单调性与最值(教师版)
单调性与最值教案
单调性与最值教案教案标题：单调性与最值教学目标：1. 理解函数的单调性及其在数学中的应用；2. 掌握函数的最值的概念和求解方法；3. 能够运用单调性和最值的概念解决实际问题。
教学重点：1. 函数的单调性的定义和判断方法；2. 函数的最值的概念和求解方法。
教学难点：1. 如何利用函数的单调性确定函数的最值；2. 如何将单调性和最值的概念应用于实际问题的解决。
教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、教学PPT；2. 学生准备：笔、纸、教材。
教学过程：Step 1: 引入知识 (5分钟)教师通过引发学生对单调性和最值的思考，提出以下问题：- 你们对函数的单调性有什么了解？- 你们知道如何求函数的最值吗？- 单调性和最值在数学中有什么应用？Step 2: 讲解单调性 (15分钟)教师通过PPT或板书的形式，讲解函数的单调性的定义和判断方法，并通过示例演示如何判断函数的单调性。
Step 3: 讲解最值 (15分钟)教师通过PPT或板书的形式，讲解函数的最值的概念和求解方法，并通过示例演示如何求函数的最值。
Step 4: 综合运用 (20分钟)教师通过实际问题的讲解，引导学生运用单调性和最值的概念解决问题。
学生可以配合教师的指导，尝试自己解决问题，并与同学进行讨论。
Step 5: 拓展应用 (10分钟)教师提供更复杂的问题，要求学生运用所学的单调性和最值的知识进行解决。
学生可以结合实际情境，进行分组讨论和解答。
Step 6: 总结归纳 (5分钟)教师对本节课的内容进行总结，并强调单调性和最值在数学中的重要性和应用。
Step 7: 作业布置 (5分钟)教师布置相关的练习作业，要求学生运用所学的知识解决问题，并在下节课前完成。
教学延伸：1. 学生可以通过实际问题的解决，拓展单调性和最值的应用领域；2. 学生可以自主查找更多的单调性和最值的例题进行练习。
教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和问题解决能力；2. 教师布置的作业可以检验学生对单调性和最值的掌握程度；3. 学生之间的讨论和合作可以评价他们对单调性和最值的理解和运用能力。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用单调性求函数的最值的方法。
3. 能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
3. 函数单调性和最值在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用数形结合法，结合图形讲解函数的单调性和最值。
3. 运用实例法，分析实际问题中的函数单调性和最值。
五、教学过程：1. 引入：通过举例，让学生感受函数的单调性和最值在实际问题中的重要性。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义与判断方法，结合图形进行分析。
3. 练习：让学生练习判断一些简单函数的单调性。
4. 讲解：讲解如何利用单调性求函数的最值，结合实例进行分析。
5. 练习：让学生练习求解一些函数的最值。
6. 总结：总结本节课的主要内容，强调函数单调性和最值在实际问题中的应用。
7. 作业布置：布置一些有关函数单调性和最值的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。
2. 探讨函数单调性在高等数学中的应用，如微分方程、最优化问题等。
七、案例分析：1. 分析实际问题，引导学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。
2. 举例说明函数单调性和最值在经济学、物理学、工程学等领域的应用。
八、课堂互动：1. 组织学生进行小组讨论，分享各自在练习中的心得体会。
2. 邀请学生上台展示自己的解题过程，互相学习和交流。
九、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对函数单调性和最值的理解程度。
2. 练习作业：评价学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力。
十、教学反思：1. 反思本节课的教学内容、教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）了解函数的最值概念，学会求解函数的最值；（3）能够运用单调性和最值解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生发现函数的单调性与最值之间的关系；（2）利用数形结合，让学生掌握函数单调性和最值的求解方法；（3）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对函数单调性和最值的兴趣，提高学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探索、合作学习的良好品质；（3）使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的数学素养。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数单调性的判断方法；（2）函数最值的求解方法；（3）单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）函数单调性在复杂函数中的判断；（2）多变量函数最值的求解；（3）实际问题中单调性和最值的运用。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数单调性和最值的相关知识；（2）准备典型的例题和习题；（3）制作PPT或黑板课件。
2. 学生准备：（1）预习函数单调性和最值的相关内容；（2）掌握基本函数的单调性和最值；（3）准备笔记本，做好笔记。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）复习上节课的内容，回顾函数的性质；（2）提问：同学们认为函数有哪些重要的性质呢？（3）引导学生思考函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 知识讲解：（1）讲解函数单调性的定义和判断方法；（2）通过实例分析，让学生理解函数单调性与最值之间的关系；（3）讲解函数最值的概念和求解方法。
3. 课堂互动：（1）让学生举例说明函数的单调性；（2）分组讨论：如何求解函数的最值；（3）教师点评并总结。
4. 巩固练习：（1）出示典型习题，让学生独立解答；（2）讲解习题，分析解答过程；（3）让学生上台板演，互相评价。
5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结函数单调性和最值的关系；（2）强调单调性和最值在实际问题中的应用；（3）提醒学生做好课后复习。
3.2.1函数的单调性与最值 (教学课件)————高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
只靠眼睛观察得到的认识是不是准确呢？例如：从有界限的图怎能看
出函数值是无界限的呢？描点连线画图的可靠性如何保证呢？
新课导入
可见，光靠描点作图看图来研究函数的性质还不够。从解析式出发研
究函数性质，在数学推理的指导下画图，对函数的性质会了解得更全
面、更准确，为此要用更严密的数学语言来描述函数的性质 。
湘教版高中必修第一册
函数的单调性与最值
教学课件
1
新 课 导 入
新课导入
给定一个函数的解析式或图象，你能不能从中看出这个函数的性质呢？
对函数性质的研究，我们首先关心的是
函数值的变化范围（封顶和保底)和变化趋势 (走高和下滑)
新课导入
下图是某报2016年11月刊登的上海证券交易所综合股价指数（简称上证指数）一年
f ( x) min f (1) 2a 3 4 ， a
7
.
2
③当 1 a 3 ，即 3 a 1 时，
f ( x) 在 1, a 上单调递减， f ( x) 在 a,3 上单调递增，
f ( x) min f ( a ) a 2 2 4 ， a 6 （舍正）.
解：
（1）
①当 a 3f ，即
时，,fa
在 1,3 上单调递减，f ( x) 在 a, 上单调递增.
( x)上单调递减，
a在
3
5
a 的取值范围为_________；
（2）若
在
上单调递减，则
f (xf)(3)
(a
, 2)
f
(
x
)
6
11
第二章-§3-函数的单调性和最值高中数学必修第一册北师大版
1
是增函数.
知识点4 复合函数的单调性
例4-7 (2024·山东省高密市期中)已知函数 在定义域[0, +∞)上单调递减，则
[−, ]
[−, ]
1 − 2 的定义域是________，单调递减区间是________.
【解析】∵ 的定义域为[0, +∞),
∴ 1 − 2 ≥ 0,即 2 ≤ 1,故−1 ≤ ≤ 1.
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,
即 1 > 2 ,
∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.
