(完整)2.1离散型随机变量及其分布列(公开课)

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2.1《离散型随机变量及其分布列》课件(北师大版选修2-3)(2)

(D)第4次击中目标
【解析】选C.“X=5”表示射击次数为5次，依题意击中时就停止射击，故前4次均未击中目标.
3.一产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的 , 从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，则P(X＞1)的值是（）
1 2
(A) 4
7
(B)
3 7
【解析】选D.由于抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1，2，3，
4，5，6这6种情况之一，而X表示抛掷两颗骰子所得点数之和，所以X=4=1+3=2+2,表示的随机试验结果是：一颗是1点，另一
颗是3点，或者两颗都是2点.
2.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止
射击，射击次数为X，则“X=5”表示的试验结果是（ (A)第5次击中目标 (B)第5次未击中目标 (C)前4次均未击中目标）
4 24 24
7.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大号码，求X的分布列. 【解题提示】随机取出3个球的最大号码X的所有可能取值为3，4，5，6.而要求其概率则要利用等可能事件的概率公式和排列组合知识来解，从而获得X的分布列.
（2）求P（X≥
【解题提示】（1）先求出X的分布列，再根据分布列的性质确定a.（2）、（3）中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解.
【解析】依题意，随机变量X的分布列为
（1）由a+2a+3a+4a+5a=1,得 a=
1 . 15
1，2，3，4，5号球中的2个”.
从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为 C3 ,事件 6 “X=3”包含的基本事件总数为 C3 , 事件“X=4”包含的基本 3

2[1].1.2离散型随机变量的分布列(1).ppt1

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 ｐ 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
例1：某一射手射击所得环数ξ
ξ P 4
0.02
的分布列如下:
5
0.04
6
0.06
7
0.09
8
0.28
9
0.29
10
0.22
求此射手”射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: ”射击一次命中环数≥7”是指互斥事件”ξ=7”, ”ξ=8”, ”ξ=9”, ”ξ=10” 的和.
0.88
例2.随机变量ξ的分布列为
ξ -1 0 1 2 3
p
0.16
a/10
a2
a/5
0.3
解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有 a a 9 2 3 0.16 a 0.3 1 解得： a （舍）或 a 10 10 5 5
（1）求常数a;（2）求P(1<ξ<4)
1 1 5 C3 C10 P( 2) 2 26 A13
2 1 5 A C P( 3) 3 10 3 143 A13
分布列为：

1
10 13
2
5 26
3
5 143
4
1 286
P
例5 从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数的分布列．（2）每次取出的产品都放回此批产品中；解：
… …
P
小结: 1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列； 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题；会求离散型随机变量的概率分布列：

新教材选择性必修二8.2.1随机变量及其分布列课件(60张)

2．概率分布列 (1)定义一般地，随机变量 X 有 n 个不同的取值，它们分别是 x1，x2，…，xn，且 P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n，① 称①为随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列．①也可以用下表的形式来表示．
X x1 x2 … xn P p1 P2 … pn 我们将上表称为随机变量 X 的概率分布表．它和①都叫作随机变量 X 的概率分布．
三、解答题 11．设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 X＝m2，求 X 的分布列．
【解析】(1)由 x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即 S＝{x|－2≤x≤3}．由于 m，n∈Z，m，n ∈S 且 m＋n＝0，所以 A 包含的基本事件为(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)， (0，0). (2)由于 m 的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3，所以 X＝m2 的所有不同取值为 0，1，4，9，且有 P(X＝0)＝61 ，P(X＝1)＝26 ＝13 ，
【解析】选 BCD.抛掷两枚骰子，点数之差满足小于等于－4 的只有三种情况，故第一枚为 1 点、第二枚为 6 点，第一枚为 1 点、第二枚为 5 点，第一枚为 2 点、第二枚为 6 点．
8．(多选题)(2021·成都高二检测)已知随机变量 X 的分布列如表(其中 a 为常数)：
X0 1 2 34 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的有( )
离散型随机变量及其分布列随机变量及其分布列
基础认知·自主学习
1．随机变量一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω 都有唯一的实数 X(ω)与之对应，则称 X 为随机变量．通常用大写字母 X，Y，Z(或小写字母 ζ，η，ξ)等表示，而用小写英文字母 x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．

