运筹学第7讲

xijk ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
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（三） 生产计划的问题 目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为： 利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 -
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样 我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。
4x122
7x123
+ 11x322 ≤ 7000
≤ 4000
（ 设备 B2 ）
（ 设备 B3 ）
x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 x312
- x322 = 0 （Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等） = 0 （Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等）
不大于9.96 ×10-2 越多越好 不大于9.96 ×10-2 不少于250000
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（二） 配料问题
解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。 目标函数为飞机汽油1的总产量：x11 x12 x13 x14 库存量约束为： x11
x21 380000
x12 x22 265200 x13 x23 408100
同样可得有关辛烷数的约束条 16.5 x11 2.0 x12 4.0 x13 17.0 x14 0 件为： 7.5x11 7.0 x12 13.0 x13 8.0 x14 0
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2.85 x21 1.42 x22 4.27 x23 18.49 x24 0
从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过
原材料的供应限额，故有 (x11+x21+x31)≤100 (x12+x22+x32)≤100 (x13+x23+x33)≤60
通过整理，得到以下模型：
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（二）
例2．（续）
配料问题
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%）
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（三）
生产计划的问题
解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种 产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两 种产品的件数。
求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和
产品甲全部自制的利润 产品甲铸造外协，其余自制的利润 产品乙全部自制的利润 产品乙铸造外协，其余自制的利润 产品丙的利润 可得到 元。
= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
约束条件： 从第1个表中有：
x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23)
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（二） 配料问题
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=23-(3+2+3)=15 =23-(5+2+3)=13 =18-(5+1+2)=10 =18-(6+1+2)=9 =16-(4+3+2)=7
xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9
（三）
生产计划的问题
通过以上分析,可建立如下的数学模型:
目标函数：
约束条件：
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（二） 配料问题
利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的 原料单价*原料数量，故有目标函数
Max 50（ x11+x12+x13 ）+35（ x21+x22+x23 ）+25（ x31+x32+x33 ）-65
（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）
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（三）
生产计划的问题
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数 量。建立如下的数学模型: s.t. 5x111 + 10x211 7x112 + 6x121 + ≤ 6000 （ 设备 A1 ） （ 设备 A2 ） （ 设备 B1 ）
9x212 + 12x312 ≤ 10000 8x221 ≤ 4000
由管理运筹学软件求解得：
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（三）
生产计划的问题
例4．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公 司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装 配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以 自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表 。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产 多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包 协作各应多少件？
标准汽油
表
辛烷数
蒸汽压力(g/cm2)
库存量(L)
1
2 3 4
107.5
93.0 87.0 108.0
7.11×10-2
11.38 ×10-2 5.69×10-2 28.45 ×10-2 蒸汽压力(g/cm2)
380000
265200 408100 130100 产量需求
表
5---6 4---7
飞机汽油 辛烷数 1 2 不小于91 不小于100
即 x1=30; x2=10； x3=0； x4=50； x5=0；
只需90根原材料就可制造出100套钢架。 注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用 等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一 根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号， 这一方案就不是可行解了。
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（二）
配料问题
max( x11 x 13 14x ) 933 399.938 x 12 x11 261966.078 x12 265200 x13 315672.219 x14 90561.688 x21 118033.906 x22 0 x23 92427.758 x24 39538.309
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（三）
生产计划的问题
例5．永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B两 道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有 三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、B的任 何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设备上加工，但 对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工 。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品 加工方案？
Max
15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5
5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000 6x1 + 3x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
x 1 , x 2 , x 3 , x 4, x 5 ≥ 0
铸造工时(小时/件) 机加工工时(小时/件) 装配工时(小时/件) 自产铸件成本(元/件) 外协铸件成本(元/件) 机加工成本(元/件) 装配成本(元/件) 产品售价(元/件) 甲 5 6 3 3 5 2 3 23 乙 10 4 2 5 6 1 2 18 丙 7 8 2 4 -3 2 16 资源限制 8000 12000 10000
x1 + x 2 + x3 + x1 + 2x 2 + 2x3 + 3 x 1 + x 2 + 2x 3 x1,x2,x3,x4,x5 ≥
0
x4 + x5 x4 ≥ 100 2x4 + x5 ≥ 100 + 3x5 ≥ 100
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（一） 套裁下料问题 用软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2 下料10根；按方案4下料50根。
设备 A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件） Ⅰ 5 7 6 4 7 0.25 1.25 产品单件工时 Ⅱ Ⅲ 10 9 12 8 11 0.35 2.00 0.50 2.80 设备的 有效台时 6000 10000 4000 7000 4000 满负荷时的 设备费用 300 321 250 783 200
(wenku.baidu.com应量限制） (供应量限制）
x13+
x23 +
x33 ≤ 60
(供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
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（二）
配料问题
例3.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来 定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、 2、3、4种标准汽油，其特性和库存量列于下表中，将这四种标准汽油混合， 可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列 于表5-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽 油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？
第五节 案例分析及WINQSB软件应用
一、案例分析 （一）套裁下料问题
（二）合理配料问题
（三）生产计划问题 （四）人力资源分配的问题 （五）投资问题
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（一） 套裁下料问题
例1．某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各
一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？ 解： 共可设计下列5 种下料方案，见下表
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 1 2 0 1 0 0 0 2 2 1 3 1 2 0 3 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们 建立如下的数学模型。 目标函数： Min 约束条件： s.t.
x 产量约束为飞机汽油2的产量： 21 x22 x23 x24 250000
PV p j v j 可得有关蒸汽压力的约束条 由物理中的分压定律， j 1 件： 2.85 x 1.42 x 4.27 x 18.49 x 0
11 12 13 14
n
x14 x24 130100
-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%）
0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
x11+ x12+
x21 + x22 +
x31 ≤ 100 x32 ≤ 100
（二） 配料问题
例2．某工厂要用三种原料1、 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、乙、丙，数据如右表。 问：该厂应如何安排生产，使利 润收入为最大？
产品名称 规格要求 单价（元/kg） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 25 丙 不限 原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 65 25 35
（二）
配料问题
x11 x12 x13 x14
综上所述，得该问题的数学模型为：
max
x21 x22 x23 x24 250000 x x 380000 21 11 x12 x22 265200 408100 x13 x23 x x 130100 14 24 2.85 x11 1.42 x12 4.27 x13 18.49 x14 0 2.85 x21 1.42 x22 4.27 x23 18.49 x24 0 16.5 x11 2 x12 4 x13 17 x14 0 7.5 x 7 x 13 x 8 x 0 21 22 23 24 xij 0, (i 1, 2; j 1, 2, 3, 4)