在坐标系中构造平行四边形

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坐标系中的平行四边形图

坐标系中的平行四边形图
在数学中，平行四边形是一种特殊的四边形，其相对边是平行的。

在坐标系中，我们可以通过坐标点来确定一个平行四边形的形状和位置。

假设我们有一个平行四边形，其中一个顶点坐标为A(x1, y1)，另一个顶点坐标
为B(x2, y2)，以及通过向量a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2) 可以得出平行四边形的另外
两个顶点坐标C和D。

基于以上信息，我们可以推导出平行四边形的性质和特征。

首先，通过向量a
和b，我们可以求出两条对角线的长度和角度。

根据平行四边形的性质，对角线相
互平分，可以得到对角线相等且垂直的结论。

其次，我们可以计算平行四边形的周长和面积。

周长可以通过各边的长度相加
得出，而面积可以通过向量积来计算。

要注意，在坐标系中，通过向量积可以得到平行四边形的有向面积，需注意方向。

最后，通过坐标系中平行四边形的图示，我们可以直观地理解平行四边形的形
状和特征。

在绘制平行四边形图时，我们可以利用数学软件或手动绘图工具，根据各点坐标和线段关系构建平行四边形的图形。

对于不同的坐标点和向量组合，我们可以得到形状各异的平行四边形图。

综上所述，坐标系中的平行四边形图不仅是数学中基础的图形概念，更是帮助
我们理解向量、几何关系和面积计算的重要工具。

通过深入研究平行四边形的性质和特征，我们可以更好地理解数学中的基本原理和概念。

直角坐标系中平行四边形对角线法则

直角坐标系中平行四边形对角线法则【直角坐标系中平行四边形对角线法则】一、引言在数学中，直角坐标系是一种常见的坐标系统，用于描述平面上的点和图形。

平行四边形是一个重要的几何形状，在直角坐标系中，我们可以利用平行四边形对角线法则来计算其对角线的长度和方向。

本文将深入探讨直角坐标系中平行四边形对角线法则的原理和应用，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。

二、基础知识回顾在讨论平行四边形对角线法则之前，我们先回顾一下直角坐标系的基础知识。

在直角坐标系中，平面上的任意一点可以用一对有序实数来表示，通常表示为(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y 轴上的位置。

直角坐标系中有两条互相垂直的直线，称为坐标轴，用来确定平面上点的位置。

三、平行四边形对角线法则的原理平行四边形是一个有四个边和四个角的四边形，其中相对的两边是平行的。

平行四边形的对角线是连接相对顶点的线段。

平行四边形对角线法则是指，平行四边形的对角线互相平分，并且对角线的和向量等于零向量。

四、平行四边形对角线法则的应用1. 平行四边形对角线长度的计算根据平行四边形对角线法则，平行四边形的对角线互相平分，所以对角线长度相等。

给定平行四边形的两条边的坐标，可以使用直线的长度公式来计算对角线的长度。

对于平行四边形ABCD，已知A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)，则对角线AC的长度为√((x1-x3)^2 + (y1-y3)^2)。

2. 平行四边形对角线方向的计算根据平行四边形对角线法则，对角线的和向量等于零向量。

给定平行四边形的两条边的坐标，可以使用向量的加法和等于零向量的性质来求解对角线的方向。

在平行四边形ABCD中，向量AB + 向量CD =零向量。

可以利用这一关系来计算对角线的方向。

五、个人观点与总结直角坐标系中平行四边形对角线法则是解决平行四边形相关问题的重要工具。

通过理解和应用这一法则，我们可以准确计算平行四边形的对角线长度和方向。

中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究

中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究在平行四边形的存在性问题中，常会遇到两类探究性的问题。

第一类问题是已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（简称“三定一动”）。

第二类问题是已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（简称“两定两动”）。

平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序。

在解决这些问题时，容易出现遗漏或方法不当或错解的情况。

因此，需要分清题型并分类讨论且作图，利用几何特征计算，并灵活运用平移坐标法等解题技巧。

可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”。

对于“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点。

这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点。

对于“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。

如果平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则可以直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解。

如果平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则可以利用列方程组解图形交点的方法解决。

此外，还可以灵活运用平行四边形的中心对称的性质，或者使用平移坐标法。

平移坐标法的具体步骤是先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标），再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标。

最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性。

除了平行四边形，矩形、菱形和正方形也有存在性问题。

对于矩形，增加对角线相等和邻边垂直的性质，还可以转化为直角三角形的存在性问题。

对于菱形，增加四边相等和对角线垂直的性质，还可以转化为直角三角形或等腰（等边）三角形的存在性问题。

《平面直角坐标系中的平行四边形》课后反思

《平面直角坐标系中的平行四边形》课后反思《平面直角坐标系中的平行四边形》课后反思北京三中王颖平面直角坐标系中图形位置的确定，是综合性较强、难度较大的一类问题，也是中考中的热点问题。

