“平移”重点知识解密
小学平移重要知识点总结
小学平移重要知识点总结一、平移的定义平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一定的距离，但是其形状和大小保持不变。
平移可以想象成用手抓住一个物体，然后向某一个方向移动一段距离，最后放下来，这样整个物体就完成了一次平移。
二、平移的性质1.平移是用向量来描述的。
例如，一个物体向右平移3个单位，我们可以用向量（3，0）来表示这次平移的方向和距离。
2.平移不改变原有图形的大小和形状。
无论一个物体是向左、向右、向上或向下平移，只要平移的距离是一样的，那么平移后的图形和原来的图形是完全相同的。
3.平移可以叠加。
这意味着如果一个物体先向右平移3个单位，然后再向上平移2个单位，那么最终的平移效果就是向右平移3个单位和向上平移2个单位的叠加。
这点对于以后学习向量和矩阵运算会有帮助。
三、平移的识别在现实生活中，我们可以很容易地发现一些平移的现象。
比如，公交车在路上行驶、足球场上的运动员在比赛中移动、书本在桌子上的位置变化等。
学生可以通过这些实际例子来学习和理解平移的概念。
四、平移的操作1.向左平移：物体在平面上的x坐标减少了，例：原坐标（3，4）向左平移3个单位后的新坐标为（0，4）。
2.向右平移：物体在平面上的x坐标增加了，例：原坐标（3，4）向右平移2个单位后的新坐标为（5，4）。
3.向上平移：物体在平面上的y坐标增加了，例：原坐标（3，4）向上平移2个单位后的新坐标为（3，6）。
4.向下平移：物体在平面上的y坐标减少了，例：原坐标（3，4）向下平移4个单位后的新坐标为（3，0）。
五、平移的描述平移可以用文字或者向量来描述。
文字描述如“向右平移3个单位”，“向下平移4个单位”等；向量描述如（3，0），（0，-4）等。
六、平移的练习1.基本练习：给定一个图形，让学生用手把这个图形在平面上平移。
2.坐标练习：给定图形的坐标，让学生进行平移操作，然后计算平移后的新坐标。
3.多步平移：给定一个或多个平移向量，让学生进行多步平移操作，最终找到平移后的位置。
数学平移拓展知识点总结
数学平移拓展知识点总结
一、平移的定义
平移是指把一个几何图形的每一个点都按照相同的向量进行移动，移动前后保持图形的大小、形状和方向不变。
平移是一种向量运算，用来描述几何图形在空间中的移动。
二、平移的性质
1. 平移不改变图形的大小和形状；
2. 平移不改变图形的内部结构；
3. 平移不改变图形内部的相对位置关系；
4. 平移保持图形的方向不变。
三、平移矢量
平移矢量是描述平移向量的数学量。
平移矢量是一个有方向和大小的矢量，它描述了平移
方向和平移的距离。
平移矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示平移的大小，箭头的方向
表示平移的方向。
四、平移矩阵
平移矩阵是描述平移变换的数学工具。
平移矩阵是一个二维数组，表示了平移向量的坐标。
平移矩阵可以用来描述平移变换的效果，也可以用来进行平移变换的运算。
五、平移变换的应用
1. 平移变换在计算机图形学中有广泛的应用，可以用来描述图形的移动、动画和变换效果；
2. 平移变换在物理学中也有很多应用，可以描述物体的运动、位移和速度。
总结：数学平移是一种非常基本和重要的几何变换，它可以用来描述几何图形的移动和变换。
平移的性质、平移矢量、平移矩阵和应用都是数学中非常重要的知识点，可以帮助我
们理解和应用数学平移的概念和原理。
希望本文对大家了解数学平移有所帮助。
图形的平移、旋转与轴对称单元知识点总结
二、图形的平移、旋转与轴对称1.图形的平移●平移的定义：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定距离的图形运动。
●平移两要素：平移的方向、平移的距离●平移前的图形：画虚线；箭头：表示平移的方向；平移后的图形：画实线。
●注意：平移几格不是原图形与平移后图形之间的格数，而是指图形的对应点之间的格数。
●关键点：一般是图形的各顶点或线段的交点。
●注意：平移前后，图形的大小、形状、方向都不变，只是位置变了。
●画平移后图形的方法：①找关键点②定平移方向、距离③找对应点④依次连线。
2.图形的旋转●旋转的定义：旋转是指在平面内，将某个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度的图形运动。
这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。
●旋转三要素①旋转中心：点/轴②旋转方向：顺时针方向/逆时针方向③旋转角度●怎样描述图形的旋转：将某图形绕某点沿某时针方向旋转某度到某位置。
●画旋转后图形的方法：①找旋转中心②找准关键线段③旋转关键线段④画出旋转后的图形●旋转中心：一般是两个图形的公共点●关键线段：过旋转中心的线段。
为了保证旋转角度，一般选与方格纸重合的线段作为关键线段。
●注意：旋转前后，图形的大小、形状都不发生改变，但位置和方向一般会发生变化。
3.轴对称图形●定义：轴对称图形沿一条直线对折后，两部分能完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴（对称轴画虚线，画超出图形）。
●轴对称图形至少有一条对称轴。
●轴对称图形中每一组对称点到对称轴的距离相等。
●轴对称图形中对称点的连线与对称轴互相垂直。
●轴对称图形和对称轴的数量：①正方形（4条对称轴）②长方形（2条对称轴）③等腰三角形（1条对称轴）④等边三角形也叫正三角形（3条对称轴）⑤菱形（2条对称轴）⑥圆形（无数条对称轴）⑦等腰梯形（1条对称轴）⑧五角星（5条对称轴）⑨正五边形（5条对称轴）●生活中的轴对称图形或轴对称现象：京剧脸谱、剪纸、国徽、天坛、北京故宫、凯旋门、蝴蝶、空调、人的五官和身体等●画对称轴的方法：①找一组对应点②画对应点间线段的中垂线③画虚线●画轴对称图形另一半的方法：①找关键点②定对称点③依次连线（一般画虚线）4.设计图案●利用平移设计图案的方法：①选好基本图形②确定平移的方向③确定平移的距离④进行多次平移●利用旋转设计图案的方法：①选和基本图形②确定旋转方向和角度③确定旋转中心④依次画出每次旋转后的图形●利用轴对称设计图案的方法：①选好基本图形②确定对称轴③画出基本图形的另一半5.探索规律●观察图形变化时，先确定变化方式（平移、旋转或轴对称），再确定位置变化的规律。
平移知识点总结
平移知识点总结平移是几何学中的重要概念，它在数学和物理学等领域中都具有广泛的应用。
平移是指在平面上或者空间中，将一个点或者一组点沿着同一方向移动相同的距离。
它能够改变图形的位置但不改变它的形状和方向。
本文将对平移的基本概念、性质和应用进行总结。