同理可得，函数 =
综上可得，函数 =
+
+
+
+
> > 0 在 −∞, − 上单调递减.
方法帮|关键能力构建
题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解
例8 函数 =
+
+
−∞, − 和 −, +∞
> > 0 的单调递减区间为____________________.
【解析】（定义法） 由题意知函数 的定义域是(−∞, −) ∪ −, +∞
（［大前提］研究函数的单调性时，一定要坚持定义域优先原则）.
1 > 2 ,
又等价于ቊ
或ቊ
即ቊ
或
1 < 2
1 − 2 < 0
1 − 2 > 0,
ቊ
1 < 2 ,
函数的单调性与最值(含解析)
函数单调性与最值一、知识要点1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠：1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M (2)①f(x)≥N②f(x0)＝N二、题型训练题组一1．定义在R 上的偶函数在[)0+∞，上是减函数则 ( ) ． A ． B ． C ． D ．2．如果偶函数)(x f 在上]3,7[--是增函数且最小值是2，那么)(x f 在]7,3[上是（ ） A ．减函数且最小值是2 B ．减函数且最大值是2 C ．增函数且最小值是2 D ．增函数且最大值是2．3．已知)(x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若)1()(lg f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛1,101 B ．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,1101,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛10,101 D ．()()+∞⋃,101,0 4．函数的图像关于直线对称，且在单调递减，(0)0f =，则的解集为（ ）A ．(1,)+∞B ．C ．D ．5．设奇函数()f x 在 （0，＋∞）上是增函数，且(1)0f =，则不等式[()()]0x f x f x --<的解集为（ ） A ．{|10x x -<<或}1x > B ．{|1x x <-或}01x << C ．{|1x x <-或}1x > D ．{|10x x -<<或}01x <<6．已知偶函数f （x ）在区间（0，＋∞）单调增加，则满足f （x －1）<f ⎪⎭⎫⎝⎛31的x 取值范围是（ ）A ．B ．C ．24(,)33D ．7．已知定义在R 上的偶函数，在时，，若，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数)(x f 为奇函数，且在),0(+∞上是增函数，又0)2(=f ，则0)()(<--xx f x f 的解集为（ ）A ．)2,0()0,2(⋃-B ．)2,0()2,(⋃--∞C ．),2()2,(+∞⋃--∞D ．),2()0,2(+∞⋃-9．若函数)x (f y =是定义在R 上的增函数，且满足1)b a (f )b (f )a (f ,0)1(f -+=+=，那么=)2(f ，关()f x (3)(2)(1)f f f <-<(1)(2)(3)f f f <-<(2)(1)(3)f f f -<<(3)(1)(2)f f f <<-()y f x =1x =[)1,+∞(1)0f x +>(1,1)-(,1)-∞-(,1)(1,)-∞-⋃+∞11(,)33-11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦24,33⎢⎥⎢⎥⎣⎦()f x 0x >()ln xf x e x =+()()1f a f a <-(),1-∞1(,)2-∞1(,1)2()1,+∞于x 的不等式0)x 1(f )1x (f 2>-+-的解集是。
函数的单调性与最值教学案
第三节函数的单调性与最值一、函数的单调性 1．单调函数的定义自左向右看图象自左向右看图象若函数y ＝f (x )在区间D 上是 或 ，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的 ．3.函数单调性的性质①、奇函数在其关于原点对称的区间上的单调性 ； ②、偶函数在其关于原点对称的区间上的单调性 ；③、在公共定义域内：增函数+增函数是 ，减函数+减函数是 增函数—减函数是，减函数—增函数是 。
二、函数的最值 预习演练1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123．f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________.4．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)，则实数x 的取值范围是______．5.写出下列函数的单调区间：⑴ 函数y =2x +x 2-3单调递增区间为________,单调递减区间为_______; ⑵ 函数y =x1的单调区间为______________, 6.函数)(x f =-2x +ax 2⑴若)(x f 的减区间为[1,+∞），a 的取值范围是_______；⑵若)(x f 的在[1,+∞）上是减函数，则a 的取值范围是____________ 注：1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 题型一:函数单调性的判断[例1] 证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．小结:对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行． 变式1．判断函数g (x )＝－2x x －1在 (1，＋∞)上的单调性．题型二：求函数单调区间[例2] 函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)小结：求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间． 题型三:复合函数单调区间的求解例3：求函数()f x =变式3：求解函数()f x 的单调区间 小结:对于复合函数()y fg x =⎡⎤⎣⎦，其单调性质如下：复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时增；相异时减.题型四：函数单调性的应用[例4] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. (3)(2013·孝感调研)函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (4)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝__________.题型五：抽象函数的单调性例5. 定义在R 上的函数()y f x =，()00f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b R ∈,有()()()f a b f a f b +=. ⑴求证： ()01f =；⑵求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； ⑶证明：()f x 是R 上的增函数； ⑷若()()221f x f x x ->，求x 的取值范围变式5：已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()1122x f f x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x < ⑴求()1f 的值；⑵判断函数()f x 的单调性； ⑶若()31f =-，解不等式()2f x <-。
《单调性与最大(小)值》教案
《单调性与最大（小）值》教案教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2、掌握增（减）函数的证明和判别.3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质.教学重难点重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值.难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值.教学过程在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。