为了可以提高复习课的效率，保证课堂实效，结合我班学生的特点，本课的设计将图形位置的确定定位在了平行四边形这个特殊图形的位置确定上，分解出了综合题中的几何模型【引例】，铺垫到位，总结了作图定位的依据和方法。

再把几何图形放在了平面直角坐标系中，对图形顶点的坐标求法进行归纳和总结。

将专题细化，一题多变，充分引申。

我想这种小起点，低跨步的题目情境更易于学生接受综合性强、难度大的问题，上课后，学生感觉自己对这类题的解法有了一定的了解。

在课堂的教学过程中，我关注学生的审题环节，按：条件是什么？条件怎么用？问题是什么？来让学生关注题目中的关键条件，挖掘隐含条件，学会处理条件。

不仅如此，还让学生参与课堂活动，充分展示自己的作品，展示自己的思维轨迹。

在解题之后注重题目的反思和方法小结，且在下一问题中马上应用该知识点，及时发现学生掌握的不好的知识点，再度强调和巩固。

课堂中引导学生进行小组讨论，但学生没有行动起来，可能今天有人听课比较拘谨。

不然，学习氛围会更热烈一些。

为了能明确的听到学生的见解，今天选择了个别回答的形式，也影响了一部分同学回答问题的积极性，但通过回答问题学生的表现，他们都还是在认真跟着老师学习呢。

因时间问题，例3的讲解显然有些太快了，未给学生充分的思考时间，如果再有教具演示就会更直观了，效果会更好！我还在考虑着今后的教学中应该再大胆一些，让学生独立思考，独立做题，独立的表达，充分的发挥学生学习的能动性。

最后，衷心感谢教研员雷老师和三中数学备课组全体老师为我们这次公开课提供的帮助！欢迎大家指出我这节课的不足之处，我会虚心接受的！第二篇：平面直角坐标系实用说课稿3400字《平面直角坐标系》说课稿武威第十九中学邱雪玲《平面直角坐标系》说课稿武威第十九中学邱雪玲尊敬的各位领导、老师们：大家好！非常高兴能有机会向在座的领导、老师们学习，不当之处，请多指教。

坐标系中的平行四边形的知识

坐标系中的平行四边形的知识平行四边形是几何学中一个常见的形状，它具有独特的性质和特点。

在坐标系中，平行四边形的性质可以通过坐标的运算和几何知识来得到详细描述。

平行四边形的定义平行四边形是一个具有两对边平行的四边形。

在坐标系中，平行四边形可以通过坐标点表示，其中相邻的两个点构成一条边，而相对的两个点之间的线段是平行的。

平行四边形的性质包括对角线互相平分、相对边平行等。

平行四边形的判定在坐标系中，可以通过坐标点的斜率来判定平行四边形。

如果四个点的斜率相等，则这四个点构成的四边形是平行四边形。

斜率的计算方法为两点之间纵坐标的差值除以横坐标的差值。

平行四边形的性质1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，并且中点连线是平行四边形的对边之一。

2.相邻角互补：平行四边形的相邻内角互补，也就是说相邻角的和为180度。

3.临角相等：平行四边形的临角相等，也就是相对边之间的角相等。

4.相对边平行：平行四边形的相对边是平行的。

5.对角线长：对角线长相等。

平行四边形的性质应用平行四边形的性质在几何推导和解题中有着广泛的应用。

通过利用平行四边形的性质，可以简化几何问题的计算和分析。

在坐标系中，通过有效地利用平行四边形的知识，可以更快速地解决复杂的几何问题。

总结在坐标系中，平行四边形是一个重要的几何形状，具有多种性质和特点。

通过对平行四边形的定义、判定和性质进行深入了解，可以更好地应用几何知识解决问题。

平行四边形的知识不仅在数学领域有着重要意义，也可以延伸到其他学科和实际生活中，为我们提供更多的思维方式和解决问题的途径。

坐标系中平行四边形存在性问题探究教学设计

西安爱知中学第十一届校本教研备课组公开课教案年级初三备课组数学组姓名霍高峰坐标系中平行四边形存在性问题探究教学设计课堂练习：1、如图，二次函数x x y 31322—=的图象经过△AOB 的三个顶点，其中A(-1，m )，B(n,n ) ．（1）求A 、B 的坐标；（2）在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C 有几个？ ②能否将抛物线x x y 31322—=平移后经过A 、C 两点？若能，求出平移后经过A 、C 两点的一条．．抛物线的解析式；若不能，说明理由．2、如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．xyBAO C《坐标系中平行四边形问题探究》教学反思一直以来，关于在坐标系中，特别在二次函数中讨论平行四边形存在性问题困扰自己，有时自己觉得非常简单的方法对于学生却如同天书一般困难，思考再三，根据平行四边形的图形特点，总结了利用表示坐标的方法解决平行四边形问题的方法。

坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等……，而是用动态的观点看待几何图形——把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化——用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想．坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）．根据平行四边形的对角线互相平分这一特征，借助中点坐标公式，探索出平行四边形对角线端点坐标关系，顺利写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．坐标法的特点：①不会遗漏．坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；②不需证明．坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；③不限条件．坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变．坐标法实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想．这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识．从本节课学生的情况来看，学生对于这种方法接受容易，学习的兴趣也得到提升，在课堂中能够积极发言，探讨遇到的问题。

平面直角坐标系中平行四边形存在性的探究

操作．
Ｂ
Ａ
／／７
／／ｃ。
图２
为平行四边形．
关键词：分类讨论；平行四边形；存在性；直角
坐标系
如何较快地求出点。的坐
标呢？在教学过程中，笔者发现学生最初在思考这一问题时，有
可以把点Ａ也视为一个定点．根据类型１中 “ 已知三个定点 ” 的分析方法，可知其对应的点共有三个，并可以用平移法写出它们的坐标，为Ｍ（ｔ一４，２），
Ｍ（４一ｔ，２），Ｍ（ｔ＋４，一２）．
）｜～
类型１：已知三个定点。求第四个点
情形２：若以ＡＢ，ＢＣ为边
Ａ
●
（如图３），可得
平面内有点Ａ（４，４），（一２，２），Ｃ（３，一１），试在此平面中找出另
一
（９，１）．
ｙ
ＣＭ，其中点Ａ（４，４）到点Ｃ（３，一１）是向左平移１个单位，向下平移５个单位，故也将点Ｂ（一２，２）如此平移，即得点。（一３，一３）（也可以看成是将线段Ａｃ平
移到ＢＭ）．例１如图ｌ，在直角坐标
点的运动路线一定是在过点ｃ（或点Ｃ关于直线
ＡＢ的对称点Ｃ）且平行于ＡＢ的这两条直线上．这时

第6章平行四边形题型解读7 直角坐标系中的平行四边形-2020-2021学年北师大版八年级数学下册

《平行四边形》题型解读7 直角坐标系中的平行四边形【知识梳理】： 1.总体解题分析思路线：2.常见添辅助线方法：①过平行四边形顶点作坐标轴的垂线段，把点的坐标转化成线段长； ②连接对角线，利用中点坐标公式求解点的坐标；【典型例题】例1.已知如图，平行四边形ABCD 的边AB 在轴上，顶点D 在轴上，AD=4，AB=5，点A 的坐标为（-2，0），则点B 的坐标为____________, 点C 的坐标为____________, 点D 的坐标为____________ 【解题过程】作CE ⊥x 轴，∵点A 的坐标为（-2，0），∴OA=2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=4,AB=CD=5,∴OB=3,∴BE=2,在Rt △OAD 中，由勾股定理可得OD=2√3,∵∠DAO=∠CBE,OA=BE=2,∠AOD=∠CEB=90º,∴△AOD ≌△BEC,∴CE=OB=2√3,∴B(3,0)、D(0,2√3)、C(5,2√3).例2.如图，在平面直角坐标系中，AB//OC ，A （0，12），B （a,12），C （b,0），且满足b =√a −21+√21−a +16. 动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动.设运动时间为t （秒）. （1）求B ，C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？请求出此时P ，Q 两点的坐标；（3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标.【解题过程】（1）∵b =√a −21+√21−a +16，∴√a −21≥0，√21−a ≥0，∴a=21,∴b=16,∴B(21,12)、C(16,0)；（2）如图1，由题可知：AP=2t,PB=21-2t ，OQ=t,QC=16-t ，∵当四边形PQCB 是平行四边形时，∴PB=QC ，即21-2t=16-t ，解得t=5，此时AP=10,OQ=5，∵AB//OC ，∴点B 、P 的纵坐标相同，∴P(10,12)、Q(5,0)。

专题10：--平面直角坐标系与平行四边形

18.18专题16：--平面直角坐标系与平行四边形一．【知识要点】1.平面直角坐标系与平行四边形二．【经典例题】1.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．如图，当α＝30°时，点D的坐标为.2.如图，在直角坐标系XOY中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C=120°，边长OA=8，点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M作直线MP 垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动,设运动时间为t s.（1）当t=2时，求线段PQ的长；（2）求t为何值时，点P与N重合.3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC的中点，连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：B的坐标为；（2）求BF的长。