一、平移的基本概念平移是通过指定平移向量来实现的，平移向量是一个有方向和大小的矢量，用来表示平移的方向和平移的距离。
在平面上，平移向量通常用一对有序数对 (a, b) 表示；在空间中，平移向量通常用一组有序数对 (a, b, c) 表示。
平移向量的方向可以用箭头标记，大小可以用距离表示。
二、平移的性质1. 平移不改变图形的形状和大小，只改变其位置。
2. 平移是可逆的，即可以通过平移反向操作将图形恢复到原来的位置。
3. 平移保持图形的所有内角和边长不变。
4. 平移保持图形的对称性不变，如果一个图形有对称轴，则其平移后的图形也会保留相同的对称轴。
5. 平移是闭合的，即平移一个图形后得到的仍然是一个图形。
三、平移的应用1. 几何推理和证明：在几何推理和证明中，平移常常被用来建立等式、证明定理和推导出一些性质。
2. 图形的变换：平移可以用来改变图形的位置，比如地图上的标注、设计图纸中的图形摆放等。
3. 基础数学问题解法：在解决一些基础数学问题时，平移可以被用来简化问题的计算过程，如几何图形的求面积、判断图形是否相似等。
4. 物理学应用：平移是物体移动的基本方式之一，如物体在平面上的平移、天体运行轨迹等。
5. 计算机图形学：在计算机图形学中，平移是实现图形变换和动画效果的重要手段之一。
结论平移作为几何学中的基本概念之一，具有广泛的应用。
通过指定平移向量，可以实现图形在平面上或空间中的位置变换，而不改变其形状和方向。
平移具有性质稳定、可逆、保持内角和边长不变等特点，并且在几何推理、图形变换、基础数学问题解法、物理学和计算机图形学等领域中都有重要应用。
了解平移的基本概念和性质，有助于我们更好地理解和应用这一概念。
初中数学知识点精讲精析 平移知识讲解
5·4 平移
1. 平移的性质
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.
②新图形中的每一个点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行且相等.
2.平移的概念
一个图形沿着某个方向．．移动一定的距离．．
,图形的这种移动,叫做平移变换,简称平移. 注意：图形平移的方向,不一定是水平的，也不一定是竖直的。
平移在我们日常生活中是很常见的.利用平移可以制作出很多美丽的图案
例1:如图(4)-1,平移三角形ABC,使点A 移动到点A′.画出平移后的三角形A′B′C′.
分析:“点A 移到点A′”这句话告诉我们图形平移的方向是A 到A′的方向， 平移的距离为线段AA′的长，根据这两个要素就可以确定点B 、C 的对应点B′、C′，从而画出△A′B′C′.
(4)-1 (4)-2
解:如图(4)-2,连接AA′,分别过B 、C 作AA′的平行线L 、L′,在L 上截取BB ′=AA′,在L′上截取CC′=AA′,连接A′C′,A′B′,B′C′.则△A′B′C ′为所求画的三角形.
例2. 下图中，图形(2)可以通过图形(1)平移得到吗？ A 'C B
A
C '
B 'A '
C
B
A
（1）（2）（1）（2）
（1）（2）（1）（2）
答：都不可以。
例3．在下面的六幅图案中，（2）（3）（4）（5）（6）中的哪个图案可以通过平移图案（1）得到？
答：图案（3）。
平移知识点总结
平移知识点总结平移是中学数学中一个非常重要的概念，它是几何变换中的一种。
在数学课堂上，学生需要掌握平移的基本概念、性质、方法和应用等知识点，以便能够解决各种几何问题。
在本文中，我们将对平移的相关知识进行总结，并分析其重要性和实际应用。
一、平移的基本概念平移是指将一个图形沿着直线方向上移动一定的距离，使其保持形状、大小和方向不变。
平移是一种基本的几何变换，也是一种基本的运动变换。
平移的基本概念包括：平移距离、平移向量、平移向量的表示方法、平移变换的性质等。
1. 平移距离平移距离指的是图形沿着直线方向上移动的距离，通常用正数表示。
如果平移距离为正数，则表示将图形向右移动；如果平移距离为负数，则表示将图形向左移动。
2. 平移向量平移向量是指将一个向量作为平移的方向和距离，从而确定平移的方式。
平移向量的表达式是一个二维向量，其中第一项表示水平方向上的平移距离，第二项表示垂直方向上的平移距离。
如果平移向量的二维向量表示为(a,b)，则表示将图形向右移动a个单位，向上移动b个单位。
3. 平移向量的表示方法平移向量可以通过坐标系中两个点的坐标差来表示。
假设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)分别表示图形的初始位置和平移后的位置，则平移向量的坐标表示为(x2-x1,y2-y1)。
4. 平移变换的性质平移变换具有以下性质：(1) 保形性：平移变换不改变图形的形状。
(2) 保角性：平移变换不改变图形的内角度数。
(3) 保距性：平移变换保持图形上任何两点之间的距离不变。
(4) 可逆性：平移变换是可逆的，即可以通过对称平移变回原来的位置。
二、平移的方法和应用平移变换的方法和应用非常广泛，可用于解决各种几何问题，如图形的位置关系、重心的位置、对称点的位置、垂足的位置等。
1. 平移的方法平移的方法有以下两种：(1) 点法平移法：通过将平移向量作为一个点来确定图形的位置。
(2) 向量法平移法：通过将平移向量作为向量来确定图形的位置。
小学平移知识点总结
小学平移知识点总结1. 平移的基本概念平移是指将图形沿着给定的方向和距离移动，移动后图形保持原来的形状和大小，并且所有点都按照相同的方向和距离进行移动。
在平移中，没有旋转、翻转或者拉伸等改变图形形状的操作。
2. 平移的特点平移的特点主要包括以下几个方面：（1）移动距离相等：平移中，所有的点按照相同的距离进行移动，这样才能保持图形的形状和大小不变。
（2）移动方向相同：平移中，所有的点按照相同的方向进行移动，这样才能保持图形的形状和大小不变。
（3）保持图形不变：平移后的图形与原图形相同，只是位置发生了改变，但形状和大小没有发生变化。
3. 平移的规则平移的规则主要包括以下几点：（1）确定平移向量：平移向量包括方向和距离两个方面，要根据题目给定的条件来确定平移向量。
（2）按照平移向量移动：在确定了平移向量之后，要按照给定的方向和距离将图形上的每个点进行移动。
4. 平移的方法平移的方法主要包括以下几个步骤：（1）确定原图形和平移向量：首先要明确原图形和给定的平移向量。
（2）按照平移向量移动：按照给定的方向和距离将图形上的每个点进行移动。
（3）绘制平移后的图形：根据移动后的点的位置绘制平移后的图形。
5. 平移的实际应用平移在生活中有着广泛的应用，例如地图的绘制、建筑设计、游戏设计等都会涉及到平移的操作。
通过学习平移，同学们可以更好地理解和应用这些知识，在实际生活中解决问题或者进行创作时能够更加得心应手。