高中数学选修2(新课标)课件2.1.1离散型随机变量及其分布列

2．1 离散型随机变量及其分布列
知识导图
学法指导
1.随机变量表示随机试验的结果． 2．类比函数来学习随机变量，它们之间既有联系又有区别．事实上，本章的内容与《数学 1》中函数的内容具有一致性，都是先一般性了解随机变量(函数)的概念和性质，然后将其具体化为两点分布、超几何分布、二项分布、连续的正态分布(指数、对数、幂函数、三角函数、数列)，这样的学习有利于更好地认识随机变量．
【解析】 (1)A 的取值不具有随机性，C 是一个事件而非随机变量，D 中概率值是一个定值而非随机变量，只有 B 满足要求．
【答案】 (1)B
(2)下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
①北京机场一年中每天运送乘客的数量； ②北京某中学办公室一天中接待家长来访人数； ③2018 年除夕收看春节联欢晚会的人数； ④2018 年 3 月 15 号，收看两会开幕式的人数．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解析：根据离散型随机变量的定义，判断一个随机变量是否是离散型随机变量，就是看这一变量的所有取值是否可以一一列出．①②④中的 X 可能取的值，可以一一列举出来，而③中的 X 可以取某一区间内的一切值，属于连续型的．
答案：B
3．一木箱中装有 8 个同样大小的篮球，编号为 1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出 3 个篮球，以 ξ 表示取出的篮球的最大号码，则 ξ ＝8 表示的试验结果有________种．
{Y＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差 3，其包含的基本事件有(1,4)，(4,1)Y＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差 4，其包含的基本事件有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)．
{Y＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差 5，其包含的基本事件有(1,6)，(6,1)．

人教A版必修第三册课件2.1.1离散型随机变量

手甲回答这三个问题的总得分为ξ,则ξ的所有可能取值构成的集合是________.
(2)写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所
取的值表示的随机试验的结果.
①一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5, 现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数
ξ;
②某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.
【解析】①因为降雨量的大小是随机的,所以降雨量X是随机变量;②因为交易所的交易额也是随机的,所以Y是
随机变量;③因为投球10次,命中的次数可能是
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,所以Z是随机变量;④因为比赛中的得分是不确定的,所以M是随机变量;⑤因为年龄大于18岁的人数是一个常数,所以N不是随机变量.
【解析】选D.抛掷2枚骰子,其中1枚是x点,另1枚是y点,
其中x,y=1,2,…,6.而ξ=x+y,ξ=4⇔
x y
1,或 3
x y
2, 2.
2.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了
得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表
示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局
C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局或甲、乙平局三次
随机变量.
(2)投一颗骰子出现的结果是1点,2点,3点,4点,5点,6点
中的一个且出现哪个结果是随机的,因此是随机变量.
(3)属相是出生时便定的,不随年龄的变化而变化,不是
随机变量.
(4)标准状况下,在-5 ℃时水结冰是必然事件,不是随机
变量.
【方法总结】随机变量的辨析方法 (1)随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结
结论: 离散型随机变量所有取值可以_一__一__列__出__的随机变量称为离散型随机变

§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量§2.2 随机变量的分布函数(distribution function)

求常数a.
解由概率分布的性质得
1 . 得 15a = 1, 即 a 15
p
i 1
5
i
1
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第11页
课堂练习2 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4 个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。解用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3。
Ω={ t | t ≥ 0}
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第4页
定义设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个 ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称 X(ω)为随机变量，并简记为X。
注意： 1. X是定义在Ω上的实值、单值函数。 2. 若给定了试验的样本空间的概率分布。就可以确定随机变量 X 取某些值时的概率，设 A 为一实数集,
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第2页
例1续掷一枚硬币10次，观察出现正面的次数。
此时，试验的样本空间是由一系列长度为10的正反面的序列组成，总共有 210 个元素。定义函数 X 如下：对任意一个序列
,
定义
X ( ) 出现正面的次数。
这样的定义的函数 X 是一个随机变量。它反映了出现正面的次数。利用它可以很容易的描述随机事件。例如， {X≤5}= 出现正面次数不多于5次的事件.
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第9页
定义设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为 P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …）则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律). 亦可用下面的概率分布表来表示

离散型随机变量及其分布列教案

离散型随机变量及其分布列教案离散型随机变量及其分布列教案一、引言1.1 概念介绍离散型随机变量是统计学中的一个重要概念，它描述了在一次实验中可能取到的离散数值，如扔一枚硬币可以取到正面和反面两个离散数值。

本文将介绍离散型随机变量的基本概念及其分布列。

1.2 学习目标通过本教案的学习，你将能够：- 理解离散型随机变量的基本概念；- 了解离散型随机变量的分布列及其性质；- 掌握计算离散型随机变量概率的方法。

二、离散型随机变量的定义2.1 随机变量的概念在概率论中，随机变量是指定义在某个概率空间上的实值函数，它的取值是由实验结果决定的。

随机变量可以分为离散型和连续型两种类型，本文主要关注离散型随机变量。

2.2 离散型随机变量的定义离散型随机变量是指其取值是有限个或可数个的随机变量。

扔一枚硬币的实验可以定义一个离散型随机变量X，它的取值为1（正面）和-1（反面）。

三、离散型随机变量的分布列3.1 定义离散型随机变量的分布列，也称为概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF），描述了随机变量取各个值的概率。

