球与多面体的内接外切常用技巧

球与多面体的内切、外接

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

一、直接法

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表

面27π .

变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方

体的表面积为24，则该球的体积为43π？

.

2、求长方体的外接球的有关问题

例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为14π .

变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为24π

二、球与多面体的接、切

定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。

棱切：

一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。

图3 图4

图5

球与棱柱的组合体问题

例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )。

设棱长为1

球的外切正方体的棱长等于球直径。

设棱长为1

正方形的对角线等于球的直径。

A B C

D D1 C1 B1 A1 O

⇒中截面 214=S R ππ=甲 . 224=2S R ππ

=乙