关于一个代数不等式的初探2008.11.24
不等式的初步研究与应用
不等式的初步研究与应用不等式是数学中一个重要的概念，它描述了数的大小关系。
在数学的研究中，不等式的研究和应用非常广泛，涉及到许多不同的领域和问题。
本文将对不等式的初步研究和应用进行探讨。
一、不等式的基本概念和性质不等式是数学中用于表示数的大小关系的一种符号语言。
在不等式中，我们常常使用“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号来表示数的大小关系。
例如，对于实数a和b，我们可以写成a>b，表示a大于b；或者写成a≥b，表示a大于等于b。
不等式有许多重要的性质。
首先，不等式具有传递性。
如果a>b，b>c，那么可以推出a>c。
这个性质在不等式的推导和证明中经常被使用。
其次，不等式也具有加法性和乘法性。
如果a>b，那么对于任意的正数c，有a+c>b+c；如果a>b且c>0，那么ac>bc。
这些性质在不等式的运算和化简中非常有用。
二、不等式的解集和图像不等式的解集是满足不等式条件的所有实数的集合。
例如，对于不等式x>2，解集可以表示为{x|x>2}。
解集可以用集合的形式表示，也可以用图像的形式表示。
不等式的图像是指将不等式表示为数轴上的一段区间。
例如，对于不等式x>2，其图像可以表示为一个从2开始的无穷大区间。
图像的表示使得我们可以更直观地理解不等式的解集和数的大小关系。
三、不等式的性质和定理不等式有许多重要的性质和定理。
其中最基本的是比较大小的性质。
对于两个实数a和b，我们可以通过比较它们的大小关系来得到不等式的结论。
例如，如果a>b，那么可以得到a+c>b+c，其中c是任意的正数。
此外，不等式还有许多重要的定理，如柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、凸性不等式等。
这些定理在不等式的研究和应用中发挥着重要的作用。
例如，柯西-施瓦茨不等式可以用于证明向量的内积的性质，均值不等式可以用于证明函数的性质，凸性不等式可以用于优化问题的求解。
代数不等式证明的一些方法与技巧
科技风 2020 年 10 月DOO 10.19392/j. cnki. 1671-7341.202028020代数不等式证明的一些方法与技巧闫晓霞汉中职业技术学院 陕西汉中723000摘 要：本文通过举例、利用比较法、分析法、放缩法等方法证明了一组代数不等式，展示了代数不等式证明的一些思想方法与技能技巧，如“逆向转化”“分而治之”“以退求进”等，帮助学生拓宽数学解题思维。
关键词：代数不等式;证明；方法与技巧；解题思维1绪论不管在初等数学中，还是在高等数学中，不等式都占有 着举足轻重的地位。
而对于不等式的证明，一般都会感到困难。
究其原因是多方面的。
其一是不等式的题型繁多，而证 明方法比较灵活,技巧多样;其二是不等式本身综合性较强,对我们的能力要求很高。
本文通过例子的形式，展示代数不等式证明的一些思想 方法与技能技巧。
2证明方法和技巧举例展示例1设正数a ,b ,c 成等比数列，求证：a 2-b 2+c 2 >(a-b+c)2证明：a 2+.-( a--+c)2 =2( ab-ac-b 1 +—)二2b (a--b+c)=2b (槡a -槡C '0故原不等式成立#%评注］比较法是证明不等式的基本方法,其证明的关键是“变形)#例 2 设 a , b ( /+ ,求证:° J 1：! +b'a+证一：要证原不等式，只要证：a ( 1+a 2) +b ( 1 +b 2) '( a+b )1 +a 2) ( 1 +b 2)只要证 1 +a 2 -ab ++2 ' J ( 1+a 2) ( 1+b 2) 只要证(槡：月-槡1+) 2+(a- 2 '0最后的不等式显然成立，故原不等式成立#证二：因原不等式关于a ,b 对称，故不妨设a 'b >0, 于是,a/1 +a 2 : 1+b 2 -类似例2,可证得以下结果: 若 a,b (( 0,1),则：例3设a,b,c 为满足ab+bcCca = 1的正数，求证:a+b +"+吉[T 7 +T ]证：m a+b +c-(: :、=寻(a+b ) +^+'槡34( a+) 4a+bn aP+c '槡P^b槡 4( a +-)同理，a+b+c '石+：b C 24()a+b+c '畐++.亡槡 4( c +a )以上三式相加，整理即得原不等式#%评注］一些形式上貌似复杂的不等式,可采用“分而治 之”，“以退求进”的策略攻之，不过，证明之前要有猜想，综合之前应有分析。
