关于一个代数不等式的初探2008.11.24
不等式的初步研究与应用
不等式的初步研究与应用不等式是数学中一个重要的概念，它描述了数的大小关系。
在数学的研究中，不等式的研究和应用非常广泛，涉及到许多不同的领域和问题。
本文将对不等式的初步研究和应用进行探讨。
一、不等式的基本概念和性质不等式是数学中用于表示数的大小关系的一种符号语言。
在不等式中，我们常常使用“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号来表示数的大小关系。
例如，对于实数a和b，我们可以写成a>b，表示a大于b；或者写成a≥b，表示a大于等于b。
不等式有许多重要的性质。
首先，不等式具有传递性。
如果a>b，b>c，那么可以推出a>c。
这个性质在不等式的推导和证明中经常被使用。
其次，不等式也具有加法性和乘法性。
如果a>b，那么对于任意的正数c，有a+c>b+c；如果a>b且c>0，那么ac>bc。
这些性质在不等式的运算和化简中非常有用。
二、不等式的解集和图像不等式的解集是满足不等式条件的所有实数的集合。
例如，对于不等式x>2，解集可以表示为{x|x>2}。
解集可以用集合的形式表示，也可以用图像的形式表示。
不等式的图像是指将不等式表示为数轴上的一段区间。
例如，对于不等式x>2，其图像可以表示为一个从2开始的无穷大区间。
图像的表示使得我们可以更直观地理解不等式的解集和数的大小关系。
三、不等式的性质和定理不等式有许多重要的性质和定理。
其中最基本的是比较大小的性质。
对于两个实数a和b，我们可以通过比较它们的大小关系来得到不等式的结论。
例如，如果a>b，那么可以得到a+c>b+c，其中c是任意的正数。
此外，不等式还有许多重要的定理，如柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、凸性不等式等。
这些定理在不等式的研究和应用中发挥着重要的作用。
例如，柯西-施瓦茨不等式可以用于证明向量的内积的性质，均值不等式可以用于证明函数的性质，凸性不等式可以用于优化问题的求解。
代数不等式证明的一些方法与技巧
科技风 2020 年 10 月DOO 10.19392/j. cnki. 1671-7341.202028020代数不等式证明的一些方法与技巧闫晓霞汉中职业技术学院 陕西汉中723000摘 要：本文通过举例、利用比较法、分析法、放缩法等方法证明了一组代数不等式，展示了代数不等式证明的一些思想方法与技能技巧，如“逆向转化”“分而治之”“以退求进”等，帮助学生拓宽数学解题思维。
关键词：代数不等式;证明；方法与技巧；解题思维1绪论不管在初等数学中，还是在高等数学中，不等式都占有 着举足轻重的地位。
而对于不等式的证明，一般都会感到困难。
究其原因是多方面的。
其一是不等式的题型繁多，而证 明方法比较灵活,技巧多样;其二是不等式本身综合性较强,对我们的能力要求很高。
本文通过例子的形式，展示代数不等式证明的一些思想 方法与技能技巧。
2证明方法和技巧举例展示例1设正数a ,b ,c 成等比数列，求证：a 2-b 2+c 2 >(a-b+c)2证明：a 2+.-( a--+c)2 =2( ab-ac-b 1 +—)二2b (a--b+c)=2b (槡a -槡C '0故原不等式成立#%评注］比较法是证明不等式的基本方法,其证明的关键是“变形)#例 2 设 a , b ( /+ ,求证:° J 1：! +b'a+证一：要证原不等式，只要证：a ( 1+a 2) +b ( 1 +b 2) '( a+b )1 +a 2) ( 1 +b 2)只要证 1 +a 2 -ab ++2 ' J ( 1+a 2) ( 1+b 2) 只要证(槡：月-槡1+) 2+(a- 2 '0最后的不等式显然成立，故原不等式成立#证二：因原不等式关于a ,b 对称，故不妨设a 'b >0, 于是,a/1 +a 2 : 1+b 2 -类似例2,可证得以下结果: 若 a,b (( 0,1),则：例3设a,b,c 为满足ab+bcCca = 1的正数，求证:a+b +"+吉[T 7 +T ]证：m a+b +c-(: :、=寻(a+b ) +^+'槡34( a+) 4a+bn aP+c '槡P^b槡 4( a +-)同理，a+b+c '石+：b C 24()a+b+c '畐++.亡槡 4( c +a )以上三式相加，整理即得原不等式#%评注］一些形式上貌似复杂的不等式,可采用“分而治 之”，“以退求进”的策略攻之，不过，证明之前要有猜想，综合之前应有分析。
代数不等式证明的一些方法与技巧
代数不等式证明的一些方法与技巧作者：闫晓霞
来源：《科技风》2020年第28期
摘要：本文通过举例、利用比较法、分析法、放缩法等方法证明了一组代数不等式，展示了代数不等式证明的一些思想方法与技能技巧，如“逆向转化”“分而治之”“以退求进”等，帮助学生拓宽数学解题思维。
关键词：代数不等式;证明;方法与技巧;解题思维
1 绪论
不管在初等数学中，还是在高等数学中，不等式都占有着举足轻重的地位。
而对于不等式的证明，一般都会感到困难。
究其原因是多方面的。
其一是不等式的题型繁多，而证明方法比较灵活，技巧多樣;其二是不等式本身综合性较强，对我们的能力要求很高。
本文通过例子的形式，展示代数不等式证明的一些思想方法与技能技巧。
2 证明方法和技巧举例展示
3 结语
代数不等式不仅形式优美，证明思路灵活方法多变，是培养和发展学生思维能力，分析能力的和应变能力以及测试学生数学水平和学习潜力的重要素材。
证明不等式是一门艺术，它有自己及独特、丰富的技术手法。
正确、恰当地选择不等式的证明方法（哪一种证明方法都不是万能的）是证明不等式的基本功的体现。
只有善于观察，勤于积累，才能恰当地选择正确的证明方法完成不等式的证明。
参考文献：
[1]单墫.代数不等式的证明.中国科学技术大学出版社，2017-04-01.
