关于一个代数不等式的初探2008.11.24

关于一个代数不等式的初探

张延卫

（江苏省宿迁市教育局，223800）

文[1]给出下述代数不等式：已知a,b,c 是正数，abc=1.求证：

a 1+

b 1+

c 1+c

b a ++3≥4. (1) 这个代数不等式形式优美，结论简洁，给人以强烈的美感.但文[1]给出的证明比较繁难,下面笔者给出不等式（1）的一个简证，并给出它的一个加强，最后再给出它的一个推广.

1 简证 不妨设x=

a 1,y=

b 1,z=c

1

,则xyz=1,不等式（1）化为： x+y+z+

xy

zx yz ++3

≥4.

因为 (x+y+z)2 = x 2+ y 2+ z 2+2(yz+zx+xy )≥3(yz+zx+xy ) 所以x+y+z+

xy zx yz ++3≥x+y+z+2

)

(9

z y x ++ 因此我们只要证明下述不等式即可： x+y+z+

2

)

(9

z y x ++≥4. (2) 设t=x+y+z,则t ≥3，不等式（2）化为： t+

29

t

≥4. 即 t 3-4t 2+9≥0. (3) 因为t ≥3，所以有

t 3-4t 2+9=t(t-3)2+(t-3)(2t-3) ≥0 因此不等式（3）成立，即不等式（1）成立. 2 加强

已知a,b,c 是正数，abc=1.则：

a 1+

b 1+

c 1+c

b a ++6≥5. (4) 证明: 由于不等式（4）是关于a ，b,

c 对称的，不妨设a 为其中最大者，则a ≥1,bc ≤1.

记f(a,b,c)=

a 1+

b 1+

c 1+c

b a ++6. 则f(a,b,c)- f(a,b

c , bc )=

b 1+

c 1+c b a ++6-c b 2-bc

a 26+ =bc c

b 2

)(--)

2)(()(62bc a c b a c b +++-

=（c b -）2[

bc 1-)

2)((6

bc a c b a +++]

因为bc ≤1,a+b+c ≥3,a+2bc ≥3,所以有

bc 1-)

2)((6bc a c b a +++≥1-32＞0.

因此 f(a,b,c) ≥f(a,bc , bc ). 所以我们只要证明下述不等式即可：

a 1

+c b 2+bc

a 26+≥5. (5) 设x=bc ,则a=

2

1

x ,0＜x ≤1.不等式（5）化为 x 2

+x 2+3

2

216x x +≥5

将上式展开,并移项化简得

2x 6-10x 4+11x 3-5x+2≥0 （6） 因为0＜x ≤1，所以

2x 6-10x 4+11x 3-5x+2=（x-1）2(2x 4+4x 3-4x 2-x+2) =（x-1）2[2x 4+x(2x-1)2+2（1-x)] ≥0. 因此不等式（6）成立，即不等式（4）成立.

因为a+b+c ≥3,所以不等式（4）是不等式（1）的加强.

3 推广

已知a i （i=1,2,3,…,n,n ≥2）是正数，∏=n

i i a 1=1.则：

∑=n

i i

a 11+∑=n i i

a n 1

≥n+1. (7) 证明：设x i =i a 1

, i=1,2,3,…,n.则∏=n

i i x 1

=1，不等式（7）化为：

∑=n

i i x 1

+

∑∏=≠=n i n

i

j j i

x

n

11≥n+1. (8)

我们可以证明：（∑=n

i i x 1

）

1

-n ≥n

2

-n （∑∏=≠=n i n

i

j j i x 11

）.(请读者自证)

因此我们只要证明下述不等式即可：

∑=n

i i

x

1

+

1

11)(-=-∑n n

i i n x n ≥n+1. (9)

设t=∑=n

i i x 1

,易证t ≥n.则不等式（9）化为：

t n +n 1-n ≥(n+1)t 1-n (10) 由算术—几何平均不等式，可得

∑-=1

1n i n

n

t + n 1-n ≥nt 1-n 又因为t ≥n ，可得n

t n

≥t 1-n .

所以有

（∑-=1

1n i n n

t + n 1

-n ）+n t n ≥nt 1-n + t 1-n =(n+1)t 1-n

即不等式（10）成立.

因此，不等式（7）成立，其中等号当且仅当a i =1（i=1,2,3,…,n ）的时候

成立.

4 问题

我们要问：当正数λ取什么最大值时，下述不等式成立： 已知a i （i=1,2,3,…,n,n ≥2）是正数，∏=n

i i a 1=1.则：

∑=n

i i

a 11+∑=n

i i

a 1

λ

≥n+n λ. (11)

参考文献：

1 数学奥林匹克问题高229.中等数学，2008年第8期.