画出正四棱锥的三视图只是分享
三视图1
主 视 图
c（高）
c（高）
a(长)
高 平 长对正 齐
b（宽）
左 视 图
b（宽）
俯 视 图
a(长)
宽相等
俯 视 图 反 映 了 物 体 的 长 度 和 宽 度
c（高） b（宽） a(长)
例1
圆柱的三视图
正视图
左视图
俯
左 俯视图
圆柱 正
例2
圆锥的三视图
正视图
左视图
俯
左
·
圆 锥
俯视图
正
※
例题欣赏
例3：举例说明如何画正三棱柱，直四棱柱的三种视图。
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
例４ 画出正四棱锥的三视图（尺寸不作严格要求） 俯
左
正视图 正四棱锥 侧视图
正
俯视图
练习1
正四面体的三视图
例3 根据三视图判断几何体
圆台
正视图
侧视图
俯
侧
俯视图
圆 台
正
练习3
画出下面几何体的三视图 （尺寸不作严格要求）
圆柱 圆台 圆柱 圆锥 圆柱
圆柱
俯 圆柱
正 视 图 左 视 图
Hale Waihona Puke 左圆台圆柱
正
俯视图
俯
圆锥
左
圆柱
正视图
侧视图
·
正
俯视图
圆柱 俯
正 视 图 侧 视 图
左
正
俯视图
练习5 根据三视图判断几何体
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
三视图
基本几何体的三视图
回忆已经学过的正方体、长方体、圆柱、 圆锥、球的三视图．
正方体的三视图
俯
左
长方体的三视图
俯
左
长方体
球的三视图
俯
侧
球体
圆柱的三视图
俯
左
圆柱
知识点二：空间几何体的三视图
1、欣赏三视图
把一个空间几何体投影到一个平面上，可以
获得一个平面图形，但就凭一个平面图形难以把
正视图
侧视图
圆锥
俯视图
一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
四棱锥
观察思考：下列三视图是什么几何体的三视图？
正视图
左视图
圆台
俯视图
观察思考：下列三视图是什么几何体的三视图？
正视图
左视图
俯视图
四面体
观察思考：一个几何体的三视图如下，
正六棱锥 则这个几何体是___________。
三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.
以下面四棱柱（长方体）为例：
首先观察光线从长方 体的前面向后面的正投影
正视图
以下面四棱住（长方体）为例：
其次观察光线从长方 体的左面向右面的正投影
正视图 左视图
以下面四棱住（长方体）为例：
最后观察光线从长方 体的上面向下面的正投影
正视图 左视图
俯视图
正视图
左视图
俯视图
简单组合体的三视图
正视图
左视图
以上是用长度为一 个单位的13个小正方体 组合成的几何体，试画 出它的三视图。
俯视图
简单组合体的三视图 练习： 请画出该物体的三视图。
正视图
新北师大版九年级数学上册第五章《投影与视图》章末复习题含答案解析 (8)
一、选择题1.图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是( )A．B．C．D．2.在一张桌子上摆放着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这个桌子上的碟子共有( )A．4个B．8个C．12个D．17个3.如图（1）所示，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主观图中大矩形边长如图（2）所示，左视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带如图（1）包扎礼盒，所需彩色胶带长度至少为( )A．320cm B．395.24cm C．431.77cm D．480cm4.一个几何体的三视图如下图所示，该几何体是( )A．B．C．D．5.如下图，与图中的三视图相对应的几何体是选项中的( )A．B．C．D．6.下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是( )A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球7.如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是( )A．B．C．D．8.某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的主视图是( )A．B．C．D．9.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是( )A．B．C．D．10.下列图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，主视图和左视图相同的是( )A．B．C．D．二、填空题11.如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体的表面积为．12.如图所示，小华家的客厅里有一张直径为1.2m，高为0.8m的圆桌AB，有一盏灯E到地面的垂直距离EF为2m，圆桌的影子为CD，FC=2m，则点D到点F的距离为m．13.如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m，桌面距离地面0.8m（桌面厚度不计算），若桌面的面积是 1.2m2，则地面上的阴影面积是m2．14.下图是由一些相同长方体的积木块拾成的几何体的三视图，则此几何体共由块长方体的积木搭成．15.如图所示几何体（a）的一个视图（b）的名称是．16.某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是．17.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是cm2．三、解答题18.画出下面实物的三视图：19.一个几何体是由大小相同的棱长为1的小立方体搭建而成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数．(1) 画出该几何体的主视图和左视图；(2) 求该几何体的体积和表面积．20.在平整的地面上，有一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体，如图所示．(1) 请依次画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图；(2) 若你手头还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加几个小立方块？21.在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为1cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示：(1) 这个几何体是由个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图；(2) 若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加个小正方体．22.如图，在平整的地面上，将若干个边长均为1cm的小正方体堆成一个几何体，并放置在墙角．(1) 请画出这个几何体的主视图和俯视图；(2) 若将其露在外面的面涂上一层漆，则其涂漆部分的面积为cm2；(3) 添加若干个上述小正方体后，所成几何体的左视图和俯视图不变，则有种添加方式．23.把边长为1的10个相同正方体摆成如图的形式．(1) 画出该几何体的主视图、左视图、俯视图．(2) 试求出其表面积（包括向下的面）．(3) 如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加个小正方体．24.一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从三个方向看到的几何体的形状图如图所示．(1) 求A，B，C，D这4个方格位置上的小立方体的个数．(2) 这个几何体是由多少块小立方体组成的？25.请画出一个正四棱锥的三视图.答案一、选择题1. 【答案】A【解析】根据三视图可知该几何体为圆柱，A是圆柱的展开图，B是圆锥的展开图，C是三棱柱的展开图．D是长方体的展开图．【知识点】由视图到立体图形、圆柱的展开图2. 【答案】C【解析】从俯视图可知，该桌子上共摆放着3摞碟子．从主视图可知，右侧1摞有3个碟子；从左视图可知，左侧上面1摞有4个碟子，左侧下面1摞有5个碟子．所以共有12个碟子．【知识点】由视图到立体图形3. 【答案】C【解析】如图所示，画出该礼盒的俯视图，其为正六边形ABCDEF．连接AD，AC，由主视图提供的信息可知AD=60cm，易知△ACD为直角三角形，则∠ACD=90∘，∠ADC= 60∘，所以AC=AD⋅sin60∘=60×√3=30√3(cm)，从而可知该正六边形两对边中点间的线段长2为30√3cm．又由主视图提供的信息可知，该礼盒的高为20cm．所以包扎时共用彩色胶带至少为30√3×6+20×6=180√3+120≈431.77(cm)．【知识点】由立体图形到视图4. 【答案】A【解析】由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥，主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．