相似三角形几何模型-一线三等角(基础篇)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识讲练(人教版)

专题27.33 相似三角形几何模型-一线三等角（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点（点P不与点B，C重合），连接AP．作PE⊥AP，PE交CD于点E．若AB＝6，点P为BC的中点，则DE＝（）A．32B．92C．12D．532．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，ABE DEF△△∽，AB＝6，DE＝2，DF＝3，则BE的长是（）A．12B．15C．313D．3153．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP＝32，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作⊥PDQ＝60°，DQ交边AC于点Q．若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，则a的值为（）A．52B．83C．2D．34．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝3，AE＝2，⊥AED＝⊥B，则AD的长为（）A ．35B ．32C ．43D ．345．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 上一点，且ADE B ∠=∠，下列说法错．误．的是（ ）A ．AD CE BD DE ⋅=⋅B ．ADE ACDC ．ABD DCE △△D ．AD DE =6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 边上，E 是BC 边上一点，若AB ＝6，AE ＝2⊥AED ＝⊥B ，则AD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．5.57．如图，在等边三角形ABC 中，P 为边BC 上一点，D 为边AC 上一点，且⊥APD =60°，BP =1，CD =23，则ΔABC 的边长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，D 是等边三角形ΔABC 边上的点，AD ＝3，BD ＝5，现将ΔABC 折叠，使点C与点D 重合，折痕为EF ，且点E 点F 分别在边AC 和BC 上，则CECF的值为( )A ．1113 B ．35C ．45D ．899．如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，DE ⊥EF ，EF ⊥FG ，BE ＝3，BF ＝2，FC ＝6，则DG 的长是（ ）A ．4B ．133C ．143D ．510．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 1.5AB =米，同时量得2BC =米，10CD =米，则旗杆高度DE 为（ ）A ．7.5米B ．403米 C ．7米 D ．9.5米二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，点F 在CD 上，要使ABE ∆与CEF ∆相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．12．如图，在边长为a 的正方形中，E 、F 分别为边BC 和CD 上的动点，当点E 和点F 运动时， AE 和EF 保持垂直．则⊥⊥ABE⊥⊥FCE;⊥当BE=12a 时、梯形ABCF 的面积最大；⊥当点E 运动到BC 中点时Rt ABE⊥Rt⊥AEF;⊥当Rt ABE⊥Rt⊥AEF 时cos⊥AFE=其中正确结论的序号是 ．13．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且:1:4CF CD =，给出下列结论：⊥ABE ECF ∽；⊥ABE AEF ∽；⊥AE EF ⊥；⊥ADF ECF ∽．其中正确结论的序号为________．14．如图，四边形ABCD 是正方形，6AB =，E 是BC 中点，连接DE ，DE 的垂直平分线分别交AB DE CD 、、于M 、O 、N ，连接EN ，过E 作EF EN ⊥交AB 于F ，则AF =______．15．