高考数学复习-导数及其应用(第一部分)

高考数学复习-导数及其应用（第一部分）

[基础题组练习1-导数及其应用]

1．已知函数f (x )＝1

x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2

B ．－1π2

C ．－3π

D ．－1π

解析：选C.因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3

π. 2．(2019·福州模拟)曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )

A ．2 B.32 C.1

2

D.14

解析：选D.f ′(x )＝1＋1

x ，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y

－1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫

12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝1

4

，故选D.

3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1

2，则切点的横坐标为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D. 1

2

解析：选A.因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝1

2

，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.

4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )

解析：选D.由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A 、C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故排除B.

5．函数g (x )＝x 3＋5

2x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )

A.72

B.52

C.32

D.12

解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝7

2＋b ，

又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3

x

，

所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5，

由于点⎝⎛⎭⎫1，72＋b 在切线上，所以7

2＋b ＝11－5， 解得b ＝5

2

.故选B.

6．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________． 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7， 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，

所以f ′(－2 018)＝14－6＝8.

答案：8

7．(2019·广州市调研测试)若过点A (a ，0)作曲线C ：y ＝xe x 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．

解析：设切点坐标为(x 0，x 0ex 0)，y ′＝(x ＋1)e x ，y ′|x ＝x 0＝(x 0＋1)ex 0，所以切线方程为y －x 0ex 0＝(x 0＋1)ex 0(x －x 0)，将点A (a ，0)代入可得－x 0ex 0＝(x 0＋1)ex 0(a －x 0)，化简，得x 20－ax 0－a ＝0，过点A (a ，0)作曲线C 的切线有且仅有两条，即方程x 20－ax 0－a ＝0有两个不同的解，则有Δ＝a 2＋4a ＞0，解得a ＞0或a ＜－4，故实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．

答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)

8．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．

解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e

9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．

(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．

(1)由题意得⎩

⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，

解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.

(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，

所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－1

2

.

所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－1

2，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.

(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－1

4x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.

所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，

则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为

y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，

又因为直线l 过点(0，0)，

所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，

整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，

所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.

所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－1

4x ＋3垂直，

所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.

所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩

⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，