3.2 示意图我们可以通过绘制柱状图来直观地表示离散型随机变量的分布列。

横轴表示随机变量的取值，纵轴表示对应取值的概率。

3.3 性质离散型随机变量的分布列具有以下性质：- 非负性：概率质量函数的取值非负；- 总和为1：所有可能取值的概率之和等于1。

四、计算概率4.1 概念介绍在实际问题中，我们常常需要计算离散型随机变量的概率。

概率计算可以基于分布列进行。

4.2 计算方法计算离散型随机变量概率的基本方法是通过分布列查找对应取值的概率。

具体而言，对于随机变量X和某个取值x，我们可以通过查找分布列找到对应的概率P(X=x)。

五、总结与回顾5.1 概括概念通过本教案的学习，我们了解了离散型随机变量的基本概念及其分布列。

离散型随机变量的分布列描述了随机变量取各个值的概率。

5.2 理解计算方法我们学会了通过分布列计算离散型随机变量的概率的方法。

人教A版必修第三册课件2.1.2离散型随机变量的分布列

的概率.
(2)从盒子中随机取出4个球,其中红球个数记为X,求随机变量X的分布列.
【解题指南】(1)计算取出2个球的基本事件总数,计算取出2个相同颜色的球的基本事件数,结合古典概型计
算公式,计算概率,即可. (2)分别计算出X=0,1,2,3,4对应的概率,列出分布列即可.
【解析】(1)一个盒子里装有9个球,其中有4个红球,3
答案:①②③
2.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,则ξ 的分布列为________.
【解析】随机变量ξ可能取的值为1,2.
事件“ξ=1”是指有1人参加A岗位服务,则P(ξ=1)
=
C15C42A33
的可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)= C54 P5 (，X=1)=
PC(C14XC94 =35 4P)26=03(X，CC9444=21)21=6所，以随CC24机C94P52(变X1量2=013，X)的= 分C布94 列12为C6C34C:94 15
10 ， 63
【方法总结】求离散型随机变量的分布列的步骤
A.(-∞,2]
B.[1,2]
C.(1,2]
D.(1,2)
【解析】选C.由随机变量X的分布列知:P(X<-1)= 0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当 P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].
2.下列表格中,不是某个随机变量的分布列的是( )
张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列.

2014年人教A版选修2-3课件 2.1 离散随机变量及其分布

练习: (课本45页) 第 1、 2 题 .
练习: (课本45页)
1. 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示? 若能, 请写出各随机变量可能的取值, 并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1) 抛掷两枚骰子, 所得点数之和; (2) 某足球队在 5 次点球中射进的球数; (3) 任意抽取一瓶某种标有 2500 ml 的饮料, 其实际量与规定量之差. 解: (1) 能用离散型随机变量表示. 随机变量的可能取值为 X{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. {X=2} 表示两枚都出现 1 点. {X=3} 表示一枚出现 1 点, 另一枚出现 2 点. {X=4} 表示一枚出现 1 点, 另一枚出现 3 点; 或两枚都出现 2 点.
2. 什么是离散型随机变量? 变量的取值是否有一个确定的范围? 每一个取值表示怎样的一个试验结果?
问题 1. 你能说出下列各试验的结果吗? 各试验结果是否能用数量表示? (1) 掷一枚骰子; (2) 掷一枚硬币; (3) 测一病人体温.
(1) 掷一枚骰子的试验结果有: 1 点向上, 2 点向上, 3 点向上, 4 点向上, 5 点向上, 6 点向上. 可分别用
出现点数
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
正面向上反面向上
1
正常低热高烧
0 1 2
0
随机变量也是一种映射, 与函数比较, 函数是把实数映射为实数, 随机变量是把试验结果映射为实数. 试验结果的范围相当于函数的定义域, 随机变量的取值范围相当于函数的值域.
出现点数
1 2 3 4 5 6
数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 表示上面的六个试验结果.

