必修5一元二次不等式解法

一元二次不等式及其解法

[考点梳理]

1．解不等式的有关理论

(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；

(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的； (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．当a ＞0时，解集为_______；当a ＜0时，解集为．若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是_______．

3．一元二次不等式及其解法

(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．

(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．

(4)一元二次不等式的解：

函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象

一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0

(a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2)

有两相等实根

x 1＝x 2＝－b

2a

无实根 ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 ① ② R

ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}

∅

③

(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为

f （x ）

g （x ）

的形式．

(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：

f （x ）

g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0；f （x ）

g （x ）

＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0；

f （x ）

g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎨⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0；f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎨⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.

[基础自测]

已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1，2) C ．[－1，1] D ．[1，2)

设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A ．{x |x ∈R} B ．{x |x ≠1，x ∈R} C ．{x |x ≥1} D ．{x |x ≤1}

已知－12

<1

x <2，则x 的取值范围是( )

A ．(－2，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，＋∞

不等式2x 2－x <4的解集为____________．

若一元二次不等式2kx 2＋kx －3

8

＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．

[典例解析]

类型一 一元一次不等式的解法

已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－∞，－13，则关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集为________．

小结：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a

a ＋b

＝

－1

3

是解本题的关键． 解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.

类型二 一元二次不等式的解法

解下列不等式：

(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0.

小结：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．

关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是

________．

类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系

已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1

( )

A.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫xx <－1或x >12 B.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x |－11}

小结：已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．

已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为

________．

类型四 含有参数的一元二次不等式

解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.

小结：当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，

对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1

m 与1大小的不确定性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论．

解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)．