代数不等式证明的一些方法与技巧
代数不等式证明的一些方法与技巧作者：闫晓霞
来源：《科技风》2020年第28期
摘要：本文通过举例、利用比较法、分析法、放缩法等方法证明了一组代数不等式，展示了代数不等式证明的一些思想方法与技能技巧，如“逆向转化”“分而治之”“以退求进”等，帮助学生拓宽数学解题思维。
关键词：代数不等式;证明;方法与技巧;解题思维
1 绪论
不管在初等数学中，还是在高等数学中，不等式都占有着举足轻重的地位。
而对于不等式的证明，一般都会感到困难。
究其原因是多方面的。
其一是不等式的题型繁多，而证明方法比较灵活，技巧多樣;其二是不等式本身综合性较强，对我们的能力要求很高。
本文通过例子的形式，展示代数不等式证明的一些思想方法与技能技巧。
2 证明方法和技巧举例展示
3 结语
代数不等式不仅形式优美，证明思路灵活方法多变，是培养和发展学生思维能力，分析能力的和应变能力以及测试学生数学水平和学习潜力的重要素材。
证明不等式是一门艺术，它有自己及独特、丰富的技术手法。
正确、恰当地选择不等式的证明方法（哪一种证明方法都不是万能的）是证明不等式的基本功的体现。
只有善于观察，勤于积累，才能恰当地选择正确的证明方法完成不等式的证明。
参考文献：
[1]单墫.代数不等式的证明.中国科学技术大学出版社，2017-04-01.
[2]吴三明.不等式证明中的代数变形技巧.淮北职业技术学院学报，2014-8，13（4）.。
浅谈代数不等式
学习《不等式》的心得体会11数本（6） 2011224712 唐斌球不等式是数学中一个很重要的必不可少的工具。
不等式的类型比较多，解法也很纷繁。
经过学习不等式，我对不等式的相关知识有了一定的了解。
下面我就简单来谈谈自己学习不等式的一些心得体会。
不等式的主要类型有一元一次不等式，一元二次不等式，高次不等式，分式不等式，柯西不等式和代数不等式等等。
不等式与恒等式有很大的联系，将一个个恒等式略去一些项或去掉一些因式，就可以产生一个不等式。
利用一些完全平方式和非负的特性，可以产生或几乎证明所有的不等式。
但是不等式的证明要比想象中的要难得多。
不像一些恒等式一旦写出来就变得很显然了。
即使一些看似很简单的不等式证明起来也不简单的，因为我们还有很多不知道的恒等式。
关于不等式的解法和证明，我主要是从代数不等式来说说。
首先，是解不等式。
在解不等式之前，我们必须先了解不等式一些相关的性质和结论。
不等式的同解变形和不等式的证明都要依据不等式的意义和性质，其主要的性质有(1) 反对称性：a>b ⇔b<a; (2) 传递性 ： a>b,b>c ⇒a>c; (3) 加法单调性：a>b ⇔a+c>b+c;(4) a>b,c>0⇒ac>bc; (5)a>b,c<0⇒ac<bc;(6)a>b>0,n>1 且n ∈N+⇒a n >b n;(7)a>b>0, n>1 且 n ∈N +n n b a ≥⇒. 下面我就举几个例子来应用这些性质解不等式 例1 解不等式95---x x >1分析 这是一个无理不等式，可以利用乘方，将其转化成有理不等式来解。
但需要注意自变量的取值范围和同解性解 首先确定的x 允许值范围是[]9,509,05∈⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x .其次，原不等式变形为等价不等式x -5>x -91+两边显然都是非负的，因此可以两边乘方，得到不等式 x -5>x x -++92-91. 所以 152-x >2x -9 1） 若2x -150≤，即215≤x 时，不等式左边为非正值。
代数方程不等式函数
代数方程不等式函数代数方程、不等式和函数是高中数学中重要的概念和工具，它们在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。