【知识点】由视图到立体图形5. 【答案】B【知识点】由视图到立体图形6. 【答案】C【知识点】由立体图形到视图7. 【答案】B【解析】根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是B中的图形．【知识点】由立体图形到视图8. 【答案】B【解析】该几何体（空心圆柱）的主视图是：故选B．【知识点】由立体图形到视图9. 【答案】C【知识点】由立体图形到视图10. 【答案】D【解析】A．主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故A错误；B．主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故B错误；C．主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C错误；D．主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故D正确．【知识点】由视图到立体图形二、填空题11. 【答案】15π+12【解析】通过三视图想象几何体的形状如图所示．π×22=6π，上、下底面的面积和为2×34×2π×2×3+2×2×3=9π+12，侧面积为34所以这个几何体的表面积为6π+9π+12=15π+12．【知识点】由三视图计算表面积、体积12. 【答案】4【解析】如图，延长BA，交EF于G，由题意得AB=1.2，GF=0.8，EF=2，FC=2，∵AB∥CD，∴△EAB∽△ECD，∴ABCD =EGEF，即 1.2CD=2−0.82，解得CD=2，∴DF=CD+FC=2+2=4(m)．【知识点】相似三角形的应用13. 【答案】2.7【知识点】投影、相似三角形的应用14. 【答案】4【知识点】由视图到立体图形15. 【答案】左视图【解析】从物体左面看，可得到一个矩形，中间横着两条虚线．【知识点】由立体图形到视图16. 【答案】5【知识点】由视图到立体图形17. 【答案】36【解析】观察三视图知该几何体为三棱柱，高为3cm，底面为等边三角形，其边长为4cm，则这个几何体的侧面积是3×4×3=36(cm2)．【知识点】由三视图计算表面积、体积三、解答题18. 【答案】如图所示：【知识点】由立体图形到视图19. 【答案】(1) 如图所示：；(2) 体积：1×1×1×(2+2+3+1)=8；表面积：1×1×(6×2+4×2+5×2)=30．【知识点】由三视图计算表面积、体积、由立体图形到视图20. 【答案】(1) 如图所示．(2) 保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加4个小立方块．【知识点】由立体图形到视图21. 【答案】(1) 10(2) 4【知识点】由立体图形到视图22. 【答案】(1) 这个几何体的主视图、俯视图如下：(2) 16(3) 5【解析】(2) 主视图的面积为6cm2，侧视图的面积为4cm2，俯视图的面积为4cm2，被挡住的面积为2cm2，因此涂漆部分的面积为6+4+4+2=16（cm2）．(3) 这个几何体的左视图、俯视图如下：在俯视图上标注出相应位置增添小立方体的情况，因此有第①处增添1块；第①处增添2块；第②处增添1块；第①处增添1块，第②处增添1块；第①处增添2块，第②处增添1块；所以共有5种添加方式．【知识点】作图--三视图、由立体图形到视图、由三视图计算表面积、体积23. 【答案】(1) 这个几何体三个视图如图所示：(2) (6+6+6)×2+2=38．(3) 4【解析】(3) 这个几何体的左视图和俯视图不变，在俯视图上，标上该位置放小立方体的个数，（+后面的数是可以增加的数）因此最多可以增加4个，故答案为：4．【知识点】由立体图形到视图、由三视图计算表面积、体积24. 【答案】(1) 由三视图可得：从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为1，2，2从左面看有2列，每列小正方形数目分别为2，2．从上面看有3列，每列小正方形数目分别为1，2，2，所以A 小立方体的个数是2，B小立方体的个数是1，C小立方体的个数是3，D小立方体的个数是2．(2) 这个几何体是由1+2+2=5块小立方体组成的．【知识点】由视图到立体图形25. 【答案】（答案不唯一）如图.【知识点】由立体图形到视图。
画三视图练习题
画三视图练习题1．下面是一些立体图形的三视图，?请在括号内填上立体图形的名称．2．如图4-3-26，下列图形都是几何体的平面展开图，你能说出这些几何体的名称吗？3．如图，从不同方向看下面左图中的物体，右图中三个平面图形分别是从哪个方向看到的？4．一天，小明的爸爸送给小明一个礼物，小明打开包装后画出它的主视图和俯视图如图所示．根据小明画的视图，你猜小明的爸爸送给小明的礼物是A．钢笔 B．生日蛋糕 C．光盘 D．一套衣服5．一个几何体的主视图和左视图如图所示，它是什么几何体？请你补画出这个几何体的俯视图．6．一个物体的三视图如图所示，试举例说明物体的形状．7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为多少？8．已知几何体的主视图和俯视图如图所示．画出该几何体的左视图；该几何体是几面体？它有多少条棱？多少个顶点？该几何体的表面有哪些你熟悉的平面图形？9．小刚的桌上放着两个物品，它的三视图如图所示，你知道这两个物品是什么吗？10．一个由几个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图如图所示，方格里的数字表示该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体的主视图和左视图．11．如图所示，下列三视图所表示的几何体存在吗？如果存在，请你说出相应的几何体的名称．12．由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，求x，y的值．13．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5?个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形，经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的每个图形上再接一个正方形，?使新拼接成的图形经过折叠能成为一个封闭的正方体盒子．14．由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图如图，求组成几何体的小立方体个数的最大值与最小值．参考答案:1．圆柱，正三棱锥．圆锥圆柱正方体三棱柱3．上正侧．B ．略6．如粉笔，灯罩等．1208．略六面体，12条，8个等腰梯形，?正方形9．长方体木板的正前方放置了一个圆柱体 10．略 11．不存在12．x=1或x=2，y= 13．略 14．12个，7个1.1.5三视图课程学习目标［课程目标］目标重点：正投影与三视图的画法与应用, 目标难点：三视图的画法以及应用学法关键1．画三视图时，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线从不同的方向射向几何体，体会可见的轮廓线的投影就是所要画出的视图，画出的三视图要检验是否符合.长对正、高平齐、宽相等.的基本特征.2．由三视图想象几何体时也要根据.长对正、高平齐、宽相等.的基本特征，想象视图中每部分对应的实物的形象，特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置研习教材重难点研习点1 正投影1．定义：在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影.. 正投影的性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比；⑥垂直于投影面的直线或线段的正投影是点；⑦垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.研习点三视图1. 水平投射面：一个投射面水平放置，叫做水平投射面.. 俯视图：投射到水平投射面内的图形叫做俯视图.3. 直立投射面：一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面.. 主视图：投射到直立投射面内的图形叫做主视图.5. 侧立投射面：和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面.. 左视图：投射到侧立投射面内的图形叫做左视图.7. 三视图：将空间图形向水平投射面、直立投射面、侧立投射面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图.研习点3．三视图的画法要求:三视图的主视图、俯视图、左视图分别是人从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影组成的平面图形；一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；记忆口诀：长对正，高平齐，宽相等；主左一样高，主俯一样长，俯、左一样宽。
画切割棱锥体的三视图
一 正四棱锥是如何被切割的？
正四棱锥是被一个正垂面进行切割，其切 割后形成的是一个不规则的图形，我们可 以通过先绘制正四棱锥完整的视图，再来 进行切割，完成被切割正四棱锥的三视图.
