位置并不依赖于力F的大小，而只与力 可见，中性轴的位置并不依赖于力 的大小， 的大小 F和形心主轴 y 的夹角以及截面几何形状和尺寸有关。 和形心主轴 的夹角以及截面几何形状和尺寸有关。 三、最大正应力和强度条件 在中性轴两侧，距中性轴最远的点为最大拉、压应力点。 在中性轴两侧，距中性轴最远的点为最大拉、压应力点。 σ 图中D 两切点应力最大： 图中 1、 D2两切点应力最大： t ,max = σ D1 , σ c,max = σ D 2 应力分布如图所示： 应力分布如图所示：