小学数学 相遇与追及问题 之 行程中的倍比关系 PPT带详细答案

练习3 甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小
时行45千米．甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达BA两地后， 立即按原路原速返回．两车从开始到第二次相遇共用6小时．求A、B两地的距离？
甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个AB间的路程， 第一次相遇后继续前进，各自到BA两地后，又共同行完一个 AB间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个 AB间的路程．因此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行3个 AB间的路程．甲、乙速度和：42+45=87(千米)，3个AB间路程： 87×6=522(千米)，A、B相距：522÷3=174(千米)．
例题4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，
在离家4千米的地方追上了他．然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追 小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
4千米 家
4千米
小明 爸爸
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明骑了8-4=4(千米)．而爸爸骑的距离是
只从狗本身考虑，光知道速度，无法确定跑的时间．但换个角度，狗在甲乙之间来 回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同．由此便能求出答 案．狗一共跑了100÷（6+4）=10（小时）所以狗跑的距离为10×10=100（千米）
练习6
A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行 35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时行50千米的速度和甲车 同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车返飞去，遇到甲车又返飞向 乙车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？
4+8=12(千米)．
这就可以知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4=3倍．按照这个倍数计算，小
明骑8千米，爸爸可以骑行8×3=24(千米)．但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4+12=16(千米)，
少骑行24-16=8(千米)．摩托车的速度是8÷8=1(千米/分)，爸爸骑行16千米需要16分
钟．8+8+16=32(分钟)．所以这时是8点32分．
练习4 自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追
上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再 追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度．
在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为(18+9)千米，而自 行车所走的路程为(18-9)千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的3倍(=(18+9)÷(18-9)) ；摩托车与自行车的速度差是自行车速度的2倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车 队已出发了12分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在12分钟内所走的路程，所以追及 时间等于12÷2=6(分钟)；联系摩托车在距出发点9千米的地方追上自行车队可知：摩托车在6 分钟内走了9千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了．列式为：(18+9)÷(189)=3倍，12÷(3-1)=6(分钟)，摩托车的速度为：9÷6=1.5(千米/分钟)，自行车的速度为： 1.5÷3=0.5(千米/分钟)
经过 2 小时 15 分钟的时候，甲实际行了 2 小时，行了 4×2=8千米，乙 则行了12×9/4=27千米，两人还相距 35.8－27－8=0.8千米，此时甲开 始休息，乙再行 0.8÷12×60=4分钟就能与甲相遇．所以经过 2 小时 19 分的时候两人相遇．
练习8 某条道路上，每隔900米有一个红绿灯．所有的红绿灯都按 绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换． 一辆汽车通过第一个红绿灯后，以每小时多少千米的速度 行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？
练习1 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地90千米处相
遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地30千米处相 遇．求A、B两地间的距离？
第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了 三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行 了90千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个90千米，即 90×3=270（千米），而这270千米比一个A、B两地间的距离多30千米，可得： 90×3-30=240 (千米)．
因为两列火车相距100英里，以每小时50英里的速度相向而行．所以，他 们相遇时所经过的时间是1小时，而蜜蜂在这段时间内，不停地在两列火车 之间往返飞行，蜜蜂飞行的全部时间正好是两行火车相遇的时间，所以， 蜜蜂在这1小时内，正好飞行了100英里．
练习7 阿呆和阿瓜同时从距离20千米的两地相向而行，阿呆每小 时走6千米，阿瓜每小时走4千米． 阿瓜带着一只小狗，狗 每小时走10千米．这只狗同阿瓜一ห้องสมุดไป่ตู้出发碰到阿呆的时候 ，它就掉头朝阿瓜这边走，碰到阿瓜时又朝阿呆那边走， 直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米？
阿呆和阿瓜两人相遇时间为：20÷(6+4)=2(小时)，狗共跑路程为： 10×2=20(千米)．
例题8
甲、乙两人分别从相距 35.8千米的两地出发，相向而行．甲每小时行 4 千 米，但每行 30 分钟就休息 5 分钟；乙每小时行 12 千米，则经过 ________小时________分的时候两人相遇．
由小鸟和两车同时开始飞行和同时停止，故小鸟飞行的时间和两车相遇 的时间相等，32÷（17+15）=1小时。燕子飞行的路程：24×1=24（千 米）.
例题6
甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100里，甲每小时走6里， 乙每小时走4里．如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10里的速度向 乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人 相遇时狗才停住．这只狗共跑了多少里路？
因为红绿灯变换的时间周期是30+5+25=60（秒），所以要想让汽 车在所有的红绿灯口都遇到绿灯，那么汽车通过第一个路口后，到下 一个路口所花的时间必须是60秒．换句话说，只要60秒走900米， 汽车就可以一路绿灯．因此，汽车应以每小时 900÷60×3600÷1000=54（千米）的速度行驶．
例题1 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇
后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两 地间的距离．
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车 共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲 车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即 95×3=285(千米)，而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×325=260(千米)．
例题5 A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不
停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分 钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？
甲
A
FE
第一次相遇 第一次追上
由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100B 80=20(分钟)内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度， 乙 即等于甲在(80+100)分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍
(=180÷20)，则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走 80×(1+9)=800(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且 与甲的路程差为一个AB全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲 的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟(=100×2)， 所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟， 300分钟，500分钟和700分钟．
例题2
如图，A、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相 向而行．他们在离A点100米的C点第一次相遇．亮亮到达B点后返回A点，明明到 达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二次相遇．整个过程中，两人各自 的速度都保持不变．求A、B间的距离．要求写出关键的推理过程．
第一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了100米，从开始到 第二次相遇，两人共走了三个全程，则亮亮走了 100×3=300(米)．亮亮共走的路程为一个全程多80米，所以道路长 300-80=220（米）．
由燕子和两车同时开始飞行和同时停止，故燕子飞行的时间和两车相遇的时间相 等，480÷（35+45）=6小时。燕子飞行的路程：50 ×6=300千米
例题7
在一次宴会上，一位客人给著名的数学大师、“计算机之父”冯·诺伊曼先 生出了一个蜜蜂问题：两列火车相距100英里，在同一轨道上相向行驶，速 度都是每小时50英里．火车A的前端有一只蜜蜂以每小时100英里的速度飞向 火车B，遇到火车B以后．立即回头以同样的速度飞向火车A，遇到火车A后， 又回头飞向火车B，速度始终保持不变，如此下去，直到两列火车相遇时才 停止．假设蜜蜂回头转身的时间忽略不计，那么，这只蜜蜂一共飞了多少英 里的路？
例题3 甲、乙二人同时分别从A、B两地出发，相向匀速而行．甲到达B地后立即往回
走，乙到达A地后也立即往回走．已知他们第一次相遇在离，A、B中点2千米处 靠B一侧，第二次相遇在离A地4千米处．A、B两地相距多少千米？
如图所示，两人第一次相遇，合走一个全程，两人第二次相遇，合走三个全 程．而两人速度不变，这说明第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的3 倍．因此，甲在第二次相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍．第一次相 遇时，甲走了半全程多2千米，那么，第二次相遇时，他应该走了3个半个全程多 6千米，而实际他走了2个全程差4千米，即4个半个全程差4千米．因此，半个全 程长6+4=10(千米)，A、B两地相距10×2=20(千米)．