[2]吴三明.不等式证明中的代数变形技巧.淮北职业技术学院学报，2014-8，13（4）.。
浅谈代数不等式
学习《不等式》的心得体会11数本（6） 2011224712 唐斌球不等式是数学中一个很重要的必不可少的工具。
不等式的类型比较多，解法也很纷繁。
经过学习不等式，我对不等式的相关知识有了一定的了解。
下面我就简单来谈谈自己学习不等式的一些心得体会。
不等式的主要类型有一元一次不等式，一元二次不等式，高次不等式，分式不等式，柯西不等式和代数不等式等等。
不等式与恒等式有很大的联系，将一个个恒等式略去一些项或去掉一些因式，就可以产生一个不等式。
利用一些完全平方式和非负的特性，可以产生或几乎证明所有的不等式。
但是不等式的证明要比想象中的要难得多。
不像一些恒等式一旦写出来就变得很显然了。
即使一些看似很简单的不等式证明起来也不简单的，因为我们还有很多不知道的恒等式。
关于不等式的解法和证明，我主要是从代数不等式来说说。
首先，是解不等式。
在解不等式之前，我们必须先了解不等式一些相关的性质和结论。
不等式的同解变形和不等式的证明都要依据不等式的意义和性质，其主要的性质有(1) 反对称性：a>b ⇔b<a; (2) 传递性 ： a>b,b>c ⇒a>c; (3) 加法单调性：a>b ⇔a+c>b+c;(4) a>b,c>0⇒ac>bc; (5)a>b,c<0⇒ac<bc;(6)a>b>0,n>1 且n ∈N+⇒a n >b n;(7)a>b>0, n>1 且 n ∈N +n n b a ≥⇒. 下面我就举几个例子来应用这些性质解不等式 例1 解不等式95---x x >1分析 这是一个无理不等式，可以利用乘方，将其转化成有理不等式来解。
但需要注意自变量的取值范围和同解性解 首先确定的x 允许值范围是[]9,509,05∈⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x .其次，原不等式变形为等价不等式x -5>x -91+两边显然都是非负的，因此可以两边乘方，得到不等式 x -5>x x -++92-91. 所以 152-x >2x -9 1） 若2x -150≤，即215≤x 时，不等式左边为非正值。
代数方程不等式函数
代数方程不等式函数代数方程、不等式和函数是高中数学中重要的概念和工具，它们在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。
本文将依次介绍代数方程、不等式和函数的概念，并讨论它们之间的关系。
一、代数方程代数方程是含有未知数的数学等式，通常采用字母表示未知数。
代数方程的解即能够使方程成立的未知数的取值。
比如，对于一元一次方程ax + b = 0，其解为x = -b/a。
而对于二元一次方程ax + by = c，其解为x = (c - by) / a。
代数方程的解可以有一个或多个，也可能没有解。
二、不等式不等式是由不等号连接的两个代数式构成的数学表达式。
不等式描述了变量之间的大小关系，可以用来表示范围和条件。
比如，对于一元一次不等式ax + b > 0，其解为x > -b/a。
而对于二元一次不等式ax + by ≤ c，其解为x ≤ (c - by) / a。
不等式的解可以是一个区间、一个集合或一个条件。
三、函数函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数由定义域、值域和对应关系组成。
在代数中，函数通常用方程或不等式的形式表示。
函数的图像可以是一条曲线、一条直线或一组离散点。
函数在数学中有着广泛的应用，特别是在数学分析、微积分和概率统计中。
四、代数方程、不等式和函数的关系代数方程和不等式可以被看作是函数的特殊形式。
代数方程可以表示为y = f(x)的形式，其中y代表方程的解。
而不等式可以表示为y ≥ f(x)或y ≤ f(x)的形式，其中y代表不等式的解的范围或条件。
代数方程和不等式都是函数的具体实例，它们在数学分析和应用问题中经常被用到。
总结：代数方程、不等式和函数是高中数学中的重要概念。
代数方程表示了数学等式的解，不等式描述了变量之间的大小关系，函数则是一种特殊的关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
代数方程、不等式和函数之间具有密切的关系，代数方程和不等式可以被看作是函数的特殊形式，在数学和其他科学领域中都有重要的应用。
一个代数不等式及其广泛应用
本文给出如下的不等式是一个很重要的代数不等式，有着广泛的应用.命题设a i 、b i 、c i >0(i =1,2,3),则(a 31+a 32+a 33)(b 31+b 32+b 33)(c 31+c 32+c 33) (a 1b 1c 1+a 2b 2c 2+a 3b 3c 3)3①.当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3,b 1c 1=b 2c 2=b3c 3时等号成立.证明：设M 1=a 31+a 32+a 33,M 2=b 31+b 32+b 33,M 3=c 31+c 32+c 33,则由三元均值不等式得3=M 1M 1+M 2M 2+M 3M 3=a 31+a 32+a 33M 1+b 31+b 32+b 33M 2+c 31+c 32+c 33M 3=æèçöø÷a 31M 1+b 31M 2+c 31M 3+æèça 32M 1+b 32M 2+öø÷c 32M 3+æèçöø÷a 33M 1+b 33M 2+c 33M 3 3a 1b 1c 1M 1M 2M 33+3a 2b 2c 2M 1M 2M 33+3a 3b 3c3M 1M 2M 33，即M 1M 2M 33 a 1b 1c 1+a 2b 2c 2++a 3b 3c 3,两边3次方即为(a 31+a 32+a 33)(b 31+b 32+b 33)(c 31+c 32+c 33) (a 1b 1c 1+a 2b 2c 2+a 3b 3c 3)3.当且仅当a 31M 1=b 31M 2=c 31M 3,a 32M 1=b 32M 2=c 32M 3,a33M 1=b 33M 2=c 33M 3，即a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3,b 1c 1=b 2c 2=b 3c 3时等号成立.不等式①可以看成是二维柯西不等式(a 21+a 22)(b 21+b 22) (a 1a 2+b 1b 2)2的三维推广.不等式①有着广泛的应用，下面从四个方面举例说明.1用于证明整式不等式问题例1（1996年英国数学奥林匹克试题）设a 、b 、c 是正数，求证：9(a 3+b 3+c 3) (a +b +c )3.证明：由不等式①得9(a 3+b 3+c 3)=(13+13+13)(13+13+13)(a 3+b 3+c 3) (1⋅1⋅a +1⋅1⋅b +1⋅1⋅c )3=(a +b +c )3,即9(a 3+b 3+c 3) (a +b +c )3.例2（第31届IMO 预选题）已知a 、b 、c ∈R +,证明：(a 2+ab +b 2)(b 2+bc +c 2)(c 2+ca +a 2) (ab +bc +ca )3,并求等号何时成立？证明：由不等式①得(a 2+ab +b 2)(b 2+bc+c 2)(c 2+ca +a 2)=(ab +b 2+a 2)(b 2+bc +c 2)(a 2+c 2+ca ) (abb 2a 23+b 2bcc 23+a 2c 2ca 3)3=(ab +bc +ca )3,即(a 2+ab +b 2)(b 2+bc +c 2)(c 2+ca +a 2) (ab +bc +ca )3.