4.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0）．点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接BD，作DE⊥DB．交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为．（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．三．【题库】【A】【B】1.在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；【C】1. 在平面直角坐标系中，有点A（0，4）、B（9，4）、C（12，0）。

学案：平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题

平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题一、平面内已知三个点（不共线），作第四个点构成平行四边形.1、已知平面内A 、B 、C 三点.（1）求作D 点，使四边形ABCD 为平行四边形；（2）求作D 点，使A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.二、平面直角坐标系中已知三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标.2、如图，在平面直角坐标系中，若以A （2,3）、B （1,1）、C （4,1）、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，求D 点的坐标.变式：若将C 点坐标改成（4,0），其余不变，求D 点的坐标.B C三、平面直角坐标系中已知平行四边形两个顶点的坐标，探求另两个点的坐标.例题1：已知，在平面直角坐标系中，A(2，4)、B(4，2)，试在直线y=2x 上找一点C ，在x 轴上找一点D ，使A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.例题2：如图，抛物线322--=x x y 与x 轴交A(-1,0)，直线l ：y=-x-1与抛物线交于A 、C(2,-3) 两点，点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样求出．．所有满足条件的F 点坐标；如果不作业：1、已知抛物线c bx ax y ++=2)0(≠a 过点)0,3(-A ,)0,1(B ,)3,0(C 三点(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为P ，若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.2、已知C 、D 在直线y=x+1的图像上，且D 点的横坐标比C 点的横坐标大2，点E 、F 在二次函数231y x x =-+的图像上，且CE 、DF 与y 轴平行，当以C 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点C 的坐标.xyO3、在平面直角坐标系中，已知抛物线c x x y ++=2-2过点A(-1，0)，直线343:+-=x y L 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点M ，抛物线的顶点为D.（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）若N 为直线L 上一动点，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ，问：是否存在这样的点N ，使得以点D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由.4、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (－4，0)、B (0，－4)、C (2，0)三点．y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能使Q 的坐标．。

平面直角坐标系下平行四边形存在性问题

平面直角坐标系下平行四边形存在性问题1、如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，OA=8，OC=12，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，把矩形沿直线DE翻折，点O恰好落在AB边上的点F处，M是直线DE上的一个动点，直线DF上是否存在点N，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形求符合题意的点N的坐标。

2、如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，E是直线AB上一动点．若以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形，求符合题意的点E的坐标。

3、如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，且∠ABC=60°，若点D在直线AB上运动，点E在直线BC上运动，且以O，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求符合题意的点D的坐标。

4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°，把矩形沿直线DE翻折，使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，若点M是直线DE上一动点，点N是直线AC上一动点，且以O，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求符合题意的点N的坐标。

5、如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D．若在平面内存在点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求符合题意的点E的坐标。

6、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是直线AB上一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形（1）处理这样的问题，我们一般是转化为等腰三角形的存在性问题，那么此题我们转化为哪个等腰三角形的存在性问题( )；符合题意的点P有( )个；符合题意的点Q的坐标为( )。

7、如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是y轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形（1）处理这样的问题，我们一般是转化为等腰三角形的存在性问题，那么此题我们转化为哪个等腰三角形的存在性问题( )A.△ABQ B.△ABP C.△APQ D.△BPQ符合题意的点P有( )个；符合题意的点Q的坐标为( )。