通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。
一、情景导入问题：1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。
2．函数的单调性定义如果函数y =f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．4、判定函数单调性的常见方法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。
高一数学寒假作业06 函数的单调性与最值(教师版)
高一数学寒假作业专题06函数的单调性与最值1．定义域为R的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R，有(x1−x2)⋅(f(x1)−f(x2))>0，则有（）A．f(−2)<f(1)<f(3)B．f(1)<f(−2)<f(3)C．f(3)<f(−2)<f(1)D．f(3)<f(1)<f(−2)【答案】A【解析】定义域在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，有(x1−x2)⋅(f(x1)−f(x2))>0，可得函数f(x)是定义域在R上的增函数，所以f(−2)<f（1）<f（3）．故选：A．2．下列命题是真命题的是（）A．函数f(x)=−3x−2在[2,3]上是减函数最大值为−11B．函数f(x)=−1x 在[1,2]是增函数，最小值为−12C．函数f(x)=−x2+2x在区间[0,2]先减再增，最小值为0D．函数f(x)=x2−2x在区间[0,2]先减再增，最大值为0【答案】D【解析】选项A，由一次函数的单调性知，f(x)=−3x−2在[2,3]上是减函数，最大值为f(2)=−3×2−2=−8，故A错误；选项B，由反比例函数的单调性可知，f(x)=−1x在[1,2]是增函数，最小值为f(1)=−1，故B错误；选项C，函数f(x)=−x2+2x为开口向下的二次函数，对称轴为x=1，故在[0,1)单增，在(1,2]单减，先增再减，故C错误；选项D，函数f(x)=x2−2x为开口向上的二次函数，对称轴为x=1，故在[0,1)单减，在( 1,2]单增，先减再增，最大值为f(0)=f(2)=0，故D正确故选：D3．若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上（）A．单调递增且有最大值－5B．单调递增且有最小值－5C．单调递减且有最大值－5D．单调递减且有最小值－5【答案】A【解析】因为f (x )在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f (3)=5．由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f (x )在区间[－7，－3]上单调递增， 且有最大值f (−3)=−f (3)=−5． 故选：A .4．已知函数f (x )=x 2−x +1，函数g (x )=ax −1，对于任意x 1∈[1,2]，总存在x 2∈[−1,1]，使得g (x 2)=f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−4]B ．[4,+∞)C ．(−∞,−4]∪[4，+∞)D ．(−∞,−4)⋃(4,+∞)【答案】C 【解析】因为f(x)=x 2−x +1，则f (x )在 [1,2]上为单调递增函数， 所以 f (x )的值域为 [1,3]，记为A =[1,3]， （1）当a >0时， g (x )在 [−1,1]上为增函数，所以 g (x )的值域为[−a −1,a −1]，记为 B =[−a −1,a −1]， 由题意可得 A ⊆B ， {−a −1⩽1a −1⩾3解得 a ≥4， （2）当 a <0时，g (x )在 [−1,1] 上为减函数，故g (x )的值域为[a −1 ,−a −1]，记为 C =[a −1 ,− a −1 ]， 由题意可知A ⊆B ， {−a −1≥3a −1≤1解得 a ≤−4，综上所述，实数 a 的取值范围是(−∞,−4]∪[4,+∞). 故选：C5．对于每一个实数x ，设f (x )取y =4x +1，y =x +2，y =−2x +4三个函数值中的最小值，则f (x )的最大值为（ ） A ．1 B ．23C ．43D ．83【答案】D 【解析】因为f (x )取y =4x +1、y =x +2、y =−2x +4三个函数中的最小值， 所以可根据y =4x +1、y =x +2、y =−2x +4图像绘出f (x )的图像， 如图：联立{y =x +2y =−2x +4，解得(23,83)，f (x )的最大值为83，故选：D.6．函数f (x )=|x |(2−x )的单调递增区间是（ ） A ．[0,1] B ．[−1,0] C ．[−1,1] D ．[0,2]【答案】A 【解析】当x ≥0时，f(x)=x(2−x)=−x 2+2x ，开口向下，对称轴为x =1，故其递增区间是[0,1]；当x <0时，f(x)=−x(2−x)=x 2−2x ，开口向上，对称轴为x =1，在x <0时，f(x)单调递减，综上：f (x )=|x |(2−x )的单调递增区间是[0,1]. 故选：A.7．下列函数中为增函数的是（ ） A ．f (x )=1x+1 B ．f (x )=x 13C ．f (x )=(23)xD ．f (x )=lg (x 2+1)【答案】B 【解析】对于A 选项，函数f (x )=1x+1在定义域上不单调； 对于B 选项，函数f (x )=x 13为R 上的增函数；对于C 选项，函数f (x )=(23)x为R 上的减函数；对于D 选项，函数f (x )=lg (x 2+1)的定义域为R ，内层函数u =x 2+1在(−∞,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数，而外层函数y =lgu 为增函数，故函数f (x )的减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞). 故选：B.8．已知定义在（0，+∞）上的函数f (x )满足：对任意正数a ､b ，都有f (ab )=f (a )⋅f (b )≠0，且当x >1时，f (x )<1，则下列结论正确的是（ ） A ．f (x )是增函数，且f (x )<0B ．f (x )是増函数，且f (x )>0C．f(x)是减函数，且f(x)<0D．f(x)是减函数，且f(x)>0【答案】D【解析】法一：取f(x)=1x(x>0)，满足题干条件，则f(x)是减函数，且f(x)>0；法二：当x>0时，f(x)=f(√x⋅√x)=[f(√x)]2>0.设x1>x2>0，则x1x2>1，由已知，f(x1x2)<1.所以f(x1)−f(x2)=f(x1x2⋅x2)−f(x2)=f(x1x2)f(x2)−f(x2)=f(x2)[f(x1x2)−1]<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)是减函数，故选：D.9．已知函数f(x)=x−bx2+1是奇函数，则下列选项正确的有（）A．b=0B．f(x)在区间(1,+∞)单调递增C．f(x)的最小值为−12D．f(x)的最大值为2【答案】AC【解析】函数f(x)=x−bx2+1是奇函数，则f(0)=0，代入可得b=0，故A正确；由f(x)=x−bx2+1=xx2+1=1x+1x，对勾函数y=x+1x在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)=1x+1x在(1,+∞)上单调递减，故B错误；由y=x+1x ∈(−∞,−2]⋃[2,+∞)，所以f(x)=1x+1x∈[−12,0)∪(0,12]，所以f(x)min=−12，故C正确、D错误.故选：AC10．已知函数f(x)=|x|−x2，则下列说法正确的是（）A．f(x)的最大值为14B．f(x)在(−1,0)上是增函数C．f(x)>0的解集为(−1,1)D．