高二数学第三章学案3 均值不等式

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1.在理解和应用定理时，要特别注意定理成立的条件， 避免因条件遗漏导致解题结果错误.
2.利用两个正数的算术平均数和几何平均数的关系定理 求函数的最值，是本学案内容的一个重点.这里要指出的是， 应用定理解决实际问题时，使定理成立的条件不一定现成 摆在那里，这就需要根据问题的需要凑配出定理成立的条 件，然后再运用定理解决相关问题.
高二数学第三章学案3 均值不等式
学案3 均值不等式
开始
学点一 学点二 学点三 学点四
1.如果a,b∈R+，那么
a
2
b≥
ab，当且仅当 a=时b，式
中等号成立，这个结论通常称为均值不等式.
ab
2.对任意两个正实数a,b，数 叫2 做a,b的算术平均值，
数 叫做aa,bb 的几何平均值.均值定理还可表述为：两个正
的最大值； 的最小值；
x(1-2x)的最大值.
【分析】利用均值定理求函数的最值，需记住：两个正 数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常 数时，它们的积有最大值.
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【解析】
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【评析】（1）利用此公式求最值，必须同时满足以下 三个条件：
①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成立. （2）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或积 一定，进而用公式求解.
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【解析】
【评析】解应用题应注意两个问题：一是读懂题意，建 立数学模型，即通过题中已知的数量关系，把应用题转化 为单纯的数学问题；二是建模后求解问题，即用相关的数 学知识将其解答出来.
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某单位用木料制作如图3-3-1所示的框架, 框架的下部是边长分别为x，y(单位:m)的 矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围 成的总面积为8 m2,问x、y分别为多少时用 料最省?(精确到0.001 m)
某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记 名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名同学， 老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡 外，每次还要包1辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的 包车费均为40元，若使每名同学游8次，那么购买几张游 泳卡最合算？每人最少交多少钱？
【分析】游泳活动的总费用包括两个方面，即包车费和 买游泳卡费用，可先建立总开支y元的函数关系，再利用 不等式求最值.
解：
图3-3-1
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1.如何理解均值不等式?
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2.对于公式a2+b2≥2ab以及均值不等式
ab
≤
a
2
b
，
应注意什么？
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3.应用均值不等式求最值时，应注意什么？
（1）已知x,y都是正数，则
①如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小
1 4
值;
式的左【边证进明行】恰当的变形.
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【评析】
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（ （12））已证知明a：＞a04+，bb4+＞c04，+da4+≥b4=a1b，cd求. 证a1 ：b1
≥4.
解：
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学点三 求最值
求下列函数的最值. （1）已知x>0，求y=2-x4x （2）已知x>2，求y=xx+1 2 （3）已知0<x<12 ，求y12 =
3.基本不等式及其推论主要用于证明不等式和求函数的 最值.解题时往往需要拆（添）项，其目的：一是创设一个 应用基本不等式的条件；二是使等号成立的条件.
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②如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
S2.
即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个
正数的和为常数时，它们的积有最大值.
（2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：
①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成
立.
（3）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或积
一定，进而用公式求解.
ab
正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方 平均数，由本题可得一般性结论：
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数； （2）此组关系应用广泛，可称作广义二元均值定理， 要熟记.
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下列不等式：①x+1x ≥2;② x ≥1x2;③若0<x<1<y,则 logxy+logyx≤-2;④若0<x<1<y，则logxy+logyx≥2.
其中正确的是
（）
C
A.②④ B.①② C.②③ D.①②④
解:
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学点二 证明不等式
ห้องสมุดไป่ตู้
已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1，求证a1：
1 b
1 c
≥9.
【分析】欲证不等式的右边为常数9，联想到公式
a+b ab
1 x
≥2 (a>0,b>0)的变形x+ ≥2(x>0)的应用，故将不等
实数的
算大术于平或均等值于它的
. 几何平均值
3.两个正数的 积为时常，数它们的和有最小值；两个正数
的 和时为，常它数们的积有最大值.
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学点一 均值不等式 设a,b∈R+，试比较a2b, ab, a22b的2,大1小21.
ab
【分析】
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【解析】
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【评析】（1）题中 121, ab,a分2b别, 叫a2做2b2
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（1）已知x＞0，y＞0，lgx+lgy=1，求2 z=5
的最
小值.
12 x
xy
（2）x＞0，求f(x)=x
4
3
+3x的最小值.
（3）x＜3，求f(x)=
+xs的in 2最5x 大1值.
（4）解x：∈R，求f(x)=sin2x+1+
的最小值.
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学点四 实际应用