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，4AB =，8AD =，3CF =，若ABE △与以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则BE 的长为______．16．如图，在等边三角形ABC中，点D、点E分别在BC，AC上，且⊥ADE＝60°，（1）写出和⊥CDE相等的角：______；（2）若AB＝3，BD＝1，则CE长为______．17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，⊥ABE⊥⊥DEF，AB=3，AE=4，DE=1.2，则EF=_____．18．如图，D是等边三角形ABC的边AB上一点，且AD：1DB=：2，现将ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，且CE：CF的值为______．19．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF AE⊥交DC于BC=，则DF的长为______．点F．若4AB=，620．如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A'D′交边CD于点E，连接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'点为BC的中点，则线段ED'的长为_____．三、解答题21．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且⊥EFG＝90°．求证：⊥EBF⊥⊥FCG．22．如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，⊥APD=60°．(1) 求证：△ABP⊥△PCD；(2) 若PC=2，求CD的长．23．如图，在⊥ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足ADE B∠=∠．(1) 证明：ADB AED∆∆；(2) 若3AE =，5AD =，求AB 的长．24．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且30ADE ∠=︒，求证：ABD DCE ∽△△．25．在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，将矩形折叠，使点A 落在点P 处，折痕为DE ．(1)如图⊥，若点P 恰好在边BC 上，连接AP ，求APDE的值； (2)如图⊥，若E 是AB 的中点，EP 的延长线交BC 于点F ，求BF 的长．26．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l ⊥交于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，NG l ⊥于点G ，由（1）易知NG =_______，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．参考答案：1．B 【分析】根据正方形的性质，余角，可证明出⊥ABP ⊥⊥PCE ，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解．解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，⊥B=⊥C=90°，⊥P为BC中点，⊥BP=PC=12AB=3，⊥AP⊥PE，⊥⊥APE=90°=⊥APB+⊥EPC，⊥⊥B=90°，⊥⊥APB+⊥BAP=90°，⊥⊥BAP=⊥EPC，⊥⊥B=⊥C=90°，⊥⊥ABP⊥⊥PCE，⊥AB PCBP CE=，即633CE=，⊥32 CE=，⊥DE=CD-CE=39622-=，故选：B．【点拨】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，证得⊥ABP⊥⊥PCE 是解答本题的关键．2．C【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．解：⊥ABE DEF∽，⊥AB AE DE DF=，⊥623AE =，⊥9AE=，⊥矩形ABCD中，⊥A=90°，⊥222269313 BE AB AE++故选：C．【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE 的长后利用勾股定理求解．