函数的单调性与最值 课件

[解]
解法一(定义法)：
x－1＋1 1 1 ＋ 设－1<x1<x2<1，f(x)＝a ＝ a ， x － 1 x－1 1＋ 1 1＋ 1 f(x1)－f(x2)＝a －a x － 1 x2－1 1
为(
D
) B．c>b>a D．b>a>c
A．c>a>b C．a>c>b
[解析]
因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．
1 5 由此可得f－2＝f 2.
由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋ ∞)上单调递减．
5 5 ∵1<2< <e，∴f(2)>f >f(e)， 2 2
考点2 求函数的单调区间
单调区间的定义
减函数 ，那么就 增函数 或________ 如果函数y＝f(x)在区间D上是________ 区间D 叫做函 说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________
数y＝f(x)的单调区间．
2 (1)[教材习题改编]函数f(x)＝ 在[－6，－2]上的最大值 x－1 2 2 －7，－3 和最小值分别是____________ ． (2)[教材习题改编]f(x)＝x2－2x，x∈[－2,4]的单调递增区间
1 1 1 －f(x2)＝2(x1－x2)－x －x ＝(x1－x2)2＋x x . 1 2 1 2
∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0. ∴f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值， 当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．
“没有”)
解析：虽然函数在区间(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞) 上是增函数，但不能说函数在定义域内为单调函数，函数的单 调区间是函数定义域的子集，定义域不一定是函数的单调区 间．
[典题1]
(1)[2017· 浙江金华模拟]若函数f(x)＝－x2＋2ax
与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围 是(
解析：根据二次函数、反比例函数的单调性可得．
2．复合函数的单调性：同增异减．
(－∞，－1) 函数f(x)＝log1 (x －1)的单调递增区间是____________．
2
2
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所求 区间即为内层函数在定义域上的单调递减区间，即(－∞，－ 1)．
D
) B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1]
A．(－1,0) C．(0,1)
[解析]
f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，要使f(x)在[1,2]上
－
为减函数，必须有a≤1，又g(x)＝(a＋1)1 x在[1,2]上是减函数， 所以a＋1>1，即a>0，故0<a≤1.
ax (2)[2017· 广东佛山联考]试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1,1) x－1 上的单调性．
∴b>a>c.
角度三 利用函数的单调性求解不等式 [典题5] f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足
f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范 围是(
B
) B．(8,9] D．(0,8)
A．(8，＋∞) C．[8,9]
[解析]
2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可
ax2－x1 ＝ ， x1－1x2－1 由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上 单调递增．
a －2 上单
调递减，在
当x＝
a －2 时取得最小值2 －2a.
角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 [典题4] [2017· 黑龙江哈尔滨联考]已知函数f(x)的图象
关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]· (x2－x1)<0恒
1 成立，设a＝f－ ，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系 2
在
1 0， 2
上单调递增．又0<a<1时，y＝logax为(0，＋∞)上的减
1 0， 2
源自文库
函数，所以要使g(x)＝f(logax)单调递减，需要logax∈ 1 0≤logax≤ ，解得x∈[ a，1]，故选B. 2
，即
考点3 函数单调性的应用
函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I， 条件
②当a≥0时，y＝f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值， 当x＝1时取得最大值2－a； －a 当a＜0时，f(x)＝2x＋ ， x 当 a －2 ≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0,1]上单调
递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a，
当
a －2 ＜1，即a∈(－2,0)时，y＝f(x)在 0， a － ，1上单调递增，无最大值， 2
f(x)≤M ； 都有________
(3)对于任意的x∈I，都有
f(x)≥M ； ________
(2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最小值
结论 M为最大值
[考情聚焦]
高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题
的形式出现，有时也应用于解答题的某一问中． 主要有以下几个命题角度：
[典题2]
(1)[2017· 河北衡水月考]函数f(x)＝log1 (x2－x－
2
2)的单调递增区间为(
1 A. －∞， 2
C
)
1 B． ，＋∞ 2
C．(－∞，－1) D．(2，＋∞)
[解析]
由x2－x－2>0得x<－1或x>2，又u＝x2－x－2在(－
1 2
∞，－1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝log 函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，故选C.
