热力学的微积分解读.ppt

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微积分讲解ppt课件

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多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时,相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系,通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ,微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律,微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等,用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程,可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用,如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关,ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微,AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。

热力学基础超经典ppt

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系统从外界吸收的热量全部用来增加气体内能。
M QV CV ( T2 T1 ) M mol
M i E R( T2 T1 ) M mol 2
i CV R 2
可见:Cv只与自由度i有关,与T无关。
M CV dT 对于理想气体: dE M mol
任何过程
2、等压过程
(1)特征: dP=0
开尔文
卡诺
克劳修斯
R 电源
本章对热力学系统,从能量观点出发, 分析、说明热力学系统热、功转换的关 系和条件。
内容
一、热力学第一定律 二、气体摩尔热容 三、绝热过程 四、循环过程 卡诺循环 五、热力学第二定律 六、热力学第二定律统计意义 七、卡诺定理 克劳修斯熵 八、小结
一、热力学第一定律
安徽工业大学应用物理系
B、准静态过程
在过程中每一时刻,系统都处于平衡态,这是 一种理想过程。 当系统弛豫比宏观变化快得多时,这个过程中 每一状态都可近似看作平衡态,该过程就可认为是 准静态过程。
功、热量、内能
1、功 A 当气体进行准静态膨 胀时,气体对外界作 的元功为:
P
dl
S
活塞与汽缸无摩擦
dA PdV
A PdV

M 将 PV const .与 PV RT 联立得: M mol
V
- 1
T=cons t .

( 4)
P
-1
T =const .
(5)
说明:
(3)、(4)、(5)式称为绝热 方程,但式中的各常数不相同。
绝热线比等温线陡
(1)、等温:
PA dp A点的斜率: dV V T A
等压过程,1摩尔 物质温度升高1K 时所吸收的热量

微积分ppt课件

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和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法,提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用,推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中,微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题,以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外,微积分还可以用于 优化生产和分配资源,提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用,如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用,如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质,如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具, 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪,牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学,为微积分的发展奠定了基础。
19世纪,柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨,进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程,最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理,发展新的理论和 方法。

热力学概论精品PPT课件

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热力学的研究对象
•研究热、功和其他形式能量之间的相互转换及 其转换过程中所遵循的规律; •研究各种物理变化和化学变化过程中所发生的 能量效应; •研究化学变化的方向和限度。
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2020/10/31
热力学的方法和局限性
热力学方法 •研究对象是大数量分子的集合体,研究 宏观性质,所得结论具有统计意义。
状态函数在数学上具有全微分的性质。
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2020/10/31
状态方程
体系状态函数之间的定量关系式称为状态方 程(state equation )。
对于一定量的单组分均匀体系,状态函数 T,p,V 之间有一定量的联系。经验证明,只有两个 是独立的,它们的函数关系可表示为:
T=f(p,V) p=f(T,V) V=f(p,T)
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2020/10/31
热力学平衡态
当体系的诸性质不随时间而改变,则体系 就处于热力学平衡态,它包括下列几个平衡:
热平衡(thermal equilibrium) 体系各部分温度相等。
力学平衡(mechanical equilibrium) 体系各部的压力都相等,边界不再移动。
环境(surroundings)
与体系密切相关、有相互 作用或影响所能及的部分称为 环境。
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2020/10/31
体系分类
根据体系与环境之间的关系,把体系分为三类: (1)敞开体系(open system)
体系与环境之间既有物质交换,又有能量交换。
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热力学的微积分解读.

热力学的微积分解读.

热功当量:
1 cal = 4.186 J
焦耳用于测定热功当 量的实验装置。
9-2-2 热力学第一定律的数学描述
热力学第一定律: 包括热现象在内的能量守恒 定律。
Q (E2 E1) W
Q 表示系统吸收的热量,W 表示系统所做的功, E 表示系统内能的增量。
热力学第一定律微分式: dQ dE dW
b c
1 2 3 V/L
E 0 Q E W 405.2 J
例3 质量为2.810-3 kg,压强为1atm,温度为27℃的氮
气。先在体积不变的情况下使其压强增至3atm,再经
等温膨胀使压强降至1atm,然后又在等压过程中将体
积压缩一半。试求氮气在全部过程中的内能变化,所
做的功以及吸收的热量,并画出p -V图。
Q = W+ E,热量转变为功和内能
m
7
Qp M Cp,m (T T0 ) 2 2 R(T T0 )
T

