第三章三角函数资料

第三章三角函数

【知识导读】

广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：

1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.

2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.

3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.

4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何

及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.

∮3.1 任意角的三角函数的概念

一、考试说明：

1、理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

2、掌握任意角的正弦、余弦和正切的定义。

3、并会利用与单位园有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切。 二、重难点：（1）弧度与角度的关系与概念

（2）任意角的三角函数的定义

三、知识要点：

1、角的概念及推广

（1）角的定义，一条射线绕端点旋转而成的图形。 （2）正角、负角、零角的定义。（略） （3）象限角、区间角、轴上角的概念。（略） （4）终边相同角的表示及性质。（略） 2.弧度制与角度制的变化

（1）弧度的定义：弧长等于半径所对圆心角的为1弧度 （2）弧度、角度的换算：1弧度=

π

︒

180 180

1π

=

︒弧度

（3）弧长公式，扇形面积公式： ||R α=l ，211

22

S ||R R.α==l 3.任意角的三角函数：

（1）任意角的三角函数的定义：略 （2）三角函数的定义域，值域：略

（3）各三角函数值在各象限内的符号：略 （4）特殊角的三角函数值：

2、三角函数线： 四、典型例题选讲 例一：填空

1.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 。

2.一个扇形OAB 的周长为20，当扇形的半径，圆心角分别为 时，此扇形面积最大。

3.若θ 为第四象限角，则 )cos(sin )sin(cos

θθ⋅的符号为 。 4.若0sin cos θθ>g 且0cos tan θθ

,则角θ所在象限为 。

5.已知角θ顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在y=2x 上，则cos2θ= 。

例2：已知245

,,23336

ππαβπαβπαβ<+<-<-<-求的范围。

例3：（1）已知角β的终边在直线y =上，求sin β和cos β的值。 （2）已知α角的终边上的一点A 的坐标为)3cos 2,3sin 2(-，求锐角α的值。

例4：已知一扇形的圆心角是α，02απ<<，其所在园的半径是R 。 （1）若,103

R cm π

α=

=，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积。

（2）若扇形的周长是一定值(0)c c >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

例5： （1）设α是第四象限的角，试比较sin α和tan α的大小；

（2）：若(0,

)4

π

θ∈，求证：sin tan θθθ<<。

练习题：见课时作业（十六）。

∮3.2 同角三角函数关系式及诱导公式

一、考试说明：

1、 理解同角三角函数的基本关系式

2、 能自用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±,2/的正弦、余弦、正切的诱导

公式，进行三角求值，化简和恒等式变化。

二、考向指导：

熟练掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式，并能熟练运用，主要突出算法、算理的考查。

三、重点：同角三角函数基本关系式的灵活运用。 四、知识要点：

1、同角三角函数的基本关系。

（2）商的关系

,tan cos sin αα

α

= （3）平方关系α

ααα22

2

2

cos 1

tan 1,1cos sin =

+=+

1°同角三角函数的三个关系式在计算、化简和证明中应用极为广泛，同时应熟练地掌握其

等价形式，即ααα

α

αααα22cos 1sin ,tan sin cos ,tan cos sin -==⋅=，,sin 1cos 22αα-=，并能

灵活运用这些公式。

2°已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，特别要注意开方时的符号选取。

3°学会得用方程思想解三角题，对于ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值均可以求出。

2、三角函数的诱导公式：略。诱导公式是指角α的三角函数与如，α-，πα±，32

α±，

3

2

πα±，2πα-，2k πα+等角的三角函数之间的关系。 诱导公式可概括为)(90Z k k ∈+︒⋅α的各三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值，当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时，原函数值的符号，即“奇变偶不变，符号看象限。”

五、典型例题选讲

例1：（1）已知3

1

sin =α，求α角的其余三角函数。 （2）已知)1,0(,sin ±≠≠=m m m α，求α角的其余三角函数。