高中数学第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列课件新人教B版选修2308292102

随机变量.
答案:B
第四页，共26页。
1
2
3
4
2.分布列
(1)将离散型随机变量X所有可能取的不同值x1,x2,…,xn和X取每
一个值xi(i=1,2,…,n)的概率p1,p2,…,pn列成下面的表:
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
称这个表为离散型随机变量X的概率分布,或称为离散型随机变
量X的分布列.
解析:X=0表示取到一个合格品,其概率为0.95,这是一个二点分布问题.
答案:0.95 0.05
第二十五页，共26页。
1
2
3
4
5
5.一个袋子里装有大小相同(xiānɡ tónɡ)的3个红球和2个黄球,从中同时取
出2个,则其中含红球个数X的可能取值
为
,P(X=2)=
.
C23 ·C02
解析:P(X=2)=
X
0
1
P
4a-1
3a2+a
则 a 等于(
1
A. 2
)
1
B. 3
2
3
C. 3
D. 4
解析:由二点分布的性质,得(4a-1)+(3a2+a)=1,即 3a2+5a-2=0,
解得
1
a1= ,a2=-2,又由概率值非负得
3
1
a= .
3
答案(dáàn):B
第九页，共26页。
1
2
3
4
【做一做3-2】一个盒子中装有3个红球和2个绿球,从中随机(suí jī)摸出

高中数学第二章 2.1.2离散型随机变量的分布列(一)课件

答案是.离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的.
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一求离散型随机变量的分布列例1 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)有X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.
解析根据所给的分布列，
由离散型随机变量的性质得12＋13＋p＝1，解得 p＝16.故选 B.
解析答案
1234
2.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝i)＝a(13)i，i＝1,2,3，则 a 的值为( C )
9
27
11
A.1
B.13
C.13
D.13
解析由分布列的性质，得 a(13＋19＋217)＝1， ∴a＝1237.
假设身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子〞，身高在175 cm 以下定义为“非高个子〞，且只有“女高个子〞才能担任“礼仪小姐
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子〞和“非高个子〞中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子〞的概率是多少？
解析答案
(2)假设从所有“高个子〞中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任 “礼仪小姐〞的人数，试写出ξ的分布列. 解依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，那么 P(ξ＝0)＝CC31382＝1545，P(ξ＝1)＝CC14C31228＝2585， P(ξ＝2)＝CC24C31218＝1525，P(ξ＝3)＝CC31342＝515. 因此，ξ的分布列为
P
1 10
3 10
3 5
解析答案
易错点无视分布列的性质致误

人教a版数学【选修2-3】2.1.2《离散型随机变量的分布列》ppt课件

离散型随机变量的分布列温故知新回顾复习古典概型的特点及概率计算、离散型随机变量的特点．
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
思维导航 1 ．想一想，投掷一颗骰子，所得点数记为 ξ ，则 ξ 可取哪些数字？ξ取各个数字的概率分别是多少？可否用列表法表示ξ 的取值与其概率的对应关系？投掷两颗骰子，将其点数之和记
X P0Βιβλιοθήκη 1－p1 p这样的分布列叫做两点分布列．如果随机变量 X的分布列两点分布．而称 p ＝ P(X ＝ 1) 为为两点分布列，就称 X 服从 __________ 成功概率． __________
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
若其中所含教师人数记为ξ，则ξ可能的取值有哪些？怎样求其
概率？你能将这一问题一般化表达，并再找出类似的例子吗？其一般概率公式如何推导？
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
新知导学 2．两个特殊分布列
(1)两点分布列
如果随机变量X的分布列是
为ξ，则ξ可能的取值有哪些，你能列表表示ξ取各值的概率与ξ
取值的对应关系吗？
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
新知导学
1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1、x2、„、xi、„、xn，X取每一个值xi(i＝1,2，„，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X P x1 p1 x2 p2 „ „ xi pi „ „ xn pn

数学：2.1《离散型随机变量及其分布列-离散型随机变量分布列》课件(新人教A版-选修2-3)