Qp 7R
T0


500 7 8.31

273
K

281.6 K
V V0T 44.8103 291.6 m3 0.046 m3
T0
273
准静态过程:
状态变化过程进行得 非常缓慢,以至于过程中 的每一个中间状态都近似 于平衡态。
p 准静态过程的过程 曲线可以用p -V 图来描 述,图上的每一点都表 示系统的一个平衡态。
O
p
( pA,VA,TA ) ( pC,VC,TC ) ( pB,VB,TB )
V
9-1-3 理想气体物态方程
理想气体:在任何情况下都严格遵守“波意耳定 律”、“盖-吕萨克定律”以及“查理定律”的 气体。

热力学基础PPT课件

热力学基础PPT课件
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REPORTING
目录
• 热力学基本概念与定律 • 热力学过程与循环 • 热力学第二定律与熵增原理 • 理想气体状态方程及应用 • 热力学在能源利用和环境保护中应用
PART 01
热力学基本概念与定律
REPORTING
热力学系统及其分类
孤立系统
与外界没有物质和能量交换的系统。
一切实际过程都是不可逆过程。
热力学温标及其特点
热力学温标 热力学温标是由热力学第二定律引出的与测温物质无关的理想温标。
热力学温度T与摄氏温度t的关系为:T=t+273.15K。
热力学温标及其特点
01
02
03
04
热力学温标的特点
热力学温标的零点为绝对零度 ,即-273.15℃。
热力学温标与测温物质的性质 无关,因此更为客观和准确。
01
可逆过程
02
系统经过某一过程从状态1变到状态2后,如果能使系统 和环境都完全复原,则这样的过程称为可逆过程。
03
可逆过程是一种理想化的抽象过程,实际上并不存在。
04
不可逆过程
05
系统经过某一过程从状态1变到状态2后,无论采用何种 方法都不能使系统和环境都完全复原,则这样的过程称为 不可逆过程。
06
PART 03
热力学第二定律与熵增原 理
REPORTING
热力学第二定律表述及意义
热力学第二定律的两种表述
01
04
热力学第二定律的意义
克劳修斯表述:热量不能自发地从低温物 体传到高温物体。
02
05
揭示了自然界中宏观过程的方向性。
开尔文表述:不可能从单一热源取热,使 之完全变为有用功而不产生其他影响。

大学物理热力学基本概念ppt课件

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热机效率与制冷系数的关系
二者均与热力学第二定律密切相关,揭示了热量传递和转换的方向 性和限度。
卡诺循环及其效率计算
卡诺循环定义
由两个等温过程和两个绝热过程组成的可逆循环,是热力学中最理 想的循环过程。
卡诺循环效率计算
卡诺循环的效率仅与高温热源和低温热源的温度有关,计算公式为 η=1-T2/T1,其中T1和T2分别为高温热源和低温热源的温度。
大学物理热力学基本概念ppt 课件
CONTENTS
• 热力学基本概念与定义 • 热力学第一定律 • 热力学第二定律 • 理想气体状态方程与麦克斯韦
关系式 • 热力学函数与性质 • 非平衡态热力学简介
01
热力学基本概念与定义
热力学系统与环境
热力学系统
所研究的对象,与周围环境有物质、能量 交换的封闭体系。
理想气体等温过程方程
pV=nRT,其中p表示压强, V表示体积,n表示物质的量 ,R表示气体常数,T表示热 力学温度。
理想气体绝热过程分析
绝热过程
系统与外界之间没有热量交换的热力学过程 。
理想气体绝热过程特点
在绝热过程中,理想气体的内能变化完全取决于外 界对系统做的功或系统对外界做的功。
理想气体绝热过程方程
麦克斯韦关系式及其应用
麦克斯韦关系式
描述热力学系统四个状态参量(p、V、T、S)之间 的偏导数关系。
应用领域
用于解决热力学中的复杂问题,如热机效率、制冷系 数等计算。
推导过程
基于热力学基本方程和热力学第二定律,通过数学变 换得到麦克斯韦关系式。
理想气体多方过程分析
多方过程定义
在过程中,气体的压强和体积满 足某种特定关系,如等温过程、 等压过程、等容过程等。