平面直角坐标系中的平行四边形

平面直角坐标系中的平行四边形1．如图，直线y ＝－34x 经过抛物线y ＝ax2＋8ax －3的顶点M ，点P 是抛物线上的动点，点Q 是抛物线对称轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当PQ ∥OM 时，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长为d ，求d 关于x 的函数关系式；（3）当以P 、Q 、O 、M 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求P 、Q 两点的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x2＋mx ＋n 经过A （3，0）、B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ．（1）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当△ABM 的面积最大时，求△ABM 的AB 边上的高；（2）若四边形PMBO 为等腰梯形，求点P 的坐标（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y ＝x2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，－3），顶点为D （－1，－4），连接AC 、CD ．（1）求抛物线的解析式；（2）试在x 轴上找一点E ，使∠CED 最大，求点E 的坐标；（3）点Q 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点P ，使以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y ＝x2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，－3），顶点为D （－1，－4），连接AC 、CD ．（1）求抛物线的解析式；（2）试在x 轴上找一点E ，使∠CED 最大，求点E 的坐标；（3）点Q 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点P ，使以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y ＝16(x －2)(x －2t －3)（t ＞0）与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为212．（1）求抛物线的解析式；（2）设l 为过点B 且经过第一、二、四象限的一条直线，过原点O 的直线与l 交于点E ，与以AC 为直径的圆交于点D ，若△OAD ∽△OEB ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q 为直线l 上的动点，在坐标平面内是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、C 四点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线y ＝12x2－mx ＋2m －7 2．（1）试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x ＝3时，抛物线的顶点为点C ，直线y ＝x －1与抛物线交于A 、B 两点，并与它的对称轴交于点D ． ①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； ②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．7．如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3，0），顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 的坐标为（1，－2），点M 是抛物线上一点（D 点除外），且△MOE 的面积与△DOE 的面积相等，求M 点坐标；（3）若点P 是抛物线的对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以点P 、Q 、A 、B 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2，与y 轴交于点C （0，－4），其中x 1，x 2是方程x2－4x －12＝0的两个根．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当△CMN 的面积最大时，求点M 的坐标；（3）点D （4，k ）在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 交x 轴于点A （－3，0），点B （1，0），交y 轴于点E （0，－3）．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行．直线y ＝－x ＋m 过点C ，交y 轴于D 点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ，求线段HG 长度的最大值；（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标．备用图10．在平面直角坐标系xO y 中，关于y 轴对称的抛物线y ＝－m －1 3x2＋(m －2)x ＋4m －7与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 是抛物线上的一点（点P 不（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得以P 、A 、B 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．12．（12分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （2，m ）在直线y ＝2x 上，在x 轴上有点B （10，0）连接AB ，直线AB 交y 轴于点C ．（1）求直线AB 解析式，并求出C 点坐标；（2）若点M 是在x 轴上方，问是否在点M ，使0，B ，M ，A 为顶点的四边形是平行四边形．若是，求出点M 坐标，若不是，试说明理由．（3）若点P 是直线AB 上一个动点，平面内存在点N ，使以O ，C ，N ，P 为顶点的四边形是菱形，请写出点N 的坐标（直接写出结果，不需要过程）．。

平面直角坐标系下平行四边形存在性问题

平面直角坐标系下平行四边形存在性问题1、如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，OA=8，OC=12，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，把矩形沿直线DE翻折，点O恰好落在AB边上的点F处，M是直线DE上的一个动点，直线DF上是否存在点N，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？求符合题意的点N的坐标。

2、如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x轴分别交于点B和点C，D 是直线AC上一动点，E是直线AB上一动点．若以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形，求符合题意的点E的坐标。

6、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是直线AB上一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？（1）处理这样的问题，我们一般是转化为等腰三角形的存在性问题，那么此题我们转化为哪个等腰三角形的存在性问题？( )；符合题意的点P有( )个；符合题意的点Q的坐标为( )。

7、如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是y轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？（1）处理这样的问题，我们一般是转化为等腰三角形的存在性问题，那么此题我们转化为哪个等腰三角形的存在性问题？( )A.△ABQ B.△ABP C.△APQ D.△BPQ符合题意的点P有( )个；符合题意的点Q的坐标为( )。

沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.3 平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题教案

平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题一、教材分析平行四边形作为特殊的四边形,它不仅在八年级的“出镜率”很高，也一直是中考试题的主角，尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高.通常借助于函数图像探究满足某些条件的平行四边形是否存在，主要考查平行四边形的判定和性质、函数解析式的确定和性质等基础知识,考查识图作图、运算求解、数学表达等能力,考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法.二、学情分析学生已经学习过平面直角坐标系、正比例函数、反比例函数、一次函数以及平行四边形和特殊的平行四边形的相关知识.他们对于以上内容的知识点掌握情况还是比较好的，绝大部分学生在解决单独一个内容的题目时还是不存在问题的.但是，当把知识点进行串联之后，学生面对此类综合应用题时，还是稍显难色.因此，我在设计本堂课的时，就想通过例题的讲解，引导学生积累解综合应用题的经验，从而提高学生解数学题目的能力.三、教学目标1．在掌握平行四边形的判定方法的基础上，能够根据题目的具体情况选择不同的判定方法，解决平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题.2．经历例题探究过程，初步理解求解平面直角坐标系中平行四边形四边形存在性问题的一般思路.3．通过坐标系中平行四边形存在性问题的学习，再次感受分类讨论思想和数形结合思想在问题中的引用，进一步提高对较为复杂的数学问题的分析、解决能力.四、教学重点平面直角坐标系中平行四边形顶点的确立五、教学难点平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题的分类六、教学过程1.例1如图，在平面直角坐标系中，A（3,0）、B（0，-3）、C（-1,0）,点M为平面直角坐标系上的一点，问：如果四边形ABCM为平行四边形，求点M的坐标.变式：如图，在平面直角坐标系中，A（3,0）、B（0，-3）、C（-1,0）,点M为平面直角坐标系上的一点，如果以A、B、C、M为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.2.例2已知y轴上一点A(0，2)，点P为第一象限内一点，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形（1）求点P的坐标；(2)在(1)的条件下，点M在直线．．AP上．在平面内是否存在点N，使以O、A、M、N为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出所有．．满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由3.总结求解平面直角坐标系中四边形存在性问题的几种常见方法以及分类讨论的思想.4.补充内容（有时间就讲）回到例1，利用平行四边形对角线互相平分这个性质，介绍中点坐标计算公式.七、作业布置1.已知一次函数113y x=+的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B．点C的坐标为(2,0).（1）点D为平面内一点，若四边形ABCD是平行四边形，求满足条件的D点坐标．（2）点D为平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的D点坐标．2.如图，在直角坐标平面内，函数（x＞0，m是不为0的常数）的图像经过A（1,4）、B（a，b），其中a＞1，过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，联结AD,DC,CB.（1）若△ABC的面积为4，求点B的坐标；（2）当A、B、C、D四点构成平行四边形时，求点B的坐标.备用图3.如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB.（1）若E是x轴的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式；（2）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由.备用图。