通过以上对小学平移知识点的总结，相信同学们对平移有了更加深入的了解。
在学习平移的过程中，同学们要认真理解平移的基本概念、特点、规则和方法，多进行练习，掌握平移的基本技巧，提高自己的数学能力。
同时，要善于应用所学的知识，发现生活中的平移现象，加深对平移的理解和运用。
希望同学们能够在学习中取得更好的成绩，为将来的学习打下坚实的基础。
数学函数平移知识点总结
数学函数平移知识点总结一、平移的基本概念在数学中，平移是指将图形沿着给定的方向和距离移动的操作。
在函数中，平移也是将函数的图像沿着给定的方向和距离移动，而函数本身的定义不会发生改变。
平移主要可以分为水平平移和垂直平移两种类型。
对于函数y=f(x)，其水平平移和垂直平移分别可以表示为：1.水平平移：y=f(x-h)，其中h为水平方向上的平移距离，当h>0时向右平移，h<0时向左平移。
2.垂直平移：y=f(x)+k，其中k为垂直方向上的平移距离，当k>0时向上平移，k<0时向下平移。
二、平移对函数图像的影响1. 水平平移：对于函数y=f(x-h)，当h>0时，函数图像沿着x轴正方向平移h个单位；当h<0时，函数图像沿着x轴负方向平移|h|个单位。
2. 垂直平移：对于函数y=f(x)+k，当k>0时，函数图像沿着y轴正方向平移k个单位；当k<0时，函数图像沿着y轴负方向平移|k|个单位。
三、平移后函数的性质1. 平移后函数的零点：对于函数y=f(x-h)，零点由f(x-h)=0得到，即x=h是f(x-h)的零点。
同样，对于函数y=f(x)+k，零点由f(x)+k=0得到，即y=-k是f(x)+k的零点。
2. 平移后函数的图像：平移不改变函数的性质，只是改变了函数的位置。
平移后的函数图像与原函数图像相比，形状不变，只是在坐标平面上左右或上下移动了一定的距离。
3. 平移后函数的定义域和值域：平移不改变函数的定义域和值域，只是改变了函数图像的位置。
所以对于平移后的函数，其定义域和值域与原函数保持一致。
四、平移的应用1. 几何形状的平移：在几何学中，平移是指将图形沿着给定的方向和距离移动。
平移通常用于描述物体的位置变化，比如在坐标平面上的图形移动等。
2. 坐标变换：在数学中，坐标变换通常会用到平移的概念。
对于给定的点(x,y)，将其平移(h,k)个单位后得到的新坐标为(x+h,y+k)。
“平移”重点知识解密
“平移”重点知识解密江苏 刘顿同学们，当你站在电梯上，除除上升时，你有什么感觉，当物体放在输送带上运动时，你又观察到了什么？事实上，这就是我们要讨论的平移问题.可见图形的平移是研究简单几何图形的基础知识，在日常生活中有着广泛地运用，因此，同学们一定要掌握好有关平移的知识.一、平移的概念在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称做为平移. 如图1，△ABC 沿着直线MN 平移到△A ′B ′C ′，点A 与点A ′叫做对应点，点B 、C 与点B ′、C ′也分别是对应点；线段AB 与线段A ′B ′是对应线段，线段BC 、CA 与线段B ′C ′、C ′A ′也是对应线段；∠A 与∠A ′是对应角，∠B 、∠C 与∠B ′、∠C ′也分别是对应角.△ABC 平移的方向也可以看成是由点A （或B 、C ）到点A ′（或B ′、C ′）的方向，平移的距离就是线段AA ′（或BB ′、CC ′）的长度.由平移的概念我们知道平移后的图形的形状和大小都不发生改变.同时，我们还应注意：（1）平移是一种运动形式，是图形变换的一种特殊情况；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据，二者缺一不可；（3）图形的平移是指图形的整体平移，即经过平移后的图形与原来的图形相比只是位置发生了变化，其余什么都没有改变.二、平移的基本特征平移的基本特征是：经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.这一特征告诉我们：（1）它刻画了图形在平移运动中一部分的不变性，而没有表达不改变图形的形状和大小的全部含义；（2）对应点所连的线段平行且相等，这个基本特性既可作平移图形之间的性质，又可作为画平移图形的依据；（3）C C ′图2 图1 B′′ A N M图形平移时，它上面的每一点都作了相应的平移.如图2，△ABC 平移到△A ′B ′C ′的位置，则有A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，C ′A ′∥CA ；A ′B ′＝AB ，B ′C ′＝BC ，C ′A ′＝CA ；∠A ′＝∠A ，∠B ′＝∠B ，∠C ′＝∠C ；事实上，我们还不难发现：AA ′∥BB′∥CC ′且AA ′＝BB ′＝CC ′.由此我们平时在观察平移图形时，应注意：一要找到每一对对对应点；二要由对应点确定对应线段；三要记住平移的性质：对应线段平行且相等，对应角相等，平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的图形全等.三、平移知识应用前面说过，平移的知识在我们的日常生活中有着极为广泛地应用.为了说明这一点请看下面两例：例1 如图3，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？简析 我们可以利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到BC 上，竖直方向的线段沿水平方向平移到AC 上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角长度，所以地毯的总长度至少为5.6米+2.8米＝8.4米，此总面积为8.4米×3米＝25.2平方米，所以购买地毯至少需要25.8平方米×40元/平方米＝1018元.说明 这道若要通过逐步计算，你会觉得比较复杂的，而运用了平移的知识，则问题就显得这么简单，因此，同学们在学习平移知识时一定要用心去体会.例2 如图4，A 、B 两城市之间有一条国道，国道的宽为a ，现要在国道修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A 、B 两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据.简析 不妨设国道的两边分别为l 1、l 2，桥为MN ，那么从A 到B 要走的路线就是A →M →N →B 了，如图8，而MN ＝a ＝定值，于是要使路径最短，只要AM +BN 最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，若设想先过桥，即平移MN 于AC ，从C 到B 应是余下的路程，连结BC 的线段即为最短的，此时不难说明线段BC 与国道边缘l 2的交点N 就是修桥的位置.B图3 图4 B l 1 l 2说明本题是设计建桥的位置，却隐含了平移的知识，体现了数学知识与社会生活的紧密联系，既能使我们在具体情况中分析、解决问题，又很好地培养和锻炼了同学们的发散思维能力.