大学微积分课件(PPT版)

大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程,可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程,可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法,可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分,需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况;对于瑕积 分,需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似,但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$,如果 当$x$趋近于$a$时,$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$,则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中,我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律,以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率,表示函数在该点的切线斜 率。

微积分基本公式ppt课件

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热力学
温度与热量,熵与绝热过程,热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析,最优化问题,经济增长 模型
最优化问题
最大利润,最小成本,最优解
03
02
边际分析
边际成本,边际收益,边际利润
经济增长模型
索洛模型,哈罗德-多马模型,内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用,例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式,我们可以求解变速直 线运动的位移。例如,假设一个物体以速度 v(t)运动,那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt),通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外,微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积,例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法,例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义,例如二阶导数表示曲线的 凹凸性,三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础,包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础,它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a),其中∫代表积分,f'(x)代表函数f 在点x处的导数,b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。

微积分讲解ppt课件

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3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[路程函数]
已知物体的运动方程为 s(t) t2 ,则其速度为 v(t) s(t) (t 2 ) 2t
这里速度2t是路程t2的导数,反过来,路程t2又称为速 度2t的什么函数呢?若已知物体运动的速度v(t),又如 何求物体的运动方程s(t)呢?
f xdx f x C 或 df x f x C
3.2.2 基本积分表
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[幂函数的不定积分]
因为

x 1

1

x
x 1
1 是 x 的一个原函数
于是
x dx x 1 C
32微积分基本公式321原函数和不定积分的概念322基本积分表323微积分基本公式321原函数和不定积分的概念一案例二概念和公式的引出一案例路程函数已知物体的运动方程为又称为速度2t的什么函数呢
3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式
1
1
类似地, 由基本初等函数的求导公式,可以写出与之对应的不定积分公式.
二、概念和公式的引出
1.基本积分表
(1)
kdx kx C ( k 为常数)
(2) x dx x 1 C
1
1
(3)

1 x
dx

ln
x

C
(4) a xdx a x C
即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差). 性质1可推广到有限个函数的情形.
(2) 性质2 kf xdx k f xdx k为常数

《微积分》PPT课件

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第九章
重积分
1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
微积分Ⅰ
第九章
重积分
2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型 设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X - 型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
22
例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所
围成的立体的体积 V.
z
2 2
解 设两个直圆柱方程为
2 2 2
x y R , x z R . 由立体关于坐标平面的对 o R y 称性可知, 所求体积为第一卦 限部分体积的 8 倍. x ∵所求立体在第一卦限部 分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面 z R2 x 2 ,
若改变该二次积分的次序, 则 D 变为 Y - 型区域,
微积分Ⅰ
第九章
重积分
15
2 D {( x , y ) | 0 y 1, 1 1 y x 2 y }, 即
dx
0
1
2 x x2
0
2 y
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x
0
f ( x, y)dy
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并 对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结 果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作

导热微分方程式及单值性条件课件

导热微分方程式及单值性条件课件
边界条件
定义系统边界上的物理量,如温 度、热流密度等,为求解导热微 分方程提供边界条件。
导热问题的数值解法及程序实现
数值解法
采用数值方法求解导热微分方程,如前述的有限差分法、有限元法等。
程序实现
根据具体的导热问题,编写相应的程序代码,实现数值求解过程。常用的编程语 言包括Fortran、C等。
导热微分方程式在建筑行业中的应用
对于复杂形状物体,其导热方程需要根据物体的具体形状和边界条件进行建立。一般来说, 需要使用微积分和偏微分方程的知识来求解。
单值性条件
对于复杂形状物体的导热问题,单值性条件通常包括给定的边界条件和初始条件。这些条 件可以是给定的温度分布、热流量分布或者物体的物理性质等。根据具体问题的不同,单 值性条件的表达方式也会有所不同。
电子设备的散热设计
针对电子设备在运行过程中产生的热量,需要进行有效的散热设 计以防止过热。
电子设备的热稳定性分析
通过对电子设备进行热稳定性分析,可以评估其在不同环境下的工 作性能和可靠性。
导热材料的选择与优化
针对电子设备的传热问题,需要选择具有良好导热性能的材料,并 优化其结构以增强散热效果。
典型例题一:平板导热问题
平板导热模型描述:平板模型是一种简 单的导热模型,它由一个厚度有限的平
板构成,热量从一面传导到另一面。
数学方程建立:根据傅里叶定律和平板 模型的对称性,可以建立如下导热微分
方程式
$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} =
典型例题二:球体导热问题
• 球体导热模型描述:球体模型是一种三维的导热模型,热量从球体的内部传导到外部。 • 数学方程建立:根据傅里叶定律和球体的对称性,可以建立如下导热微分方程式 • $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial T}{\partial r}) + \frac{1}{r^2