当且仅当b 23bc 3c 23=即a =b =c 时等号成立.一个代数不等式及其广泛应用山东省邹平双语学校姜坤崇256200摘要：本文给出并用三元均值不等式证明一个代数不等式，并从四个方面举例说明其广泛的应用.关键词：代数不等式；三元均值不等式；应用··4例3（2004年美国数学竞赛试题）设a、b、c为正实数，证明：(a5-a2+3)(b5-b2+3)(c5-c2+3) (a+b+c)3.证明：注意到，当a>0时，有(a5-a2+3) -(a3+2)=a5-a3-a2+1=(a3-1)(a2-1)=(a-1)2(a+1)(a2+a+1) 0,所以a5-a2+3 a3+2.依此，只需证明(a3+2)(b3+2)(c3+2) (a+b +c)3②.因为由①式有(a3+2)(b3+2)(c3+2)= (a3+1+1)(1+b3+1)(1+1+c3) (a+b+c)3,故②式成立，从而原不等式得证.2用于证明分式不等式问题例4（自编题）已知a、b、c是正数，求证：（1）1a2+1b2+1c227(a+b+c)2;（2）(1a+1b+1 c )2 27a2+b2+c2；（3）1a3+1b3+1c327(a+b+c)(a2+b2+c2)；（4）1a4+1b4+1c427(a+b+c)(a3+b3+c3).证明：（1）由不等式①得(a+b+c)2(1a2+1 b2+1c2)=(a+b+c)(a+b+c)(1a2+1b2+1c2)++3=(1+1+1)3=27,即1a2+1b2+1c227(a+b+c)2.（2）在（1）的结论中分别以1a,1b,1c代替a,b,c得a2+b2+c2 27æèöø1 a +1b+1c2,即(1a+1b)+1 c 227a2+b2+c2.（3）由不等式①得(a+b+c)(a2+b2+c2)⋅æèçöø÷1a3+1b3+1c3+3=(1+1+1)3=27,即1a3+1b3+1c327(a+b+c)(a2+b2+c2).（4）仿（3）的证明可证，略.说明：在例1中，分别以a3,b3,c3代替a,b,c得9(a+b+c) (a3+b3+c3)3,由此不等式及例4（1）的结论可得不等式链：已知a、b、c是正数，则1a2+1b2+1c227(a+b+c)23(a3+b3+c3)3(a+b+c)3.例5（2002年巴尔干数学奥林匹克试题）已知a、b、c是正数，求证：1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)272(a+b+c)2.证明：由不等式①得2(a+b+c)2éëê1b(a+b)+ùûú1c(b+c)+1a(c+a)=(b+c+a)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]éëêùûú1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)3=(1+1+1)3=27，即1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)272(a+b+c)2.3用于证明含有根式的不等式问题例6（自编题）已知a、b、c是正数，求证：（1）(a23+b23+c23)3 3(a+b+c)2;（2）(a2+2)(b2+2)(c2+2) (a2b2c23+2)3;(3)(a2+2)⋅(b2+2)(c2+2) (a23+b23+c23)3.证明：（1）由不等式①得3(a+b+c)2=(1+1+1)(a+b+c)(a+b+c) (a23+b23+c23)3,即(a23+b23+c23)3 3(a+b+c)2.（2）由不等式①得(a2+2)(b2+2)(c2+2)=(a2+1+1)(b2+1+1)(c2+1+1) (a2b2c23+1+1)3··5=(a 2b 2c 23+2)3，即(a 2+2)(b 2+2)(c 2+2)(a 2b 2c 23+2)3.（3）由不等式①得(a 2+2)(b 2+2)(c 2+2)=(a 2+1+1)(1+b 2+1)(1+1+c 2) (a 23+b 23+c 23)3，即(a 2+2)(b 2+2)(c 2+2) (a 23+b 23+c 23)3.例7（2004年中国国家集训队试题）设a ,b ,c 是正实数，求证：a +b +c 3证明：由三元均值不等式，得(a +b )+(b +c )+(c +a )3(a +b )(b +c )(c +a )3,所以a +b +c 3又由不等式①得(a +b )8=127(a +b2+b +a )(b +b +c 2+c )(a +c +c +a 2) 1273127(ab ⋅b ⋅a3)+b ⋅bc ⋅c 3+a ⋅c ⋅ca 33=127(ab +bc +)ca 3,所以综上，所证不等式成立.4用于求条件最值问题例8（《数学通报》2004（10），数学问题1504）已知x 、y 、z ∈R +,x +y +z =1,求u =1x 2+1y 2+8z 2的最小值.解：因为x +y +z =1，所以由不等式①得u =1x 2+1y 2+8z 2=(x +y +z )(x +y +z )æèç1x 2+1y 2+)8z 2+3=(1+1+2)3=64,当且仅当=x +y +z =1,即x =y =z 2,x +y +z =1（可解得x =y =14,z =12)时上式中等号成立，因此当且仅当x =y =14,z =12时u 取得最小值64.例9（文献[2]例4）已知x 、y 、z ∈R +,x 3+y 3+z 3=1,求u =x +y +4z 的最大值.解：因为x 3+y 3+z 3=1,所以由不等式①得(x +y +4z )3=()1⋅1⋅x 33+1⋅1⋅y 33+8⋅8⋅z333(1+1+8)(1+1+8)(x 3+y3+z 3)=100,当且仅当x1=y1=z 2,x 3+y 3+z 3=1（由此可解得x =yz =时上式中等号成立，因此当且仅当x =y =z 时u 取得最大值1003.参考文献[1]陈秀群，姜坤崇.整体代换法证分式不等式例说[J].中学数学研究（江西师范大学版），2010（06）:35-37.[2]姜坤崇.一个不等式与三类条件最值问题[J].数学通讯（下半月），2013（04）:37-40.[3]李锋，姜坤崇.一个不等式在一类条件最值问题中的应用[J].中学数学研究（江西师范大学版），2021（09）:30-31.[4]秦庆雄，范花妹.不等式的证明——构造“数字”法[J].数学通讯，2011（01，下半月）:39-41.[5]安振平.巧用抽屉原理证明代数不等式[J].数学教学，2012（04）:28-29.[6]蔡玉书.数学奥林匹克中的不等式研究[M].苏州：苏州大学出版社，2007.··6。
初中代数方程与不等式
1.同类项的概念和分类：介绍同类项的定义、如何分类以及举例说明。
2.同类项的合并方法：详细讲解同类项的合并方法，从基本的加减法到多项式的加减混合运算。
3.解决实际问题：通过实际应用问题，让学生掌握如何应用同类项合并的方法解决实际问题，提高他们的数学思维和解决问题的能力。
代数同类项的合并
NEXT
代数式的加减乘除
解释方程的含义
一元一次方程解法
1. 确定未知数：一元一次方程中只包含一个未知数，需要明确这个未知数是什么。
2. 确定关系式：基于问题中所给出的条件，确定未知数与其它数之间的关系式，通常是用等于号连接起来。
3.例如：如果某个数的三倍加上5等于11，可以写成3x + 5 = 11 的形式，其中x是未知数。
02
一元一次方程解法
Solution of a one-dimensional equation
进一步可以探讨方程的应用场景，如何将实际问题转化成代数方程并求解，同时可以介绍一些常见的代数方程及其解法，如一元一次方程、二元一次方程等，并指出它们在解决实际问题中的具体应用。还可以强调代数方程的重要性，是初中数学中的重点、难点之一，也是后续学习高中数学必不可少的基础。