3．B【分析】先证明⊥BPD⊥⊥CDQ，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于BD的一元二次方程，再判别式为0，建立方程求解，即可得出结论．解：⊥⊥ABC是等边三角形，⊥⊥B=⊥C=60°，⊥⊥BPD+⊥BDP=180°-⊥B=120°，⊥⊥PDQ=60°，⊥⊥BDP+⊥CDQ=120°，⊥⊥BPD=⊥CDQ，⊥⊥B=⊥C=60°，⊥⊥BPD⊥⊥CDQ，⊥BP BD CD CQ=，⊥324BDBD a=-，⊥2BP2-8BP+3a=0，⊥满足条件的点P有且只有一个，⊥方程2BP2-8BP+3a=0有两个相等的实数根，⊥⊥=82-4×2×3a=0，⊥a=83．故选：B．【点拨】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．4．C【分析】由等边对等角可得⊥B=⊥C，即得出⊥C=⊥AED．再结合题意易证⊥EAD∼⊥CAE，即得出AD AE AE AC=，代入数据即可求出AD 的长． 解：根据题意可知AB =AC =3，⊥⊥B =⊥C ，⊥⊥B =⊥AED ，⊥⊥C =⊥AED ，又⊥⊥EAD =⊥CAE ， ⊥⊥EAD ∼⊥CAE ， ⊥AD AE AE AC =，即223AD =， 解得：43AD =, 故选C ．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法是解题关键．5．D【分析】根据AB AC =和ADE B ∠=∠，可证得⊥ABD ⊥⊥DCE ，⊥ADE ⊥⊥ACD ，再逐项判断即可求解．解：⊥AB AC =，⊥⊥B =⊥C ，⊥⊥ADC =⊥B +⊥BAD ，⊥ADC =⊥ADE +⊥CDE ，ADE B ∠=∠，⊥⊥BAD =⊥CDE ，⊥⊥ABD ⊥⊥DCE ，故C 正确，不符合题意；⊥AD BD DE CE=， ⊥AD CE BD DE ⋅=⋅，故A 正确，不符合题意；⊥AB AC =，⊥⊥B =⊥C ，⊥ADE B ∠=∠，⊥⊥ADE =⊥C ，⊥⊥DAE =⊥CAD ，⊥⊥ADE ⊥⊥ACD ，故B 正确，不符合题意；⊥AD DE AC CD=，⊥AED =⊥ADC ， ⊥点D 是边BC 上一点，⊥AC 不一定等于CD ，⊥⊥ADC 不一定等于⊥DAC ，⊥⊥AED 不一定等于⊥DAC ，⊥AD 不一定等于DE ，故D 错误，符合题意；故选：D ．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．6．A【分析】由等边对等角可得B C ∠=∠，即得出C AED ∠=∠．再结合题意易证EADCAE ，即得出AD AE AE AC =，代入数据即可求出AD 的长． 解：根据题意可知6AB AC ==，⊥B C ∠=∠．⊥B AED ∠=∠，⊥C AED ∠=∠．又⊥EAD CAE ∠=∠， ⊥EADCAE ， ⊥AD AE AE AC =32632= 解得：3AD =．故选A【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定方法是解题关键．7．A【分析】根据等边三角形性质求出AB =BC =AC ，⊥B =⊥C =60°，推出⊥BAP =⊥DPC ，证⊥BAP ⊥⊥CPD ，得出AB BP CP CD=，代入求出即可． 解：⊥⊥ABC 是等边三角形，⊥AB =BC =AC ，⊥B =⊥C =60°，⊥⊥BAP +⊥APB =180°-60°=120°，⊥⊥APD =60°，⊥⊥APB +⊥DPC =180°-60°=120°，⊥⊥BAP =⊥DPC ，即⊥B =⊥C ，⊥BAP =⊥DPC ， ⊥⊥BAP ⊥⊥CPD ， ⊥AB BP CP CD= ⊥23CD =，CP =BC -BP =x -1，BP =1， ⊥1213x x =-解得：AB =3．故选A ．【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出⊥BAP ⊥⊥CPD ，主要考查了学生的推理能力和计算能力．8．A【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到⊥AED =⊥BDF ，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．