坐标系中的平行四边形洋葱数学

坐标系中的平行四边形洋葱数学平行四边形洋葱数学，是一种流行的数学学科，其基础是在坐标系中研究平行四边形。

在研究过程中，我们会发现这些平行四边形之间存在着一些规律，让人惊叹不已。

首先，我们来回忆一下，什么是平行四边形。

平行四边形的定义是：有一组平行的对边，同时对边长度相等的四边形。

我们可以在坐标系中画出平行四边形的图形，并用坐标表示它们。

假设在坐标系中，有一个平行四边形ABCD，其中AB平行于CD，BC平行于AD。

假设以A点为原点，我们可以把平行四边形的对角线BD 和AC的坐标表示为(x1,y1)和(x2,y2)。

那么，平行四边形的面积S如何计算呢？我们可以通过向量积来计算平行四边形的面积：S = |(x1,y1) × (x2,y2)|，其中“×”是向量积运算符号。

接下来，让我们来看看，对于两个平行四边形，它们的面积之和为何等于另外一个平行四边形的面积。

假设在坐标系中，有两个平行四边形ABCD和EFGH，其中AB平行于CD，BC平行于AD，EF平行于GH，FG平行于EH。

我们可以把这两个平行四边形拆开成如下图所示的四个小三角形：那么，这四个小三角形的面积之和为：|AD|×|EF|/2 +|AB|×|EF|/2 + |AD|×|FG|/2 + |AB|×|FG|/2。

对它们合并起来，可以得到：(|AD|+|AB|)×|EF|/2 + (|AD|+|AB|) ×|FG|/2 =(|AD|+|AB|)×(|EF|+|FG|)/2。