f(x)+2x≥0的解集为[0,3]【答案】AD【解析】f(−x)=|−x|−(−x)2=|x|−x2=f(x)，所以f (x )是偶函数， 在x ≥0时，f(x)=−x 2+x , 图象为开口向下的抛物线的部分， 对称轴为x =12,在(0,12)内单调递增，在(12,+∞)上单调递减， 最大值为f (12)=−14+12=14,∴函数f(x)=|x|−x 2在R 上的最大值为14, 在(−1,−12)内单调递增，在(−12,0)内单调递减， 故A 正确，B 错误；由于f (0)=0,f (1)=0,f (−1)=0,结合函数的单调性和偶函数的性质画出图象如图所示. 可知f (x )>0的解集为(−1,0)∪(0,1), 故C 错误；f(x)+2x ={−x 2+3x,x ≥0，−x 2+x,x <0 画出图象如图所示：由图象可得不等式f(x)+2x ≥0的解集为[0,3]，故D 正确. 故选：AD.11．对于函数f(x)=x1+|x|(x∈R)，下列判断正确的是（）A．f(−x)+f(x)=0B．当m∈(0,1)时，方程f(x)=m总有实数解C．函数f(x)的值域为[−1,1]D．函数f(x)的单调区间为(−∞,0)【答案】AB【解析】f(−x)+f(x)=−x1+|−x|+x1+|x|=0，故A正确；因为−|x|≤x≤|x|，所以−1<−|x|1+|x|≤x1+|x|≤|x|1+|x|<1，∴f(x)的值域为(−1,1)，因此当m∈(0,1)时，方程f(x)=m总有实数解，故B正确；故C错误；f(x)={x1+x ,x≥0x 1−x ,x<0，x≥0,f′(x)=1(1+x)2>0所以f(x)在[0,+∞)单调递增；由于与f(−x)+f(x)=0知f(x)为奇函数，所以函数f(x)在(−∞,0)也单调递增，且在x=0时连续，故f(x)的单调增区间为(−∞,+∞)，故D错误；故选：AB．12．已知函数f(x)=−2x+1（x∈[−2,2]），g(x)=x2−2x，（x∈[0,3]），则下列结论正确的是（）A．∀x∈[−2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是(−∞,−3)B．∃x∈[−2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是(−∞,−3)C．∃x∈[0,3]，g(x)=a，则实数a的取值范围是[−1,3]D．∀x∈[−2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)=g(t)【答案】AC【解析】在A中，因为f(x)=−2x+1(x∈[−2,2])是减函数，所以当x=2时，函数取得最小值，最小值为−3，因此a<−3，A正确；在B中，因为f(x)=−2x+1(x∈[−2,2])减函数，所以当x=−2时，函数取得最大值，最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，g(x)=x2−2x=(x−1)2−1(x∈[0,3])，所以当x=1时，函数取得最小值，最小值为−1，当x=3时，函数取得最大值，最大值为3，故函数的值域为[−1,3]，由g(x)= a有解，知a∈[−1,3]，C正确；在D 中，∀x ∈[−2,2],∃t ∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[−3,5]，g(t)的值域[−1,3]，D 错误. 故选：AC13．函数f (x )=2xx 2+1，x ∈[−1,1]的最大值是__________．【答案】1 【解析】任取x 1,x 2∈[−1,1]，且−1≤x 1<x 2≤1， 则f (x 1)−f (x 2)=2x 1x12+1−2x 2x22+1=2x 1(x 22+1)−2x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=2(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1)， ∵−1≤x 1<x 2≤1∴根据不等式的性质可得x 1−x 2<0，x 1x 2<1， ∵x 12+1>0，x 22+1>0∴f (x 1)−f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )=2xx 2+1在[−1,1]上单调递增，∴函数f (x )=2xx 2+1在[−1,1]上的最大值是f (1)=2×112+1=1. 故答案为：1.14．函数f(x)=√x 2−3x +2的单调递增区间是____________． 【答案】[2,+∞) 【解析】x 2−3x +2≥0，x ≤1或x ≥2，y =√u 是增函数，u =x 2−3x +2在(−∞,1]上递减，在[2,+∞)上递增， 所以f(x)的增区间是[2,+∞)． 故答案为：[2,+∞)．15．对任意的x ∈(0,+∞)，不等式(x −a +ln xa )(−3x 2+ax +10)≤0恒成立，则实数a =______. 【答案】√5 【解析】由题可知，x ∈(0,+∞)且ln xa 成立，则a ∈(0,+∞)因为对任意的x ∈(0,+∞)，不等式(x −a +ln xa )(−3x 2+ax +10)≤0恒成立等价于不等式[(x +lnx )−(a +lna )](−3x 2+ax +10)≤0恒成立记f (x )=x +lnx,g (x )=−3x 2+ax +10，则f (x )在(0,+∞)上单调递增当0<x <a 时，f (x )<f (a )，即(x +lnx )−(a +lna )<0恒成立，则−3x 2+ax +10≥0所以{g (0)=10≥0g (a )=−3a 2+a ⋅a +10=−2a 2+10≥0，得0<a ≤√5当x =a 时，不等式显然成立当x >a 时，f (x )>f (a )，即(x +lnx )−(a +lna )>0恒成立，则−3x 2+ax +10≤0 因为函数g (x )=−3x 2+ax +10=−3(x −a 6)2+a 212+10在(a,+∞)上单调递减所以x >a 时，g (x )<g (a )=−2a 2+10≤0，得a ≥√5因为对任意的x ∈(0,+∞)，该不等式恒成立，故应取交集则a =√5 故答案为：√516．若函数f (x )={mx −1,x >1−x +1,x ≤1，满足：对任意的x 1≠x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，则m 的取值范围为____________． 【答案】(−∞,0)∪(0,1] 【解析】依题意知函数f (x )的图象与直线y =a (a ∈R )最多只有一个交点. 当x ≤1时，函f (x )单调递减且f (x )≥0；当x >1时，若m =0，f (x )=−1，此时不合题意； 若m <0时，函数f (x )单调递增且f (x )=m x−1<0，满足题意；若m >0时，当x >1时，函数f (x )=m x−1单调递减，此时只需m −1≤0，即0<m ≤1.综上，m 的取值范围为(−∞,0)∪(0,1]. 故答案为：(−∞,0)∪(0,1].17．已知函数f(x)=x +1x.（1）判断函数f (x )在[1+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）当x ∈[0,1]时，不等式f (4x )−f (2x )−k ≤0恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）函数f (x )是[1+∞)上的增函数，证明见解析 （2）k ≥6 【解析】 【分析】（1）任取x 1,x 2∈[1，+∞)，且x 1<x 2，f (x 2)−f (x 1)=(x 2+1x 2)−(x 1+1x 1)=x 2−x 1+1x 2−1x 1=(x 2−x 1)(x 2x 1−1)x 2x 1，∵x 1,x 2∈[1，+∞)，且x 1<x 2，x 2−x 1>0,x 2x 1>1, ∴f (x 2)−f (x 1)>0即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )是[1,+∞)上的增函数 （2）f (4x )−f (2x )−k ≤0⇒4x +14x −(2x+12x)−k ≤0 ⇔4x +14x −(2x +12x)≤k 令t =2x +12x ,x ∈[0,1]⇒t ∈[2,52] 原问题等价于t 2−t −2≤k令ℎ(t )=t 2−t −2,t ∈[2,52]⇒ℎ(t )max =ℎ(52)=74 ∴k ≥74.18．函数f （x ）是R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f(x)=2x −1 （1）求f （-1）的值∶（2）用定义证明f （x ）在（0，+∞）上是减函数； （3）求当x <0时，函数的解析式. 【答案】 （1）1；（2）证明见解析； （3）f(x)=−2x −1. 