解：⊥⊥ABC 是等边三角形，⊥⊥A =⊥B =⊥C =60°，AB =AC =BC =3+5=8，由折叠的性质可知，⊥EDF =⊥C =60°，EC =ED ，FC =FD ，⊥⊥AED =⊥BDF ， ⊥⊥AED ⊥⊥BDF ，⊥1113DE AE AD DE DF BD DF BF ++==++， ⊥1113CE DE CF DF ==，故选A．【点拨】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．9．B【分析】先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH是矩形可得HG=EF,再说明⊥EBF⊥⊥DAE、⊥DAE⊥⊥GHD，进一步可得⊥EBF⊥⊥GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可.解：⊥在Rt⊥BEF中，BF=2,BE=3⊥EF22223213BE BF+=+如图：过G作GH⊥DE垂足为H，⊥DE⊥EF，EF⊥FG⊥四边形EFGH是矩形⊥HG=EF13⊥矩形ABCD⊥⊥A=⊥B=90°⊥⊥AED+⊥ADE=90°⊥DE⊥EF⊥⊥AED+⊥BEF=90°⊥⊥BEF=⊥ADE又⊥⊥A=⊥B=90°⊥⊥EBF⊥⊥DAE同理：⊥DAE⊥⊥GHD⊥⊥EBF⊥⊥GHD⊥DG HGEF BE=,1313=解得DG=133.故选B.【点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.10．A【分析】由平面镜反射可得：,ACB DCE ∠=∠ 再证明,ABC EDC ∽再利用相似三角形的性质可得答案.解：由平面镜反射可得：,ACB DCE ∠=∠90,ABC EDC ,ABC EDC ∽,AB BC DE CD1.5AB =米，2BC =米，10CD =米，1.52,10DE 解得：7.5DE =，经检验：符合题意，∴ 旗杆高度DE 为7.5米.故选A【点拨】本题考查的是相似三角形的应用，掌握“利用相似三角形的性质列方程求解”是解本题的关键.11．AE EF ⊥或⊥BAE ＝⊥CEF ，或⊥AEB ＝⊥EFC （任填一个即可）【分析】根据相似三角形的判定解答即可．解：⊥矩形ABCD ， ⊥⊥ABE ＝⊥ECF ＝90︒，⊥添加⊥BAE ＝⊥CEF ，或⊥AEB ＝⊥EFC ，或AE⊥EF ，⊥⊥ABE⊥⊥ECF ，故答案为：⊥BAE ＝⊥CEF ，或⊥AEB ＝⊥EFC ，或AE⊥EF ．【点拨】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答． 12．⊥⊥⊥解：⊥证明：⊥四边形ABCD 为正方形，⊥⊥B=⊥C=90°，又⊥AE⊥EF ，⊥⊥AEF=90°，⊥⊥AEB+⊥FEC=90°，而⊥AEB+⊥BAE=90°，⊥⊥BAE=⊥FEC ，⊥Rt⊥ABE⊥Rt⊥ECF ，故⊥正确⊥ 解 ：⊥Rt⊥ABE⊥Rt⊥ECF ，⊥AB ：EC=BE ：CF ，又⊥AB=a ，设BE=x ，则CE=a ﹣x ，⊥a ：（a ﹣x ）=x ：CF ， ⊥CF=，⊥2)2221()21()215(28ABCF a x S CF AB BC ax x a a a a -=+⋅-=+⋅=-+梯形 ⊥当时，取得最大值．故⊥正确⊥当点E 运动到BC 中点时，BE=EC=在直角三角形ABE 中，由勾股定理解得又由Rt⊥ABE⊥Rt⊥ECF 可知AB BE AE EC CF EF ==即5222a a a CF EF== 解得CF=，EF=所以在直角三角形AEF 中，由勾股定理得在直角三角形ABE 和直角三角形AEF 中，⊥Rt ABE 与Rt⊥AEF 相似．故⊥正确⊥由⊥可知当Rt ABE⊥Rt⊥AEF 时,点E 是BC 的中点⊥ ⊥．故⊥错误考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；梯形点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理，灵活运用勾股定理是本题的关键13．①②③【分析】容易证明⊥△ABE ⊥△ECF ；利用⊥可得90AEB FEC ∠+∠=，，可得⊥AE ⊥EF ；且可得2AE AB EF EC==，可证得⊥△ABE ⊥△AEF ，而AD DF CE CF ≠，所以⊥不正确． 解：⊥E 为BC 中点，CF :CD =1:4，⊥2AB BE CE CF==， 且⊥B =⊥C ， ⊥△ABE ⊥△ECF ，⊥⊥正确；⊥⊥BAE =⊥FEC ,且90BAE AEB ∠+∠=， ⊥90AEB FEC ∠+∠=，⊥90AEF ∠=，⊥AE ⊥EF ，⊥⊥正确；由⊥可得2AE AB EF EC ==， ⊥AB EC BE AE EF EF==,且90ABE AEF ∠=∠=， ⊥△ABE ⊥△AEF ，⊥⊥正确；⊥2,3DA DF CE CF ==， ⊥AD DF CE CF≠， ⊥△ADF 和△ECF 不相似，⊥⊥不正确，综上可知正确的为：⊥⊥⊥，故答案为⊥⊥⊥.