“平移”考题典型例析山东王芳把一个图形整体沿某一方向移动，得到一个新的图形，图形的这种移动，叫平移.平移变换是中考的一个热点.与平移有关的题型主要有以下几种情况.一、考查平移的特征平移具有以下特征：（1）平移后得到的新图形与原图形的形状和大小完全相同；（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等.例1（2006年湖南娄底）下列A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（）（1）A．B．C．D．分析：要判断一个所给的四个选项中哪一组是平移变换，则需要根据所给图形的特征以及平移的特征进行分析.根据平移前后和平移后的图形的大小相等，形状相同，且对应点所连接的线段互相平行、相等这些特征.可以判断出符合要求的只有B.而其他三个选项都符合平移的特征..解：选B.提示：两个图形具有平移关系应满足：（1）两个图形的大小相等，形状相同；（2）对应点所连接的线段互相平行、相等.例2（2006年北京海淀）在5×5方格纸中将图1-1中的图形N平移后的位置如图1-2中所示，那么正确的平移方法是（）.(A)先向下移动1格，再向左移动1格(B)先向下移动1格，再向左移动2格(C)先向下移动2格，再向左移动1格(D)先向下移动2格，再向左移动2格图1-1 图1-2分析：本题可通过比较两个图形中的对应点A的平移情况确定图形N的平移方法，点A从图1-1变到图1-2，经过了先向下平移2格，然后再向左平移1格的过程，观察四个选项，正确的应为（C）.解：选(C).提示:本题也可以看作先向作平移1个单位,然后再向下平移2个单位得到.例3 (2006年陕西)观察如图2网格中的图形，解答下列问题：将网格中左图沿水平方向向右．．．．．．．．．平移，使点A移至点A′处，作出平移后的图形：图2分析：本题是一道和平移有关的作图问题，解决问题首先要确定平移的方向和平移的距离，从已知可知平移方向由A→A′，平移的距离为AA′的长度，即11个单位，然后确定关键点有：B、C、D、F、G、H、K，将这些关键点都向右平移11个单位，得到对应点B′、C′、D′、F′、G′、H′、K′，按原图形的顺序连接即得到平移后的图形.解：所作的图形如图2所示.提示：本题已知图形的关键点比较多，作图时要找准这些关键点.。
平移知识点
图形的平移和旋转一：知识点1．平移的定义与规律关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．（1）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．（2）简单作图平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．2．旋转的定义与规律（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转．关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．（2）旋转的规律经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（3）简单的旋转作图：旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．3、如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，求证：OE=OF。
4．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且AE=BE+FD说出AF平分∠DAE的理由。
5、如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，•以D为顶点作∠MDN=60°角，两边分别交AB、AC于M、N的三角形，连结MN，（1）、求证MN=BM+CN；（2）、试说明△AMN的周长为2．（3）、若M,N分别在AB,CA的延长线上，则（1）中结论还成立吗？如果不成立，MN,BM,CN又满足什么关系？M6、如图，正方形纸片ABCD和正方形EFDH边长都是1，点E是正方形ABCD的中心，在正方形EFGH绕着点E旋转过程中，（1）观察两个正方形的重叠部分的面积是否保持不变？（2）如果保持不变，求出它的值；否则，请简要说明理由。
平移知识点归纳总结
平移知识点归纳总结一、平移的定义平移是指在空间中保持一定方向和距离的情况下，将一个图形沿着这个方向移动一定距离的过程。
在二维空间中，平移可以用下面的方式表示：设有向量a=(a1,a2)，向量b=(b1,b2)，则a加上向量b得到向量c：c=a+b=(a1+b1,a2+b2)在三维空间中，平移可以用下面的方式表示：设有向量a=(a1,a2,a3)，向量b=(b1,b2,b3)，则a加上向量b得到向量c：c=a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)这就是平移的基本定义，即通过向量的加法实现的空间中的一种移动操作。
需要注意的是，在进行平移操作时，被平移的图形保持原来的形状和大小不变，只是位置移动了一定的距离。
二、平移的性质1. 平移是向量的加法运算：平移操作是通过向量的加法运算来实现的，即在空间中沿着一定方向移动一定距离。
这就意味着向量的平移操作满足向量的加法的性质，包括交换律、结合律和存在零元素等性质。
2. 平移保持图形的形状和大小不变：平移是一种保持图形形状和大小不变的移动操作，这是因为平移操作是将向量加上一个固定的平移向量，只是改变了位置，而没有改变图形的形状和大小。
3. 平移操作可以用矩阵表示：平移是一种线性变换，可以用矩阵表示。
在二维空间中，平移可以用下面的矩阵表示：\[\begin{bmatrix}1 & 0 & a\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]其中a和b分别表示x轴和y轴的平移向量，这样的矩阵称为二维平移矩阵。
在三维空间中，平移可以用类似的方式表示。
4. 平移操作可以逆向进行：平移操作可以逆向进行，即通过一个相反的平移向量可以将图形还原到原来的位置。
这是因为平移是线性变换，具有逆变换的性质。
5. 平移操作保持向量的相对位置不变：在平移操作中，图形中各个点的相对位置关系保持不变，只是整体移动了一定的距禿。