【解析】 【分析】（1）f(−1)=f(1)=1；（2）证明：任取0<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−1−2x 2+1=2(x 1−x 2)x 1x 2，所以x 1x 2>0,x 2−x 1>0 ，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在(0,+∞)上是减函数；（3）任取x <0，则−x >0，故f(−x)=−2x −1=f(x)，即x <0时，函数的解析式为f(x )=−2x −1.19．已知函数f (x )=x 2+2x. （1）用定义证明：f (x )在区间[1,+∞)上是增函数；（2）设集合A =[1,2]，B ={x |x 3+x 2−ax +2<0}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围. 【答案】 （1）证明见解析 （2）(7,+∞) 【解析】 （1）设x 1>x 2≥1，则f (x 1)−f (x 2)=(x 12−x 22)+(2x 1−2x2)=(x 1−x 2)(x 1+x 2)+2(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1+x 2−2x 1x 2).因为x 1>x 2≥1，则x 1−x 2>0,x 1+x 2>2,x 1x 2>1，从而0<2x 1x 2<2,x 1+x 2−2x 1x 2>0.所以f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2).所以f(x)在区间[1,+∞)上是增函数. （2）因为A ⊆B ，则当x ∈[1,2]时，不等式x 3+x 2−ax +2<0恒成立， 即a >x 2+2x +x 恒成立.设g(x)=x 2+2x +x ，则当x ∈[1,2]时，a >g(x)max 即可.因为f(x)=x 2+2x 和y =x 在[1,2]上都是增函数，则g(x)在[1,2]上是增函数. 所以当x ∈[1,2]时，g(x)max =g(2)=7，故a 的取值范围是(7,+∞). 20．已知f(x)=2x+1−32x −1.（1）判断函数f (x )在(0,+∞)上的单调性，并用定义证明；（2）若f(x)≥k ⋅2x ，k ＞0在区间[1，2]上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若存在实数b ＞a ＞0，使得函数f (x )在(a ,b )上的值域是(m2a ,m2b )，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）单调递增，证明见解析； （2）0<k ≤512； （3）0<m <4−2√3. 【解析】 （1）∵f(x)=2x+1−32x −1，即f (x )=2−12x −1在(0,+∞)上单调递增，证明：∀x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)＝2−12x 1−1−(2−12x 2−1)=2x 1−2x 2(2x 1−1)(2x 2−1)， 由0<x 1<x 2，可得1<2x 1<2x 2， ∴2x 1−1>0,2x 2−1>0,2x 1−2x 2<0, 可得2x 1−2x 2(2x 1−1)(2x 2−1)＜0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在(0,+∞)上为增函数； （2）∵f(x)≥k ⋅2x ，k ＞0在区间[1,2]上恒成立， 令t =2x ,t ∈[2,4]，可得2x −1>0，11 / 13 由f(x)≥k ⋅2x 得，2x+1−32x −1≥k ⋅2x 即为2t −3≥kt(t −1)，∴kt 2−(k +2)t +3≤0(k ＞0)在[2,4]上恒成立，∴{4k −2(k +2)+3≤016k −4(k +2)+3≤0，即有{k ≤12k ≤512， 即 k ≤512，又k ＞0，∴0<k ≤512；（3）若存在实数b ＞a ＞0，使得函数f (x )在(a ,b )上的值域是(m 2a ,m 2b )，又函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，可得f(a)=m2a ,f(b)=m2b ，则m ＞0， 可得2a +1−3=m2a (2a −1),2b +1−3=m2b (2b −1)，则方程m2x (2x −1)−2x +1+3=0有两个不等的正根，设t =2x ,t >1，可得mt 2−(m +2)t +3=0有两个大于1的根，设ℎ(t )=mt 2−(m +2)t +3，m ＞0，可得{ Δ>0m+22m >1ℎ(1)>0m >0，即 {(m +2)2−12m >00<m <2m −m −2+3>0 解得0<m <4−2√3，故实数m 的取值范围为0<m <4−2√3.21．设函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)=−2．（1）求证：f (x )是奇函数；（2）求f (x )在[−3,3]上的最大值与最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为6，最小值为−6.【解析】（1）令x =y =0，得f (0)=f (0)+f (0)=2f (0)，所以f (0)=0，令y =−x ，得f (x −x )=f (x )+f (−x )=f (0)，所以f (−x )=−f (x )，所以f (x )是奇函数．（2）设x 1<x 2∈R ，则x 2−x 1>0，所以f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (−x 1)=f (x 2−x 1)<0，可得f (x 2)<f (x 1)，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在R 上是减函数，f (2)=f (1)+f (1)=−4，f (3)=f (2)+f (1)=−4−2=−6，所以f(−3)=−f(3)=−(−6)=6，所以f(x)在[−3,3]上的最大值为f(−3)=6，最小值为f(3)=−6.22．已知函数f(x)=log132−kxx−2为奇函数.（1）求常数k的值；（2）判断并证明函数f(x)在(2,+∞)上的单调性（3）求函数f(x)在[4,+∞)上的值域.【答案】（1）k=−1（2）单调递增，证明见解析（3）[−1,0)【解析】（1）函数f(x)=log132−kxx−2为奇函数，则f(x)+f(−x)=0⇒log132−kxx−2+log132+kx−x−2=0,化简得到log13(2−kxx−2×2+kx−x−2)=log131,即log13k2x2−4x2−4=log131⇒k2x2−4=x2−4⇒k=±1,当k=1时，f(x)=log132−xx−2不符合对数函数的定义，故舍去；故k=−1.（2）由第一问得到f(x)=log13x+2x−2，设ℎ(x)=x+2x−2,x>2，任取x1>x2∈(2,+∞)，ℎ(x1)−ℎ(x2)=x1+2x1−2−x2+2x2−2=4(x2−x1)(x1−2)(x2−2),因为x1>x2∴x2−x1<0,∵(x1−2)(x2−2)>0∴ℎ(x1)<ℎ(x2)，故得到函数ℎ(x)在(2,+∞)上是单调递减的，外层函数y=log13x是单调递减的，由复合函数单调性，得到函数f(x)在(2,+∞)上是单调递增的.（3）由第二问得到函数f(x)在(2,+∞)上是单调递增的，故得到函数f(x)在[4,+∞)上也是增的，f(x)=log13x+2x−2，令g(x)=x+2x−2=1+4x−2,x∈[4,+∞),g(x)∈(1,3],12/ 13∴f(x)∈[−1,0)故函数值域为：[−1,0).13/ 13。
函数的单调性和最值教案
6.对于函数f(x)与g(x)可以总结为：
增+增＝增，增—减＝增，减+减＝减，减—增＝减
7.当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y=f［g(x)］是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相反时，复合函数y=f［g(x)］是减函数。
作业_____题；巩固复习____________________；预习布置_____________________
备注
家长或学生阅读签字：
A．f(－1)＜f(3)B．f(0)＞f(3)C．f(－1)=f(－3)D．f(2)＜f(3)