【点拨】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 14．2【分析】MN 垂直平分DE ，得出NE ND =，利用6DN NC +=，在ΔRt NCE 中利用勾股定理求得CN 的长，再证明FBE ECN ∆∆，利用相似比求得BF 的长度，进而求得AF 的长度．解：设CN x =，则6DN x =-MN 垂直平分DE∴6NE ND x ==-在ΔRt NCE 中，222CN CE NE +=又⊥E 是BC 中点⊥3CE =2223(6)x x ∴+=-解得94x = 又⊥EF EN ⊥90NEC FNB ∴∠+∠=,NEC EFB CNE FEB ∴∠=∠∠=∠ Δ~ΔFBE ECN ∴ FB CE BE CN∴= 3934FB ∴= 4FB ∴=642AF AB FB ∴=-=-=故答案为：2．【点拨】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用．15．26，或327【分析】设BE =x ，当ABE △⊥△ECF 时，AB BE EC CF =即483x x =-，当ABE △⊥△FCE 时，AB BE FC EC =即438x x=-，解方程即可． 解：设BE =x ， 当ABE △⊥△ECF 时，AB BE EC CF =即483x x =- 整理得28120x x -+=，解得1226x x ==，，经检验都符合题意， 当ABE △⊥△FCE 时，AB BE FC EC=即438x x =-， 解得327x =． 经检验符合题意，故答案为26，或327． 【点拨】本题考查三角形相似性质，列分式方程，正确三角形相似性质，列分式方程是解题关键．16． ⊥BAD23【分析】 (1) 根据⊥ABC 是等边三角形,得到⊥B =⊥C = 60°， AB = BC ；又因为⊥ADC =⊥B +⊥BAD ，⊥EDC +⊥ADE = ⊥B +⊥BAD 就得到⊥EDC =⊥BAD(2) 因为⊥EDC =⊥BAD ，⊥C =⊥B 得到⊥ABD ~⊥DCE ，得到AB BD CD EC= ，即可求出EC ； (1) 证明: ⊥⊥ABC 是等边三角形,⊥B =⊥C = 60°， AB = BC ；又⊥⊥ADC =⊥B +⊥BAD⊥EDC +⊥ADE = ⊥B +⊥BAD又⊥⊥ADE =⊥B =60°⊥⊥EDC =⊥BAD所以和⊥CDE 相等的角为：⊥BAD故答案为：⊥BAD(2) ⊥⊥EDC =⊥BAD⊥⊥C =⊥B⊥ABD ~⊥DCE ，AB BD CD EC∴= 3,1BC AB BD === 又312CD BC BD =-=-=312EC∴= 解得：EC =23故答案为：23 ； 【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得⊥ABD ~⊥DCE 是解答此题的关键．17．2【分析】由勾股定理，求出BE =5，由⊥ABE ⊥⊥DEF ，得AB DE =BE EF ，进而求出EF 的长．解：在矩形ABCD 中⊥A =90°⊥AB =3，AE =4⊥BE 22AB AE +2234+⊥⊥ABE ⊥⊥DEF⊥AB DE =BE EF ⊥31.2=5EF解得EF =2故答案为：2． 【点拨】本题主要考查相似三角形的性质，借助于矩形的性质和勾股定理求边长，熟练掌握以上性质是解题的关键．18．45【分析】设AD ＝k ，则DB ＝2k ，得到AB ＝AC ＝BC=3k ，⊥A ＝⊥B ＝⊥C ＝⊥EDF ＝60°，进而证明⊥AED ⊥⊥BDF ，得到⊥AED 与⊥BDF 的相似比为4：5，即可求出CE ：CF ＝DE ：DF ＝4：5，问题得解．解：设AD ＝k ，则DB ＝2k ，⊥⊥ABC 为等边三角形，⊥CEF 折叠得到⊥DEF ，⊥AB ＝AC ＝BC =3k ，⊥A ＝⊥B ＝⊥C ＝⊥EDF ＝60°，⊥⊥EDA +⊥FDB ＝120°，⊥EDA +⊥AED ＝120°，⊥⊥FDB ＝⊥AED ，⊥⊥AED ⊥⊥BDF ，由⊥CEF 折叠得到⊥DEF ，得CE ＝DE ，CF ＝DF ，⊥⊥AED 的周长为4k ，⊥BDF 的周长为5k ，⊥⊥AED 与⊥BDF 的相似比为4：5，⊥CE ：CF ＝DE ：DF ＝4：5．故答案为：45．