P 1 p， P 0 q， 0 p, q 1，
p q 1.
想一想
X 2 5 是两点分布吗? P 0.3 0.7 提示:不是．两点分布的X的取值只能是0,1. 分布列
什么是超几何分布? 先思考一个例子: 思考 1.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件,求:(1)取到的次品数 X 的分布列.
例1
甲、乙两人参加一次数学知识竞赛 , 已知在备
选的 10 道试题中 , 甲能答对其中的 6 道试题 , 乙能答
对其中的8道试题．规定每次考试都从备选试题中
随机抽出3题进行测试,答对一题得5分,答错一题得 0分．求: (1)甲答对试题数X的分布列; (2)乙所得分数Y的分布列．
【解】
(1)X 的可能取值为 0,1,2,3. C3 4 1 4 P(X＝0)＝ 3 ＝＝ ,2 分 C10 120 30 1 C2 36 3 4C6 P(X＝1)＝ 3 ＝＝ 3分 C10 120 10 2 C1 60 1 4C6 P(X＝2)＝ 3 ＝＝ ,4 分 C10 120 2 C3 20 1 6 P(X＝3)＝ 3 ＝＝ .5 分 C10 120 6 所以甲答对试题数 X 的分布列为 X 0 1 1 3 P 30 10 6分
设摸出的红球的个数为 X k n k CM CN M 则 P( X k ) (k 0,1, 2 , m), m min M , n n CN
C
1分
2 1 2
3 1 6
(2)乙答对试题数可能为 1,2,3,所以乙所得分数 Y＝5,10,15. 1 C2 C 8 1 2 8 P(Y＝5)＝ 3 ＝＝ ,9 分 C10 120 15 2 C1 C 56 7 2 8 P(Y＝10)＝ 3 ＝＝ ,10 分 C10 120 15 C3 56 7 8 P(Y＝15)＝ 3 ＝＝ .11 分 C10 120 15 所以乙所得分数 Y 的分布列为 Y 5 10 15 1 7 7 P 15 15 15 12 分

新人教版选修2—3第2.1.2.节离散型随机变量的分布列课件

补充练习：
1.在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η，才能使η满足两点分布，并求其分布列．
[解析]
1 η ＝ 0
随机变量 η 可以定义为：掷出点数小于4 掷出点数不小于4
显然 η 只取 0,1 两个值． 3 1 且 P(η＝1)＝P(掷出点数小于 4)＝6＝2，故 η 的分布列为 η P 0 1 2 1 1 2
[例 2] 袋内有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记
0 X＝ 1
两球全红 .求 X 的分布列．两球非全红
想一想？？
例3：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到一件次品的概率.
2.超几何分布列一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取 n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k} 发生的概率为P(X＝k)＝，
2.某班有学生45人，其中O型血的有10人， A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人，现抽1人，其血型是一个随机变量X， (1)X的可能取值是什么？ (2)X的分布列是什么？
[解析] (1)将四种血型编号：O、A、B、AB 型的编号分别为 1、2、3、4，则 X 的可能取值为 1、2、3、4.
练习：从某医院的3名医生，2名护士中随机选派2人参加抗洪抢险救灾，设其中医生的人数为X，求随机变量X的分布列．
[解析] 依题意可知随机变量 X 服从超几何分布，所以
k 2－k C3 C2 P(X＝k)＝ C2 (k＝0,1,2)． 5 0 2 C3 C2 1 P(X＝0)＝ C2 ＝10＝0.1， 5 1 1 C3 C2 6 P(X＝1)＝ C2 ＝10＝0.6， 5 2 0 C3 C2 3 P(X＝2)＝ C2 ＝10＝0.3(或 P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X 5