二 正四棱锥被切割后绘制三视图的过程需 要注意哪些？其截交线在三视图中分别体 现在哪些位置？
1、在主视图中2’4’两点为重影点，其投影 在俯视图中应该注意区别上下位置，同理 其投影到左视图中也应该区别左右位置关 系。 2、关于俯视图2’4’两点的长度 问题应按照左视图中宽相等的原理来进行 定位，也可以按照 45°方法进行定位。
导入新课 上节课我们学习了绘制切割棱柱体的三视 图，那么，什么是截交线，它有哪些性质 呢？
共有性：截交线既在截断面上，也在截断 体上，是截断体和截平面的共有线。 封闭性：截交线一定是一个封闭的平面图 形。
画切割棱锥体的三视图
讨论问题： 上节课我们学习了绘制切割正六棱柱的三 视图，那么对于正四棱锥，它被切割有弄懂的同学多看看书上的 内容，多看看立体图，想明白图形为什么 是如此绘制，预习下一节的内容。
7.2.3简单几何体的三视图
常见的几何体多是组合体，一般可分为叠加型和切割型.
画叠加型组合体的三视图时，先将组 合体分成若干个简单几何体，分别画出 每个简单几何体的三视图，然后再将它 们的位置合并起来.
画切割型组合体的三视图时，先画切割前的简单几何体的三视图，然 后按照切掉部分的位置和形状依次画出切割后的三视图,如果切割处的轮廓 线投影被遮挡，应画成虚线.
第七章 简单几何体
7.3简单几何体的三视图
从物体的正面向后投影所得的视图，称为主视图，又称为正视图,它反映物体的 正面、背面形状以及物体的长度与高度，选择哪个方向画主视图，由观察者确定.
从物体的上面向下投影所得的视图，称为俯视图,它反映物体的顶面、底面形 状以及物体的长度与宽度.
侧视图可以是左侧视图，即从物体的左侧面向右投影所得到的视图， 也可以是右侧视图.通常选择左侧视图，简称左视图，它反映物体的左、 右侧面形状以及物体的高度与宽度.
3.画出图中组合体的三视图.
4.根据图中的三视图，画出这个组合体的直观图.
主视图
左视图
俯视图
主视图、俯视图、左视图统称为三视图.
正面
三视图解析：
三视图的对应规律：
主视图和俯视图
----长对正
主视图和左视图
----高平齐
长对正
俯视图和左视图
----宽相等
高平齐
主视图
左视图 高
长
宽
宽 俯视图
宽相等
例1 画出正四棱锥的三视图.
P
P
P
D A
A
B
C
主视图
B
D
C
D
A
左视图
P
A
俯视图 B
温馨提示
机械识图项目3基本几何体的视图
图 3-7 圆柱体的形成与视图分析
2021/9/23
7
机械识图——项目3 基本几何体的视图
画图方法：先画俯视图的中心线和主、左视图的轴线，然后从俯视图的圆画 起，按投影关系完成其它两个视图。
(点位于 AEFD 平面内，M 点的 H 面投影 m 可直接求出(AEFD 平面在 H 面上有积聚性，其投影为一条斜线。)，m'与 m 点的投影符合“长对正、 高平齐、宽相等”投影规律中的“长对正”
W 面投影 m"可根据 m 和 m' 的投影直接由“高平齐、宽相等”作图求出， 由于 M 位于不可见的右侧面，因此 m"也不可见，应加圆括号表示。
（a） 图 3-17 平面体的截交线
（b）
（a） （b） 图 3-18 平面体的截交线
图 3-18b 所示为正六棱锥被截平面 P 截切，分析其截交线投影，并在三个视 图中标出 A、B、C、D、E、F 各点的投影。
2021/9/23
18
机械识图——项目3 基本几何体的视图
2 作平面截切体的三视图 示例 3-3 根据图 3-19a 所示的开槽正四棱柱，画出其三视图。
机械识图——项目3 基本几何体的视图
项目 3 基本几何体的视图
任务 3-1 基本体的三视图
一、平面体的三视图 二、回转体的三视图 三、基本体的尺寸注法
任务 3-2 基本体的截交线与截切体的视图
一、平面体的截交线 二、回转体的截交线 三、带有切口的立体的尺寸标注
拓展与延伸 模型对学习三视图的作用
任务 3-3 立体的轴测图
6
机械识图——项目3 基本几何体的视图
29.2三视图(1)
例2 画出图所示的支架（一 种小零件）的三视图．
分析：支架的现状：由两个大小不等的长方体构成的组合体，画三视图时 要注意这两个长方体的上下、前后位置关系． 解：图是支架的三视图．
主 视 图
左 视 图
俯 视 图
例3 图是一根钢管的直观图，画出它的三视图． 分析：钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见内壁，为全面地反 映立体图形的现状，画图时规定：
投影面
主视图
左视图
正面
俯视图
侧面 水平面
P116 三视图（1）
从左面看
从上面看 主视图 左视图 高
主视图
正面
长
宽
宽
俯视图
从正面看
P116 三视图（2）
主视图
主视图 左视图 高
正面
长
宽
宽
俯视图
P116 三视图（2）
主视图
主视图 左视图 高
正面
长 宽 俯视图
宽
P116 三视图（2）
主视图
主视图 左视图 高
看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分 的轮廓线画成虚线．
解：图是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁．
主 视 图 左 视 图
俯 视 图
练
习
1. 画出如图所示的三棱柱的三视图（这个三柱上下底 面是正三角形）．
三 棱 柱
主 视 图
左 视 图
俯 视 图
2. 画出半球和圆锥的三视图．
主 视 图
左 视 图
俯 视 图
主 视 图
左 视 图
4.2.7
解：四棱锥的三视图如图 4.2.8： 正 视 图 左 视 图 4.2.8 俯 视 图
基本几何体的三视图： （1）正方体的三视图都是正方形。 （2）圆柱的三视图中有两个是长方形，另 一个是圆。 （3）圆锥的三视图中有两个是三角形，另 一个是圆和一个点。
(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(答案解析)(4)
一、选择题1．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ） A ．2217B ．22121C ．477D ．47212．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π3．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A ．13 B ．36C ．33 D ．1164．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π5．已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至P AD '△，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值为163，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．24πD ．32π6．一个底面为正三角形的棱柱的三视图如图所示，若在该棱柱内部放置一个球，则该球的最大体积为（ ）A ．6πB ．12πC ．43πD ．83π7．如图正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，O 是1AA 中点，P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，则直线OP 与平面ABC 所成角正弦值的最大值为（ ）A ．22B ．255C ．32D ．2778．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A ．64B ．48C ．32D ．169．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直 C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角 D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭10．如下图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①//BM 平面ADE ；②DE BM ⊥；③平面//BDM 平面AFN ；④AM ⊥平面BDE ．以上四个命题中，真命题的序号是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④11．空间四边形PABC 的各边及对角线长度都相等，D 、E 、F 外别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结论中不成立的是（ ） A ．//BC 平面PDF B ． DF ⊥平面PAE C ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC12．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B ，和1BB 的中点．