八年级数学最短距离问题

八年级数学最短距离问题

最短距离；对称；平移；展开

初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。

初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是

想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。

一、利用“对称”解决最短路线问题。

对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称

轴垂直平分这条对应点连线段”。而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点

到两端点的距离相等”。

所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。

例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营

地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。

分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对

称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’Ｂ，与CD的交点P 即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’Ｂ2=AG2+BG2，A’B=13公里。

二、利用“平移”解决最短路线问题

例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使

它垂直于河岸。请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。

分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。分别是A点到河岸+桥长+河岸到B 点。因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线，

量出AC=EF，如图。就相当于先过河（AC长），再求C点到B点的最短距离，即线段CB。

解，如上图，过A点作河岸的垂线，取AC为河宽，连接CB交河下岸与E，再做EF垂直于河岸，则AF+EF+EB即为最短距离。

三、利用展开图求最短距离问题

如果最短距离问题出现在立体图形中，如圆柱，圆锥，棱柱等。我们左丘的最短路线应

该是展开图这一平面图中两点之间的线段长度。

例3. 工人师傅要给一个圆柱体的制品镶嵌金线，如下图，如果金线的起点固定在A点，绕一周后终点为B点，如果AB长为10cm，底面周长为12cm，问最短用多少金线。

分析：很明显这是一条曲线，如果我们从母线AB处剪开圆柱的侧面，展开成平面图如下图：

那么我们会发现连接AB’，即为此最短的金线长度，根据勾股定理可得AB’为。

拓展：如果绕两圈，绕n圈所需的金线长度，该如何求？

例4：如图，一个长方体中，一只蚂蚁想要从A点爬到D点吃一块糖，一只AB=BC=12cm，CD=5cm，求最短距离。

分析：A D不在同一个平面，所以爬过去是一条折线，我们的思路依然是展开成一个平面。

此处的展开我们要注意有三种展开情况，分别是前面与顶面，前面与右面，左面与顶面。这三种情况均能将 A D分配到一个平面上。下面我们要就这三种情况分别计算A到D的直线距离。