人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量及其分布列(第1课时)》教案-新版

2.1 离散型随机变量及其分布列（第1课时）一、教学目标【核心素养】对离散型随机变量及其分布列概念的学习，初步形成从实际问题到数学问题的数学建模思想．【学习目标】1.了解随机变量的概念．2.理解离散型随机变量的概率分布列及其特征．3.学会解答一些简单分布列的运算．【学习重点】离散型随机变量分布列制表．【学习难点】1.正确选取离散型随机变量及概率的运算．2.掌握如何将实际问题划归为离散型随机变量的分布列方法．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1-阅读教材，了解离散型随机变量的的概念及性质．任务2-离散型随机变量分布列的性质及表格的制作．2.预习自测1.已知：①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X ；③某篮球下降过程中离地面的高度X ；④某立交桥经过的车辆数X .其中不是离散型随机变量的是（） A.①中的X B.②中的X C.③中的X D.④中的X 解：C2.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X,则X 所有可能取值的个数是（） A.5 B.9 C.10 D.25 解：B由于本试验属于有放回抽取，所以所有1,2,3,4,5肯能号码都可被抽取到．然后抽取的数字之和是相同值得时候只能看作1次取值．所以最后可能组合就有9组不重复可能取值．3．某一随机变量X 的概率分布列如下表，且2.12=+n m ,则2nm -的值为（）A.-0.2B.0.2C.0.1D.-0.1 解：B利用概率=∑=ni i p 11．（二）课堂设计问题探究一、离散型随机变量的定义●活动一感知随机变量引例：某一时间段内公交站等公交的乘客人数；某固定电话在某时间段内接到的电话数量；一批注入某种毒素的动物在确定时间段内死亡的数量；长途汽车在1000KM 的行驶路程中到达目的地所用的时间等等．讨论：（1）变量：可变的量；在函数中常见；常用x,y,z 等字母表示一些不确定的数值关系．（2）随机性：偶然性的一种形式；是对某一事件发生的不确定性的描述．（3）离散性：数据的分散性，不具备连续的特征（如:连续型数据-10≤x ≤9；离散型数据：x =-10，-1，0，1，9）．引入（1）在随机试验的实际结果与数学之间，自然地或人为地建立起一种数学数字对应关系，使每一个可能的结果都对应着一个实数，那么随机试验的结果就可以用取值对应的任一个变量来表示，这个变量叫随机变量，随机变量常用X 、Y 、ξ、η等表示（区别于连续型函数)(x f ）．（2）离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值有限多个或无限多个，但可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量（如：掷骰子点6出现的次数X ;抛硬币正面出现的次数N ;流水生产线上发生故障点的个数M ）．注意：①并不是所有的随机变量都能一一列出．例如汽车的使用寿命；从发电站到用户家庭的线路故障点；一天中雷雨天气的发生时间等等．②相反的，如果随机变量可以取定区间内的任意一个数值，这样的变量称之为连续型随机变量．●活动二随机变量类型的判别、选取、取值实例感知，如何在实际情景中选取随机变量：例1.重庆至武汉的高铁路段设立有固定的100个安全检测点，请能否将此监测点看作随机变量？属于离散型或是连续型？如何选取随机变量？例2.三峡大坝水位检测站承担对长江沿岸（0，168m)水位任务检测工作．该水位站检测到的水位数据是否属于随机变量？是连续型或是离散型？例3.一个盒子里面装有5个红球4个黄球3个白球．一次实验中取出依次不放回取出3个球．根据题意如何选取随机变量．例4.在一次关于电视娱乐节目的调查中，对100个家庭进行了调查分析．发现有观看关于娱乐节目、生活节目、电视剧节目、电影节目．请对以上调查结果做出合理的分析，给出随机变量的的选取意见．随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果对应的某个函数的自变量．即随机变量的取值实质上是试验所对应的结果数，但这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道具体是哪一个值，也就充分验证了实验结果具有随机性的特征．问题探究二、离散型随机变量的分布列及其性质●活动一列分布列表(1)分布列的定义表示概率在所有试验结果中的分布情况的列表．（2）分布列的表示①设定离散型随机变量X 可能的取值为nx x x ,,,21⋅⋅⋅．②求出X 取定每一个值i x (n i ,,3,2,1⋅⋅⋅=)的概率i i p x X P ==)(． ③列出概率分布表则该表格为离散型随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列． ●活动二结合实例，认知分布列性质思考：分布列的概率问题是否与之前所学概率知识有相通之处？例1.已知随机变量X 的分布列为33)21()(i C i X P == （i =0,1,2,3）则==)2(X P ；详解：83)21()2(323===i C X P点拔：考察组合在概率中的基本算法．例2.已知随机变量X 的分布列为则x = ．详解：3.0)5.02.0(1)2(=+-==X P ．点拔：概率的性质．通过以上案例的分析，我们不难发现：离散型随机变量分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ①0(1,2,3,,)i p i n ≥=L ， ②11ni i p ==∑点拔：1.理解分布列的两大性质，熟练掌握概率的算法及运用它来解决一些实际问题．2.重点理解性质②，对于求取分布列中的某些参数具有重要指导意义．三、课堂总结【知识梳理】1.连续型随机变量、离散型随机变量的概念与区别．2.如何在实际问题中筛选出随机变量并建立变量关系．3.离散型随机变量分布列的概率性质：①0(1,2,3,,)i p i n ≥=L ，；②=∑=ni i p 1 1.4.随机变量分布列的表格制作步骤：①选取随机变量的可能取值；②计算随机变量取值对应的概率；③制作概率分布列表格．【重难点突破】1.若X 是一个随机变量，λ、μ是常数.则有如下情况：μλ+=X Y ;X X Y μλ+=2; 2)(μλ+=X Y ......中的Y 也是一个随机变量．提示：类比于理解函数中x 与f （x ）的对应关系．2.掌握离散型随机变量分布列的两大性质，学会应用其概率特征解决一些参数问题．3.在具体划归分布列的应用中，关键明确变量的取值，正确求取值对应的概率四、随堂检测1.抛掷两颗骰子，如果将所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机试验结果是（）A.两颗都是4点B.一颗是1点，另一颗是3点C.两颗都是2点D.一颗是1点，另一颗是3点，或者两颗都是2点【知识点：随机变量的概念】解：D2.下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是（）A.B.C.D.【知识点：概率分布列的性质；互斥事件】解：C3.随机变量X 的概率分布规律为)4,3,2,1()1()(=+==n n n an X P 其中a 是常数，则)2521(<<X P 的值为．【知识点：分布列的性质；互斥事件概率】解：654.设X 是离散型随机变量，其分布列如下表所示.则=q （）． A.1 B.221±C.221+D.221-【知识点：分布列的性质；互斥事件概率】解：D 五、课后作业 ★基础型自主突破1.如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是（） A.X 取每一个可能值的概率都是非负数； B.X 取所有可能值的概率之和为1；C.X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【知识点：真假命题；分布列的性质】解：由分布列性质①可知1≥i p ≥0，(n i ,,3,2,1⋅⋅⋅=)，故A 是真命题；分布列性质②=∑=ni i p 1 1 可知B 、C 是真命题．故D 是假命题．2.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（） A.① B .② C.③ D.①③【知识点：离散型随机变量的定义】解：②中的区间取值是随机的，但是数值是连续的，是不能一一列出的，这样的数据属于连续型随机变量．故选D.3.