本文将依次介绍代数方程、不等式和函数的概念，并讨论它们之间的关系。
一、代数方程代数方程是含有未知数的数学等式，通常采用字母表示未知数。
代数方程的解即能够使方程成立的未知数的取值。
比如，对于一元一次方程ax + b = 0，其解为x = -b/a。
而对于二元一次方程ax + by = c，其解为x = (c - by) / a。
代数方程的解可以有一个或多个，也可能没有解。
二、不等式不等式是由不等号连接的两个代数式构成的数学表达式。
不等式描述了变量之间的大小关系，可以用来表示范围和条件。
比如，对于一元一次不等式ax + b > 0，其解为x > -b/a。
而对于二元一次不等式ax + by ≤ c，其解为x ≤ (c - by) / a。
不等式的解可以是一个区间、一个集合或一个条件。
三、函数函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数由定义域、值域和对应关系组成。
在代数中，函数通常用方程或不等式的形式表示。
函数的图像可以是一条曲线、一条直线或一组离散点。
函数在数学中有着广泛的应用，特别是在数学分析、微积分和概率统计中。
四、代数方程、不等式和函数的关系代数方程和不等式可以被看作是函数的特殊形式。
代数方程可以表示为y = f(x)的形式，其中y代表方程的解。
而不等式可以表示为y ≥ f(x)或y ≤ f(x)的形式，其中y代表不等式的解的范围或条件。
代数方程和不等式都是函数的具体实例，它们在数学分析和应用问题中经常被用到。
总结：代数方程、不等式和函数是高中数学中的重要概念。
代数方程表示了数学等式的解，不等式描述了变量之间的大小关系，函数则是一种特殊的关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
代数方程、不等式和函数之间具有密切的关系，代数方程和不等式可以被看作是函数的特殊形式，在数学和其他科学领域中都有重要的应用。
一个代数不等式及其广泛应用
本文给出如下的不等式是一个很重要的代数不等式，有着广泛的应用.命题设a i 、b i 、c i >0(i =1,2,3),则(a 31+a 32+a 33)(b 31+b 32+b 33)(c 31+c 32+c 33) (a 1b 1c 1+a 2b 2c 2+a 3b 3c 3)3①.当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3,b 1c 1=b 2c 2=b3c 3时等号成立.证明：设M 1=a 31+a 32+a 33,M 2=b 31+b 32+b 33,M 3=c 31+c 32+c 33,则由三元均值不等式得3=M 1M 1+M 2M 2+M 3M 3=a 31+a 32+a 33M 1+b 31+b 32+b 33M 2+c 31+c 32+c 33M 3=æèçöø÷a 31M 1+b 31M 2+c 31M 3+æèça 32M 1+b 32M 2+öø÷c 32M 3+æèçöø÷a 33M 1+b 33M 2+c 33M 3 3a 1b 1c 1M 1M 2M 33+3a 2b 2c 2M 1M 2M 33+3a 3b 3c3M 1M 2M 33，即M 1M 2M 33 a 1b 1c 1+a 2b 2c 2++a 3b 3c 3,两边3次方即为(a 31+a 32+a 33)(b 31+b 32+b 33)(c 31+c 32+c 33) (a 1b 1c 1+a 2b 2c 2+a 3b 3c 3)3.当且仅当a 31M 1=b 31M 2=c 31M 3,a 32M 1=b 32M 2=c 32M 3,a33M 1=b 33M 2=c 33M 3，即a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3,b 1c 1=b 2c 2=b 3c 3时等号成立.不等式①可以看成是二维柯西不等式(a 21+a 22)(b 21+b 22) (a 1a 2+b 1b 2)2的三维推广.