10. ，当 时递增，当 时递减，则 的值等于（）
A. 13 B.1 C. 21 D.
11.若奇函数 的图象过点 ，则必过点（）
A. B. C. D.
12.函数 在 ， 上都是增函数，则 的取值范围（）
A. B. C. D.
5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（）
A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一的实根
6．函数 的递增区间依次是（）A． B． C． D
7．已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是（）
A．a≤3B．a≥－3C．a≤5D．a≥3
学生姓名
年级
高一
性别
教学课题
函数的单调性与最大（小）值
教学
目标
1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。
2.启发学生学会分析问题，认识问题和创造性的解决问题。
重难点
函数单调性的证明和函数最大值（最小值）求法
高中数学教案函数的单调性与最值(二)
高中数学教案函数的单调性与最值（二）高中数学教案：函数的单调性与最值（二）一、引言在上一节课中，我们学习了函数的单调性和最值的概念，并通过图像来了解了这些概念。
本节课我们将进一步深入探讨函数的单调性和最值的相关性质，并通过例题巩固所学知识。
二、单调性的判定1. 单调性的定义函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体地说，如果对于定义域上的任意两个不同的实数x₁和x₂，都有f(x₁)≤f(x₂)（或者f(x₁)≥f(x₂)），那么函数f(x)就是递增（递减）函数。
2. 利用导数判断函数的单调性a) 函数f(x)在开区间(a, b)上连续且可导，当f'(x) > 0（或者f'(x) < 0）时，函数f(x)在(a, b)上是递增（递减）的。
b) 函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，当f'(x) ≥ 0（或者f'(x) ≤ 0）时，函数f(x)在[a, b]上是递增（递减）的。
三、最值的求解1. 极值点与最值a) 极大值点与极小值点函数f(x)在定义域内某点x₀处的函数值f(x₀)称为f(x)的极大值（或极小值）。
b) 最大值与最小值函数f(x)在定义域内具有的最大函数值f(x)的值称为f(x)的最大值，简称最大值。
同理，函数f(x)在定义域内具有的最小函数值f(x)的值称为f(x)的最小值，简称最小值。
2. 求解最值的方法a) 图像法通过绘制函数图像，并观察图像的高点和低点，可以初步判断函数的最值所在位置。
b) 导数法考察函数f(x)在定义域的内部和端点处的导数值，可以判断函数的最值所在位置。
c) 区间划分法将定义域分成几个子区间，在每个子区间内分别求函数的函数值，比较得出最值。
四、练习题1. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1，求f(x)的单调递增区间和单调递减区间。
2. 设函数f(x) = x⁴ - 2x²，求f(x)的极值点和最值。
2.2函数的单调性与最值教案(带详解)绝对经典
§2.2 函数的单调性与最值要点梳理1． 函数的单调性(1)单调函数的定义定义当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数 图像(2)若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫作函数y ＝f (x )的单调区间．(3)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
2、单调性语言另类表示：或或时，则在定义域上是增函数；或时，则在定义域上是减函数；3.基本初等函数的单调性：4.复合函数单调性：同增异减5.多个函数的和的增减性：①增增增，②增减增，③减减减函数，④减增减；()()12120f x f x x x ->-()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦()f x ()()12120f x f x x x -<-()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦()f x +=-=+=-=6.分段函数在定义域上的若具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；7.绝对值函数的单调性8.利用单调性解不等式9.值域的求法【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 函数f (x )、g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比. 10．函数的最值基础自测1．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. 2． 函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______________． 3． 函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是__________． 4． 已知函数y ＝f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)、B (－3,2)在其图像上，则不等式－2<f (x )<2的解集为________． 5． 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－14B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0题型分类 深度解析题型一 函数单调性的判断例1 试讨论函数f (x )＝axx －1 (a ≠0)在(－1,1)上的单调性．(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．题型二 利用函数单调性求参数例2 1、已知函数f (x )＝ax 2－2x －3在区间(－∞，4)上是单调递减的，则实数a 的取值范围是2、若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围．3、若函数f (x )＝|3x －a |在区间[3，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是 .4、已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.(1)若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为____________． (2)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3题型三 利用函数单调性解函数不等式例3 函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的递增函数，且f (1)=2，则满足f (2x-1)<2的解集是题型四 复合函数单调性()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩R a 30a -≤<32a -≤≤-2a ≤-0a <例4 求函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调区间．题型五 求函数最值（值域） 例5求下列函数值域： 1、直接观察法：①xy 1=， ②x y -=32、配方法： ①]4,1(32-2-∈-=x x x y ， ② 322+--=x x y3、单调性法：①x x y 11--=②),1(,4+∞∈+=x xx y③]5,3[,112∈+-=x x x y ④]3,1[,1132∈+++=x x x x y 4、换元法：23--=x x y变式训练5 求下列函数值域：1、y =； 2、),2(322+∞-∈-+=x x x y ，3、①),1(1+∞∈+-=x x x y ， ②1x y x =+4、2y x =题型六 抽象函数单调性问题例6 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式训练6 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．课后练习一、选择题1． 下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋2xC ．y ＝11＋xD ．y ＝xx －12． 已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎡⎭⎫0，34 D.⎣⎡⎦⎤0，34 3． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)4． 给定函数①y ＝21x ，②y ＝)1(log 21+x ，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5、已知函数 若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.6、函数y=322-+x x 的单调递减区间是（ ）A ．(－∞，－3)B ．(－1，+∞)C ．(－∞，－1)D ．[－1，+∞)3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩2(2)()f x f x ->x (,1)(2,)-∞-⋃+∞(,2)(1,)-∞-⋃+∞(1,2)-(2,1)-7、若函数y=ax bx --在区间(－∞，4) 上是增函数，则有（ ） A ．a>b ≥4 B ．a ≥4>b C ．4≤a<b D ．a ≤4<b 8、函数f (x )＝⎩⎨⎧≥-<+-)1()1()1(3)21(2x x x a x a 的值域为 ，则实数 的范围（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1． f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,4])的单调增区间为__________；f (x )max ＝________. 2． 函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．3． 若函数f (x )＝2|x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数b 的取值范围是____________． 4、函数y=11+-x x ，当时，函数的值域为__________________．5、6、7、已知函数()ln1x af x x -=+在区间()0,1单调增加，则a 的取值范围是 . 8、若函数f (x )＝⎩⎨⎧≥<+-)1(2)1(x x a x x ，，的最小值为2，则a 的取值范围是 .三、解答题1．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．2．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )．(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．§2.2 函数的单调性与最值要点梳理1． 函数的单调性(1)单调函数的定义定义当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数 图像(2)若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫作函数y ＝f (x )的单调区间．(3)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
函数第2节函数的单调性与最值教案北师大版
函数的单调性与最值[考试要求]1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的如果函数y＝f(x)在区间A是增加的或减少的，那么称A为单调区间．提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈D，都有f(x)≤M；②存在x0∈D，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈D，都有f(x)≥M；②存在x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为y＝f(x)的最大值M为y＝f(x)的最小值1．函数单调性的结论(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，⇔f (x )在D 上是增函数；⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数．(4)若k ＞0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k ＜0，则kf (x )与f (x )的单调性相反． (5)函数y ＝f (x )在公共定义域内与y ＝1f (x )的单调性相反．(6)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性关系是“同增异减”． 2．函数最值存在的两个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)＜f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．下列函数中，定义域为R 且为减函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |A [函数y ＝e －x 定义域为R 且为减函数．y ＝x 3定义域为R 且为增函数．函数y ＝ln x 定义域为(0，＋∞)．函数y ＝|x |定义域为R ，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故选A.]2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________．[1，＋∞) [f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因此函数f (x )的单调递增区间为 [1，＋∞)．]3．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 [因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.]4．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]考点一 求函数的单调区间2．求复合函数单调区间的一般步骤 (1)求函数的定义域(定义域先行)； (2)求简单函数的单调区间；(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”． [典例1] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝－x 2＋2|x |＋1； (2)f (x )＝2x ＋1x ＋1； (3)f (x )＝x 2＋x －6. [解] (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图像如图所示．由图像可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)由x ＋1≠0得x ≠－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， f (x )＝2x ＋1x ＋1＝2(x ＋1)－1x ＋1＝2－1x ＋1，其图像如图所示． 由图像知，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．(3)由x 2＋x －6≥0得x ≤－3或x ≥2，即函数f (x )的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)， 令u ＝x 2＋x －6， 则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．[母题变迁]若把本例T (1)函数解析式改为f (x )＝|x 2－4x ＋3|，试求函数f (x )的单调区间． [解] 先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图像，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图像．如图所示．由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的单调递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，[2,3]．点评：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2)重视函数f (x )＝ax ＋bcx ＋d (ac ≠0)的图像与性质(对称中心、单调性、渐近线)．[跟进训练]1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．(0,2]D ．