可见，这就是另一个平行四边形的面积。

接下来，让我们来看看，如果把平行四边形ABCD看成一个向量，那么对角线BD和AC分别是什么？我们可以得出：BD = AB + BC，AC = AD + CD。

根据向量积的性质，平行四边形的面积也可以写为|AB × AC|。

下面，我们来看看一个具体的例子。

坐标系中的平行四边形

坐标系中的平行四边形1．如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，直线y=﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，被平行四边形ABCD截得的线段EF的长度l与平移的距离m的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（）A．B．4 C．6 D．82．在如图所示的平面直角坐标系中，以A,B,C,D为顶点，构造平行四边形，则该平行四边形的顶点D的坐标为_________．3．如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，5）、（3，3），一次函数y=kx+b 的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b的关系式为_________．4．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y=ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．5．如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．x y CQ DB A O M N6．如图所示，已知点A （3，0），点B 坐标为（0，1），动点M 是y 轴正半轴上B 点上方的点，动点N 在直线x=3上且位于点A 的上方，过点B 作AB 的垂线，交直线x=3于点D ，交直线MN 于点Q 连接AQ ，取AQ 的中点为C ．当点Q 在射线BD 上时，若以点B ，C ，N ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．7．如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根，且OA ＞OB ．（1）则点C 的坐标是 _________ ，点D 的坐标是 _________ ；（2）若将此平行四边形ABCD 沿x 轴正方向向右平移3个单位，沿y 轴正方向向上平移2个单位，则点C 的坐标是 _________ ，点D 的坐标是 _________ ；（3）若将平行四边形ABCD 平移到第一象限后，点B 的坐标是（a ，b ），则点C 的坐标是 _________ ，点D 的坐标是 _________ ；（4）若点M 在平面直角坐标系内，则在上图的直线AB 上，并且在第一、第二象限内是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．2014年4月窗户的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，直线y=﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，被平行四边形ABCD截得的线段EF的长度l与平移的距离m的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（）A．B．4C．6D．8考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB=8﹣4=4，当直线经过D点，设交AB与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M．利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．解答：解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB=8﹣4=4，当直线经过D点，设交AB与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M．∵y=﹣x与x轴形成的角是45°，又∵AB∥x轴，∴∠DNM=45°，∴DM=DN•sin45°=2×=2，则平行四边形的面积是：AB•DM=4×2=8．故选D．点评：本题考查了函数的图象，根据图象理解AB的长度，正确求得平行四边形的高是关键．二．填空题（共2小题）考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．分析：由图可求得点A，B，C的坐标，又由平行四边形的性质，即可求得该平行四边形另一个顶点D的坐标．解答：解：∵点A（0，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），∴BC=4，∴AD=4，∴该平行四边形另一个顶点D的坐标为（4，2）或（﹣4，2）．故答案为：（4，2），（﹣4，2）．点评：此题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．（2013•江宁区二模）如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，5）、（3，3），一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b的关系式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2或y=﹣2x+8．考点：一次函数综合题．专题：综合题．分析：如图所示，分三种情况考虑：（i）当直线MN与x轴、y轴交于N（2，0）、M（0，2），此时MN=AB=2，且直线MN与直线AB斜率相同，即两直线平行，可得出此时AMNB 为平行四边形，满足题意，求出此时直线MN的方程；（ii）当直线与x轴，y轴分别交于N′、M′，此时M′N′=AB=2，且直线M′N′与直线AB斜率相同，即两直线平行，可求出此时直线方程即可．解答：解：如图所示：分三种情况考虑：（i）当直线MN与x轴、y轴交于N（2，0）、M（0，2），此时MN=AB=2，且直线MN与直线AB斜率相同，都为﹣1，即两直线平行，∴AMNB为平行四边形，将M、N两点代入y=kx+b中得：，解得：k=﹣1，b=2，此时直线MN的方程为y=﹣x+2；（ii）当直线与x轴，y轴分别交于N′（﹣2，0）、M′（0，﹣2），此时M′N′=AB=2，且直线M′N′与直线AB斜率相同，都为﹣1，即两直线平行，∴AN′M′B为平行四边形，将M′、N′两点坐标代入y=kx+b中得：，解得：k=﹣1，b=﹣2，此时直线的方程为y=﹣x﹣2；（iii）直线与x轴，y轴分别交于N′′、M′′，直线M′′N′′与直线AB交于C点，若C为M′′N′′与AB中点，四边形为平行四边形，此时C坐标为（2，4），M′′（0，8），N′′（4，0），将M′′、N′′两点坐标代入y=kx+b得：，解得：k=﹣2，b=8，此时直线方程为y=﹣2x+8，综上，一次函数y=kx+b解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2或y=﹣2x+8．故答案为：y=﹣x+2或y=﹣x﹣2或y=﹣2x+8点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，两点间的距离公式，直线的斜率，平行四边形的判定，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，利用了数形结合与分类讨论的思想，做题时注意考虑问题要全面，不用漏解．三．解答题（共4小题）4．