最新有理数的知识归纳点有理数知识点总结

七年级代数知识点（上册）

第一章有理数

1.1正数和负数

一、概念

1、正数：大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+”（正号）

2、负数：在正数前面加上“—”（负号）的数

说明：一个数前面的“+”“—”叫做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数，有时“+”是为了强调它是正数，但“—”号是绝对不能省略的。

3、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。

说明：关于0的总结——实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界

二、实际应用

在解决一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。

例如：收入为正，支出为负，收支平衡为0

零上为正，零下为负，分界为0

向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0

加分为正，扣分为负，不加不扣为0

逆时针为正，顺时针为负

超标为正，低标为负，标准为0

地上为正，地下为负，地面基准为0

盈余为正，亏空为负，收支平衡为0

水位上升为正，水位下降为负，水平面为0

高于平均分为正，低于平均分为负

增加为正，减少为负，不增不减为0

海平面以上为正，以下为负，海平面记为0

三、易错易误点

1、- 一定是负数么？

答案：不一定，需要分类分析

解析：当大于0时，- 就是负数；当等于0时，- 为0；当小于0时，- 是正数因此，不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0的存在。

2、海拔0米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0米。

3、非正数：0和负数

非负数：0和正数

1.2 有理数

一、概念

1、有理数：正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。

2、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循环小数π=3.1415926…

它不能化成分数形式。

二、分类

1、按定义分：

有理数：正数——正整数，0，负整数

分数——正分数、负分数

2、按性质符号分：

有理数：正有理数——正整数、正分数

负有理数——负整数、负分数

综上，有理数共分为5类：正整数、正分数、0、负整数、负分数。

*易错易混点（选择题常考）：

非负整数（自然数）：正整数、0

非正正数：负整数、0

非负有理数：正整数、0、正分数

非正有理数：负整数、0、负分数

关于文字概念的判断题（难点，重点）

一个有理数不是整数就是分数——对！（从有理数概念可知）

正整数和负整数统称为整数——错！（还有0）

0不是有理数——错！（从性质符号分，有理数包括整数和分数，而0是整数）

正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数——错！（忽略了0）

三、数轴

1、定义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线

规定三要素——原点，正方向，单位长度

注意“规定”二字，是说三要素是根据实际需要认为规定的。

2、画法：（必须用直尺！）

（1）先画一条直线

（2）在直线上任取一点，作为原点，记为0

（3）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右（向左）每隔一个单位长度取一点。

3、与有理数的关系

所有的有理数都可以用数轴上的点表示，通常“正右负左，原点

中间”；

但数轴上的点不都来表示有理数。

四、相反数（重点）

1、概念

（1）几何定义：在数轴上分别位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

（2）代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如，2和-2 ；0的相反数是0。

2、表示方法以及多重符号的简化

（1）的相反数是- ，这里是任意有理数(即正数、负数、0) 当大于0时，- 小于0（正数的相反数是负数）

当小于0时，- 大于0（负数的相反数是正数）

当等于0时，- 等于0（0的相反数是0）

（2）多重符号化简方法：正数前有偶数个“—”，可以把“—”一起去掉

正数前有奇数个“—”，最后只留一个“—”

0前无论有多少个“—”，化简后仍是0

五、绝对值

1、概念

（1）几何定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离，记作｜｜，读作的绝对值，绝对值不能是负数。

（2）代数定义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。

2、做题时需要慎重考虑0的情况。

六、有理数大小比较

1、具体方法：将各数在同一条数轴上表示出来，那么从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即为——负数＜0＜正数。

2、两个负数，绝对值大的反而小。

3两数大小：同号——同正，绝对值大的数大

同负，绝对值大的反而小

异号——正数大于负数

一数为零——正数＞0，负数＜0

1.3有理数的加减法

1.3.1有理数的加法

一、法则

1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2、绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3、互为相反数的两个数相加得0；

4、一个数同0相加，仍得这个数。

二、运算律

1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。+=+

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(+)+=(+)+

1.3.2有理数的减法

法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。-=+(-)

注意两变：减法变加法，减数变为它的相反数

1.4 有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法

一、法则

1、两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。

2、任何数同0相乘，都得0。

二、推广

1、几个不是0的数相乘，负因数的个数的偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

2、几个数相乘，有一个因数为0，则乘积为0。

三、运算律

1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。=

2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。()=()

3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。(+)=+

四、倒数

1、乘积是1的两个数互为倒数。当≠0时，与1/互为倒数；当≠0，≠0时/与/互为倒数

2、注意：0没有倒数，做题时应当注意分母不为0

3、-1的倒数是-1；0~ -1之间的数的倒数比本身小；小于-1的数的倒数比本身大。

1.4.2 有理数的除法

一、法则

1、除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0，0不能做除数。

二、化简

1、分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号。

2、0除以任何一个不等于0的数，都得0。