数形结合思想

第二讲 数形结合思想要点一 利用数形结合思想研究函数的零点、[解析] (1)在同一坐标系下画出函数y ＝12e －2x 与y ＝|ln x |的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有12e －2x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12e －2，12，12e －2x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e －2，12e －2x 2－12e －2x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，于是有e － 12 <x 1x 2<e 0，即1e<x 1x 2<1，故选B. (2)方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解等价于函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象，如图所示，由图易知，a >0.当－2<x <0时，设函数y ＝a |x |＝－ax 的图象与函数f (x )＝1x ＋2的图象相切于点(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝－1(x 0＋2)2，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝－ax 0，y 0＝1x 0＋2，1(x 0＋2)2＝a ，解得a ＝1，所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)，故选C.[答案] (1)B (2)C利用数形结合求方程解、函数零点问题的2个注意点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．[对点训练]1．(2018·大连模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ， 其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．[解析] 作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.[答案] (3，＋∞)2．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．[解析] 如图所示，由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1,0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1，1]．[答案] [－1,1]要点二 利用数形结合思想解决最值问题[解析] (1)方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0,0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大，此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan∠AOM ＝AM OA ＝3，故y x 的最大值为3，故选D.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6，故选B.[答案] (1)D (2)B利用数形结合思想解决最值问题的3点思路(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．(3)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．[对点训练]3．(2018·广东广州测试)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，2y －1≥0，x －1≤0，则z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为( )A.12B.14 C ．－12 D ．－34 [解析] 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝x 2＋2x ＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2－1，其几何意义是平面区域内的点(x ，y )到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为12，故z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为z min＝14－1＝－34，故选D.[答案] D4．(2018·武汉二模)已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．[解析] 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12要点三 利用数形结合思想解决不等式、参数问题[解析] (1)设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.(2)对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|.因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋x ，x ≤1，log 13 x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.[答案] (1)A (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．[对点训练]5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析] 因为f (x )是奇函数，所以当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＝x 2－2x ＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象(如图中实线所示)，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1，故选C.[答案] C6．(2018·河南郑州二模)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是()A．(－1,0) B．[－1,0)C．(－2,0) D．[－2,0)[解析]在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)，故选A.[答案]A运用数形结合思想分析解决问题的三原则1．等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．2．双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．3．简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．专题跟踪训练(二)一、选择题1．(2018·沈阳质检)方程sinπx＝x4的解的个数是() A．5 B．6C．7 D．8[解析]在同一平面直角坐标系中画出y1＝sinπx和y2＝x4的图象，如右图：观察图象可知y1＝sinπx和y2＝x4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinπx＝x4有7个解，故选C.[答案]C2．(2018·宝鸡质检)若方程x＋k＝1－x2有且只有一个解，则k 的取值范围是()A．[－1,1) B．k＝±2C．[－1,1] D．k＝2或k∈[－1,1)[解析]令y1＝x＋k，y2＝1－x2，则x2＋y2＝1(y≥0)．作出图象如图：而y1＝x＋k中，k是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k＝2或－1≤k<1，故选D.[答案]D3．记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值为()A．5 B．6C．8 D．10[解析]在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3,13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 点C 下方的部分的组合图．显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3,13－x }取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝13－x 得点C (5,8)． 所以f (x )max ＝8，故选C.[答案] C4．(2018·西安调研)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≥0mx －y ≤0x －2y ＋2≥0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2[解析] 将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 取最大值时，直线y＝2x －z 在y 轴上的截距最小，故当m ≤12时，不满足题意．当m >12时，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≥0mx －y ≤0x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x －y 取得最大值．易求点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1.∴最大值为z ＝2×22m －1－2m 2m －1＝2，解得m ＝1. [答案] C5．函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析]函数f (x )＝ln x －x －a 的零点，即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程ln x －x －a ＝0化为方程ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知，直线y 2＝x ＋a 与曲线y 1＝ln x 相切时有a ＝－1，如图所示，若关于x 的方程ln x －x －a ＝0有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)，故选B.[答案] B6．(2018·九江十校联考)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|P A →＋PB →|的最小值为( )A ．3B ．4 C.175 D.195 [解析] 设AB 的中点为D ，则P A →＋PB →＝2PD →.∴当且仅当O ，D ，P 三点共线时，|P A →＋PB →|取得最小值，此时OP ⊥AB ，且OP ⊥l . ∵圆心到直线的距离为129＋16＝125，|OD |＝ 1－34＝12，∴|P A →＋PB →|的最小值为2⎝ ⎛⎭⎪⎫125－12＝195，故选D. [答案] D二、填空题7．函数f (x )＝3－x ＋x 2－4的零点个数是________．[解析] 令f (x )＝0，则x 2－4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，分别作出函数g (x )＝x 2－4，h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，由图可知，显然h (x )与g (x )的图象有2个交点，故函数f (x )的零点个数为2.[答案] 28．设函数f (x )＝x |x －a |的图象与函数g (x )＝|x －1|的图象有三个不同的交点，则a 的取值范围是________．[解析] 易知a ＝0时不满足题意．当a <0时，f (x )与g (x )的图象如图(1)，不满足题意．当a >0时，f (x )与g (x )的图象如图(2)．根据图(2)知要满足f (x )与g (x )的图象有三个不同交点，需a >1.∴a 的取值范围是(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)9．(2018·山西四校模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．[解析] 由题意可得⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥105a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图所示．作出直线a 1＋3d ＝0，经平移可知当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时，在y 轴上的截距最大，此时a 4取最大值4.[答案] 4三、解答题10．(2018·海口模拟)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.(1)求实数a 的取值范围；(2)求α＋β的值．[解](1)原方程可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－a 2， 作出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象． 由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧ －1<－a 2<1－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2. (2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3.当－2<a <－3，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象有两交点A 、B ， 由对称性知，α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或7π3.11．已知直线l ：x －y ＝1与圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，求四边形ABCD 面积的最大值．[解]把圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0化为标准方程：(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，圆心(1，－1)，半径r ＝ 3.直线l 与圆M 相交，圆心到直线l 的距离d ＝|1×1－1×(－1)－1|12＋(－1)2＝22，所以弦长|AC |＝2× (3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝10. 又B ，D 两点在圆上，且位于直线l 的两侧，四边形ABCD 的面积可以看成是两个三角形△ABC 和△ACD 的面积之和，如图所示，当B ，D 为如图所示位置，即BD 为弦AC 的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，最大面积为S ＝12|AC |×|BE |＋12|AC |×|DE |＝12|AC |×|BD |＝12×10×23＝30.12.下面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为S n (n ∈N *)．(1)证明：S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)；(2)证明：S 1＋S 2＋…＋S n <8－2π.[证明] (1)设第n (n ∈N *)个正方形的边长为a n ，则其内切圆半径为a n 2，第n ＋1个正方形的边长为22a n ，其内切圆半径为24a n ，所以S n ＝a 2n －π⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 22＝a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4 (n ∈N *)，S n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a n 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎫24a n 2＝a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－π8＝12S n (n ∈N *)．所以S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S 1＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4＝4－π，S 2＝2－π2，…，S n ＝(4－π)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(4－π)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝(4－π)×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝(8－2π)⎝⎛⎭⎪⎫1－12n <8－2π.。