不等式解析式
1. 不等式的基本性质：介绍不等式的基本符号与运算方法，以及不等式的加减乘除性质，掌握这些性质可以帮助学生更好地理解与运用不等式。
2. 一元一次不等式的解法：介绍一元一次不等式的解法方法，包括移项、倍区间、绝对值法解不等式等，让学生掌握求解一元一次不等式的能力。
3. 一元二次不等式的解法：介绍一元二次不等式的解法方法，包括概念的介绍、化简、两边同乘以同号数、配方法、开平方等，让学生更好地理解与掌握求解一元二次不等式的方法。
用向量证明代数不等式的新探索
用向量证明代数不等式的新探索用向量证明代数不等式的新探索在数学领域，代数不等式一直是一个重要的研究课题。
传统上，我们通过代数推理来证明不等式，使用各种常见的技巧和方法，如分离变量、配方、代入等。
然而，随着数学研究的不断深入，人们开始思考是否有更加直观和准确的方法来证明代数不等式。
近年来，通过向量的方法来证明代数不等式逐渐引起了人们的兴趣，并取得了一些令人瞩目的成果。
本文将以从简到繁的方式，介绍用向量证明代数不等式的新探索。
一、基本概念和思路：1. 向量的定义和性质：向量是有方向和大小的量，可以表示为一组有序的数。
在向量加法和数量乘法下，向量形成线性空间。
向量的模表示向量的大小，方向可以通过极坐标系或单位向量表示。
2. 代数不等式的定义：代数不等式是指含有未知数的方程中，不等号“<”或“>”在方程两边同时存在的情况。
代数不等式可以是一元、二元或多元的，其解集往往是实数集合的子集。
3. 用向量证明代数不等式的思路：通过将代数不等式转化为向量不等式，利用向量的性质和运算进行推理和证明。
关键是将不等式中的未知数和参数表示为向量，并利用向量之间的关系进行推导。
二、基本方法和技巧：1. 向量表示法：将不等式中的未知数和参数转化为向量表示，利用向量长度和方向进行推导。
对于一元不等式a < b，可以将a和b表示为向量A和B，分别计算其模长，然后比较大小。
2. 向量运算法则：利用向量加法、数量乘法和内积等运算法则进行推理。
对于二元不等式ax + by < cx + dy，可以将a、b、c、d表示为向量A、B、C、D，利用向量内积进行计算。
3. 向量不等式性质：结合向量的不等式性质，如三角不等式、柯西-施瓦兹不等式等，进行推导和证明。
利用柯西-施瓦兹不等式可以证明二元不等式的一个特殊形式。
三、应用举例：1. 一元不等式的向量证明：考虑不等式x^2 - 2x - 3 < 0，我们可以将x表示为向量X，利用向量的模长计算得到X = (1, -1)。
用向量证明代数不等式的新探索
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代数不等式的求解方法
代数不等式的求解方法代数不等式是初中数学中的重要内容，也是学生们常常会遇到的难题之一。
在学习代数不等式的求解方法时，我们需要掌握一些基本的技巧和策略。
本文将介绍几种常见的代数不等式的求解方法，希望对中学生和他们的父母有所帮助。
一、一元一次不等式的求解对于一元一次不等式，我们可以采用类似于方程的思路进行求解。
首先，我们将不等式转化为等式，然后根据等式的解集来确定不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以将其转化为等式2x + 3 = 7。
解这个等式得到x = 2。
然后，我们可以根据x = 2来确定原不等式的解集。
由于不等号是大于号，所以解集为x > 2。
二、一元二次不等式的求解一元二次不等式的求解相对来说要复杂一些。
我们可以通过图像法或者代数法来求解一元二次不等式。
1. 图像法：首先，我们可以将一元二次不等式对应的二次函数的图像绘制出来。
然后，根据图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出对应的二次函数的图像。
通过观察图像，我们可以发现函数在x < 1和x > 3的区间内取正值，所以解集为x < 1或x > 3。
2. 代数法：对于一元二次不等式，我们可以通过移项、配方、因式分解等方法将其化简为一元一次不等式或者二元一次不等式。
然后，再根据一元一次不等式或者二元一次不等式的求解方法来求解。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其化简为(x - 1)(x - 3) > 0。
然后，我们可以根据(x - 1)(x - 3) = 0的解集来确定不等式的解集。
解得x < 1或x > 3，即解集为x < 1或x > 3。
三、绝对值不等式的求解绝对值不等式是一种常见的特殊不等式。
我们可以通过分情况讨论的方法来求解绝对值不等式。
例如，对于不等式|2x - 1| < 3，我们可以分两种情况进行讨论。
代数设参法证明不等式
代数设参法证明不等式初二数学老师说过，在证明不等式时我们通常有三种方法：直接证法、代数设参法和间接证法。
我们通常采用的是代数设参法。
那么，什么叫代数设参法呢？这是我上网查询后才知道的，它是指设置某些参数使原不等式变成等式的一种方法，也就是代替已知条件的方法，称为代数设参法。
例如：不等式两边平方，平方之后，左边不能等于右边或者右边不能等于左边。
这样，我们只要设左边和右边都为实数，就能把不等式证明了。
还有一种情况就是，已知其中一边，但是另外一边没有实数解，也可以使用代数设参法。
这样，就有五种情况：已知一边平方，另一边不等于零；一边平方，另一边不等于实数；一边平方，另一边为虚数；一边平方，另一边为复数；一边不等于零，另一边为零。
在第二种情况里，需要引入两个相异方向的单位向量，才能使不等式成立。
怎么做呢？用向量公式，可以设为&;&或&;^^&。
因为两边平方，所以这两个方向都可以。
怎么证明两边平方？用定义证明。
平方平方要乘2，自然需要4个方向相异的单位向量。
所以， 4个向量就需要8个方向相异的单位向量。
8个方向相异的单位向量有多少种呢？&;&=&(8-1)/2^1=4。
自然可以取平方反向的向量作为4个方向相异的单位向量。
向量的平方还要乘积2，可以设为&;&^2或&;^3。
由此可知，只要四个方向相异的单位向量都满足，就能得到两边平方的结论。
再用定理平方差公式，平方即可。
至此，第一个证明已经完成了。
这一类的题目，经常会出现在解析几何题目当中。
在上学期中考时，一道题就问了这个问题。
用代数设参法证明是很简单的，而且我很快就证明了这道题，所以成绩还可以。
“一个字的设计可以产生千百种不同的答案。
”这句话，对于数学题的作答来说是非常贴切的。
我们通常是通过证明来发现和验证猜想，这样就形成了思维的跳跃性。
作为一名学生，我们的主要任务是学习知识，培养技能，在此基础上锻炼思维。
一组代数不等式的相关探究_安振平
1 2
(45
-
3 4
),
……,
f(n)<
1 2
( n
n +1
-n
-1), n
叠加 , 得 f(1)+f(2)+ f(3)+ f(4)+… +f(n)
<
f(1)+ f(2)+
1 2
(34
-
2 3
)+
1 2
(45
-
3 4
)+
…
+
1 2
(n
n +1
-n
-n 1)
=
1 5
+111
+
1 2
(n
n +1
-
2 3
2)
=(xn
+y n)+ xy(xn-1 y + xy n-1) (1 + x2)(1 + y2)
≤(xn
+y n)+ xy(xn (1 + xy)2
+y n) =
xn + yn 1 + xy
,
所以
,
有
1
xn + x2
+ 1
yn +y
2
≤
xn +y n 1 + xy
.
笔者通过深入思考 , 曾经为 2007 年陕西高 中数
3 an
an +
1
,
n
=1,2,3,
….