不等式①有着广泛的应用，下面从四个方面举例说明.1用于证明整式不等式问题例1（1996年英国数学奥林匹克试题）设a 、b 、c 是正数，求证：9(a 3+b 3+c 3) (a +b +c )3.证明：由不等式①得9(a 3+b 3+c 3)=(13+13+13)(13+13+13)(a 3+b 3+c 3) (1⋅1⋅a +1⋅1⋅b +1⋅1⋅c )3=(a +b +c )3,即9(a 3+b 3+c 3) (a +b +c )3.例2（第31届IMO 预选题）已知a 、b 、c ∈R +,证明：(a 2+ab +b 2)(b 2+bc +c 2)(c 2+ca +a 2) (ab +bc +ca )3,并求等号何时成立？证明：由不等式①得(a 2+ab +b 2)(b 2+bc+c 2)(c 2+ca +a 2)=(ab +b 2+a 2)(b 2+bc +c 2)(a 2+c 2+ca ) (abb 2a 23+b 2bcc 23+a 2c 2ca 3)3=(ab +bc +ca )3,即(a 2+ab +b 2)(b 2+bc +c 2)(c 2+ca +a 2) (ab +bc +ca )3.当且仅当b 23bc 3c 23=即a =b =c 时等号成立.一个代数不等式及其广泛应用山东省邹平双语学校姜坤崇256200摘要：本文给出并用三元均值不等式证明一个代数不等式，并从四个方面举例说明其广泛的应用.关键词：代数不等式；三元均值不等式；应用··4例3（2004年美国数学竞赛试题）设a、b、c为正实数，证明：(a5-a2+3)(b5-b2+3)(c5-c2+3) (a+b+c)3.证明：注意到，当a>0时，有(a5-a2+3) -(a3+2)=a5-a3-a2+1=(a3-1)(a2-1)=(a-1)2(a+1)(a2+a+1) 0,所以a5-a2+3 a3+2.依此，只需证明(a3+2)(b3+2)(c3+2) (a+b +c)3②.因为由①式有(a3+2)(b3+2)(c3+2)= (a3+1+1)(1+b3+1)(1+1+c3) (a+b+c)3,故②式成立，从而原不等式得证.2用于证明分式不等式问题例4（自编题）已知a、b、c是正数，求证：（1）1a2+1b2+1c227(a+b+c)2;（2）(1a+1b+1 c )2 27a2+b2+c2；（3）1a3+1b3+1c327(a+b+c)(a2+b2+c2)；（4）1a4+1b4+1c427(a+b+c)(a3+b3+c3).证明：（1）由不等式①得(a+b+c)2(1a2+1 b2+1c2)=(a+b+c)(a+b+c)(1a2+1b2+1c2)++3=(1+1+1)3=27,即1a2+1b2+1c227(a+b+c)2.（2）在（1）的结论中分别以1a,1b,1c代替a,b,c得a2+b2+c2 27æèöø1 a +1b+1c2,即(1a+1b)+1 c 227a2+b2+c2.（3）由不等式①得(a+b+c)(a2+b2+c2)⋅æèçöø÷1a3+1b3+1c3+3=(1+1+1)3=27,即1a3+1b3+1c327(a+b+c)(a2+b2+c2).（4）仿（3）的证明可证，略.说明：在例1中，分别以a3,b3,c3代替a,b,c得9(a+b+c) (a3+b3+c3)3,由此不等式及例4（1）的结论可得不等式链：已知a、b、c是正数，则1a2+1b2+1c227(a+b+c)23(a3+b3+c3)3(a+b+c)3.例5（2002年巴尔干数学奥林匹克试题）已知a、b、c是正数，求证：1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)272(a+b+c)2.