平移知识点总结
平移知识点总结平移是几何学中的基本概念之一，指物体在平面上保持其形状不变，只是按照一定的方向和距离移动。
在学习平移的过程中，我们需要了解一些关键的知识点，本文将对平移的相关概念、性质和应用进行总结和归纳。
一、平移的定义和性质1. 定义：平移是指将一个物体按照指定的方向和距离移动，使其保持形状和大小不变的变换。
2. 平移向量：平移向量是指从原始位置到新位置的位移矢量，用箭头表示。
平移向量的大小等于移动的距离，方向表示移动的方向。
3. 平移的性质：a. 保持长度和角度不变：平移不改变物体的长度和角度大小。
b. 保持平行关系：平移前后的物体之间的对应边互相平行。
c. 保持方向一致：平移前后的物体的相应部分之间的方向保持一致。
d. 保持形状和大小一致：平移后的物体与原始物体形状和大小完全相同。
二、平移的实际应用1. 平移在建筑和设计中的应用：在建筑和设计领域中，平移被广泛应用于平面图案的设计、建筑物的布局和规划等方面。
通过平移，可以快速复制、移动和对称排列物体，提高工作效率和设计的美感。
2. 平移在计算机图形学中的应用：在计算机图形学中，平移是实现图像的移动和变换的基本操作之一。
通过平移变换，可以实现图像的平移、缩放、旋转等操作，为图像处理和计算机生成图形提供了基础。
3. 平移在日常生活中的应用：平移不仅在学术和专业领域中有应用，也广泛存在于我们的日常生活中。
比如我们常见的搬家、改变物品位置、车辆行驶等都是平移的实际应用。
三、平移的运算规则1. 平移向量的加法：平移向量的加法满足三角形法则，即两个平移向量相加的结果等于它们的几何和的平移向量。
2. 平移的合成：将多个平移操作依次进行，等效于一个整体平移操作。
合成平移的结果可以通过将各个平移向量相加得到。
3. 平移的逆操作：平移的逆操作又称为平移的反向操作，即将物体移回原来的位置。
四、平移的应用举例1. 平行四边形的构造：通过平移操作，可以构造平行四边形。
有关平移的知识点
有关平移的知识点平移，是指将一个平面上的点、线、面沿着一个方向（向量）移动一个固定的距离，使其落在平面上的另一个位置，而位置关系不发生改变的变换。
平移的实际意义非常广泛，从图形识别到机器人控制，都需要平移的基础知识。
下面将从几个角度探讨平移相关的知识点。
一、平移的基本概念平移的基本概念是“将原图形保持大小、形状不变，整体向某一个方向移动”，也就是说，原图形可以沿任意方向移动，但是不能发生形状变化。
在平移变换中，有两个基本要素：移动的方向和移动的距离。
移动的方向由向量表示，移动的距离由标量表示。
设向量为u，标量为d，则将点P平移后得到的点P‘的表示为P'=P+u，其中u是向量，d是标量。
二、平移的性质1. 平移变换是等距变换。
平移变换是以一个向量为方向和大小进行的。
移动的方向和距离完全由移动的向量 u 所决定，这意味着平移变换的意义上不会改变图形的大小和形状。
因此，又称平移变换为等距变换。
2. 平移变换保持向量的长度和方向不变。
平移变换保持向量的长度和方向不变。
换句话说，平移变换只是移动了向量的起点和终点，而向量本身没有任何改变。
3. 平移变换保持图形的性质不变。
平移变换是保持图形的相似性和共面性不变的一种变换。
也就是说，它不改变图形的角度、线段的长度等各种性质。
三、向量与平移向量是平移中十分重要的概念。
在平面几何中，一个向量代表了一个有大小和方向的量。
我们可以把向量看作是给定平移变换的基本单位。
平移变换的实现需要向量的支持，向量可以用来表示平移的方向和距离。
四、平移的实际应用1. 图形识别在计算机视觉中，平移是一种很常见的变换。
通过对图像进行平移变换，可以实现图像的平移、旋转、缩放等操作。
在模式匹配和图像识别中，平移变换用来寻找一个有限制的匹配模型，以便于识别其形状。
2. 机器人控制机器人控制中，平移变换经常用来控制机器人的移动。
通过计算机控制机器人的平移变换，使机器人能够在空间中做出确定的动作。
平移知识点总结
平移知识点总结平移是几何学中的一种基本变换，它可以将一个图形沿着指定的方向和距离在平面上进行移动，而保持图形的形状和大小不变。
平移操作在日常生活和工作中都有广泛的应用，比如地图上的测量和标记、机器人的路径规划、图像处理等。
为了帮助大家更好地理解和掌握平移的相关知识，本文将对平移的定义、性质、公式以及实际应用进行总结和梳理。
一、平移的定义与性质平移是指将一个图形A中的所有点都沿着相同的方向和距离进行移动后得到的新图形B，移动前后的图形形状和大小保持不变。
在平移中，图形A被称为原图形，图形B被称为平移后的图形。
平移有以下几个性质：1. 平移是一种向量变换：平移可以看作是以某个向量为位移矢量，对原图形中的每一个点进行变换得到平移后的图形。
2. 平移保持图形的形状和大小不变：平移前后，图形A中的任意两点之间的距离和角度保持不变，即平移不影响图形的内部结构。
3. 平移是可逆的：对于任何一个平移变换，都存在一个反向的平移变换，即平移后再进行逆向平移，可以恢复到原来的位置。
二、平移的公式平移的向量表示公式如下：设向量OQ为移动的位移矢量，点P(x,y)为原图形中任意一点，点P'为平移后的点，则平移变换可以表示为：P' = P + OQ其中，向量P是原图形中的点P的坐标，向量P'是平移后点P'的坐标，OQ是位移向量。
三、平移的应用1. 几何图形的绘制：在平面几何中，平移常用于绘制图形，可以通过将已有的几何图形平移得到新的图形，从而构建更复杂的几何图形。
2. 地图测量与标记：在地理学和测绘学中，平移被广泛用于测量和标记地图中的各种要素，比如城市、道路、河流等。
通过平移操作，可以方便地确定两个地点之间的距离和方位角。
3. 机器人路径规划：在机器人领域，平移被用于路径规划和机器人的导航。
通过平移操作，机器人可以自主地在平面上移动，避开障碍物，找到最优路径。
4. 图像处理：在图像处理中，平移被广泛用于图像的平移和对齐。
图形运动平移知识点总结
图形运动平移知识点总结1. 平移的定义平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离移动。
在平面几何中，平移是指将某个图形沿着直线进行移动，而不改变其大小和形状。
平移可以用矢量表示，其中矢量的大小表示平移的距离，而方向表示平移的方向。
2. 平移的性质平移具有以下性质：（1）平移不改变图形的大小和形状；（2）平移保持图形的所有内部角度不变；（3）平移保持图形的所有边长不变；（4）平移保持图形的所有对角线不变；（5）平移前后图形的中点保持不变。
3. 平移的描述平移可以用坐标描述。
设有一点A(x,y)，将其平移至A'(x',y')，其平移矢量为（a,b），则有：x’ = x + ay’ = y + b4. 平移的表示平移可以用几何图形来表示。