(1)求{an}的通项公式 ;
(2) 证 明 :对 任 意 的
x
从代数恒等式到代数不等式
从代数恒等式到代数不等式胡㊀坚(江苏省淮安市金湖县第二中学ꎬ江苏淮安２１１６００)摘㊀要:恒等式与不等式有着紧密的联系ꎬ由恒等式可以得到不等式ꎬ也可以通过构造恒等式来证明不等式.文章先给出生成恒等式的几种方法ꎬ然后举例说明构造恒等式在证明不等式中的应用.关键词:恒等式ꎻ不等式ꎻ构造ꎻＳＯＳ方法ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０１－００４８－０３收稿日期:２０２３－１０－０５作者简介:胡坚(１９８３.３－)ꎬ男ꎬ江苏省淮安人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀我们知道ꎬ对于任意的实数ｘꎬ都有ｘ２ȡ０ꎬ这是最简单的不等式.作为这一原理的应用ꎬ我们取ｘ＝ａ－ｂꎬ其中ａꎬｂ是正实数.于是有(ａ－ｂ)２ȡ０ꎬ展开得ａ＋ｂȡ２ａｂꎬ当且仅当ａ＝ｂ时等号成立ꎬ这就是均值不等式.换个角度来说ꎬ我们可以从恒等式ａ＋ｂ－２ａｂ＝(ａ－ｂ)２中得到不等式ａ＋ｂȡ２ａｂ.１从代数恒等式到常用不等式例１㊀由(ðｎｉ＝１ａ２ｉ)(ðｎｉ＝１ｂ２ｉ)－(ðｎｉ＝１ａｉｂｉ)２＝ðｉɤｉ<ｊɤｎ(ａｉｂｊ－ａｊｂｉ)２ꎬ得柯西不等式(ðｎｉ＝１ａ２ｉ)(ðｎｉ＝１ｂ２ｉ)ȡ(ðｎｉ＝１ａｉｂｉ)２.点评㊀这就是从拉格朗日(Ｌａｇｒａｎｇｅ)恒等式到柯西(Ｃａｕｃｈｙ)不等式.例２㊀设ａꎬｂ>０ꎬ由ａ３＋ｂ３－ａｂ(ａ＋ｂ)＝(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)２ꎬ得到ａ３＋ｂ３ȡａ２ｂ＋ａｂ２.例３㊀设ａꎬｂ>０ꎬ由ａ３＋ｂ３＋ｃ３－３ａｂｃ＝１２(ａ＋ｂ＋ｃ)[(ａ－ｂ)２＋(ｂ－ｃ)２＋(ｃ－ａ)２]ꎬ得到ａ３＋ｂ３＋ｃ３ȡ３ａｂｃ.例４㊀由２(ａ２＋ｂ２)－(ａ＋ｂ)＝(ａ－ｂ)２ａ＋ｂ＋２(ａ２＋ｂ２)ꎬ得２(ａ２＋ｂ２)ȡ(ａ＋ｂ).点评㊀这就是不等式２(ａ２＋ｂ２)ȡ(ａ＋ｂ)２ꎬ用此不等式可以速解２０１４年浙江考题:设实数ａꎬｂꎬｃ满足ａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１ꎬ则ｃ的最大值是.我们还可以将此不等式推广到三次方或者三元㊁ｎ元的情况.(１)由３４(ａ３＋ｂ３)－(ａ＋ｂ)＝３(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)２(ａ＋ｂ)２＋(ａ＋ｂ) ３４(ａ３＋ｂ３)＋３１６(ａ３＋ｂ３)２ꎬ得到３４(ａ３＋ｂ３)ȡ(ａ＋ｂ).即４(ａ３＋ｂ３)ȡ(ａ＋ｂ)３.８４(２)由３(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)－(ａ＋ｂ＋ｃ)＝(ａ－ｂ)２＋(ｂ－ｃ)２＋(ｃ－ａ)２ａ＋ｂ＋ｃ＋３(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)ꎬ得到３(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)ȡ(ａ＋ｂ＋ｃ).即３(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)ȡ(ａ＋ｂ＋ｃ)２.(３)由ｎðｎｉ＝１ａ２ｉ－ðｎｉ＝１ａｉ＝ðｉ<ｊ(ａｉ－ａｊ)２ðｎｉ＝１ａｉ＋ｎðｎｉ＝１ａ２ｉꎬ得ｎðｎｉ＝１ａ２ｉȡðｎｉ＝１ａｉ.例５㊀由３(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)－(ａ＋ｂ＋ｃ)＝－１２(ａ－ｂ)２＋(ｂ－ｃ)２＋(ｃ－ａ)２ａ＋ｂ＋ｃ＋３(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)ꎬ得到３(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)ɤａ＋ｂ＋ｃ.例６㊀由ðｎｉ＝１１ａｉ－ｎ２ðｎｉ＝１ａｉ＝１ｎðｉ<ｊ(ａｉ－ａｊ)２ａｉａｊꎬ得到ðｎｉ＝１１ａｉȡｎ２ðｎｉ＝１ａｉꎬ这是柯西不等式的推论ꎬ在竞赛题中广泛应用.２从恒等式的角度证明不等式例７㊀ＡꎬＢꎬＣ为әＡＢＣ的内角ꎬ求证:对任意的ｘꎬｙꎬｚꎬ有ｘ２＋ｙ２＋ｚ２－２ｘｙｃｏｓＣ－２ｙｚｃｏｓＡ－２ｘｚｃｏｓＢȡ０.证明㊀ｘ２＋ｙ２＋ｚ２－２ｘｙｃｏｓＣ－２ｙｚｃｏｓＡ－２ｘｚｃｏｓＢ＝(ｘ－ｙｃｏｓＣ－ｚｃｏｓＢ)２＋(ｙｓｉｎＣ－ｚｓｉｎＢ)２ꎬ所以欲证不等式成立.点评㊀还可以将条件 ＡꎬＢꎬＣ为әＡＢＣ的内角 弱化为 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝(２ｎ＋１)π .若条件改为 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２ｎπ ꎬ则有ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＋２ｘｙｃｏｓＣ＋２ｙｚｃｏｓＡ＋２ｘｚｃｏｓＢȡ０[１].例８㊀证明:对任意的实数ｔꎬ有ｔ４－ｔ＋１２>０.证明㊀由恒等式ｔ４－ｔ＋１２＝(ｔ２－１２)２＋(ｔ－１２)２>０ꎬ知欲证不等式成立.例９㊀证明:对任意的正实数ｘꎬｙꎬ有ｘｘ２＋２ｙｚ＋ｙｙ２＋２ｚｘ＋ｚｚ２＋２ｘｙ<２.证明㊀因为(ｘ２＋２ｙｚ)[ｘ(ｙ＋ｚ)＋ｙ２＋ｚ２]２－[ｘ２(ｙ＋ｚ)＋ｙ２(ｚ＋ｘ)＋ｚ２(ｘ＋ｙ)]２＝２ｘ(ｙ＋ｚ)(ｙ２＋ｚ２)＋２ｙ４－ｙ３ｚ＋２ｙ２ｚ２－ｙｚ３＋２ｚ４＝２ｘ(ｙ＋ｚ)(ｙ２＋ｚ２)＋(ｙ－ｚ)２(ｙ２＋ｙｚ＋ｚ２)＋(ｙ２＋ｚ２)２>０ꎬ所以ｘｘ２＋２ｙｚ＋ｙｙ２＋２８ｘｚ＋ｚｚ２＋２ｘｙ<ðｃｙｃｘ２(ｙ＋ｚ)＋ｘ(ｙ２＋ｚ２)ｘ２(ｙ＋ｚ)＋ｙ２(ｚ＋ｘ)＋ｚ２(ｘ＋ｙ)＝２.