设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（）A .12B .16C .13D .14【知识点:分布列性质】解：由概率分布列性质=∑=ni i p 11可知31,1)4()3()2()1(===+=+=+=a X P X P X P X P 故选C ．4、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（） A ．1B ．12C ．13D ．14【知识点:等比数列通项式及前n 项和公式；分布列性质】解：21,113211==-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=λλλλλλλn i i p 故选B ．5、已知随机变量X 的分布列为：()12k p X k ==， ,3,2,1=k ，则()24p X <≤=（） A.163B.41C.161 D.165【知识点:互斥事件概率问题；分布列性质】解：,1632121)4()3()42(43=+==+==≤<X p X p X p 故选A ．6、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（）A.一枚是3点，一枚是1点B.两枚都是2点C.两枚都是4点D.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点【知识点:离散型随机变量；数学思想：分类讨论】解：一枚骰子可取点数范围从1、2、3、4、5、6；X =2+2=4 或X =1+3=4的讨论组合方式，故选D ．★★能力型师生共研7.设随机变量X 的分布列为()()21,2,3,,,k P X k k n λ==⋅=⋯⋯，则 λ= .【知识点:等比数列通项式及前n 项和公式；分布列性质】解：31,11222223211==-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=λλλλλλλn i i p8.一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为【知识点:组合；数学思想：分类讨论】解：由于抽取的过程中是不放回取球．可能情况数1035 C ,分类讨论情况如下（不论先后）：①1，2，3.②1，3，4③1，3，5 ④2，3，4 ⑤2，3，5 ⑥3，4，5.⑦4，5，1⑧4，5，2⑨5，1，2⑩4，2，1.故X 的可能取值为3，4，5.9.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【知识点:离散型随机变量；数学思想：转化】解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．★★★探究型多维突破11、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．【知识点:分布列；数学思想：转化、分类讨论】解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==．所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为12、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n 21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.【知识点:分布列，互斥事件概率；数学思想：转化、分类讨论】解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为∴(10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==87814121=++．自助餐1.下列随机变量中,不是离散随机变量的是( )A.从10只编号的球 ( 0号到9号) 中任取一只,被取出的球的号码ξB.抛掷两个骰子,所得的最大点数ξC.[0 , 10]区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值ξD.一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数ξ【知识点:离散型随机变量】2.甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξ（）A.4.06.01⨯-kB.76.024.01⨯-kC.6.04.01⨯-kD.24.076.01⨯-k【知识点:互斥事件概率；数学思想：转化、分类讨论】解：B 若甲投1次球，则包含两层信息---甲乙两人共投球1次；甲乙两人共投球2次，即概率76.0)4.01)(4.01(4.0)1(=--+==ξP ；若甲投2次球，则包含两层信息---甲乙两人共投球3次；甲乙两人共投球4次，即概率1824.0)4.01)(4.01(4.0)4.01(4.04.0)4.01()2(=--⋅-+⋅-==ξP ．同理可得出==)(k P ξ76.024.01⨯-k ．3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（）A.0B.21 C.31 D.32 【知识点:对立事件概率】4.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（） A.21B.91C.61D.51【知识点:互斥事件概率；数学思想：分类讨论】解：D5.已知随机变量ξ的分布列为：),3,2,1(21)(⋅⋅⋅===k k P k ξ，则=≤<)42(ξP （）A.163B.41C.161D.165【知识点:互斥事件概率；数学思想：分类讨论】解：A6.已知随机变量ξ的概率分布为：则==)10(ξP ( ) A.932 B.1032 C.931 D.1031 【知识点:分布列；数学思想：观察法】解：D7.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（） A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 【知识点:计数原理，独立事件概率；数学思想：组合】解：B8.在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是【知识点:离散型随机变量】解：0,1,2,3.9.设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率相同，则=>)8(ξP ，)146(≤<ξP =【知识点:对立事件、互斥事件概率；数学思想：分类讨论、正反面】解：31121121121121)8(=+++=>ξP ；65)121121(1)6(1)146(=+-=≤-=≤<ξξP P ．10.已知随机变量ξ的分布列是：=≤≤)42(ξP【知识点:分布列；数学思想：分类讨论】解：0.711.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相随年龄的变化．【知识点:离散型随机变量】解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．(3)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4)属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．12.设b,c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数.（1）设A =},,02|{2R x c bx x x ∈<+-求φ≠A 的概率；（2）设随机变量|,|c b -=ξ求ξ的分布列. 【知识点:二次方程根的判别，对立事件概率；数学思想：分类讨论】解：b,c 的所有可能取值从1-6.当b =1,c =1,2,3,4,5,6; 08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =2,c =1,2,3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =3,c =2,3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ; 当b =4,c =3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =5,c =4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =6,c =5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b .故当φ≠A 时概率18536261=-；5,4,3,2,1,0=ξ其分布列如下：。