设有一平面上的图形ABCD，将其沿着矢量（a,b）进行平移，得到图形A’B’C’D’，其中A’ = A + (a, b)，B’ = B + (a, b)，C’ = C + (a, b)，D’ = D + (a, b)。
5. 平移的计算平移的计算可以通过向量进行。
设有一图形A，将其平移矢量为（a,b），则有：A’ = A + (a,b)这里A和A’分别为平移前后的坐标，（a,b）为平移矢量。
6. 平移的应用平移在几何中有着广泛的应用，特别是在实际问题的解决中。
例如，通过平移可以进行图形的拼接、图形的对称以及图形的变换等。
此外，平移还在计算机图形学中有着重要的应用，例如在图形的变换和显示中。
7. 平移的变换平移是几何中的一种基本变换，它可以将一个图形移动到另一个位置，而不改变其大小和形状。
平移可以通过向量来描述，其中矢量的方向表示平移的方向，而大小表示平移的距离。
平移具有很多性质，包括不改变图形的大小和形状、保持图形的部分性质不变等。
平移在计算机图形学、几何变换等方面有着广泛的应用。
8. 平移的实例平移在几何中有着广泛的应用，下面是平移的一些实例。
实例1：给出一平面上的三角形ABC，将其沿着向量（3, 4）进行平移，求平移后的三角形顶点的坐标。
数学图形平移的知识点总结
数学图形平移的知识点总结数学图形平移是几何学中的一个重要概念，它是指将一个图形在平面上沿着某个方向和距离进行移动的操作。
平移操作可以改变图形的位置，但不改变其形状和大小。
平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。
在平移操作中，我们需要了解一些概念以及相关的性质和定理。
一、平移的定义和性质1. 平移的定义平移是指把一个图形完全移动到另外一个位置，使得每一个点都保持原位置和原来的距禈。
可以用向量来描述平移的过程，如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。
2. 平移的性质① 平移不改变图形的形状和大小，只改变其位置；② 平移操作是可以叠加的，即若图形A经过平移得到了图形B，若再对图形B进行一次平移，则得到的图形和直接对图形A进行平移后得到的图形是一样的；③ 平移和原图形的面积、周长、角度等性质都是一样的；④ 平移是一个刚性变换，它保持了图形的相对位置和相似关系。
二、平移的表示方法1. 向量表示法平移可以用向量来表示。
给定向量AB（a，b），将点P（x，y）平移到点P’（x+a，y+b）。
2. 坐标表示法平移也可以用坐标表示法来描述。
对于平面上的一个图形，如果将每一个顶点（x，y）移动到（x+a，y+b），那么这就是图形的平移。
三、图形的平移与原图形的关系1. 图形的位置关系在平移中，我们需要了解图形和它的平移图形之间的位置关系。
平移后的图形和原图形相对位置并没有改变，只是位置发生了平移。
2. 平移图形的坐标平移图形的坐标可以通过原图形的坐标和平移向量来计算。
如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。
3. 平移图形的面积、周长等平移不改变图形的形状和大小，平移后的图形和原图形具有相同的面积、周长和角度等性质。
四、平移的实际应用平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。
它在实际生活中有许多应用，比如地图上的标注、建筑设计、计算机图形学等方面。
平移旋转知识点总结
平移旋转知识点总结一、平移的基本概念1、平移的定义平移是指图形沿着一条直线方向移动，移动的距离和方向保持一致。
在平移过程中，图形的大小和形状都不发生变化，只是位置发生了改变。
可以将平移看作是图形的每个点都按照同一个方向和距离进行移动，从而得到了一个新的位置。
2、平移的表示平移可以用向量来表示，假设有一个向量V(u,v)，其中u和v表示平移的水平和垂直方向上的距离。
对于一个点P(x,y)，通过向量表示的平移操作可以表示为P'=(x+u, y+v)。
这表示点P经过向量V的平移操作后得到了新的点P'(x+u, y+v)。
3、平移的性质平移具有以下几个重要的性质：（1）平移是保形变换，即平移前后的图形形状相同；（2）平移不改变图形的大小；（3）平移不改变图形的角度；（4）平移保持了图形内的任意两点间的距离关系。
二、旋转的基本概念1、旋转的定义旋转是指图形以一个固定的点为中心，按照一定的角度转动。
在旋转过程中，图形的大小和形状都不发生变化，只是方向发生了改变。
可以将旋转看作是图形的每个点都按照同一个中心和角度进行转动，从而得到了一个新的方向。
2、旋转的表示旋转可以用矩阵来表示，假设有一个点P(x,y)，以原点为中心，顺时针旋转角度为θ的旋转操作可以表示为P'=(x*cosθ-y*sinθ, x*sinθ+y*cosθ)。
这表示点P经过矩阵表示的旋转操作后得到了新的点P'(x',y')。
3、旋转的性质旋转具有以下几个重要的性质：（1）旋转是保形变换，旋转前后的图形形状相同；（2）旋转不改变图形的大小；（3）旋转保持了图形内的任意两点间的距禿；（4）旋转不改变图形的中心；（5）对任意两个点A和B，它们的连线在旋转前后的夹角不变。
三、平移和旋转的混合变换在实际问题中，往往需要对图形进行平移和旋转的组合变换。
对于平移和旋转的组合变换，其实际操作可以分为两步：首先进行平移，然后进行旋转。
平移的知识点
一、 平移基本的知识点它包括（1）图形的平移（2）图形在坐标平面内的平移（3）一次函数和抛物线的平移（1）图形平移的定义：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
图形平移的性质特点：（1）平移是沿着某一直线移动的（2）平移不改变图形的形状和大小，只是位置发生改变（3）平移后的图形和原图形对应边平行且相等，对应角相等，对应点的连线平行且相等（2）图形在坐标平面内的平移上下平移，各点的纵坐标上加下减；左右平移，各点的横坐标左减右加（3）一次函数和抛物线的平移一次函数b kx y +=的平移的平移特点：（1）平移前后K 不变（2）上下平移b 上加下减，即：向上或向下平移a 各单位，则得到直线()a b kx y ±+=；左右平移则是直线与x 轴的交点的横坐标左减右加，即：先求出原直线与x 轴的交点（或其它点），再求出平移后与x 轴的交点（或其它点），再代入1b kx y +=求出1b 的值，就得到平移后的直线抛物线c bx ax y ++=2的平移特点：（1）平移前后a 不变，b 、c 发生变化 （2）抛物线的平移，也就是顶点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ac a b 44,2-2的平移，上下平移顶点的纵坐标上加下减，左右平移顶点的横坐标左减右加。