例１０㊀(２０１７年清华大学自主招生试题)已知实数ｘꎬｙ满足５ｘ２－ｙ２－４ｘｙ＝５ꎬ则２ｘ２＋ｙ２的最小值是.解析㊀因为５ｘ２－ｙ２－５＋ｘ２＋４ｙ２()－３(２ｘ２＋ｙ２－５３)＝０ꎬ即３２ｘ２＋ｙ２－５３æèçöø÷＝５ｘ２－ｙ２－５＋ｘ２＋４ｙ２()ȡ５ｘ２－ｙ２－５＋４ｘｙ＝０.所以２ｘ２＋ｙ２ȡ５３.点评㊀用待定系数法可求出５ｘ２－ｙ２－５－ｍｘ２＋４ｍｙ２æèçöø÷＋５ｐ２ｘ２＋ｙ２－ｐ()＝０中的ｍ和ｐ使得等式恒成立.例１１㊀设０<ａꎬｂ<１ꎬ求证:ａ１－ａ２＋ｂ１－ｂ２ȡａ＋ｂ１－ａｂ＋ａ＋ｂ１－ａｂａ－ｂ１＋ａｂæèçöø÷２.证明㊀ａ１－ａ２＋ｂ１－ｂ２－ａ＋ｂ１－ａｂ－ａ＋ｂ１－ａｂａ－ｂ１＋ａｂæèçöø÷２＝ａ－ｂ()２ａ＋ｂ()３１－ａ２()１－ｂ２()１－ａｂ()１＋ａｂ()２ȡ０.例１２㊀对于实数ｘꎬｙꎬｘʂ－ｙꎬ求证:ｘ２＋ｙ２＋１＋ｘｙｘ＋ｙæèçöø÷２ȡ２.９４证明㊀因为ｘ２＋ｙ２＋１＋ｘｙｘ＋ｙæèçöø÷２－２＝ｘ＋ｙ－１＋ｘｙｘ＋ｙæèçöø÷２ȡ０ꎬ所以ｘ２＋ｙ２＋１＋ｘｙｘ＋ｙæèçöø÷２ȡ２.例１３㊀已知正数ｘꎬｙꎬｚꎬ证明:ｘ２＋ｘｙ２＋ｘｙｚ２ȡ４ｘｙｚ－４.证明㊀因为ｘ２＋ｘｙ２＋ｘｙｚ２＝４ｘｙｚ－４＋ｘ－２()２＋ｘｙ－２()２＋ｘｙｚ－２()２ꎬ(ｘ－２)２ȡ０ꎬｘ(ｙ－２)２ȡ０ꎬｘｙ(ｚ－２)２ȡ０ꎬ所以ｘ２＋ｘｙ２＋ｘｙｚ２ȡ４ｘｙｚ－４.例１４㊀已知正数ａꎬｂꎬｃꎬ求证:ｂ＋ｃａ２＋ｃ＋ａｂ２＋ａ＋ｂｃ２ȡ１ａ＋１ｂ＋１ｃ.证明㊀因为ｂ＋ｃａ２＋ｃ＋ａｂ２＋ａ＋ｂｃ２－１ａ＋１ｂ＋１ｃæèçöø÷＝(ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３＋ｂ３ｃ２＋ｂ２ｃ３＋ａ３ｃ２＋ａ２ｃ３－ａ２ｂ２ｃ－ａ２ｂｃ２－ａｂ２ｃ２)/(ａ２ｂ２ｃ２)ꎬ而ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３＋ｂ３ｃ２＋ｂ２ｃ３＋ａ３ｃ２＋ａ２ｃ３－２ａ２ｂ２ｃ－２ａ２ｂｃ２－２ａｂ２ｃ２＝ｂ２ａ－ｃ()２ａ＋ｃ()＋ａ２(ｂ－ｃ)２(ｂ＋ｃ)＋ｃ２(ａ－ｂ)２(ａ＋ｂ)ȡ０ꎬ所以ｂ＋ｃａ２＋ｃ＋ａｂ２＋ａ＋ｂｃ２ȡ１ａ＋１ｂ＋１ｃ.例１５㊀已知ａꎬｂꎬｃꎬｄɪＲ＋ꎬａｂｃｄ＝１ꎬ求证:１１＋ａ()２＋１１＋ｂ()２＋１１＋ｃ()２＋１１＋ｄ()２ȡ１.证明㊀注意到当ｘｙ＝１时有１１＋ｘ＋１１＋ｙ＝１.于是１１＋ａｂ＋１１＋ｃｄ＝１.因为１１＋ａ()２＋１１＋ｂ()２－１１＋ａｂ＝ａｂａ－ｂ()２＋ａｂ－１()２１＋ａ()２１＋ｂ()２１＋ａｂ()ȡ０ꎬ故１１＋ａ()２＋１１＋ｂ()２ȡ１１＋ａｂ.同理１１＋ｃ()２＋１１＋ｄ()２ȡ１１＋ｃｄ.两式相加可知原不等式得证[２].３ＳＯＳ定理的介绍在前文ꎬ笔者提到ꎬ可以把欲证不等式化为ａ１ｘ２１＋ａ２ｘ２２＋ ＋ａｎｘ２ｎȡ０ꎬ(ａｉɪＲ＋ꎬｉ＝１ꎬ２ꎬꎬｎ)这就是平方和(ＳＯＳ)方法的基本思想.ＳＯＳ定理㊀考虑表达式Ｓ＝ｆ(ａꎬｂꎬｃ)＝Ｓｃ(ａ－ｂ)２＋Ｓｂ(ｃ－ａ)２＋Ｓａ(ｂ－ａ)２ꎬ其中ＳａꎬＳｂꎬＳｃ是关于变量ａꎬｂꎬｃ的表达式ꎬ则如果下列条件中至少有一个成立ꎬ那么不等式Ｓȡ０成立.(１)Ｓａȡ０ꎬＳｂȡ０ꎬＳｃȡ０ꎻ(２)ａȡｂȡｃ且Ｓｂȡ０ꎬＳｂ＋Ｓａȡ０ꎬＳｂ＋Ｓｃȡ０ꎻ(３)ａȡｂȡｃ且Ｓａȡ０ꎬＳｃȡ０ꎬＳａ＋２Ｓｂȡ０ꎬＳｃ＋２Ｓｂȡ０ꎻ(４)ａȡｂȡｃ且Ｓｂȡ０ꎬＳｃȡ０ꎬａ２Ｓｂ＋ｂ２Ｓａȡ０ꎻ(５)ａȡｂȡｃ是某三角形的三条边ꎬ且Ｓａȡ０ꎬＳｂȡ０ꎬｂ２Ｓｂ＋ｃ２Ｓｃȡ０ꎻ(６)Ｓａ＋Ｓｂ＋Ｓｃȡ０且ＳａＳｂ＋ＳｂＳｃ＋ＳｃＳａȡ０４结束语可以从以下三个角度来进一步考虑.(１)可以从常见的代数恒等式得到常用的代数不等式ꎻ(２)可以从恒等式的角度来证明不等式ꎻ(３)进一步ꎬ由ａ１ｘ２１＋ａ２ｘ２２＋ ＋ａｎｘ２ｎȡ０ꎬ(ａｉɪＲ＋ꎬｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ我们可以对ａｉ和ｘｉ取不同的表达式ꎬ从而得到各种我们想要的不等式ꎬ也可以把要证的不等式化归为这样的形式从而得证.这就是证明不等式的一种有力方法:平方和(ＳＯＳ)方法.参考文献:[１]李鸿昌.我这样做奥数[Ｍ].成都:四川省教育电子音像出版社ꎬ２０２１.[２]彭翕成.从初等数学到高等数学[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０２３.[责任编辑:李㊀璟]０５。
基本不等式代数解释
基本不等式代数解释
嘿，你知道吗？基本不等式就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数
学难题的大门呢！比如说，当你看到两个正数 a 和 b 的时候，基本不
等式就跳出来啦！它告诉你，这两个数的算术平均数大于等于它们的
几何平均数，也就是根号下ab。
这就好像是说，a 和b 这两个小伙伴，它们的平均数肯定不会比它们相乘再开方小呀！
咱来举个例子哈，就说小明有 a 个苹果，小红有 b 个苹果，那他俩
平均拥有的苹果数肯定不会比他俩苹果数相乘再开方少吧！这多有意
思呀！
基本不等式可不仅仅是个理论哦，它在实际生活中也有大用处呢！
比如说你要规划一个长方形的花园，长是 a，宽是 b，那你就得考虑怎
么让面积最大呀！这时候基本不等式就来帮忙啦，它告诉你，当 a 和 b 相等的时候，面积最大。
哎呀，这不就像你找东西，一下子就找到了
最关键的那个点嘛！
再想想看，我们平时做事情不也是这样吗？要找到一个平衡点，才
能让事情做得最好。
这基本不等式不就是在告诉我们这个道理嘛！
我觉得呀，基本不等式就像是一个默默守护我们的小精灵，平时不
显眼，但是关键时刻总能给我们指引。
它的代数解释虽然看起来有点
复杂，但是只要我们用心去理解，就会发现它真的超级有用！它让我
们明白，数学不仅仅是一堆数字和公式，更是一种能帮助我们解决实际问题的智慧呢！你说是不是呀？。
五年级数学下册能力提升掌握简单的代数不等式