证明：由不等式①得2(a+b+c)2éëê1b(a+b)+ùûú1c(b+c)+1a(c+a)=(b+c+a)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]éëêùûú1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)3=(1+1+1)3=27，即1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)272(a+b+c)2.3用于证明含有根式的不等式问题例6（自编题）已知a、b、c是正数，求证：（1）(a23+b23+c23)3 3(a+b+c)2;（2）(a2+2)(b2+2)(c2+2) (a2b2c23+2)3;(3)(a2+2)⋅(b2+2)(c2+2) (a23+b23+c23)3.证明：（1）由不等式①得3(a+b+c)2=(1+1+1)(a+b+c)(a+b+c) (a23+b23+c23)3,即(a23+b23+c23)3 3(a+b+c)2.（2）由不等式①得(a2+2)(b2+2)(c2+2)=(a2+1+1)(b2+1+1)(c2+1+1) (a2b2c23+1+1)3··5=(a 2b 2c 23+2)3，即(a 2+2)(b 2+2)(c 2+2)(a 2b 2c 23+2)3.（3）由不等式①得(a 2+2)(b 2+2)(c 2+2)=(a 2+1+1)(1+b 2+1)(1+1+c 2) (a 23+b 23+c 23)3，即(a 2+2)(b 2+2)(c 2+2) (a 23+b 23+c 23)3.例7（2004年中国国家集训队试题）设a ,b ,c 是正实数，求证：a +b +c 3证明：由三元均值不等式，得(a +b )+(b +c )+(c +a )3(a +b )(b +c )(c +a )3,所以a +b +c 3又由不等式①得(a +b )8=127(a +b2+b +a )(b +b +c 2+c )(a +c +c +a 2) 1273127(ab ⋅b ⋅a3)+b ⋅bc ⋅c 3+a ⋅c ⋅ca 33=127(ab +bc +)ca 3,所以综上，所证不等式成立.4用于求条件最值问题例8（《数学通报》2004（10），数学问题1504）已知x 、y 、z ∈R +,x +y +z =1,求u =1x 2+1y 2+8z 2的最小值.解：因为x +y +z =1，所以由不等式①得u =1x 2+1y 2+8z 2=(x +y +z )(x +y +z )æèç1x 2+1y 2+)8z 2+3=(1+1+2)3=64,当且仅当=x +y +z =1,即x =y =z 2,x +y +z =1（可解得x =y =14,z =12)时上式中等号成立，因此当且仅当x =y =14,z =12时u 取得最小值64.例9（文献[2]例4）已知x 、y 、z ∈R +,x 3+y 3+z 3=1,求u =x +y +4z 的最大值.解：因为x 3+y 3+z 3=1,所以由不等式①得(x +y +4z )3=()1⋅1⋅x 33+1⋅1⋅y 33+8⋅8⋅z333(1+1+8)(1+1+8)(x 3+y3+z 3)=100,当且仅当x1=y1=z 2,x 3+y 3+z 3=1（由此可解得x =yz =时上式中等号成立，因此当且仅当x =y =z 时u 取得最大值1003.参考文献[1]陈秀群，姜坤崇.整体代换法证分式不等式例说[J].中学数学研究（江西师范大学版），2010（06）:35-37.[2]姜坤崇.一个不等式与三类条件最值问题[J].数学通讯（下半月），2013（04）:37-40.[3]李锋，姜坤崇.一个不等式在一类条件最值问题中的应用[J].中学数学研究（江西师范大学版），2021（09）:30-31.[4]秦庆雄，范花妹.不等式的证明——构造“数字”法[J].数学通讯，2011（01，下半月）:39-41.[5]安振平.巧用抽屉原理证明代数不等式[J].数学教学，2012（04）:28-29.[6]蔡玉书.数学奥林匹克中的不等式研究[M].苏州：苏州大学出版社，2007.··6。
初中代数方程与不等式
1.同类项的概念和分类：介绍同类项的定义、如何分类以及举例说明。
2.同类项的合并方法：详细讲解同类项的合并方法，从基本的加减法到多项式的加减混合运算。
3.解决实际问题：通过实际应用问题，让学生掌握如何应用同类项合并的方法解决实际问题，提高他们的数学思维和解决问题的能力。