，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．10 C ．35D ．3 二、填空题13．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点．现将DAF △沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC ．设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，θ的取值范围为__________．14．已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为910π，则球O 的表面积为________．15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF ，现有如下四个结论：①AC BE ⊥； ②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④直线AE 与平面BEF 所成的角为定值， 其中正确结论的序号是______．16．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．17．如图，在三棱锥V ABC -中，22AB =，VA VB =，1VC =，且AV BV ⊥，AC BC ⊥，则二面角V AB C --的余弦值是_____．18．在三棱锥-P ABC 中，侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形，若3PA =则侧棱PA 与底面ABC 所成的角的大小是___________．19．三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，给出如下命题：①ACB △是直角三角形；②此球的表面积等于11π； ③AC ⊥平面PBC ；④三棱锥A PBC -的体积为32. 其中正确命题的序号为______.（写出所有正确结论的序号）20．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．三、解答题21．如图，在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=，//BC AD ，22AD AB BC ==（1）若E 为MA 中点，证明：BE //面MCD（2）若点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上，1AB =，证明：CD ⊥面MAC . 22．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB =π3，AB =2，EF //AC ，EA =ED =3，BE =5.（1）求证：平面EAD ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥F -BCD 的体积.23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AB 与1A B 交于点O ，E ，F 是棱1CC 上的两点，且满足112EF CC =.（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）当1CE C F =，且12AA AB =，求直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值. 24．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，E 是棱1AA 的中点，122AA AB ==.（1）证明：平面EBC ⊥平面1EB C . （2）求点B 到平面1EB C 的距离.25．在四棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，90ACD ∠=︒，26BC ==，1CD =，1AM CC ⊥，垂足为M .（1）证明：平面ABM ⊥平面11CDD C ； （2）若二面角B AM D --正弦值为21，求直线AC 与平面11CDD C 所成角的余弦. 26．如图，正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，M 是侧棱1AA 的中点．（1）在图中作出平面ABC 与平面1MBC 的交线l （简要说明），并证明l ⊥平面11CBB C ；（2）求点C 到平面1MBC 的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离. 【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得1122==A B AC 1A BC 为等腰三角形，所以1A BC 7，由对称性可知，111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为112772=⨯⨯=A BC S △，12332ABCS =⨯⨯=，所以111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即2322177h ==. 故选：A.【点睛】一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.2．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=， 而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则23R = 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．3．B解析：B 【分析】取AC 中点F ，连接,EF DF ，证明FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得． 【详解】取AC 中点F ，连接,EF DF ，∵E 是BC 中点，∴//EF AB ，12EF AB =， 则FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角）， 设1AB =，则12EF =，32DE DF ==， ∴在等腰三角形DEF 中，11324cos 63EF FED DE ∠===． 所以异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为36． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．4．B解析：B 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段25MB =计算底面圆半径即可求解. 【详解】设底面圆半径为r ， 由母线长4l，可知侧面展开图扇形的圆心角为22r rl ππα==， 将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ； 如图，在ABM 中，25,2,4MB AM AB ===， 所以222AM AB MB +=, 所以2MAB π∠=,故22rππα==，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=, 故选：B 【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为2rlπα=，其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长，解三角即可求解底面圆半径r ，利用圆锥表面积公式求解.5．C解析：C 【分析】分析出当平面P AD '⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD '-的体积取最大值，求出AD 、P A '的长，然后将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-，计算出该长方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得外接球的表面积. 【详解】取AD 的中点E ，连接P E '，由于P AD '△是以P '为顶点的等腰直角三角形，则P E AD '⊥，设AD x =，则1122P E AD x '==， 设二面角P AD B '--的平面角为θ，则四棱锥P ABCD '-的高为1sin 2h x θ=， 当90θ=时，max 12h x =， 矩形ABCD 的面积为4S AB AD x =⋅=，2111216433233P ABCD V Sh x x x '-=≤⨯⨯==，解得x =将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-， 所以，四棱锥P ABCD '-的外接球直径为2R P N '====，则R =，因此，四棱锥P ABCD '-的外接球的表面积为2424R ππ=. 