五年级数学下册能力提升掌握简单的代数不等式代数不等式是数学中一个重要的概念，它涉及到数的大小关系和运算符号的运用。
在五年级的数学下册中，我们需要提升对简单代数不等式的掌握能力。
本文将从理论知识和实际应用两个方面，介绍如何有效掌握简单的代数不等式。
一、理论知识部分1. 代数不等式的基本概念代数不等式是以未知数为变量的不等关系式。
例如，不等式2x + 3 > 7就是一个代数不等式，其中的未知数x可以有无穷多个解。
不等式中的符号包含了大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
2. 解代数不等式的基本步骤解代数不等式的基本步骤包括：将不等式中的变量移到一边，将数字移到另一边，然后根据不等号的方向确定解的范围。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，首先将3移到另一边得到2x > 4，然后除以2得到x > 2，所以解的范围是x大于2。
3. 代数不等式的性质和运算法则代数不等式有一些特殊的性质和运算法则，包括加减法的性质、乘除法的性质、取负数的性质等。
熟练掌握这些运算法则对解代数不等式非常重要。
二、实际应用部分代数不等式在实际生活中有许多应用，例如在比赛中的评分、商品的打折问题等。
我们需要通过实际问题的解决来提升对简单代数不等式的掌握能力。
举例一：评分问题某次考试满分为100分，小明得了x分，要求x满足不等式60 ≤ x < 80。
这时，我们可以通过解代数不等式来找出小明可能得到的分数范围。
根据不等式的解法，我们知道小明得分的范围是60到80之间，包括60但不包括80。
举例二：打折问题某商场举行打折活动，所有商品都按原价的7折出售。
小华想买一件原价100元的商品，他需要计算出打折后的价格满足不等式x ≤ 70，其中x表示打折后的价格。
通过解代数不等式x ≤ 70，我们可以推断出小华购买的商品打折后价格不能超过70元。
通过实际应用的例子，我们可以更好地理解代数不等式在解决实际问题中的作用，也提升了自己对简单代数不等式的掌握能力。
浅谈代数不等式的基本性质的实际应用
浅谈代数不等式的基本性质的实际应用作者：胡映贵来源：《魅力中国》2018年第21期代数不等式的基本性质是中学数学的重要内容，它可以渗透到中学数学的很多章节，是解决很多数学问题的有利工具，再加上它在实际问题中的广泛应用性，决定了它将是常考不衰的高考热点问题。
根据有关资料显示，在历年高考试题中，直接或间接考查不等式知识约占总分的四分之一以上。
代数不等式基本性质的学习对发展学生的数学思维，培养逻辑思维能力、推理能力起着非常重要的作用。
不等式的基本性质试题不仅体现了“基础与能力考查并重”的原则，还体现了转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、最优化数學思想、函数与方程的思想、建立数学模型的思想等等。
怎么把代数不等式的基本性质融入到实际解题中就是本文所研究的。
一、不等式基本性质的运用同学们都知道，不等式的基本性质有以下三条：（1）不等式的两边加上（或减去）一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式的两边都乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边都乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变，通过举例，说说不等式基本性质的作用。
（一）比较大小利用不等式比较大小，有两种方法：第一，作差比较法。
比较两个实数的大小，或者比较两个代数式的大小，我们可以拿一个实数减去另外一个实数，或者可以拿一个代数式减去另外一个代数式，如果差大于零，那么被减数或被减式大于减数或减式；如果差等于零，那么被减数或被减式等于减数或减式；如果差小于零，那么被减数或被减式小于减数或减式。
第二，作商比较法。
这一种方法适用于含有幂代数式大小的比较。
拿一个代数式除以另外一个代数式，如果商大于1，那么被除式大于除式；如果商大于零小于1，那么被除式小于除式；不过此种方法有使用范围，必须是两个代数式同正同负，其他情形一般不适合第二种方法。
（二）确定范围利用不等式可以确定一些实际问题中的取值范围。
第一，在函数问题中，可以用不等式表示函数的定义域及值域。
代数不等式的解法
有交点，无交点的话根据大于 0 还是小于 0 写出无解或 x ，有解的话求出两根，再写出 解集． [例 1]解不等式 2 x 5 x 3 0 ．
2
故这抛物线与 x 轴有交点：x1,2 解： 1 0 ，
5 1 3 根据图象知 y 0 1, 是其横坐标， 4 2 3 3 的部分是 1 的左侧和 的右侧，且包括这两点．因此解集是 x ( ,1] [ , ) ． 2 2
n n 1
... a0 （ an 0 ）在 , 上处处连续，
曲线处处光滑． 好，先说求根问题．请牢记一点，我们要求的是实根，虚根是没有意义的，因为它不能在直 角坐标系上表出，我们在本文讨论的都是在实数域内不等式的解法 ． 1 对于一个方程
F x 0 ，我们要做的不仅是求根，而且要写成分解因式的形式．2这相当于对多项式函数
图1
y 0 的解集就是横轴上除去上面的数集的其他部分： x (, x1 ] [ x2 , x3 ] ，若是小于 0
1
则把这解区间变为开区间就可以了．
提示： 这里和下文所讲的二元不等式有一个重要的误区： y 集， 一定要将方程 F 在这图象中， F
0 与 F x, y 0 是两回事．要求 y 0 的解
2
综上， a [0, 4) ． 三、一元高次不等式的解法 我们现在要转入高次不等式（三、四、五……）次解法的学习．对于一元不等式 F x 0 ， 由上讨论知道很重要的一点就是求出 F x 0 的各根以及描绘它的图象．完成了这两步，
4
也就相当于完成了解不等式的 90%． 这里给出多项式函数的一个重要特征： [基本定理]多项式函数 f x an x an 1 x
一个代数不等式的几何解释