[2017· 天津模拟]函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则 函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调递减区间是(
1 A. 0， 2
B
)
B．[ a，1]
1 C．(－∞，0)∪ ，＋∞ 2
D．[ a， a＋1 ]
1 解析：由图象知f(x)在(－∞，0]和 ，＋∞ 上单调递减，而 2
角度一 利用函数的单调性求最值 1 ，x≥1， x 2 －x ＋2，x<1
[典题3]
2 ________ ．
(1)函数f(x)＝
的最大值为
[解析]
1 当x≥1时，函数f(x)＝ 为减函数，所以f(x)在x＝1 x
处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在 x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
[点石成金]
判断函数单调性的方法
(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论． (2)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则 这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相 反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． (3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调递增；图象 逐渐下降，单调递减． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．
得f(x(x－8))≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所 x>0， 以有x－8>0， xx－8≤9，
解得8＜x≤9.
角度四 利用单调性求参数的取值范围或值 [典题6] (1)[2017· 湖南师大附中月考]已知函数f(x)＝ 是R上的增函数，则a的取值范围是
f(x1)<f(x2) ，那么就说 ___________ f(x1)>f(x2) ，那么就说函 ______________
函数f(x)在区间D上是增函数 数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是
上升的 ________
自左向右看图象是
下降的 ________
(1)[教材习题改编]函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上 是减函数，则( 1 A．k>2 1 C．k>－ 2
[1,4] ，f(x)max＝________. 8 为________
1.常见函数的单调性：一次函数、二次函数、反比例函 数．
(－∞，1] 函数f(x)＝－x2＋2x的单调递增区间是_______________ ；函
1 (－∞，0)，(0，＋∞) 数y＝ 的单调递减区间是______________________________ ． x
若将本例(2)中函数变为“f(x)＝
－x2＋2|x|＋1 ”，如何求解？
解：由－x2＋2|x|＋1≥0，得1－ |x|≥0，∴0≤|x|≤1＋ 2， 即－1－ 2≤x≤1＋ 2.
2 ≤|x|≤1＋
2 ，又
根据函数图象可知，f(x)的单调递增区间为[－1－ 2 ，－1] 和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1,1＋ 2 ]．
必考部分
第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.2 函数的单调性与最值
考纲展示► 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.
考点1
函数单调性的判断(证明)
单调函数的定义 增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某 定 义 个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有
u为减
(2)求函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
[解]
－x2＋2x＋1，x≥0， 由于y＝ 2 －x －2x＋1，x<0，
2 －x－1 ＋2，x≥0， 即y＝ 2 － x ＋ 1 ＋2，x<0.
画出函数图象如图所示．
单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－ 1,0]和[1，＋∞)．
a (2)已知函数f(x)＝2x－ 的定义域为(0,1](a为实数)． x ①当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域； ②求函数y＝f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出 当函数f(x)取得最值时x的值．
[解]
1 ①当a＝1时，f(x)＝2x－ ，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1) x
解法二(导数法)： ax′x－1 axx－1′ f′(x)＝ － x－12 x－12 ax－1－ax a ＝ ＝－ 2 2. x－1 x－1 当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
[点石成金]
1.确定有解析式的函数单调区间的三种方法
[提醒]
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表
示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联 结，也不能用“或”联结．
2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)， u＝g(x)． (3)分别确定这两个函数的单调区间． (4)若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增 一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”.
[题点发散1] 1|”，如何求解？
若将本例(2)中函数变为“f(x)＝|－ x2＋2x＋
解：函数y＝ |－x2＋2x＋1|的图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－ 2，1)和(1＋ 2，＋∞)； 单调递减区间为(－∞，1－ 2)和(1,1＋ 2)．
[题点发散2]
D
) 1 B．k<2 1 D．k<－ 2
(2)[教材习题改编]当k<0时，函数f(x)＝kx＋m在R上是
减 函数．(填“增”或“减”) ________
解析：当k＜0时，函数f(x)＝kx＋m在R上是减函数．
单调性易错点：单调性是区间内的性质．
没有 单调性．(填“有”或 函数f(x)＝x2－1在定义域内________