《热力学函数》课件

《热力学函数》课件
自由能函数是描述系统在等温、等压条件 下进行自发过程的能量变化。在等温、等 压条件下,自发过程总是向着自由能减少 的方向进行。自由能的变化可以用来计算 等温、等压条件下自发过程的方向和限度 。
吉布斯函数
总结词
表示系统在等温、等压、等容条件下进行自 发过程的能量变化
详细描述
吉布斯函数是描述系统在等温、等压、等容 条件下进行自发过程的能量变化。在等温、 等压、等容条件下,自发过程总是向着吉布 斯函数减少的方向进行。吉布斯函数的变化 可以用来计算等温、等压、等容条件下自发 过程的方向和限度。
在节能减排中的应用
节能技术评估
利用热力学函数可以对各种节能技术 进行评估,如余热回收、热泵技术等 ,以确定其节能效果和适用范围。
污染物排放控制
通过分析热力学函数,可以研究控制 污染物排放的方法和技术,如燃烧控 制、尾气处理等。
在新能源开发中的应用
新能源转化效率
利用热力学函数可以分析新能源转化过程的效率,如太阳能热利用、生物质能转化等。
理想气体热力学函数计算实例
以水蒸气为例,可以计算其在不同温度和压力下的内能、 熵、焓等热力学函数的值。
真实气体热力学函数的计算
真实气体与理想气体的差异
01
真实气体在高温、高压下偏离理想气体状态方程,因此其热力
学函数与理想气体存在差异。
真实气体热力学函数计算方法
02
根据实验数据和物性参数,可以采用物性方程或状态方程来计
3
能源管理与优化
热力学函数理论可以为能源管理和优化提供科学 依据和技术支持,提高能源利用效率和经济效益 。
热力学函数面临的挑战与问题
基础理论框架的完

尽管热力学函数理论已经取得了 一定的进展,但仍需要进一步完 善其基础理论框架,提高理论的 完整性和严密性。

微积分课件

微积分课件

03
导数与微分
导数的定义与计算
总结词
导数是函数值随自变量改变的速度,是函数变化的局部线 性近似。
详细描述
导数是微积分中的基本概念之一,它描述了函数值随自变 量改变的变化率。对于连续函数,求导数就是求函数值随 自变量改变的速度。导数的计算包括求导公式和求导法则 。
总结词
高阶导数是函数值随自变量多次改变的速度,是高阶线性 近似。
06
微分方程与差分方程
微分方程的基本概念
定义
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。它可以描述物 理、化学、生物等自然现象的变化规律,也可以描述工程 设计中的各种问题。
分类
根据未知函数导数的阶数,微分方程可以分为一阶、二阶 、高阶等。根据是否含有参数,微分方程可以分为常系数 和变系数。
解题思路
解决微分方程一般采用“降阶法”,即把高阶微分方程转 化为低阶微分方程,或者把变系数微分方程转化为常系数 微分方程,然后分别求解。
了微积分,并发展出了不同的方法。
微积分的发展
03
微积分在后来的发展中,经历了许多数学家的努力,
逐渐完善和扩展。
微积分的重要性
科学计算
微积分是科学计算的基础,对于物理、工程、生物等领域都有重 要的应用。
理论意义
微积分是数学的一个重要分支,对于数学理论的发展也有重要的 意义。
实际应用
微积分的应用广泛,如经济学、金融学、计算机科学等。
常见的一阶微分方程及其解法
定义
只含有一个未知函数及其导 数的一个等式称为一阶微分 方程。常见的形式有 dy/dx = f(x,y) 或 d²y/dx² = f(x,y)