故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.6．C解析：C 【分析】先由三视图计算底面正三角形内切圆的半径，内切圆的直径和三棱柱的高比较大小，确定球的半径的最大值，计算球的最大体积. 【详解】由三视图知该直三棱柱的高为4，底面正三角形的高为33半径为高的三分之一，即3r =234<，所以该棱柱内部可放置球的半径的最大3343433V ππ==.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是由三视图确定底面三角形的高是33定球的最大半径.7．D解析：D 【分析】先找到与平面11A BC 平行的平面OEFG ,确定点P 在直线FG 上，作出线面角，求出正弦，转化为求AP 的最小值. 【详解】分别取1,,CC BC BA 的中点，连接,,,OE EF FG GO ,并延长FG ，如图，由中位线性质可知11//OE A C , 1//EF BC ,且OE EF E =,故平面11//A BC 平面OGFE ，又P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC 则点P 在直线FG 上，OA ⊥平面ABC ,OPA ∴∠是直线OP 与平面ABC 所成角， sin OAOPA OP∴∠=, OA 为定值，∴当OP 最小时，正弦值最大，而22OP OA AP +所以当AP 最小时，sin OPA ∠最大， 故当AP FG ⊥时，sin OPA ∠最大， 设棱长为2， 则1212AG =⨯=，而30GAP ∠=︒, 32AP ∴=, 又1212OA =⨯=, 222sin 773()12OAOPA OP∴∠===+故选：D 【点睛】关键点点睛：由P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，转化为找过O的平面与平面11A BC平行，P在所找平面与平面ABC的交线上，从而容易确定出线面角，是本题解题的关键所在.8．C解析：C【分析】在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积.【详解】根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P-ABCD（补形法）且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4，故该四棱锥的体积为1(64)4323V=⨯⨯⨯=.故选C．【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．9．D解析：D【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A，根据异面直线所成角可判断B，由余弦定理可判断CD.【详解】如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11A BCD ,所以1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC D C A P BP A P BP +-=+++-=+>，所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；设1(0A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos44AP x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，2222111112cos =22AP D P AD x AP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.10．A解析：A 【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，得出BM ∥平面ADNE ，判断①正确；由连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，判断②正确；由BD ∥FN ，得出BD ∥平面AFN ，同理BM ∥平面AFN ，证明平面BDM ∥平面AFN ，判断③正确；由MC BD ⊥，ED ⊥AM ，根据线面垂直的判定，判断④正确． 【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，如图1所示； 对于①，平面BCMF ∥平面ADNE ，BM ⊂平面BCMF ， ∴BM ∥平面ADNE ，①正确；对于②，如图2所示，连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，所以DE BM ⊥，②正确； 对于③，如图2所示，BD ∥FN ，BD ⊄平面AFN ，FN ⊂平面AFN ，∴BD ∥平面AFN ；同理BM ∥平面AFN ，且BD ∩BM ＝B ，∴平面BDM ∥平面AFN ，③正确； 对于④，如图3所示，连接AC ，则BD AC ⊥，又MC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MC BD ⊥，又AC MC C ，所以BD ⊥平面ACM ，所以BD ⊥AM ，同理得ED ⊥AM ，ED BD D =，所以AM ⊥平面BDE ，∴④正确．故选：A ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于展开空间想象，将正方体的平面展开图还原，再由空间的线线，线面，面面关系及平行，垂直的判定定理去判断命题的正确性．11．C解析：C 【分析】由线面平行的判定定理可判断A ；由线面垂直的判定定理可判断B ；反证法可说明C ；由面面垂直的判定定理可判断D. 【详解】对于A ，D ，F 外别是AB ，CA 的中点，//BC DF ∴，DF ⊂平面PDF ，∴//BC 平面PDF ，故A 正确，不符合题意；对于B ，各棱长相等，E 为BC 中点，,BC AE BC PE ∴⊥⊥，PEAE E =，BC ∴⊥平面PAE ，//BC DF ，∴DF ⊥平面PAE ，故B 正确，不符合题意；对于C ，假设平面PDE ⊥平面ABC ，设DE BF O ⋂=，连接PO ，则O 是DE 中点，PO DE ∴⊥，平面PDE平面ABC DE =，PO ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，PO BF ∴⊥，则PB PF =，与PB PF ≠矛盾，故C 错误，符合题意；对于D ，由B 选项 DF ⊥平面PAE ， DF ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查线面关系和面面关系的判定，解题的关键是正确理解判断定理，正确理解垂直平行关系.12．A解析：A 【分析】作出异面直线AM 和CN 所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值. 【详解】设,E F 分别是1,AB CC 的中点，由于,M N 分别是111,A B BB 的中点，结合正方体的性质可知11//,//B E AM B F CN ，所以1EB F ∠是异面直线AM 和CN 所成的角或其补角， 设异面直线AM 和CN 所成的角为θ，设正方体的边长为2，2211125B E B F ==+=，2221216EF =++=，则1cos cos EB F θ=∠=55625255+-=⨯⨯.故选：A.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平解析：(0,]6π【分析】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，在翻折后的几何体中，证得平面ODM ⊥平面ABCF ，从而DM ⊥平面ABCF ，得DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．设(01)CF x x =<<C ，求得sin θ的范围后可得θ范围．【详解】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ， 设(01)CF x x =<<，AM t =，由图易知DAM FDA △△，∴AM AD DA DF =，即112t x =-，∴12t x=-，01x <<，则112t <<． 在翻折后的几何体中，AF OD ⊥，AF OM ⊥，又OD OM O =，,OD OM ⊂平面ODM ，∴AF ⊥平面ODM ，又AF ⊂平面ABCF ，∴平面ODM ⊥平面ABCF ，又平面ABD ⊥平面ABC AB =．平面ODM平面ABD DM =，∴DM ⊥平面ABCF ，连接MF ，则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．