[2，＋∞)A [由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2，当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ＜2时，(－∞，1]是函数f (x )的单调递增区间，[1,2]是函数f (x )的单调递减区间．] 2．函数y ＝ln(－x 2＋2x ＋3)的递减区间是( ) A ．(－1,1] B ．[1,3) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)B [令t ＝－x 2＋2x ＋3，由t ＞0得－1＜x ＜3. 故函数的定义域为(－1,3)．又t ＝－x 2＋2x ＋3在(－1,1)上是增函数，在[1,3)上是减函数，且y ＝ln t 在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可知函数y ＝ln(－x 2＋2x ＋3)的递减区间为[1,3)，故选B.]3．函数f (x )＝xx －1的单调递减区间为________．(－∞，1)和(1，＋∞) [由x －1≠0得x ≠1，即函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，又f (x )＝xx －1＝(x －1)＋1x －1＝1＋1x －1，其图像如图所示，由图像知，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．]考点二 函数单调性的判断与证明2．判断函数单调性的四种方法(1)图像法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法． 3．证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法． [典例2] 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． [解] 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．法二：f ′(x )＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2，所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为增函数． [跟进训练]判断函数f (x )＝x ＋ax(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性．[解] 设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0＜x 1＜x 2≤a 时，0＜x 1x 2＜a ，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1＜x 2时，x 1x 2＞a ，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点三 函数单调性的应用1．比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．2．求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．此时要特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系．比较函数值的大小[典例3－1] 已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD [根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，f (2)＞f (2.5)＞f (3)，所以b ＞a ＞c .] 点评：本例先由[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0得出f (x )在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－12，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．解函数不等式[典例3－2] 已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1,1)，则不等式f (1－m )＜f (m 2－1)的解集为________．(0,1) [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， －1＜x ≤0，－x 2， 0＜x ＜1，则f (x )在(－1,1)上单调递减，不等式f (1－m )＜f (m 2－1)可转化为⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜m 2－1＜1，m 2－1＜1－m ，解得0＜m ＜1.]点评：解答此类题目时，应注意隐含条件，如本例⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜m 2－1＜1.求参数的值或取值范围[典例3－3] (1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．{－3}B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3]D ．[－3，＋∞)(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a的取值范围是( )A.(1,2)B.⎝⎛⎦⎤1，32 C.⎣⎡⎭⎫32，2D.⎝⎛⎭⎫32，2 (1)C (2)C [(1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3. 所以a 的取值范围是(－∞，－3]． (2)由已知条件得f (x )为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.故选C.]点评：分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如本例(2)． [跟进训练]1．若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]B [因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a ，－2x ＋2a ＋3，x ＜a ，因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.]2．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,1)C [因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2， 所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.]3．若函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－4) [函数y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上是增函数． y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2，由题意知函数y ＝4＋k x －2在(3，＋∞)上是增函数，则有4＋k ＜0，解得k ＜－4.]4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为________．⎣⎡⎭⎫18，13 [由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，(3a －1)×1＋4a ≥－a ，a ＞0，解得⎩⎨⎧a ＜13，a ≥18，a ＞0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13.]考点四 函数的最值(值域)求函数最值的五种常用方法[典例4] (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2(x ≤0)，x ＋1x＋a (x ＞0)的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2] (2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．(3)函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．(1)D (2)3 (3)14 [(1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1x， 即x ＝1时，等号成立．故当x ＝1时取得最小值2＋a ，∵f (x )的最小值为f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2单调递减，故a ≥0，此时的最小值为f (0)＝a 2，故2＋a ≥a 2，得－1≤a ≤2.又a ≥0，得0≤a ≤2.故选D.(2)∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝3－log 21＝3.(3)令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.] [跟进训练]1．函数f (x )＝x ＋x －1的最小值为________．1 [法一：(换元法)令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1， 故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：(单调性法)因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.]2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2 x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．1 [法一：在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )图像，依题意，h (x )的图像如图所示．易知点A (2,1)为图像的最高点，因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2 x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2 x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，所以h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.。
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答 案1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象 描述自左向右看图象是上升的,自左向右看图象是下降的(2)函数单调性的两种等价形式 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么 ①fx 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；fx 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．[必记结论]对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；(2)可导函数则可以利用导数解之． (3)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．[必记结论]求函数单调区间的2个注意点(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．2．函数的最值前提设函数y ＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值考点一函数单调性的判断与单调区间的求法自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)解析：(复合法)由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D2．设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)＞f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2 014型增函数”，则实数a的取值范围是________．解析：(图象法)由题意得，当x＞0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－3a x≥a，－x－a x＜a.①当a≥0时，函数f(x)的图象如图①所示，考虑极大值f(－a)＝2a，令x－3a＝2a，得x＝5a.所以只需满足5a－(－a)＝6a＜2 014，即0≤a＜1 0073.②当a＜0时，函数f(x)的图象如图②所示，且f(x)为增函数．因为x＋2 014＞x，所以满足f(x＋2 014)＞f(x)．综上可知，实数a的取值范围是a＜1 0073.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，1 00733．已知函数f (x )＝ln x ＋mx 2(m ∈R)，求函数f (x )的单调区间． 解析：(导数法)依题意，知f (x )的定义域为(0，＋∞)． 对f (x )求导，得f ′(x )＝1x ＋2mx ＝1＋2mx 2x. 当m ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当m ＜0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－12m. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12m 时，f ′(x )＞0， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0， －12m 上单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12m ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－12m ，＋∞上单调递减．函数单调性的判断方法[锁定考向 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中．常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．角度一 求函数的值域或最值1．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0解析：设t ＝x －1，则f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]．记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.故选A.答案：A角度二 比较函数值或自变量大小2．已知a ＞b ＞0，则下列命题成立的是( ) A ．sin a ＞sin bB ．log 2a ＜log 2bD.⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b解析：函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调函数，所以不能判断出sin a 与sin b 的大小；函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，结合a ＞b ＞0可得log 2a ＞log 2b ；函数y ＝在(0，＋∞)上单调递增，结合a ＞b ＞0可得；函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x是单调递减函数，所以⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b .故选D.答案：D角度三 求解函数不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，函数g (x )＝|f (x )|－1.若g (2－a 2)＞g (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)解析：由题可知，f (x )为单调递增的奇函数，则g (x )为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增．因为g (2－a 2)＞g (a )，所以|2－a 2|＞|a |，即(2－a 2)2＞a 2，解得a ＜－2或－1＜a ＜1或a ＞2，即实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．故选D.答案：D角度四 利用单调性求参数的取值范围4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＜0，a －3x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14 B ．