解法
常见的一阶微分方程有指数 函数、三角函数、幂函数等 形式的解。通过代入法或变 量替换法,将原方程转化为

《微积分》课件

《微积分》课件
微分学主要研究函数在某一点附近的 局部行为,包括切线、函数的变化率 等;积分学则研究函数在某个区间上 的整体行为,包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学,如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨,他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论,为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支,通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键,需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一:极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确,并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一:极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$

热力学函数的全微分微课ppt

热力学函数的全微分微课ppt

能量家族的四大兄弟
V F
(UFGH)按顺时针围团打
牌,
两边的助手和对面的侦探
T
取得了联系。
图(1)
解释:
箭头方向为正号,对面为负; U两边的助手是dS、dV ,S、V为变量; 对面的侦探为T,- P, 从图中不难看出dU = TdS – pdV。
dH = TdS + Vdp, dF = – SdT – pdV, dG = – SdT + Vdp
二、热力学变量的偏微分表达式:
dU TdS pdV
U U (S, V ), dU U dS U dV S V V S
比较两式可得: T U ; p U
S V
V S
同理 dH TdS Vdp
H H (S, P), dH H dS H dP S p P S
20xx-xx-16
板书设计
第二章 均匀物质的热力学性质
2.1 热力学函数的全微分
一、热力学函数的全微分 二、热力学变量的偏微分表达式:
dU TdS pdV dF SdT pdV
dH TdS Vdp dG SdT Vdp
T U H S V S p
V H G P S P T
dF SdT pdV
2.1.3
4.吉布斯函数G的全微分
G H TS
dG dH TdS SdT
dG SdT Vdp 2.1.4
美丽的山谷
记忆方法: 坐标系法
记忆口诀:
H
P G
阳光(Sunshine)照在树梢
S
(Top)上 [S→T],
溪水从山峰(Peak)流到山
U
谷(valley)[P→V],
活学活用
T U H S V S p
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称为洛施密特常量
§9-2 热力学第一定律
9-2-1 改变系统内能的两条途径 热功当量
内能:系统内分子热运动的动能和分子之间的相互 作用势能之总和:
E E(V ,T )
理想气体内能: 理想气体的内能只与分子热运动 的动能有关,是温度的单值函 数。
E E(T )
改变系统内能的两种不同方法:
钻木取火 —— 通过做 功的方式将机械能转换 为物体的内能。
O VA
dV
VB V
结论:系统所做的功在数值上等于p-V 图上过程曲
线以下的面积。
(2)准静态过程中热量的计算
热容量:物体温度升高1 K 所需要吸收的热量。
C dQ dT
单位: J K1
比热:单位质量的物质热容量。
c 1 dQ m dT
单位: J K 1 kg1
摩尔热容量:1 mol 物质的热容量。
p1V1 p2V2 恒量
T1
T2
(质量不变)
p,V ,T p0,V0,T0 (标准状态)
标准状态:
m V0 M Vmol
p0 1.01325105 Pa T0 273.15 K Vmol 22.4103 m3
其中:
m 为气体的总质量。 M 为气体的摩尔质量。
pV p0V0 m p0Vmol
第九章
热力学基础
常见的一些现象:
1. 一壶水开了,水变成了水蒸气。 2. 温度降到0℃以下,液态的水变成了固体的冰块。 3. 气体被压缩,压强增强。 4. 物体被加热,物体的温度升高。
热现象
§9-1 热力学的基本概念
9-1-1 热力学系统