代数同类项的合并
NEXT
代数式的加减乘除
解释方程的含义
一元一次方程解法
1. 确定未知数：一元一次方程中只包含一个未知数，需要明确这个未知数是什么。
2. 确定关系式：基于问题中所给出的条件，确定未知数与其它数之间的关系式，通常是用等于号连接起来。
3.例如：如果某个数的三倍加上5等于11，可以写成3x + 5 = 11 的形式，其中x是未知数。
02
一元一次方程解法
Solution of a one-dimensional equation
进一步可以探讨方程的应用场景，如何将实际问题转化成代数方程并求解，同时可以介绍一些常见的代数方程及其解法，如一元一次方程、二元一次方程等，并指出它们在解决实际问题中的具体应用。还可以强调代数方程的重要性，是初中数学中的重点、难点之一，也是后续学习高中数学必不可少的基础。
不等式解析式
1. 不等式的基本性质：介绍不等式的基本符号与运算方法，以及不等式的加减乘除性质，掌握这些性质可以帮助学生更好地理解与运用不等式。
2. 一元一次不等式的解法：介绍一元一次不等式的解法方法，包括移项、倍区间、绝对值法解不等式等，让学生掌握求解一元一次不等式的能力。
3. 一元二次不等式的解法：介绍一元二次不等式的解法方法，包括概念的介绍、化简、两边同乘以同号数、配方法、开平方等，让学生更好地理解与掌握求解一元二次不等式的方法。
用向量证明代数不等式的新探索
用向量证明代数不等式的新探索用向量证明代数不等式的新探索在数学领域，代数不等式一直是一个重要的研究课题。
传统上，我们通过代数推理来证明不等式，使用各种常见的技巧和方法，如分离变量、配方、代入等。
然而，随着数学研究的不断深入，人们开始思考是否有更加直观和准确的方法来证明代数不等式。
近年来，通过向量的方法来证明代数不等式逐渐引起了人们的兴趣，并取得了一些令人瞩目的成果。
本文将以从简到繁的方式，介绍用向量证明代数不等式的新探索。
一、基本概念和思路：1. 向量的定义和性质：向量是有方向和大小的量，可以表示为一组有序的数。
在向量加法和数量乘法下，向量形成线性空间。
向量的模表示向量的大小，方向可以通过极坐标系或单位向量表示。
2. 代数不等式的定义：代数不等式是指含有未知数的方程中，不等号“<”或“>”在方程两边同时存在的情况。
代数不等式可以是一元、二元或多元的，其解集往往是实数集合的子集。
3. 用向量证明代数不等式的思路：通过将代数不等式转化为向量不等式，利用向量的性质和运算进行推理和证明。
关键是将不等式中的未知数和参数表示为向量，并利用向量之间的关系进行推导。
二、基本方法和技巧：1. 向量表示法：将不等式中的未知数和参数转化为向量表示，利用向量长度和方向进行推导。
对于一元不等式a < b，可以将a和b表示为向量A和B，分别计算其模长，然后比较大小。
2. 向量运算法则：利用向量加法、数量乘法和内积等运算法则进行推理。
对于二元不等式ax + by < cx + dy，可以将a、b、c、d表示为向量A、B、C、D，利用向量内积进行计算。
3. 向量不等式性质：结合向量的不等式性质，如三角不等式、柯西-施瓦兹不等式等，进行推导和证明。
利用柯西-施瓦兹不等式可以证明二元不等式的一个特殊形式。
三、应用举例：1. 一元不等式的向量证明：考虑不等式x^2 - 2x - 3 < 0，我们可以将x表示为向量X，利用向量的模长计算得到X = (1, -1)。
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关于一个代数不等式的初探
张延卫
（江苏省宿迁市教育局，223800）
文[1]给出下述代数不等式：已知a,b,c 是正数，abc=1.求证：
a 1+
b 1+
c 1+c
b a ++3≥4. (1) 这个代数不等式形式优美，结论简洁，给人以强烈的美感.但文[1]给出的证明比较繁难,下面笔者给出不等式（1）的一个简证，并给出它的一个加强，最后再给出它的一个推广.
1 简证 不妨设x=
a 1,y=
b 1,z=c
1
,则xyz=1,不等式（1）化为： x+y+z+
xy
zx yz ++3
≥4.