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y=ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．专题：计算题．分析：连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x 轴于点F，由直线将平行四边形分成面积相等的两部分，得到此直线过平行四边形对角线的交点M，接下来求M的坐标，由平行四边形的对角线互相平分，得到M为AC的中点，再由ME与CF都与x轴垂直，得到ME与CF平行，可得出两对同位角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得三角形AME与三角形ACF相似，由M为AC的中点得到相似三角形的相似比为1：2，可得E为AF的中点，由C的坐标得到AF与CF的长，又ME为三角形ACF的中位线，根据中位线定理得到ME为CF的一半，求出ME的长，由AE为AF的一半，求出AE的长，确定出M的坐标，把M的坐标代入直线方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x 轴于点F，∵C（10，4），∴AF=10，CF=4，…（2分）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AM=CM，即=，∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，∴∠MEA=∠CFA=90°，∴ME∥CF，∴∠AME=∠ACF，∠AEM=∠AFC，∴△AME∽△ACF，∴==，即E为AF的中点，∴ME为△AFC的中位线，…（4分）∴AE=AF=5，ME=CF=2，∴M（5，2），…（6分）∵直线y=ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y=ax﹣2a﹣1经过点M，…（8分）将M（5，2）代入y=ax﹣2a﹣1得：a=1．…（9分）点评：此题属于一次函数的综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形中位线定理，其中根据题意得出直线过平行四边形的中心M是解本题的关键．5．如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．分析：设P（x，0），Q（a，a），再分AB是平形四边形的边与对角戏两种情况进行讨论即可．解答：解：如1，∵P是x轴上一动点，点Q在直线y=x上，∴设P（x，0），Q（a，a），当AB是平形四边形的边时，∵AB=3﹣1=2，∴PQ=AB=2，∴a=±2，∴P1（﹣2，0），Q1（﹣2，﹣2）或P2（2，0），Q2（2，2）；如2，当AB是平形四边形的对角线时，BQ=AP，PB=AQ，即a2+（a﹣2）2=x2+32，即2a2﹣4a=x2+5①，x2+4=a2+（3﹣a）2，即2a2﹣6a=x2﹣5②，①﹣②得，a=5，把a=5代入①得，30=x2+5，解得x=±5，∴P3（﹣5，0），Q3（5，5）或P4（5，0），Q4（5，5）（舍去）．点评：本题考查了一次函数的性质，与四边形结合，使得题目难度较大，数形结合与分类讨论思想的应用，使得题目妙趣横生．6．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）则点C的坐标是（3，0），点D的坐标是（6，4）；（2）若将此平行四边形ABCD沿x轴正方向向右平移3个单位，沿y轴正方向向上平移2个单位，则点C的坐标是（6，2），点D的坐标是（9，6）；（3）若将平行四边形ABCD平移到第一象限后，点B的坐标是（a，b），则点C的坐标是（a+6，b），点D的坐标是（a+9，b+4）；（4）若点M在平面直角坐标系内，则在上图的直线AB上，并且在第一、第二象限内是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：平行四边形的性质；解一元二次方程-因式分解法；菱形的性质；坐标与图形变化-平移．分析：（1）根据解一元二次方程即可求得A点的坐标，即可求得D点的纵坐标，根据AD的长即可求C的坐标，即可解题；（2）根据平移的性质可直接写出平移后的坐标；（2）由点B的坐标求出平移的规律，然后直接写出平移后的坐标即可；（4）假设存在这样的F点，根据题意求出F点的坐标，看其是否符合题意即可．解答：解：（1）∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣4）=0，且OA＞OB，∴OA=4，OB=3，∴A点坐标为（0，4），B点的坐标为（﹣3，0），D点坐标为（6，4），∵BC=AD=6，∴OC=BC﹣OB=3，∴C点坐标为（3，0）．（2）若将此平行四边形ABCD沿x轴正方向向右平移3个单位，沿y轴正方向向上平移2个单位，则点C的坐标是（6，2），点D的坐标是（9，6）；（3）若将平行四边形ABCD平移到第一象限后，点B的坐标是（a，b），则平移规律为在原来坐标的基础上，横坐标加上a+3，纵坐标加上b，∴点C的坐标是（a+6，b），点D的坐标是（a+9，b+4）．（4）存在这样的F点，其中F点的坐标为：F（3，8），F．故答案为：（1）C（3，0）D（6，4），（2）C（6，2），D（9，6），（3）C（a+6，b）D（a+9，b+4）．点评：本题考查了平行四边形和菱形的性质，同时考查了坐标与图形变化中的平移问题，难度一般，答题时注意看清题意．7．（2013•义乌市）如图1所示，已知y=（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，求此时P点的坐标；（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出△PAB的面积；（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后证明△ABQ≌△ANQ，进而求出∠BAO=30°，由S四边形BQNC=2求出OA=3，于是P点坐标求出；（3）分两类进行讨论，当点Q在线段BD上，根据题干条件求出AQ的长，进而求出四边形的周长，当点Q在线段BD的延长线上，依然根据题干条件求出AQ的长，再进一步求出四边形的周长．解答：解：（1）S△PAB=S△PAO=xy=×6=3；（2）如图1，∵四边形BQNC是菱形，∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，∴BC=CQ=AQ，∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，在△ABQ和△ANQ中，，∴△ABQ≌△ANQ，∴∠BAQ=∠NAQ=30°，∴∠BAO=30°，∵S四边形BQNC=2，∴BQ=2，∴AB=BQ=2，又∵P点在反比例函数y=的图象上，∴P点坐标为（3，2）；（3）∵OB=1，OA=3，∴AB=，∵△AOB∽△DBA，∴=，∴BD=3，①如图2，当点Q在线段BD上，∵AB⊥BD，C为AQ的中点，∴BC=AQ，∵四边形BQNC是平行四边形，∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，∴==，∴BQ=CN=BD=，∴AQ=2，∴C四边形BQNC=2+2；②如图3，当点Q在射线BD的延长线上，∵AB⊥BD，C为AQ的中点，∴BC=CQ=AQ，∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，∴==，∴BQ=3BD=9，∴AQ===2，∴C四边形BNQC=2AQ=4．点评：本题主要考查反比例函数综合题的知识，此题涉及的知识有全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质以及菱形等知识，综合性较强，有一定的难度．。

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