几何证明——角平分线模型

几何证明——角平分线模型(高级)

【经典例题】

例1、已知如图，ABC ∆中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若

100=∠C ，求证：CD AD AB +=。

例2、如图，已知在ABC ∆中，

60=∠B ，ABC ∆的角平分线CE AD ,相交于点O ，求证：AC CD AE =+。

例3、如图，BD 平分ABC ∠，︒=∠45ADB ，BC AE ⊥，求AED ∠.

例4、已知，如图ABC ∆中，AD 为ABC ∆的角平分线，求证：BD AC DC AB ⋅=⋅．

例5、如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ，，的垂线，垂足分别为F E D ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ；如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线。

例6、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，︒=∠80ABC ，E 是腰CD 上一点，连接BE 、AC 、

AE ，若︒=∠60ACB ，︒=∠50EBC ，求EAC ∠的度数．

例7、已知：ABC ∆中，BC AB <，AC 的中点为M ，AC MN ⊥交ABC ∠的角平分线于N ．

（1）如图1，若︒=∠60ABC ，求证：BN BC BA 3=

+；

（2）如图2，若︒=∠120ABC ，则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．

【提升训练】

2、如图，在ABC ∆中，A ∠等于

60，BE 平分CD ABC ,∠平分ACB ∠，求证：EH DH =。

3、如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证：2AB AC AM +=。

4、已知I 是ABC ∆内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。求证：

BC

AC

AB ID AI +=

。

5、（1）如图，BD 、CE 分别是ABC ∆的外角平分线，过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、

G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，求证：()AC BC AB FG ++=

2

1

。 （2）若BD 、CE 分别是ABC ∆的内角平分线（如图（2）），过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、G ，连接FG ，线段FG 与ABC ∆三边有怎样的数量关系？；

（3）若BD 为ABC ∠的内角平分线，CE 为ABC ∆的外角平分线（如图（3）），过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、G ，连接FG ，则线段FG 与ABC ∆三边又有怎样的数量关系？

6、如图，已知BD ，CE 为ABC ∆的角平分钱，F 为DE 的中点，点F 到AC ，AB ，BC 的距离分别为

a FG =，

b FH =，

c FM =，若025

221222=+-+--m m ab c c 。

（1）求a ，b ，c ，m 的值；（2）求证：)(4

1

CD BC DG -=。

7．已知如图，CD 是ABC Rt ∆斜边上的高，A ∠的平分线交CD 于H ，交BCD ∠的平分线于G ， 求证：BC HF //．

9．已知BC AC =，︒=∠90ACB ，︒=∠15DCB ，CD BD =，AD CE ⊥

于点E ，求证：CE BC 2=．

10．（1）如图1，BP 为△ABC 的角平分线，PM⊥AB 于M ，PN⊥BC 于N ，AB=30，BC=23，请补全图形，并求△ABP 与△BPC 的面积的比值；

（2）如图2，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，CD 与BE 相交于点O ，判断∠AOD 与∠AOE 的数量关系，并证明；

（3）在四边形ABCD 中，已知BC=DC ，且AB≠AD，对角线AC 平分∠BAD，请直接写出∠B 和∠D 的数量关系．

11．（1）已知：如图1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD 平分∠ACB，点E 为AB 中点，PE⊥AB 交CD 的延长线于P ，猜想：∠PAC+∠PBC= °（直接写出结论，不需证明）．

（2）已知：如图2，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD 平分∠ACB，点E 为AB 中点，PE⊥AB 交CD 的延长线于P ，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．

12．如图1，分别过线段AB 的端点A 、B 作直线AM 、BN ，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA 的角平分线交于点C ，过点C 的直线l 分别交AM 、BN 于点D 、E ． （1）求证：△ABC 是直角三角形；

（2）在图1中，当直线l⊥AM 时，线段AD 、BE 、AB 之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；

（3）当直线l 绕点C 旋转到与AM 不垂直时，在如图2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

13．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D ，AE 平分∠BAC，交CD 于K ，交BC 于E ，F 是BE 上一点，且BF=CE ，求证：FK∥AB．

14．在ABC ∆中，AD 是∠BAC 的平分线． （1）如图①，求证：

AC

AB

S S ACD ABD =∆∆； （2）如图②，若BD=CD ，求证：AB=AC ；

（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD 的长．