一个代数不等式的几何解释
方明
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1998(000)004
【摘要】设a,b,c∈R<sub>+</sub>,则有
（a<sup>2</sup>+ab+b<sup>2</sup>）<sup>1/2</sup>+
（b<sup>2</sup>+bc+c<sup>2</sup>）<sup>1/2</sup>+
（c<sup>2</sup>+ca+a<sup>2</sup>）
<sup>1/2</sup>≥3<sup>*1/2</sup>（a+b+c）.这一不等式除代数证法外,文[1]、[2]都给出了一种几何证法。
其思路是依余弦定理分别表出左端各项,然后求其最小值。
但都没有给出左、右两
【总页数】2页(P25-26)
【作者】方明
【作者单位】贵州商业专科学校 550004
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.对一个不等式链的几何解释 [J], 阿花忠
2.研究弹性正碰的一个代数技巧及其几何解释 [J], 李力;邓朝阳
3.一个代数不等式的几种几何解释 [J], 朱荣兴
4.一个代数不等式的几何解释 [J], 徐彦明
5.一个重要不等式链的几何解释及相关链接 [J], 童永奇
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关于一个代数不等式的初探
张延卫
（江苏省宿迁市教育局，223800）
文[1]给出下述代数不等式：已知a,b,c 是正数，abc=1.求证：
a 1+
b 1+
c 1+c
b a ++3≥4. (1) 这个代数不等式形式优美，结论简洁，给人以强烈的美感.但文[1]给出的证明比较繁难,下面笔者给出不等式（1）的一个简证，并给出它的一个加强，最后再给出它的一个推广.
1 简证 不妨设x=
a 1,y=
b 1,z=c
1
,则xyz=1,不等式（1）化为： x+y+z+
xy
zx yz ++3
≥4.
因为 (x+y+z)2 = x 2+ y 2+ z 2+2(yz+zx+xy )≥3(yz+zx+xy ) 所以x+y+z+
xy zx yz ++3≥x+y+z+2
)
(9
z y x ++ 因此我们只要证明下述不等式即可： x+y+z+
2
)
(9
z y x ++≥4. (2) 设t=x+y+z,则t ≥3，不等式（2）化为： t+
29
t
≥4. 即 t 3-4t 2+9≥0. (3) 因为t ≥3，所以有
t 3-4t 2+9=t(t-3)2+(t-3)(2t-3) ≥0 因此不等式（3）成立，即不等式（1）成立. 2 加强
已知a,b,c 是正数，abc=1.则：
a 1+
b 1+
c 1+c
b a ++6≥5. (4) 证明: 由于不等式（4）是关于a ，b,
c 对称的，不妨设a 为其中最大者，则a ≥1,bc ≤1.
记f(a,b,c)=
a 1+
b 1+
c 1+c
b a ++6. 则f(a,b,c)- f(a,b
c , bc )=
b 1+
c 1+c b a ++6-c b 2-bc
a 26+ =bc c
b 2
)(--)
2)(()(62bc a c b a c b +++-
=（c b -）2[
bc 1-)
2)((6
bc a c b a +++]
因为bc ≤1,a+b+c ≥3,a+2bc ≥3,所以有
bc 1-)
2)((6bc a c b a +++≥1-32＞0.
因此 f(a,b,c) ≥f(a,bc , bc ). 所以我们只要证明下述不等式即可：
a 1
+c b 2+bc
a 26+≥5. (5) 设x=bc ,则a=
2
1
x ,0＜x ≤1.不等式（5）化为 x 2
+x 2+3
2
216x x +≥5
将上式展开,并移项化简得
2x 6-10x 4+11x 3-5x+2≥0 （6） 因为0＜x ≤1，所以
2x 6-10x 4+11x 3-5x+2=（x-1）2(2x 4+4x 3-4x 2-x+2) =（x-1）2[2x 4+x(2x-1)2+2（1-x)] ≥0. 因此不等式（6）成立，即不等式（4）成立.
因为a+b+c ≥3,所以不等式（4）是不等式（1）的加强.
3 推广
已知a i （i=1,2,3,…,n,n ≥2）是正数，∏=n
i i a 1=1.则：
∑=n
i i
a 11+∑=n i i
a n 1
≥n+1. (7) 证明：设x i =i a 1
, i=1,2,3,…,n.则∏=n
i i x 1
=1，不等式（7）化为：
∑=n
i i x 1
+
∑∏=≠=n i n
i
j j i
x
n
11≥n+1. (8)
我们可以证明：（∑=n
i i x 1
）
1
-n ≥n
2
-n （∑∏=≠=n i n
i
j j i x 11
）.(请读者自证)
因此我们只要证明下述不等式即可：
∑=n
i i
x
1
+
1
11)(-=-∑n n
i i n x n ≥n+1. (9)
设t=∑=n
i i x 1
,易证t ≥n.则不等式（9）化为：
t n +n 1-n ≥(n+1)t 1-n (10) 由算术—几何平均不等式，可得
∑-=1
1n i n
n
t + n 1-n ≥nt 1-n 又因为t ≥n ，可得n
t n
≥t 1-n .
所以有
（∑-=1
1n i n n
t + n 1
-n ）+n t n ≥nt 1-n + t 1-n =(n+1)t 1-n
即不等式（10）成立.
因此，不等式（7）成立，其中等号当且仅当a i =1（i=1,2,3,…,n ）的时候
成立.
4 问题
我们要问：当正数λ取什么最大值时，下述不等式成立： 已知a i （i=1,2,3,…,n,n ≥2）是正数，∏=n
i i a 1=1.则：
∑=n
i i
a 11+∑=n
i i
a 1
λ
≥n+n λ. (11)
参考文献：
1 数学奥林匹克问题高229.中等数学，2008年第8期.。