因为 (x+y+z)2 = x 2+ y 2+ z 2+2(yz+zx+xy )≥3(yz+zx+xy ) 所以x+y+z+
xy zx yz ++3≥x+y+z+2
)
(9
z y x ++ 因此我们只要证明下述不等式即可： x+y+z+
2
)
(9
z y x ++≥4. (2) 设t=x+y+z,则t ≥3，不等式（2）化为： t+
29
t
≥4. 即 t 3-4t 2+9≥0. (3) 因为t ≥3，所以有
t 3-4t 2+9=t(t-3)2+(t-3)(2t-3) ≥0 因此不等式（3）成立，即不等式（1）成立. 2 加强
已知a,b,c 是正数，abc=1.则：
a 1+
b 1+
c 1+c
b a ++6≥5. (4) 证明: 由于不等式（4）是关于a ，b,
c 对称的，不妨设a 为其中最大者，则a ≥1,bc ≤1.
记f(a,b,c)=
a 1+
b 1+
c 1+c
b a ++6. 则f(a,b,c)- f(a,b
c , bc )=
b 1+
c 1+c b a ++6-c b 2-bc
a 26+ =bc c
b 2
)(--)
2)(()(62bc a c b a c b +++-
=（c b -）2[
bc 1-)
2)((6
bc a c b a +++]
因为bc ≤1,a+b+c ≥3,a+2bc ≥3,所以有
bc 1-)
2)((6bc a c b a +++≥1-32＞0.
因此 f(a,b,c) ≥f(a,bc , bc ). 所以我们只要证明下述不等式即可：
a 1
+c b 2+bc
a 26+≥5. (5) 设x=bc ,则a=
2
1
x ,0＜x ≤1.不等式（5）化为 x 2
+x 2+3
2
216x x +≥5
将上式展开,并移项化简得
2x 6-10x 4+11x 3-5x+2≥0 （6） 因为0＜x ≤1，所以
2x 6-10x 4+11x 3-5x+2=（x-1）2(2x 4+4x 3-4x 2-x+2) =（x-1）2[2x 4+x(2x-1)2+2（1-x)] ≥0. 因此不等式（6）成立，即不等式（4）成立.
因为a+b+c ≥3,所以不等式（4）是不等式（1）的加强.
3 推广
已知a i （i=1,2,3,…,n,n ≥2）是正数，∏=n
i i a 1=1.则：
∑=n
i i
a 11+∑=n i i
a n 1
≥n+1. (7) 证明：设x i =i a 1
, i=1,2,3,…,n.则∏=n
i i x 1
=1，不等式（7）化为：
∑=n
i i x 1
+
∑∏=≠=n i n
i
j j i
x
n
11≥n+1. (8)
我们可以证明：（∑=n
i i x 1
）
1
-n ≥n
2
-n （∑∏=≠=n i n
i
j j i x 11
）.(请读者自证)
因此我们只要证明下述不等式即可：
∑=n
i i
x
1
+
1
11)(-=-∑n n
i i n x n ≥n+1. (9)
设t=∑=n
i i x 1
,易证t ≥n.则不等式（9）化为：
t n +n 1-n ≥(n+1)t 1-n (10) 由算术—几何平均不等式，可得
∑-=1
1n i n
n
t + n 1-n ≥nt 1-n 又因为t ≥n ，可得n
t n
≥t 1-n .
所以有
（∑-=1
1n i n n
t + n 1
-n ）+n t n ≥nt 1-n + t 1-n =(n+1)t 1-n
即不等式（10）成立.
因此，不等式（7）成立，其中等号当且仅当a i =1（i=1,2,3,…,n ）的时候
成立.
4 问题
我们要问：当正数λ取什么最大值时，下述不等式成立： 已知a i （i=1,2,3,…,n,n ≥2）是正数，∏=n
i i a 1=1.则：
∑=n
i i
a 11+∑=n
i i
a 1
λ
≥n+n λ. (11)
参考文献：
1 数学奥林匹克问题高229.中等数学，2008年第8期.。