DFM θ∠=，而DM =12DF x t=-=，∴sin DM DF θ====， ∵112t <<，∴2114t <<，∴10sin 2θ<≤，即06πθ<≤．故答案为：(0,]6π．【点睛】方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得； （2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．14．【分析】设圆锥的底面半径为球的半径为根据勾股定理可得根据圆锥的侧面积公式可得再根据球的表面积公式可得结果【详解】设圆锥的底面半径为球的半径为则圆锥的高为则球心到圆锥的底面的距离为根据勾股定理可得化简 解析：100π【分析】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，根据勾股定理可得53R r =，根据圆锥的侧面积公式可得3,5r R ==，再根据球的表面积公式可得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，则圆锥的高为3r ， 则球心O 到圆锥的底面的距离为3r R -， 根据勾股定理可得()2223R r r R =+-，化简得53R r =， 因为圆锥的高为3r ()22310r r r +=， 所以圆锥的侧面积为21010r r r ππ=， 210910r ππ=，解得r =3，所以5353R =⨯=， 所以球O 的表面积为24425100R πππ=⨯=. 故答案为：100π 【点睛】关键点点睛：利用圆锥的侧面积公式和球的表面积公式求解是解题关键.15．①②③【分析】由线面垂直的判定可得平面再由线面垂直的性质可判断①；由线面平行的判定可判断②；由锥体的体积公式可判断③；由线面角的概念可判断④【详解】连接交于点由可知平面而平面故①正确；由且平面平面可解析：①②③【分析】由线面垂直的判定可得AC ⊥平面11BB D D ，再由线面垂直的性质可判断①；由线面平行的判定可判断②；由锥体的体积公式可判断③；由线面角的概念可判断④.【详解】连接,BD AC 交于点O ，由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可知AC ⊥平面11BB D D ，而BE ⊂平面11BB D D ，AC BE ∴⊥，故①正确；由//EF BD ，且EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得//EF 平面ABCD ，故②正确；由正方体的性质可得BEF S为定值，且点A 到平面BEF 的距离为定值AO ，所以A BEF V -为定值，故③正确；点A 到平面BEF 的距离为AO ，设直线AE 与平面BEF 所成的角为α， 则sin AO AEα=不是定值，所以直线AE 与平面BEF 所成的角不为定值，故④错误. 故答案为：①②③.【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系的转化及锥体体积的相关运算，在求解锥体体积相关问题时，选取一个合适底面能事半功倍.16．【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由对称性又由平面平面得∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考 3【分析】连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，可得MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．求出,ME OE 可得结论．【详解】由已知O 是BCD △中心，连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，连接AE ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，而AE DE E =，∴BC ⊥平面AED ，ME ⊂平面AED ，∴BC ME ⊥，∴MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．2BC =，90BMC ︒∠=，由对称性2BM CM ==，112ME BC ==， 又1133233EO DE ==⨯⨯=， 由AO ⊥平面BCD ，EO ⊂平面BCD ，得AO EO ⊥， ∴3cos 3EO MEO ME ∠==． 故答案为：33．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角，解题关键是作出二面角的平面角．这可根据平面角的定义作出（并证明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二证三计算三个步骤． 17．【分析】取的中点连接证明出可得出面角的平面角为计算出利用余弦定理求得由此可得出二面角的余弦值【详解】取的中点连接如下图所示：为的中点则且同理可得且所以二面角的平面角为由余弦定理得因此二面角的余弦值为解析：34【分析】取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，证明出VO AB ⊥，OC AB ⊥，可得出面角V AB C --的平面角为VOC ∠，计算出VO 、OC ，利用余弦定理求得cos VOC ∠，由此可得出二面角V AB C --的余弦值.【详解】取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，如下图所示：VA VB =，O 为AB 的中点，则VO AB ⊥，且AV BV ⊥，22AB =122VO AB ∴== 同理可得OC AB ⊥，且2OC =V AB C --的平面角为VOC ∠， 由余弦定理得2223cos 24VO OC VC VOC VO OC +-∠==⋅， 因此，二面角V AB C --的余弦值为34. 故答案为：34. 【点睛】本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题. 18．【分析】先画出直观图证明平面平面然后侧棱与底面ABC 所成的角即为根据题目中的数据算出即可【详解】如图作的中点连结因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而为的中点所以又所以平面同时平面所以平 解析：o 60.【分析】先画出直观图，证明平面PAD ⊥平面ABC ，然后侧棱PA 与底面ABC 所成的角即为PAD ∠，根据题目中的数据算出即可.【详解】如图，作BC 的中点D ，连结AD 、PD因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而D 为BC 的中点，所以BC PD ⊥，BC AD ⊥，又PD AD D ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，同时BC ⊂平面ABC所以平面PAD ⊥平面ABC ，所以PAD ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成的角由侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形得3AD PD ==3PA =所以PAD ∆为等边三角形，则=PAD ∠o 60即侧棱PA 与底面ABC 所成的角为o 60故答案为：o 60【点睛】本题主要考查空间直线与平面所成角的计算，较简单.19．①③【分析】①先求出再得到最后判断①正确；②先判断三棱锥的外接球就是以为顶点以棱的长方体的外接球再求半径最后求出球的表面积判断②错误；③先证明最后证明平面判断③正确；④直接求出三棱锥的体积判断④错误解析：①③.【分析】①先求出3BC =222AB BC AC =+，最后判断①正确；②先判断三棱锥P ABC -的外接球就是以C 为顶点，以CA ，CB ，CP 棱的长方体的外接球，再求半径r ，最后求出球的表面积，判断②错误；③先证明AC PC ⊥，AC BC ⊥，⋂=PC CB C ,最后证明AC ⊥平面PBC ，判断③正确；④直接求出三棱锥A PBC -的体积，判断④错误.【详解】解：①在ACB △，因为1AC =，2AB =，且60BAC ∠=︒，所以2222cos 3BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=，则3BC =所以222AB BC AC =+，所以ACB △是直角三角形，故①正确；②由（1）可知AC BC ⊥，又因为PC ⊥底面ABC ，所以三棱锥P ABC -的外接球就是以C 为顶点，以CA ，CB ，CP 棱的长方体的外接球， 则2225r CA CB CP =++=，则此球的表面积等于245S r ππ==，故②错误； ③因为PC ⊥底面ABC ，所以AC PC ⊥，由（1）可知AC BC ⊥，⋂=PC CB C , 所以AC ⊥平面PBC ，故③正确；④三棱锥A PBC -的体积113(13)132V =⨯⨯⨯⨯=，故④错误. 