二、平移的考察点1、平移后的图形的判断及解答2、平移后点的变化3、求直线和抛物线平移后的解析式三、典型试题7、已知抛物线2ax y 向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后任过原点，对称轴和原抛物线相交，过交点和顶点分别作x 轴的平行线和y 轴垂线，如图，则阴影部分的面积是。
人教版高中数学-平移问题中的三知识点透析
平移问题中的三知识点透析一.平移问题中的三知识点解读知识点1:图形的平移设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有点按照同一方向，移动同样的长度，得到图形F ′.我们把这一过程叫做图形的平移.因此图形的平移是指坐标系中，在保持坐标轴不变的情况下，图形的整体移动.在平移变换下，图形形状及大小不变，变的仅仅是图形的位置.知识点2:平移公式P(x,y)是图形F 的任一点，平移后图形F ′上对应点为P ′(x ′,y ′),且'PP =(h,k)，则有 (1) 'OP ='OP +'PP (平移向量公式)(2) ⎩⎨⎧+=+=k y y h x x '' (平移的坐标公式),变换公式⎩⎨⎧-=-=ky y h x x ''.知识点3:利用平移公式化简函数解析式.将函数y=f(x)的图像F 按向量a(h,k)平移得到图像F ′，则F ′的函数解析式是什么呢? 设P ′(x ′,y ′)是F ′上的任意点，则在F 中对应P ′(x ′,y ′)的点P 的坐标是(x ′-h,y ′-k).由于P(x ′-h,y ′-k)在函数y=f(x)的图像上.所以它的坐标应满足：y ′-k=f(x ′-h).即有y ′=f(x ′-h)+k,由于F ′还是在x0y 坐标系中，x ′是P ′点的横坐标，将它换成x ，而y ′是P ′点的纵坐标，将它换成y,于是我们就得到了F ′的函数解析式：y=f(x-h)+k.在确定的平面直角坐标系内，一个图像的函数表达式有时比较复杂，若通过平移，则往往可使其函数表达式化得较为简单.二. 平移问题中的三知识点例题解析1. 图形的平移例1.设函数y=41+-x x 的图像为C ，将C 向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位后可得函数y=-x5的图像C ′，试求h 、k 的值. 分析：将C 向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位，综合起来是将C 按a =(-h,-k)平移.于是先算出平移后图像C ′的解析式，再根据C ′的解析式又事先已知，可建立起h,k 的方程组，于是只要求解该方程组即可得h 与k 的值.解：将图像C 按=(-h,-k)平移，就是将C 先向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位，因此，图像C ′的解析式是：y+k=41++-+h x h x ,即y=4)4(1)1(+++--+-h x k h h x k ，它与y=x5-,是同一个函数. ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=-045)4(101h k h h k 解之得：⎩⎨⎧=-=14k h2.平移公式例2.把函数y=-x2+2x+5的图像，按向量a平移后得到y=-x2+1,求平移向量a.分析：由于函数y=-x2+2x+5的图像是一条抛物线，在图像的平移过程中，开口大小、方向都没有改变，只是把顶点进行了平移，因此本问题实际是一个点的平移过程.分析：求平移向量实际上就是确定一个平移的坐标公式⎩⎨⎧+=+=kyyhxx''.解：由y=-x2+2x+5得此函数的图像顶点坐标为(1，6)，由y=-x2+1得它的图像的顶点坐标为(0，1)，因此，本题的实质是把(1，6)按向量a平移到(0，1).由平移公式，得⎩⎨⎧+=+=kh611解之，得⎩⎨⎧-=-=51kh所以，所求平移向量a=(-1,-5).3.利用平移公式化简函数解析式.例3.将函数y=-x2的图像进行平移，使得到的图像与函数y=x2-x-2的图像的两个交点关于原点对称，求平移后的解析式.分析：求平移后的解析式实际上就是利用平移公式为⎩⎨⎧+=+=kyyhxx'',把一个函数的解析式转化为另一个函数的解析式,这就需要先确定平移公式.解法一：设平移公式为⎩⎨⎧+=+=,','kyyhxx得到⎩⎨⎧-=-=kyyhxx'''代入y=-x2,得到y′-k=-(x′-h)2, 写成y-k=-(x-h)2，即y=-x2+2hx-h2+k,与y=x2-x+2联立得设上述两图形交点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)由已知条件有P1与P2关于原点对称，即有x1+x2=0,y1+y2=0.由①、②消去y得2x2-(1+2h)x-2+h2-k=0.由x1+x2=0，得221h+=0,即，h=-21.又将P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别代入①、②并两式相加得y1+y2=-x21+x22+2hx1-x2-h2+k-2，即0=(x2-x1)(x2+x1)-(x1+x2)-41+k-2,得k=49.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,49',21'yyxx变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.49',21'yyxx代入y=-x 2得y ′-49=-(x ′+21)2,即y ′=-x ′2-x ′+2. 故所求的解析式为y=-x 2-x+2.解法二：由题意知，平移后的图像与y=x 2-x-2的图像的交点关于原点对称，可知这两个图像中一个图像上的所有点都可找到关于原点的对称点在另一图像上.因此，只要找到相应的特征点即可.∵y=x 2-x-2是抛物线，其顶点为(21，-49)，其关于原点的对称点是(-21，49)，这便是平移后抛物线之顶点.又由于平移后的抛物线由y=-x 2平移得到，而其顶点为(0，0).故平移向量a=(-21,49). 故欲求的函数解析式为y-49=-(x+21)2,即y=-x 2-x+2.。
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“平移”重点知识解密
江苏 刘顿
同学们，当你站在电梯上，除除上升时，你有什么感觉，当物体放在输送带上运动时，你又观察到了什么？事实上，这就是我们要讨论的平移问题.可见图形的平移是研究简单几何图形的基础知识，在日常生活中有着广泛地运用，因此，同学们一定要掌握好有关平移的知识.