人教版高中数学选修2-3课件：2.1 离散型随机变量及其分布列(共52张PPT)

预习探究
[探究] 以下随机变量是离散型随机变
量的是
.
①某部手机一小时内收到短信的次数
ξ;
②电灯泡的寿命ξ; ③某超市一天中的顾客量ξ; ④将一颗骰子掷两次出现的点数之和
ξ.
⑤连续不断地射击,首次命中目标所需
要的射击次数ξ.
④将一颗骰子掷两次出现点数之和ξ的取
值为2,3,…,12,是离散型随机变量;
三维目标
3．情感、态度与价值观使学生感悟数学与生活的和谐之美，学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣．
重点难点
[重点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)离散型随机变量的分布列的概念．
[难点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)求简单的离散型随机变量的分布列．
教学建议
例1 指出下列变量中,哪些是随机变量, 哪些不是随机变量,并说明理由. (1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次,出现正面向上的次数; (2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数 (最上面的数字); (3)某个人的属相随年龄的变化; (4)在标准状况下,水在0℃时结冰.
(3)属相是出生时便确定的,不随年龄的变化而变化,不是随机变量. (4)标准状况下,水在0℃时结冰是必然事件, 不是随机变量.
P
分别求出随机变量η1=2ξ1,η2=ξ2的分布列.
当ξ取-1与1时,η2=ξ2取相同的值,故η2的分布列为 η2 0 1 4 9
考点类析
例2 指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到 10号)中任取1张,被取出的卡片的号数; (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数; (3)某林场树木最高达30 m,则此林场中树木的高度; (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.

高中数学人教A版选修2-3教案-2.1 离散型随机变量及其分布列_教学设计_教案_1

教学准备
1. 教学目标
离散型随机变量的分布列
2. 教学重点/难点
离散型随机变量的分布列
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一、基本知识概要：
1. 随机变量：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量的随机变量，记作；
说明：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量。

2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出
连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。

说明：①分类依据：按离散取值还是连续取值。

②离散型随机变量的研究内容：随机变量取什么值、取这些值的多与少、所取值的平均值、稳定性等。

说明：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即。

例2：一袋中装有5只球，编号为1,2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量的分布列。

剖析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即可以取1，2，3。

三、课堂小结
1会根据实际问题用随机变量正确表示某些随机试验的结果与随机事件；2熟练应用分布列的两个基本性质；
3能熟练运用二项分布计算有关随机事件的概率。

四、作业布置：教材P193页闯关训练。

高中数学第二章随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时两点分

所以P(X＝0)＝CC06C13034＝310，P(X＝1)＝CC16C13024＝330， P(X＝2)＝CC26C13014＝12，P(X＝3)＝CC36C13004＝130. 所以X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
1 30
3 10
1
1
2
6
(2)由(1)知他能及格的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝
4．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，
则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝CC02C36 34＋CC12C36 24＝45. 答案：45
5．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝
复习课件
高中数学第二章随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时两点分布与超几何分布同步课件新人教A版选修2-3
1
第二章随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 离散型随机变量的分布列第 2 课时两点分布与超几何分布
[学习目标] 1.理解两点分布，并能进行简单的应用 (重点)． 2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用(重点、难点)．
X0
1 …M
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随
机变量 X 服从超几何分布．
温馨提示两点分布的随机变量 X 只能取 0 和 1，否则，只取两个值的分布不是两点分布．