求根公式与根的判别式(2)
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(3). (2x-1)(x-2) =-1; 4.3y2 1 2 3y.
思考：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根相 等？
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程无实数根？
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0， x＝3/2或x=1.
例4.设关于x的方程, x2 2mx 2m 4 0 证明:不论m为何值,这个方程总有 两个不相等的实数根
解 : 4m2 4 2m 4
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
所以,不论m为何值,这个方程总有两
个不相等的实数根
二、例1，不解方程判别下列方程的根的情况
(1)3x2 4x 7 0 (2) 1 x2 x 1 (3)2x2 1 6x
4
（1）解：∵a =3，b =-4，c =7，
b²-4ac=16-4方×程3×要7 先＜化0 ∴原方程没有为再实一求数根般判形别式式
• 例2：当K为何值时，方程kx ²+（2k+1）x+k=0（k≠0） • （1）有两个不相等的根（2）有两个相等的根 • （3）没有实数根
由此可见b²-4ac的值决定一元二次方程 的根的情况，所以把它叫一元二次方程 ax²+bx+c=0 （a ≠0）的根的判别式。 记作“△”读作“delta”
一元二次方程根的判别式
b2 4ac
b2 4ac
△ ＞0 △＝0 △＜0
有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实数根
主要应用: 1.不解方程，判断一元二次方程 根的情况
2.已知方程根的情况确定字母的 取值范围
例3.在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 ( )
A.有两个不相等的实数根b2 4ac
B.有两个相等的实数根 b2 4aHale Waihona Puke Baidu 0
C.没有实数根 D.根的情况无法判断
解：∵b ²-4ac=（2k+1）²-4k·k=4k+1，
而方程有两个不相等的根
∴4k+1﹥0，即k﹥-
1 4
若有两个相等根∴ 4k+1= 0 即k = -
1 4
若没有实数根则4k+1＜0即k＜
-
1 4
一元二方程根的判别式: b2 4ac
当. 0时 方程有两个不相等的实数根 当. 0时 方程有两个相等的实数根 当. 0时 方程没有实数根
3.(2007年·南通市)若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k= 2 .
4.(2007年·上海市)关于x的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的 值及该方程的根。
解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2
1.(2007年·西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0
有实数根，则m的取值范围是
(D )
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
2.(2007年·昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0
有实数根，则k的取值范围是
( A)
A.k≤1
B.k≥1
C.k<1
D.k>1
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
用公式法解下列方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝-8；
思考：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根相 等？
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程无实数根？
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0， x＝3/2或x=1.
例4.设关于x的方程, x2 2mx 2m 4 0 证明:不论m为何值,这个方程总有 两个不相等的实数根
解 : 4m2 4 2m 4
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
所以,不论m为何值,这个方程总有两
个不相等的实数根
二、例1，不解方程判别下列方程的根的情况
(1)3x2 4x 7 0 (2) 1 x2 x 1 (3)2x2 1 6x
4
（1）解：∵a =3，b =-4，c =7，
b²-4ac=16-4方×程3×要7 先＜化0 ∴原方程没有为再实一求数根般判形别式式
• 例2：当K为何值时，方程kx ²+（2k+1）x+k=0（k≠0） • （1）有两个不相等的根（2）有两个相等的根 • （3）没有实数根
由此可见b²-4ac的值决定一元二次方程 的根的情况，所以把它叫一元二次方程 ax²+bx+c=0 （a ≠0）的根的判别式。 记作“△”读作“delta”
一元二次方程根的判别式
b2 4ac
b2 4ac
△ ＞0 △＝0 △＜0
有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实数根
主要应用: 1.不解方程，判断一元二次方程 根的情况
2.已知方程根的情况确定字母的 取值范围
例3.在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 ( )
A.有两个不相等的实数根b2 4ac
B.有两个相等的实数根 b2 4aHale Waihona Puke Baidu 0
C.没有实数根 D.根的情况无法判断
解：∵b ²-4ac=（2k+1）²-4k·k=4k+1，
而方程有两个不相等的根
∴4k+1﹥0，即k﹥-
1 4
若有两个相等根∴ 4k+1= 0 即k = -
1 4
若没有实数根则4k+1＜0即k＜
-
1 4
一元二方程根的判别式: b2 4ac
当. 0时 方程有两个不相等的实数根 当. 0时 方程有两个相等的实数根 当. 0时 方程没有实数根
3.(2007年·南通市)若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k= 2 .
4.(2007年·上海市)关于x的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的 值及该方程的根。
解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2
1.(2007年·西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0
有实数根，则m的取值范围是
(D )
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
2.(2007年·昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0
有实数根，则k的取值范围是
( A)
A.k≤1
B.k≥1
C.k<1
D.k>1
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
用公式法解下列方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝-8；