在热力学中把要研究的宏观物体(气体、液体、
固体)称为热力学系统 简称系统。
烤火 —— 通过热量 传递提高物体内能。
热量(Q) : 系统之间由于热相互作用而传递的能量。
注意:功和热量都是过程 量,而内能是物态量,通 过做功或传递热量的过程 使系统的物态(内能)发 生变化。
热功当量:
1 cal = 4.186 J
焦耳用于测定热功当 量的实验装置。
9-2-2 热力学第一定律的数学描述
T
T0 M T0
令:
R p0Vmol 8.31 J mol 1 K1 T0
R 称为“摩尔气体常量 ”
代入: pV p0V0 m p0Vmol
T
T0 M T0
理想气体物态方程: pV m RT M
分子质量为 m0,气体分子数为N,分子数密度 n。
阿伏伽德罗常量
NA 6.0221023 mol 1
T / K 273.15 t/C
大爆炸后的宇宙温度 实验室能够达到的最高温度 太阳中心的温度 太阳表面的温度 地球中心的温度 水的三相点温度 微波背景辐射温度 实验室能够达到的最低温度 (激光制冷)
1039 K 108 K 1.5×107 K 6000 K 4000 K 273.16 K 2.7 K
热力学第一定律: 包括热现象收的热量,W 表示系统所做的功, E 表示系统内能的增量。
热力学第一定律微分式: dQ dE dW
符号规定:
1. 系统吸收热量Q为正,系统放热Q为负。 2. 系统对外做功W为正,外界对系统做功W为负。 3. 系统内能增加E为正,系统内能减少E为负。
Cm
dQ dT
mol
摩尔定容热容: 1 mol 理想气体在体积不变的状态 下,温度升高1 K 所需要吸收的热量。
A BC
A BC
温度的宏观定义: 表征系统热平衡时宏观性质的物理量。
温标 —— 温度的数值表示法。
摄氏温标: t ℃ 水的冰点 —— 0 ℃ 水的沸点 —— 100℃
冰点和沸点之差的百 分之一规定为1 ℃ 。
热力学温标: T K
绝对零度: T = 0 K
t/C
TK
t = - 273.15 ℃
水三相点(气态、液态、固态的共存状态)273.16 K
外界:系统以外与系统有着相互作用的环境
孤立系统:与外界不发生任何能量和物质交换的 热力学系统。 封闭系统: 与外界只有能量交换而没有物质交换 的系统。
物态参量:描述热力学系统物态的物理量。 描述气体的物态参量:压强、体积和温度
压强(p):垂直作用在单位容器壁面积上 的气体压力。
国际单位制单位: 帕斯卡(1 Pa =1 N/m2) 1标准大气压 = 1.01325×105(Pa)
2.4×10-11 K
9-1-2 平衡态 准静态过程
平衡态:一个孤立系统,其宏观性质在经过 充分长的时间后保持不变(即其物态参量不 再随时间改变)的物态。
注意:如果系统与 外界有能量交换, 即使系统的宏观性 质不随时间变化, 也不能断定系统是 否处于平衡态。
热力学过程:热力学系统的物态随时间发生 变化的过程。
体积(V ): 气体分子自由活动的空间。
国际单位制单位: 米3(m3 )
温度(T): 温度是表征在热平衡物态下系 统宏观性质的物理量。
两热力学系统相互接触,而与外界没有热量交 换,当经过了足够长的时间后,它们的冷热程度不 再发生变化,则我们称两系统达到了热平衡。
热力学第零定律: 如果两个系统分别与第三个系统 达到热平衡,则这两个系统彼此也处于热平衡。
第一类永动机: 不需要外界提供能量,但可以 连续不断地对外做功的机器。
热力学第一定律:
“不可能制造出第一类永动机。”
9-2-3 准静态过程中热量、功和内能
(1) 准静态过程中功的计算
F
S
p,V dV
p
(pA,VA,TA)
dl
dW pSdl pdV
W V2 pdV V1
(pB,VB,TB)
pV m RT M
m m0 N M m NA
NR p T
V NA
N m NA M
玻耳兹曼常量 k R 1.38 1023 J K 1 NA
n N V
p nkT
标准状态:
p0 1.01325105 Pa
T0 273.15 K
标准状态下的分子shu数密度:
n0 2.691025 m3
准静态过程:
状态变化过程进行得 非常缓慢,以至于过程中 的每一个中间状态都近似 于平衡态。
p 准静态过程的过程 曲线可以用p -V 图来描 述,图上的每一点都表 示系统的一个平衡态。
O
p
( pA,VA,TA ) ( pC,VC,TC ) ( pB,VB,TB )
V
9-1-3 理想气体物态方程
理想气体:在任何情况下都严格遵守“波意耳定 律”、“盖-吕萨克定律”以及“查理定律”的 气体。
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