故答案为：①③.【点睛】本题考查判断三角形是直角三角形、求三棱锥的外接球的表面积、求三棱锥的体积、线面垂直的证明，是中档题. 20．【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状都不可能是三角形解析：15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取MD 中点为F ，连接EF ，CF ，四边形BCFE 为平行四边形，所以//BE CF ，利用线面平行的性质定理即可证明；（2）利用勾股定理证明AC CD ⊥，设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上设为点H ，再利用已知条件证明MH CD ⊥，利用线面垂直的判断定理即可证明.【详解】（1）取MD 中点为F ，连接EF ，CF ，则EF 为△MAD 中位线，∴ 1//2EF AD 且1=2EF AD ， 又四边形ABCD 是直角梯形，22AD AB BC == 1//2BC AD ∴，1=2BC AD //BC EF ∴且=BC EF ，∴四边形BCFE 为平行四边形，所以//BE CF ， 因为BE ⊄面MCD ，CF ⊂面 MCD ，所以//BE 面MCD .（2）在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，222AD AB BC ===，90ABC BAD ∠=∠=，22112AC CD ∴==+=222AC CD AD ∴+=，AC CD ∴⊥，设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上，设为点H ，MH ∴⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，MH CD ∴⊥，又AC CD ⊥，AC MH H ⋂=， CD 面MAC .【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明；（2）判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明；22．（1）证明见详解；（2）63. 【分析】 （1）取AD 的中点O ，连接EO ，BO.，可证EO ⊥平面ABCD 再根据面面垂直判定定理可证；（2）因为EF //AC 得点F 到平面ABCD 的距离等于点E 到平面ABCD 的距离，由体积公式可求出结果.【详解】解：（1）如图，取AD 的中点O ，连接EO ，BO.∵EA =ED ，∴EO ⊥AD.由题意知△ABD 为等边三角形，∴AB =BD =AD =2，∴BO 3在△EAD 中，EA =ED 3，AD =2，∴EO 22-2AE AO又BE 5∴ 222EO BO BE +=，∴EO BO ⊥，∵AD OB O ⋂=，AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD.又EO ⊂平面EAD ，∴平面EAD ⊥平面ABCD.（2）由题意得1123322BCD ABD S S AD OB ==⋅=⨯= ∵EF ∥AC ，∴点F 到平面ABCD 的距离等于点E 到平面ABCD 的距离，为EO ， ∴1163233F BCD BCD V S EO -=⋅== 【点晴】关键点点晴：证明面面垂直的关键在于找到线面垂直.23．（1）证明见解析；（23 【分析】（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，可证明四边形OGEF 为平行四边形，则 OF EG ∥，由线面平行的判定定理即可求证；（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面ABC 所成角，EC ⊥平面ABC ，则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角，在EGC 中即可求EGC ∠的余弦值.（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1OG BB ∥，则OG EF ∥， 又112EF CC =，则OG EF =， 所以四边形OGEF 为平行四边形，则 OF EG ∥，又EG ⊂平面ABE ，OF ⊄平面ABE ， 故//OF 平面ABE .（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面ABC 所成角，连接CG ，由直三棱柱111ABC A B C -可得EC ⊥平面ABC ，则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角，设2AB =，则114AA CC ==，又1CE C F =，则1CE =，3CG =2EG =，所以，直线EG 与平面ABC 3 故直线OF 与平面ABC 3 【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法 （1）定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明；（2）判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明； （3）利用面面平行的性质定理：直线在一平面内，由两平面平行，推得线面平行；直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，这这条直线与另一个平行.24．（1）证明见解析；（26. 【分析】（1）由线面垂直证明1B E BC ⊥，由勾股定理证明1B E EB ⊥，可得线面垂直，从而得面。
三视图基础
三等关系
长对正 宽相等 高平齐
宽
3.三视图之间的方位对应关系
上 左 右 后
上
前
下 后 左
前 右
下
主视图反映：上、下
、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
3.2 基本体的形成及其三视图
常 见 的 基 本 几 何 体 平面 基本体
如图，正方体的三视图都是正方形。
正视图
左视图
俯视图
例
如图，圆柱的主 视图和左视图都是长 方形，俯视图是圆。
主视图
左视图
俯视图
1.说出圆锥和球的三视图各是什么图形.
( 第1题 )
( 第 1题 )
( 第2题 )
2.已知一个直三棱柱的底面是等腰直角三角形,如 图.请画出它的三视图.
在生活和生产实践中,我们经常需要运用 三视图来描述物体的形状和大小,如图3-17所 示就是图形3-16所示的热水瓶的三视图.
约b/3 约b/3
尺寸线、尺寸界线 引出线、剖面线 不可见轮廓线 轴线、对称中心线
断裂处的边界线、视 图和剖视的分界线
假想轮廓线
图线的画法要求：
①同一图样中，同类图线的宽度应基本一致
②画虚线、点划线时要凭目测控制使各线段长度基本 一致，不要太长或太短，各间隔应大致相等，点划线 的首末两端应是线段而不是短划。
组合体的三视图
3.1 体的投影 —— 视图
一、体的投影
体的投影，实质上是构成该体的所 有表面的投影总和。
V
二、三面投影与三视图
视图就是将物体向投影 面投射所得的图形。 主视图 —— 体的正面投影 俯视图 —— 体的水平投影 左视图 —— 体的侧面投影
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 1.2.1 中心投影与平行投影》优质课教案_17
1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图一、教材分析在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是：画出空间几何体的三视图.比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视.画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”.教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图；接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点.三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流.值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.二、教学目标1．知识与技能（1）掌握画三视图的基本技能（2）丰富学生的空间想象力2．过程与方法主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
人教版B版高中数学必修2：1.1.5 三视图
汽车设计图纸
动手画一画： 1.画出如图所示的圆锥的三视图
主
左
视
视
图
图
俯 视 图
注意圆锥俯视图是带圆心的圆.