【点拨】本题主要考查了相似的性质与判定、等边三角形的性质、翻折变换的性质及其应用等知识，熟知等边三角形、翻折变换的性质，借助相似三角形的判定与性质（用含有k 的代数式表示）将两条线段的比转化为相似比是解题的关键．19．74 【分析】结合矩形的性质证明BAE CEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解． 解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE ⊥，90AEF ∴∠=︒，90AEB CEF ∴∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，BAE CEF ∴∆∆，::AB CE BE CF ∴=，E 是BC 的中点，6BC =，3BE CE ∴==，4AB =， 4:33:CF ∴=， 解得94CF =， 97444DF CD DF ∴=-=-=． 故选：74． 【点拨】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAECEF ∆∆是解题的关键．20．94 【分析】根据折叠的性质可得'AM AM =，''90MA D A ∠=∠=︒，设'AM A M x ==，则9BM x =-，由线段中点可得''11322A B AC BC AD ====，在'Rt A BM 中，利用勾股定理可得'5A M =，4MB =，利用相似三角形的判定定理及性质可得''A BMECA ，'''A E AC A M BM =，代入求解，同时根据线段间的数量关系即可得出结果． 解：将长方形纸片ABCD 沿着MN 折叠，使点A 落在BC 边上点'A 处，⊥'AM AM =，''90MA D A ∠=∠=︒，设'AM A M x ==，则9BM x =-， ⊥'A 是BC 的中点，⊥''11322A B AC BC AD ====， 在'Rt A BM 中，'22'2A B BM AM+=， 即()22239+-=x x ，解得：5x =，⊥'5A M =，4MB =，⊥''90MA B EAC ∠+∠=︒，''90A EC EAC ∠+∠=︒， ⊥''MA B A EC ∠=∠，⊥'90B ACE ∠=∠=︒，⊥''A BM ECA ，⊥'''A E AC A M BM =，即'354A E =， ⊥'154A E =， ⊥'''''159644ED A D A E AD A E =-=-=-=， 故答案为：94 【点拨】题目主要考查长方形中的折叠问题，包括勾股定理，相似三角形的判定及性质等，结合图形，熟练掌握运用折叠的性质及相似三角形的性质是解题关键．21．见分析【分析】根据正方形的性质得⊥B ＝⊥C ＝90°，再利用等角的余角相等得⊥BEF =⊥CFG ，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到⊥EBF ⊥⊥FCG ．解：⊥四边形ABCD 为正方形，⊥⊥B ＝⊥C ＝90°，⊥⊥BEF ＋⊥BFE ＝90°，⊥⊥EFG ＝90°，⊥⊥BFE ＋⊥CFG ＝90°，⊥⊥BEF ＝⊥CFG ，⊥⊥EBF ⊥⊥FCG ．【点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理．22．(1)见分析(2)CD 的长为23【分析】（1）由等边三角形和⊥APD =60°得，⊥B =⊥C =⊥APD =60°，⊥APB +⊥CPD =120°，在△APB中，⊥APB +⊥BAP =120°，由此可得⊥BAP =⊥CPD ．因此△ABP ⊥△PCD ；（2）由（1）的结论△ABP ⊥△PCD 可得BP AB CD PC =，从而可以求出线段CD 的长． （1）证明：⊥等边三角形ABC ，⊥⊥B =⊥C =60°，⊥⊥APD =60°，⊥⊥APB +⊥CPD =120°，在△APB 中，⊥APB +⊥BAP =120°，⊥⊥BAP =⊥CPD ，⊥⊥ABP ⊥⊥PCD ；（2）解：等边三角形边长为3，PC =2，由（1）得△ABP ⊥△PCD ，BP AB CD PC =，⊥132CD =，⊥CD =23．答：CD 的长为23． 【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP ⊥△PCD ．23．(1)见分析(2)253【分析】（1）证出⊥BAD =⊥EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出AD AB AE AD =，则可得出答案． 