平移变换及其应用

学生毕业论文

（ 2012届）

韩山师范学院教务处制

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摘要：本文首先给出了初等几何的基本变换之一——平移变换的定义，接着阐述了平移变换相关定理的证明，平移变换相关公式的介绍，然后通

过典型例题，探讨平移变换在中学数学解题中的重要作用。

关键词：平移变换；应用；证明；图象

Abstract：This paper presents translational transformation, which is one of the basic elementary geometry transformations. Firstly, the paper describes the definition of translational transformation, and then gives the relevant proof of the theorems of

translational transformation. What’s more,it introduces the related transformation formula of translational transformation. Through the typical examples, it emphasizes the important applications of translational transformation in the middle school mathematics.

Keywords: translational transformation; applications; proof; image

目录

1 平移变换及相关概念 (1)

1.1 平移变换的定义 (1)

1.2 平移变换的相关定理及证明 (1)

2 平移变换的相关公式 (3)

2.1 点的平移变换公式 (3)

2.2 一次函数的平移变换公式 (3)

2.3 二次函数的平移变换公式 (4)

2.4 三角函数的平移变换公式 (4)

3 平移变换的应用 (5)

3.1 证明几何中的不等问题 (6)

3.2 证明几何中的相等问题 (7)

3.3 求异面直线的夹角 (8)

3.4 求二面角 (9)

3.5 求线面角 (9)

3.6 三角函数图象的平移变换 (10)

3.7 二次函数图象的平移变换 (12)

4 结束语 (13)

参考文献 (14)

致谢 (15)

平移变换及其应用

1平移变换及相关概念[1]

1.1 平移变换的定义

设ν是平面π上的一个固定向量。如果平面π的一个变换，使得对于平面π上的任意一点A 与其像点A ＇之间，恒有A A '=ν，则这个变换称为平面π的一个平移变换。

简称平移，记作T （ν）。

其中向量ν称为平移向量；向量ν的方向称为平移方向；向量ν的模 | ν | 称为平移距离（图1）。 A ＇

ν

A

图1

通俗地讲，将平面上的所有点都按固定方向移动固定距离的变换称为平移变换。

如果平移变换的平移向量ν=0，对平面π上任意一点A ，设A −−→−)0(T A ＇

，则有A A '=0，所以A ＇=A 。由此可知，T （0）=I 是恒等变换。这也说明恒等变换是平移变换，其平移距离为零。因零向量没有方向，所以，恒等变换作为平移变换来说，也没有平移方向。 由平移变换的定义可知，平面上的一个向量确定一个平移变换；相等的向量确定同一个平移变换；零向量所确定的平移变换是恒等变换。 1.2 平移变换的相关定理及证明

定理1.2.1 平面π的一个变换是平移变换的充分必要条件是：对平面π上的任意两点A 、

B ，当A 、B −→−f

A ＇、

B ＇时，恒有AB B A =''。

证明：设f=T(ν)是平面π的一个平移变换，对平面π上的任意两点A 、B ，设

B B A A v T v T '−−→−'−−→−)

()

(,，则有v B B A A ='='，于是AB

B B B A A A B A B A ='-'='-'=''

反之，在平面π上任取一点B ，设当B B f

'−→−

，令v B B ='，则ν是平面π的一个固定向量。对平面π上任意一点A ，当A A f

'−→−

时，因AB B A =''，所以 v B A AB B A B A B A A A ='=-'=''-'='，

由平移变换的定义即知f=T(ν)是平面π的一个平移变换。 定理1.2.2 平移变换是真正合同变换。

证明：由定理1.2.1即知平移变换是一个合同变换。又对平移变换的任意两个对应三角形△ABC 与△C B A ''',由于定理2.1，

AB B A =''，AC C A =''（图2）

，所以 ∠C A B '''=∠BAC 。因而△ABC 与△C B A '''是同向的， 故平移变换是真正合同变换由于平移变换是合同变换，因而平移变换 图2

具有合同变换的一切不变性质和不变量。

由定理1.2.1与定理1.2.2即知，平移变换是可逆的。

定理1.2.3 两个平移变换之积仍是一个平移变换，且积的平移向量等于两个因子的平移向量之和。

证明：设T (ν1)与T(ν2)是平面π的任意两个平移变换，对平面π上任意一点A ，设

A A A v T v T '

'−−→−'−−→−)

()(2

1，则A A v T v T ''−−−→−)

()(2

1

，且21,v A A v A A ='''='，于是

21v v A A A A A A +='''+'=''。由平移变换的定义即知T(ν2)T(ν1)=T(ν

1

+ ν2)。由向量

加法的可交换性可知，任意两个平移变换关于变换的乘法是可交换的，即有T(ν1)T(ν

2

)=T(ν2)T(ν1)。

定理 1.2.4 平移变换的逆变换仍是一个平移变换，且逆变换的平移向量等于原平移向量的负向量。

证明：设T(ν)是平面π的一个平移变换，由定理1.2.2知， T(—ν)T(ν)=T(ν—ν)=T(0)=I 为恒等变换。故[T(ν)]-1=T(ν). 平移变换T(ν)的逆变换通常记作T -1(ν),即T -1(ν)= [T(ν)]-1

由定理1.2.2与定理1.2.3知，平面π上的所有平移变换构成的集合作成一个变换群（且是可交换的——元素的乘积满足交换律），这个群称为平移群。由定理1.2.1知，平移群是运动群的一个子群。

定理 1.2.5 在平移变换下，两对应直线平行或重合；两对应线段平行且相等或共线且相等。