10
总结提炼
主视图
直立投射面
水平投射面
俯视图
侧 立 左视图 投 射 面
主视图
三视图的形成
俯视图
主视图
三视图的形成
俯视图
主视图
长
俯视图
三视图的形成
左视图
高
宽
主视图
三视图的形成
俯视图
长度和高度
长度和宽度 高度和宽度
主俯一样长，主左一样高，左俯一样宽 即长对正，高平齐，宽相等
我来动手
画出下列几何体的三视图
想一想：
注意：能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线 和棱用虚线表示.
我来动手
给出几何体的三视图，你能帮它还原吗？
主视图
侧视图
俯视图
总结反思
1、知识内容 (1)投影的分类 及定义； (2)三视图的形 成与画法。
平行投影
定义：已知图形F，直线L与平面相交，过F上任意 一点M做直线 MM’平行于L，交平面于点 M’， 则M’叫做点M在平面内关于直线L的平行投影。斜投影投线投射面正投影
在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂 直，则称这样的平行投影为正投影。
正投影
题西林壁
------苏轼
横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。
主视图
三视图的形成
俯视图
主视图
长
俯视图
三视图的形成
左视图 1、三视图位置：
高 主视图 左视图
《三视图》教学设计
《三视图》教学设计一、教学内容分析通用技术必修模块“技术与设计1”第六章第二节《常见的技术图样》之“正投影与三视图”（苏教版）主要描述了正投影形成三视图的方法、原理，三视图的绘制（识读）方法和规律等。
三视图作为一种技术图样是设计交流与表达的一种常用的技术语言形式。
学生通过本节的学习，掌握绘制简单三视图的基础知识和技能，本节内容也是后续知识“形体的尺寸标注”和“机械加工图”的基础。
在这里起到一个呈上启下的作用。
二、学情分析通过前面章节的学习，高中学生能够较熟练地绘制（识读）平面图和正等轴测图，也有光线投射成影的感知和体验。
教学可以从学生的现有知识和经验出发，按照直观感知、操作确认、思辩求证的认识过程展开，建构正投影与三视图的知识体系。
但学生的空间思维还受到定向模式的限制，很难发散思考一些个别现象，处理个特殊案例的能力有待提高，如不可见部分和重叠等。
三、教学目标1.知识目标：（1）理解投影法的基本概念和方法；（2）掌握正投影法方法、特性及三视图成图原理和规律；（3）掌握三视图一般绘图规则。
2.能力目标：（1）掌握简单的三视图的绘制（识读）；（2）学会规范作图的方法和技能。
3.情感态度价值观：（1）经历三视图的作图过程，体验技术图样的魅力（2）形成科学的空间三围思维方式，培养学生严谨的思维与态度。
4、教学重点：（1）掌握三视图成图原理和规律；（2）掌握简单的三视图的绘制（识读）。
5、教学难点：（1）能规范绘制和识读简单的三视图。
四、教学准备准备积木，利用塑料胶纸和泡沫制作多个的模型。
五、教学策略及媒体运用在本节的教学中，将采用“主导—主体（分享—互助提升）”的设计模式，引导学生进行自主探究、知识建构和能力拓展。
总体教学流程为：“情境导入，知识建构，合作探究，总结提升，能力拓展”。
1、通过生活小故事的情景导学，激发学生对“技术语言的种类”进行回顾和复习以及注意在技术活动中选用恰当的技术语言进行交流的重要性，对本节课内容产生强烈的求知欲望。
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考纲要求： 1、能画空间几何体的（长方体，圆柱、球、
圆锥、棱锥、棱台等的简易组合）的三 视图； 2、能够识别三视图所表示的几何体及画出 其直观图。
本节课：
1、画三视图； 2、由三视图画几何体； 3、由三视图的长度求几何体的表面
积和体积。
中心投影
投
影
正投影
平行投影
斜投影
B1
F
A1
C
C
A
B
E
B E
A
画三视图要注意： 1.三视图的摆放位置;
2. 看不见的棱用虚线画出来。
画出正三棱柱的三视图
C1
C
B
E
A
C1
B1
F
A1
A
C
A1
B1
F
E
B
等腰直角三棱柱
B1
C1
A1
A1
C1
B1
B
A
C B1 A
C
B
A1
C1
B
A
C
底面为等腰直角三角形的直棱柱，B 为直角
A1
B1
C C1
B
A
z
D1
A1
D
A x
主视图
光线从几何体的 前面向后面正投 影得到的投影图
C1
侧视图
B1
光线从几何体
Cy
的左面向右面 正投影得到的
投影图
B
俯视图 光线从几何体的上面 向下面正投影得到的
投影图
四边形ABCD为正多边形,PD与底面
P
D A
C B
画出正四棱锥的三视图
z PP
P
P
D
E
xA G
H
Cy
FE
BD
p
D1
C
A1
B1
D
C1
A
B
下部分正方体，上部分为半圆柱，画 出组合体的三视图
下部分正方体，上部分为半圆柱，画 出组合体的三视图
下部分正方体，上部分为圆柱，且圆柱的直径与正方体的 长相等,画出组合体的三视图
作业： P15练习： 1，2,3,4
B
C
A
C1 B1
A1
上部分为正三棱柱,下部分为正方体,画出 这个组合体的三视图。
F
E
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
上部分为正三棱柱,下部分为正方体,画出 这个组合体的三视图。
F
E
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
下部分正方体，上部分为正四棱锥画出 组合体的三视图
P
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
下部分正方体，上部分为三棱锥，其中P D 1 垂直底面，画出组合体的三视图
FH
G
C
A
B
画出正三棱柱的三视图
F
A1
C1
A1
F
(B
)
1
C1 F
B1
B1
A
E
C
A
CE
B
E (B )
B
A
C
A1
C1
B B1
画出正三棱柱的三视图
F
A1
C1
B1
高
A
E
B
想 一
长
想
三视图之间的关系？
E
主、侧视图的高相等
主、俯视图的长相等
B
俯、侧视图的宽相等
E
B
画出正三棱柱的三视图
C1 C1
A1
B1
F