2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-课件ppt

30° 30°
？
向量的夹角
B
已知两个非零向量a和b如图，
则∠AOB=θ （0 ° ≤θ≤180°）
b
叫做向量的夹角
当θ =0° 时，a与b同向 当θ =180°时， a与b反向
o
a
共起点
A
a与b的夹角是90 °，则a与b垂直，记作a ⊥ b
A
思考:正△ABC中,向量
AB与BC的夹角为几度?来自百度文库B
C
D
如果是1只大猴子和4只小猴子呢?
如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动,如何改 变大小猴子的数量?
C
M
a
e2 e1
N
a B e1
A
o e2
OC=OM+ON = xe1+y e2
给定平面内任意两个不共线向量e1 、 e2，其他任 一向量是否都可以表示为xe1+y e2的形式？
C
M
a
e2 e1
N
a B e1
作业布置
课本P101A组1,2,3,4
a = １ e1+ ２e2
2.向量的夹角：共起点的两个向量形成的角
3.基本定理的应用 x
e1+ μe2= xe1+ ye2 y 4.向量的坐标表示
把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解。
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底，任一向
量a ，用这组基底可表示为a =xi + yj， （x，y）叫做向量a的坐标
A2
a
A 123
B
A1 4x
并求出它们的坐标。
-1
解：由图可知
a =AA1+AA2
-2
c
-3
d
-4
= 2i 3 j∴a =(2,3)
-5
同理，b =(-2,3) c =(-2,-3) d =(2,-3)
课堂小结：
1.平面向量的基本定理 （课本94页）
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于 这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 １、２使
A(x1, y1 )
y
(x2 , y2 ) (x1, y1)
(x2 x1, y2 y1 )
O
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．
2.3.3 平面向量的坐标运算
例4 已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，
a-b，3a+4b的坐标．
2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )， b (x2 , y2 )，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
特别地: ()a (a) (a)
(a
b)
a
b
问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动?
问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动?
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
2.3.3 平面向量的坐标运算
例5 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为
（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
C
E
M
a
N
F
o
例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 .
作法：(1)任取一点o, 作OA=-2.5e1,OB=3e2
(2)作 OACB.
于是OC就是所求作的向量.
e1
e2
C
B
3e2 A -2.5e1 O
e2 a
e1
N
e2 e1 o
C
a
M
OC=OM+ON = xe1+y e2
平行四边形做法唯一，所以实数对x,y存在唯一
2.3.1平面向量的基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解
及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
温故知新 向量的加法(三角形法则)
a
b
a+b
向量的加法(平行四边形法则)
a a+b
向量的减法(三角形法则） a
b
a-b
向量的数乘运算
b
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
2.3.2 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向 量，叫作把向量正交分解
如图，在直角坐标系内，以
Y
原点O为起点作OA= a，则点
A的位置由a 唯一确定。
y
a
A(x,y)
a
OA = xi y j，则向 量OA j
的坐标(x,y)就是点A的坐标； O
x
X
反过来，点A的坐标(x,y)也
解法1：设顶点D的坐标为（x，y）
y
C
AB (1 （ 2），3 1）（1，2） B
DC (3 x,4 y) 由AB DC，得 (1,2) (3 x,4 y)
A O
2 1
3 4
x y
x y
2 2
D x
顶点D的坐标为（2，2）
补充1 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （2，1）、（ 1，3）、（-3，4），求顶点D的坐标．
对定理的理解:
1)基底: 不共线的向量e1 e2。
同一平面可以有不同基底
2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的 方向分解成两个向量的和的形式；
3)分解是唯一的
思考:一天,1只住在正西方向的大猴子和住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往正北运动,要几只小猴子?
j x
O
X
i
向量表示方法：字母表示，几何表示，坐标表 示。
基本单位向量，位置向量，向量坐标。
对任一向量a 可表示成 a OA xi y j
记作 a = (x, y)
其中 i 、j为基本单位向量，
x、y为实数
例1
如图，用基底 i 、j
分别表示向量
a 、b 、c、d
5
b
4
3
2
1 j -4 -3 -2 -1 o i
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应 坐标的和（差）
2.3.3平面向量的坐标运算
a (x, y)
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
例3 已知A(x1, y1 )，B(x2 , y2 ) ．求 AB
解：AB OB OA
i
就是向量OA的坐标。
即 OA= xi y j
A(x,y)
平面向量的坐标表示：
对任一向量 a，可表示成 a xi y j ，
记作 a = (x, y) 其中 i 、j为基本单位向量， x、y为实数
以下三个特殊向量的坐标是：
Y
i = (1,0) j= (0,1) 0= (0,0) y
a
两个向量相等的充要条件 是两个向量坐标相等
A
o e2
OC=OM+ON = xe1+y e2
平面向量的基本定理
如果 e1，e 2 是同一平面内的两个不共线的
向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,
有且只有一对实数 １、２使
a ＝ １e1＋２e 2
其中不共线的向量 e1 , e 2 叫做表示这一平
面内的所有向量的一组基底。
思考:平面内,向量的基底是否唯一？