一、平移的概念
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称做为平移. 如图1，△ABC 沿着直线MN 平移到△A ′B ′C ′，点A 与点A ′叫做对应点，点B 、C 与点B ′、C ′也分别是对应点；线段AB 与线段A ′B ′是对应线段，线段BC 、CA 与线段B ′C ′、C ′A ′也是对应线段；∠A 与∠A ′是对应角，∠B 、∠C 与∠B ′、∠C ′也分别是对应角.△ABC 平移的方向也可以看成是由点A （或B 、C ）到点A ′（或B ′、C ′）的方向，平移的距离就是线段AA ′（或BB ′、CC ′）的长度.
由平移的概念我们知道平移后的图形的形状和大小都不发生改变.同时，我们还应注意：
（1）平移是一种运动形式，是图形变换的一种特殊情况；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据，二者缺一不可；
（3）图形的平移是指图形的整体平移，即经过平移后的图形与原来的图形相比只是位置发生了变化，其余什么都没有改变.
二、平移的基本特征
平移的基本特征是：经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.这一特征告诉我们：（1）它刻画了图形在平移运动中一部分的不变性，而没有表达不改变图形的形状和大小的全部含义；（2）对应点所连的线段平行且相等，这个基本特性既可作平移图形之间的性质，又可作为画平移图形的依据；（3）
C C ′
图2 图1 B′
′ A N M
图形平移时，它上面的每一点都作了相应的平移.如图2，△ABC 平移到△A ′B ′C ′的位置，则有A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，C ′A ′∥CA ；A ′B ′＝AB ，B ′C ′＝BC ，C ′A ′＝CA ；∠A ′＝∠A ，∠B ′＝∠B ，∠C ′＝∠C ；事实上，我们还不难发现：AA ′∥BB′∥CC ′且AA ′＝BB ′＝CC ′.
由此我们平时在观察平移图形时，应注意：一要找到每一对对对应点；二要由对应点确定对应线段；三要记住平移的性质：对应线段平行且相等，对应角相等，平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的图形全等.
三、平移知识应用
前面说过，平移的知识在我们的日常生活中有着极为广泛地应用.为了说明这一点请看下面两例：
例1 如图3，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？
简析 我们可以利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到BC 上，竖直方向的线段沿水平方向平移到AC 上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角长度，所以地毯的总长度至少为5.6米+2.8米＝8.4米，此总面积为8.4米×3米＝25.2平方米，所以购买地毯至少需要25.8平方米×40元/平方米＝1018元.
说明 这道若要通过逐步计算，你会觉得比较复杂的，而运用了平移的知识，则问题就显得这么简单，因此，同学们在学习平移知识时一定要用心去体会.
例2 如图4，A 、B 两城市之间有一条国道，国道的宽为a ，现要在国道修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A 、B 两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据.
简析 不妨设国道的两边分别为l 1、l 2，桥为MN ，那么从A 到B 要走的路线就是A →M →N →B 了，如图8，而MN ＝a ＝定值，于是要使路径最短，只要AM +BN 最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，若设想先过桥，即平移MN 于AC ，从C 到B 应是余下的路程，连结BC 的线段即为最短的，此时不难说明线段BC 与国道边缘l 2的交点N 就是修桥的位置.
B
图3 图
4 B l 1 l 2
说明本题是设计建桥的位置，却隐含了平移的知识，体现了数学知识与社会生活的紧密联系，既能使我们在具体情况中分析、解决问题，又很好地培养和锻炼了同学们的发散思维能力.
“平移”考题典型例析
山东王芳
把一个图形整体沿某一方向移动，得到一个新的图形，图形的这种移动，叫平移.平移变换是中考的一个热点.与平移有关的题型主要有以下几种情况.
一、考查平移的特征
平移具有以下特征：（1）平移后得到的新图形与原图形的形状和大小完全相同；（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等.
例1（2006年湖南娄底）下列A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（）
（1）A．B．C．D．分析：要判断一个所给的四个选项中哪一组是平移变换，则需要根据所给图形的特征以及平移的特征进行分析.根据平移前后和平移后的图形的大小相等，形状相同，且对应点所连接的线段互相平行、相等这些特征.可以判断出符合要求的只有B.而其他三个选项都符合平移的特征..
解：选B.
提示：两个图形具有平移关系应满足：（1）两个图形的大小相等，形状相同；（2）对应点所连接的线段互相平行、相等.
例2（2006年北京海淀）在5×5方格纸中将图1-1中的图形N平移后的位置如图1-2中所示，那么正确的平移方法是（）.
(A)先向下移动1格，再向左移动1格(B)先向下移动1格，再向左移动2格
(C)先向下移动2格，再向左移动1格(D)先向下移动2格，再向左移动2格
图1-1 图1-2
分析：本题可通过比较两个图形中的对应点A的平移情况确定图形N的平移方法，点A从图1-1变到图1-2，经过了先向下平移2格，然后再向左平移1格的过程，观察四个选项，正确的应为（C）.
解：选(C).
提示:本题也可以看作先向作平移1个单位,然后再向下平移2个单位得到.
例3 (2006年陕西)观察如图2网格中的图形，解答下列问题：
将网格中左图沿水平方向向右
．．．．．．．．．平移，使点A移至点A′处，作出平移后的图形：
图2
分析：本题是一道和平移有关的作图问题，解决问题首先要确定平移的方向和平移的距离，从已知可知平移方向由A→A′，平移的距离为AA′的长度，即11个单位，然后确定关键点有：B、C、D、F、G、H、K，将这些关键点都向右平移11个单位，得到对应点B′、C′、D′、F′、G′、H′、K′，按原图形的顺序连接即得到平移后的图形.
解：所作的图形如图2所示.
提示：本题已知图形的关键点比较多，作图时要找准这些关键点.。