解：(1)⊥AD 是⊥BAC 的角平分线，⊥⊥BAD =⊥EAD ．⊥⊥ADE =⊥B ，⊥⊥ADB ⊥⊥AED ．(2)⊥⊥ADB ⊥⊥AED ，⊥AD AB AE AD=， ⊥AE =3，AD =5，⊥535AB =， ⊥253AB =． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．见分析【分析】利用三角形的外角性质证明⊥EDC =⊥DAB ，即可证明⊥ABD ⊥⊥DCE ．证明：⊥AB=AC ，且⊥BAC =120°，⊥⊥ABD =⊥ACB =30°，⊥⊥ADE =30°，⊥⊥ABD =⊥ADE =30°，⊥⊥ADC =⊥ADE +⊥EDC =⊥ABD +⊥DAB ，⊥⊥EDC =⊥DAB ，⊥⊥ABD ⊥⊥DCE ．【点拨】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明⊥EDC =⊥DAB 是解题的关键．25．(1)23(2)32【分析】（1）根据矩形的性质可得⊥BAD =⊥ABC =90°，再由折叠的性质可得APB AED ∠=∠．可证得ABP △⊥DAE △．即可求解；（2）过点E 作EH DP ∥交AD 于H ，由折叠的性质可得HED HDE ∠=∠，从而得到EH DH =．然后设EH DH x ==，则6AH x =-，由勾股定理可得103DH =，从而得到83AH =．再证得AEH △⊥BFE △，即可求解． (1)解：在矩形ABCD 中，⊥BAD =⊥ABC =90°，⊥90BAP APB ∠+∠=︒，由折叠性质得：AP DE ⊥，⊥90BAP AED ∠+∠=︒，⊥APB AED ∠=∠．⊥90EAD ABP ∠=∠=︒，⊥ABP △⊥DAE △．⊥4263AP AB DE AD ===． (2)解：过点E 作EH DP ∥交AD 于H ，⊥EH DF ∥，⊥HED EDP ∠=∠．⊥由折叠性质得HDE EDP ∠=∠，⊥DPE =⊥A =90°，⊥HED HDE ∠=∠，⊥EH DH =．设EH DH x ==，则6AH x =-，⊥E 是AB 的中点，⊥2AE =，⊥AE 2+AH 2=EH 2，⊥()22226x x +-=，解得：103x =，即103DH =， ⊥83AH =． ⊥EH DF ∥，⊥⊥HEP =90°，⊥⊥AEH +⊥BEF =90°，⊥⊥A =⊥B =90°，⊥⊥AEH +⊥AHE =90°，⊥⊥AHE =⊥BEF ，⊥AEH △⊥BFE △， ⊥AE AH BF BE =，即8232BF =， 解得32BF =， ⊥BF 的长为32． 【点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形与折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．(1)DE ，AE ；(2)AC ．证明见详解．【分析】（1）根据(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，BC =AE 即可；（2）过D 作DE ⊥直线l 于E ，先证⊥MCA ⊥⊥AGN （AAS ），得出AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，再证⊥NGP ⊥⊥DEP （AAS ）即可．(1)解：⊥(AAS)≌ABC DAE ，⊥AC =DE ，BC =AE ，故答案为DE ，AE ；(2)证明：过D 作DE ⊥直线l 于E ，⊥90MAN ∠=︒，⊥⊥CAM +⊥NAG =90°，⊥BM ⊥l ，⊥⊥MCA =90°，⊥⊥M +⊥CAM =90°，⊥⊥M =⊥NAG ，⊥NG l ⊥，⊥⊥AGN =90°，在⊥MCA 和⊥AGN 中，MCA AGN M GAN MA AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥MCA ⊥⊥AGN （AAS ），⊥AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，⊥AC =DE ，⊥NG =DE ，在⊥NGP 和⊥DEP 中，90NGP DEP GPN EPDNG DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥⊥NGP ⊥⊥DEP （AAS ）⊥NP =DP ，故答案为AC．【点拨】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键．。