(1,2] C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：由fx 1－f x 2x 1－x 2＜0，得f (x )在定义域上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，4a ≤1，解得0＜a ≤14，所以a ∈⎝⎛⎦⎤0，14.故选A. 答案：A强化训练1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．因为a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2＜52＜3，所以b ＞a ＞c . 答案：D2．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)A 组——基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e－x，即y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B.答案：B3．(2018·长春市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ＜－1，|2x－1，x ≥－1，则函数f (x )的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－12，＋∞)D ．R解析：当x ＜－1时，f (x )＝x 2－2∈(－1，＋∞)；当x ≥－1时，f (x )＝2x －1∈[－12，＋∞)，综上可知，函数f (x )的值域为(－1，＋∞)．故选B.答案：B4．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数解析：∵f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－cos x ≥0，∴f (x )单调递增，选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 解析：因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D.答案：D6．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A.答案：A7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x，x ≥0，(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D ．⎝⎛⎦⎤0，23解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a ≥1，∴13≤a <1.答案：B8．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析：A 项，y ＝x ＋1为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B 项，y ＝(x －1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C 项，y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 为R 上的减函数；D 项，y ＝log 0.5(x ＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A.答案：A9．已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (c )<f (b )<f (a )B ．f (c )<f (a )<f (b )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b ) 解析：依题意，注意到21.2>20.8＝⎝⎛⎭⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，选C.答案：C10．(2018·长沙市统考)已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，fx 1－f x 2x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)解析：幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C 错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立，选B.答案：B11．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)解析：由f (x )为准偶函数的定义可知，若f (x )的图象关于x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )为准偶函数，A ，C 中两函数的图象无对称轴，B 中函数图象的对称轴只有x ＝0，而D 中f (x )＝cos(x ＋1)的图象关于x ＝k π－1(k ∈Z)对称．答案：D12．函数的值域为________．解析：当x ≥1时，0＜2x ＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)13．函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________． 解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， ∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 14．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由f (x )＝⎩⎨⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6.答案：－615．已知函数f (x )＝x ＋ax (x ≠0，a ∈R)，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－a x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以要使Δy ＝x 1－x 2x 1x 2－a x 1x 2<0恒成立，只需使x 1x 2－a >0恒成立，即a <x 1x 2恒成立．因为x 1<x 2≤－2，所以x 1x 2>4，所以a ≤4，故函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增时，实数a 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]B 组——能力提升练1．已知函数f (x )＝{ x 3，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －1)＜f (x )对任意的x ＞1恒成立，则k 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：依题意得，当x ＝2时，k (2－1)＜f (2)，即k ＜2＋2ln 2＜2＋2＝4，因此满足题意的最大整数k 的可能取值为3.当k ＝3时，记g (x )＝f (x )－k (x －1)，即g (x )＝x ln x －2x ＋3(x ＞1)，则g ′(x )＝ln x －1，当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(1，e)上单调递减；当x ＞e 时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递增．因此，g (x )的最小值是g (e)＝3－e ＞0，于是有g (x )＞0恒成立．所以满足题意的最大整数k 的值是3，选B.答案：B3．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎡⎭⎫1，32C ．[1,2)D ．⎣⎡⎭⎫32，2 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x ＝12⎝⎛⎭⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32.答案：B4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2] 解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)，又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C. 答案：C5．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( )A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.答案：B6．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,10)D ．(10，＋∞)解析：由a x －b x ＞0，即⎝⎛⎭⎫a b x ＞1，解得x ＞0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为a ＞1＞b ＞0，所以y ＝a x 单调递增，y ＝－b x 单调递增，所以t ＝a x －b x 单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f (x )＝lg(a x －b x )＋x 为增函数．而f (1)＝lg(a －b )＋1＝lg 1＋1＝1，所以x ＞1时f (x )＞1，故f (x )＞1的解集为(1，＋∞)．故选B.答案：B7．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x )＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x ＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥23x ·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B.答案：B8． “a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：当a <0时，f (x )＝|(ax －1)·x |＝－ax 2＋x 为图象开口向上的二次函数，且图象的对称轴为直线x ＝12a ⎝⎛⎭⎫12a <0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x ，为增函数．必要性：f (0)＝0，当a ≠0时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，若f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a <0，即a <0.f (x )＝x 时，f (x )为增函数，此时a ＝0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件．答案：C9．已知函数f (x )＝{a －1x ＋4－2a ，x <11＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞) 解析：依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得{ a >13－a ≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，选A.答案：A10．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f x x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数 解析：∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴x ＝a ，∴a ＜1，g (x )＝f x x ＝x ＋a x－2a . 若a ≤0，则g (x )＝x ＋a x －2a 在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递增；若0＜a ＜1，则g (x )＝x ＋a x －2a 在(a ，＋∞)上单调递增，则在(1，＋∞)上单调递增．综上可得，g (x )＝x ＋a x －2a 在(1，＋∞)上单调递增．故选D.答案：D11．若存在正实数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin(x 2)，其中是“限增函数”的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③解析：对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b 2a 对一切x ∈R 恒成立，显然不存在这样的正实数a ，b .对于②，f (x )＝|x |，即|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |，则|x |≥a －b 22b，显然，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．对于③，f (x )＝sin(x 2)，－1≤f (x )＝sin(x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，对于任意的正实数a ，b 都成立，故选B.答案：B12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋4x ，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的值域为__________．解析：当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋4x ＝x ＋4x－2， 由基本不等式可得x ＋4x ≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立)， 所以f (x )＝x ＋4x－2≥4－2＝2，即函数f (x )的取值范围为[2，＋∞)； 当x ≤0时，f (x )＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，因为当x ＝－1时，f (x )取得最大值1， 所以函数f (x )的取值范围为(－∞，1]．综上，函数f (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (f (－2))＝__________，f (x )的最小值是__________．解析：因为f (－2)＝4，f (4)＝－12，所以f (f (－2))＝－12；x ≤1时，f (x )min ＝0，x ＞1时，f (x )min ＝26－6，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.答案：－12 26－614．定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy ＜0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x 2(2x －x 2)的最大值为__________． 解析：由已知得f (x )＝x 2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x 22x －x 2≥0，2x －x 2，x 22x －x 2＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x ＜0或x ＞2，易知函数f (x )的最大值为4. 答案：415．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋3)＝2f (x )，当x ∈[－1,2)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ，x ∈[－1，0，－12|x －1|，x ∈[0，2，若存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，则实数t 的取值范围是__________．解析：由题意知f (x )＝12f (x ＋3)．当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14∈[－14，0]；当x ∈[0,2)时，f (x )＝－(12)|x －1|∈[－1，－12]；所以当x ∈[－1,2)时，f (x )min ＝－1.故当x ∈[－4，－1)时，x ＋3∈[－1,2)，所以f (x ＋3)min ＝－1，此时f (x )min ＝12×(－1)＝－12.由存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，可得t 2－3t ≥4×(－12)，解得t ≤1或t ≥2. 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)。